初二軸對稱圖形難題總結(jié)新選

1、初二軸對稱圖形難題總結(jié)如圖（a）,點A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關(guān)于l的對稱點B',連接AB與直線l交于點C,則點C即為所求.（1）實踐運用：如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點A在。O上，/ACD=30,B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，貝UBP+AP的最小值為.（2）知識拓展：如圖（c）,在RtABC中，AB=10,/BAC=45,/BAC的平分線交BC于點D,E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.2.（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（1）:若點A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點P,使AP+

2、BP的值最小，做法如下：作點B關(guān)于直線m的對稱點B；連接AB',與直線m的交點就是所求的點P,線段AB'的長度即為AP+BP的最小值.*印RD匕圜）圖3）如圖（2）:在等邊三角形ABC中，AB=2,點E做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P,使BP+PE的值最小,C或AD一點，則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為（2）實踐運用如圖（3）:已知。的直徑CD為2,&C的度數(shù)為值最小，貝UBP+AP的值最小，貝UBP+AP的最小值為小二。阿（3）圖（4）飛（3）拓展延伸如圖（4）:點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，分別

3、在邊AB痕跡，/、寫作法.如圖（1）,要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向管線最短？你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？60°,點B是AC的中點，在直徑CD上作出點P,使BP+AP的BC上作出點M,點N,使PM+PN+MN的值最小，保留作圖A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法.他把管道l看成一條直線（圖（2）,問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的：作點B關(guān)于直線l的對稱點B'.連接AB'交直線l于點巳則點P為所求.請你參考小華的做法解決下列問題.如圖

4、在4ABC中，點D、E分別是AB，AC邊的中點，BC=6,BC邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點巳使4PDE得周長最小.（1）在圖中作出點P（保留作圖痕跡，不寫作法）.（2）請直接寫出4PDE周長的最小值：.4 .（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點A,B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點P,使AP+BP的值最小.做法如下：作點B關(guān)于直線l的對稱點B',連接AB',與直線l的交點就是所求的點P.再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2,點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點巳使BP+PE的值最小.做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就

5、是所求的點P,故BP+PE的最小值為.（2如（c）圖，已知。的直徑CD為4,/AOD的度數(shù)為60°,點B是疝的中點，在直徑CD上找一點P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點巳使/APB=/APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.（處W仙5 .幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個定點.2/32'sVc,/L一圖1圖3問題：在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最小.方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A',連接A狡l于點巳則PA+PB=AB的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形A

6、BCD的邊長為2,E為AB的中點，P是AC上一動點.連接BD,由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于巳則PB+PE的最小彳1是;(2)如圖2,。的半徑為2,點A、B、C在。O上，OA，OB,/AOC=60,P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；(3)如圖3,/AOB=45,P是/AOB內(nèi)一點，PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動點，求4PQR周長的最小值.6.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(2,-3),B(4,-1).(1)若P(p,0)是x軸上的一個動點，則當(dāng)p=時，4PAB的周長最短；(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個動點，

7、則當(dāng)a=時，四邊形ABDC的周長最短；(3)設(shè)M,N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M(m,0)、N(0,n),使四邊形ABMN的7.需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到A,B兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置.周長最短？若存在，請求出m=,n=(不必寫解答過程)；若不存在，請說明理由.8 .如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個新開發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角ZAON=30；新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米.(1)新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為;(2)現(xiàn)要在MN上某點P處向新開發(fā)區(qū)A,B修兩條公路PA,PB,使點P到新開發(fā)區(qū)A

8、,B的距離之和最短.此時PA+PB=(千米).VCoM3/329 .如圖：(1)若把圖中小人平移，使點A平移到點B,請你在圖中畫出平移后的小人；(2)若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點P處喝水后，再游到B,但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點P的位置.!iA11L_111鼻.*.T111汨十咨十1'1-114一11I1n;Hh-5J1'H:HJi110 .如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABB1A1的對稱軸為y軸.(1)請畫出：點A、B關(guān)于原點O的對稱點A2、B2(應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明)；(2)連接A1A2、B1B2(其中A2、B2為(1)中所畫

9、的點)，試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2;(3)設(shè)線段AB兩端點的坐標(biāo)分別為A(-2,4)、B(-4,2),連接(1)中A2B2,試問在x軸上是否存在點C,使4A1B1C與4A2B2c的周長之和最??？若存在，求出點C的坐標(biāo)(不必說明周長之和最小的理由)；若不存在，11 .某大型農(nóng)場擬在公路L旁修建一個農(nóng)產(chǎn)品儲藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進行儲藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟效益.請你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置C,使A、B兩地到加工廠C的運輸路程之和最短.(要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明)12 .閱讀理解如圖1,4ABC中，沿/BAC的平分線A

10、B1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次4/32恰好重合，/BAC是ABC的好角.小麗展示了確定ZBAC是ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角/BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3,沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合.探究發(fā)現(xiàn)(1)4ABC中，/B=2/C,經(jīng)過兩次折疊，/BAC是不是4ABC的好角？(填是"或不是“).(2)

11、小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了/BAC是4ABC的好角，請?zhí)骄?B與/C(不妨設(shè)/B>/C)之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊/BAC是4ABC的好角，則/B與/C(不妨設(shè)/B>/C)之間的等量關(guān)系為應(yīng)用提升(3)小麗找到一個三角形，三個角分別為15。、60。、105°,發(fā)現(xiàn)60。和105。的兩個角都是此三角形的好角.請你完成，如果一個三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角.13 .如圖，4ABC中AB=AC,BC=6,點P從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相

12、同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖，當(dāng)點P為AB的中點時，求CD的長；(2)如圖，過點P作直線BC的垂線垂足為E,當(dāng)點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由；14 .(2012?東城區(qū)二模)已知：等邊ABC中，點O是邊AC,BC的垂直平分線的交點，M,N分別在直線AC,BC上，且/MON=60.(1)如圖1,當(dāng)CM=CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，請寫出AM、CNMN三者之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,當(dāng)CWCN時，M、N分別在邊AC、BC上時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖3,當(dāng)點M在邊

13、AC上，點N在BC的延長線上時，請直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系.5/3215.如圖，線段CD垂直平分線段求證：DE=DFAB,CA的延長線交BD的延長線于E,CB的延長線交AD的延長線于F,16.如圖，在4ABC和4DCB中,AB=DC,AC=DB,AC與DB交于點M.求證:(1)AABCADCB;(2)點M在BC的垂直平分線上.AD于D,E為垂足，DFLAB于F,且AB>AC,求證：BF=AC+AF17 .如圖，4ABC的邊BC的垂直平分線DE交ABAC的外角平分線P,彳PCAB,PL.XAC,垂足分別是K、L,18 .已知ABC的角平分線AP與邊BC的垂直平分線PM

14、相交于點求證：BK=CLA、B的距離必須相等，且到兩條公路m、19 .某私營企業(yè)要修建一個加油站，如圖，其設(shè)計要求是，加油站到兩村6/32（要有作圖痕跡）n的距離也必須相等，那么加油站應(yīng)修在什么位置，在圖上標(biāo)出它的位置.ZA=120°,BC=9cm,AB的垂直平分線MN交BC于M,交AB于N,求BM的長.21.如圖，在4ABC中，/BAC的平分線與BC的垂直平分線PQ相交于點P,過點P分另作PNLAB于N,PMXAC于點M,求證：BN=CM.22.如圖己知在ABC中，Z0=90°,ZB=15°,DE垂直平分AB,E為垂足交BC于D,BD=16cm,求AC長.參考答

15、案與試題解析一.解答題（共22小題）1.（2013?日照）問題背景：如圖（a）,點A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關(guān)于l的對稱點B',連接AB與直線l交于點C,則點C即為所求.7/32（1）實踐運用：如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點A在。O上，/ACD=30,B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點,貝UBP+AP的最/、值為2-萬（2）知識拓展：如圖（c）,在RtABC中，AB=10,/BAC=45,/BAC的平分線交BC于點D,E、F分別是線段AD和AB上的動點,求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.考點：軸對稱-最短路線

16、問題.3113559分析：（1）找點A或點B關(guān)于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置.根據(jù)題意先求出/C'AE再根據(jù)勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜邊AC上截取AB'=AB連結(jié)BB',再過點B作B'LAB,垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE,則線段B'的長即為所求.解答：解：（1）作點B關(guān)于CD的對稱點E,連接AE交CD于點P此時PA+PB最小，且等于AE.作直徑AC,連接C'E根據(jù)垂徑定理得弧BD=MDE./ACD=30,°/AOD=60；DDOE=30；/AOE=90,

17、°/CAE=45°又AC為圓的直徑，ZAEC=90；CC1CC1AE=45°.Ce=aE=ac匹即AP+BP的最/、值是2n.故答案為：2/2；（2）如圖，在斜邊AC上截取AB'=AB連結(jié)BB'. .AD平分ZBAC, 點B與點B關(guān)于直線AD對稱.過點B作B'1AB,垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE,則線段B'的長即為所求.（點到直線的距離最短）在RtAFB中，./BAC=45,AB'=AB=10嗎 .B/F=AB，？sin45°=AB?s蕭455V=10XBE+EF的最/、值為2.8/32點評:此題主要考查了利用軸

18、對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵.2.（2013?六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（1）:若點A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點P,使AP+BP的值最小，做法如下：作點B關(guān)于直線m的對稱點B；連接AB',與直線m的交點就是所求的點P,線段AB'的長度即為AP+BP的最小值.宜1)國U)如圖（2）:在等邊三角形ABC中，AB=2,點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P,使BP+PE的值最小,做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為Vs（2）實踐運用如圖（3）

19、:已知。O的直徑CD為2,g的度數(shù)為60°,點B是度的中點，在直徑CD上作出點P,使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為及（3）拓展延伸如圖（4）:點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，分別在邊ARBC上作出點M,點N,使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法.9/32考點：圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題.3113559專題：壓軸題.分析：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2,點E是AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE1AB,/BCE=?/BCA=30,BE=1,再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=/3;(2)

20、實踐運用：過B點作弦BEXCD,連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié)OB、OE、OA、PB,根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE,即點E與點B關(guān)于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值；由于AC的度數(shù)為60°,點B是AC的中點得到ZBOC=30,ZAOC=60,所以/AOE=60+30°=90°,于是可判斷4OAE為等腰直角三角形，則AE=/2OA=/2;(3)拓展延伸：分別作出點P關(guān)于AB和BC的對稱點E和F,然后連結(jié)EF,EF交AB于M、交BC于N.解答：解：(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖(2),CE的長為BP+PE的最小值，.在等邊三角形ABC中，AB=2,點E是AB的中點1.-.C

21、E±AB,/BCE=2/BCA=30；BE=1,.，ce=be='/3；故答案為.二;(2)實踐運用如圖(3),過B點作弦BEXCD,連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié)OB、OE、OA、PB,.BEXCD,CD平分BE,即點E與點B關(guān)于CD對稱， AC的度數(shù)為60；點B是AC的中點，/BOC=30,°/AOC=60；/EOC=30,°/AOE=60，30=90； .OA=OE=1, .AE=：%OA=.AE的長就是BP+AP的最小值.故答案為-二:；(3)拓展延伸如圖(4).10/32點評:本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何

22、證明中經(jīng)常用到，同時熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱-最短路徑問題.3. （2012?涼山州）在學(xué)習(xí)軸對稱的時候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題.如圖（1）,要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法.他把管道l看成一條直線（圖（2）,問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的:作點B關(guān)于直線l的對稱點B'.連接AB'交直線l于點巳則點P為所求.請你參考小華的做法解決下列問題.如圖在4AB

23、C中，點D、E分別是ABAC邊的中點，BC=6,BC邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點巳使4PDE得周長最小.（1）在圖中作出點P（保留作圖痕跡，不寫作法）.（2）請直接寫出4PDE周長的最小值：8.考點：軸對稱-最短路線問題.3113559專題：壓軸題.分析：（1）根據(jù)提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點關(guān)于BC的對稱點D',連接D'¥與BC交于點P,P點即為所求；（2）利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出D'的值，即可得出答案.解答：解：（1）作D點關(guān)于BC的對稱點D',連接D'¥與BC交于點P,P點即為所求；（2

24、）二點D、E分別是ARAC邊的中點,.DE為4ABC中位線，11/32.BC=6,BC邊上的高為4,.DE=3,DD'=4.DE=|,'1'，；'=5,.PDE周長的最小值為：DE+D'E=3+5=8故答案為：8.點評:PDE周長的最小此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的知識，根據(jù)已知得出要求值，求出DP+PE的最小值即可是解題關(guān)鍵.4. （2010?淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點A,B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點P,使AP+BP的值最小.做法如下：作點B關(guān)于直線l的對稱點B',連接AB',與直線l的交點就是所求

25、的點P.再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2,點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點巳使BP+PE的值最小.做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為啟.（2）實踐運用：如（c）圖，已知。的直徑CD為4,/AOD的度數(shù)為60°,點B是疝的中點，在直徑CD上找一點P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點巳使/APB=/APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.考點：軸對稱-最短路線問題.3113559分析：（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)

26、知，CE1AB,在直角4BCE中，/BEC=90BC=2BE=1,由勾股定理可求出CE的長度，從而得出結(jié)果；（2）要在直徑CD上找一點P,使PA+PB的值最小，設(shè)A'是A關(guān)于CD的對稱點，連接A'B與CD的交點即為點P.此時PA+PB=AB是最小值，可證AOAB是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果.（3）畫點B關(guān)于AC的對稱點B',延長DB交AC于點P.則點P即為所求.解答:解:1)BP+PE的最小值=，：12/32(2)作點A關(guān)于CD的對稱點A',連接A'H交CD于點巳連接OA,AA',OB. 點A與A關(guān)于CD對稱，/AOD的度數(shù)為60°,

27、./A'OD=AOD=60；PA=PA,' .點b是AD的中點，/BOD=30；./A'OB=A'OD+BOD=90,°.OO的直徑CD為4, .OA=OA'=2.A'B=史. .PA+PB=PA'+PB=A'Z.B=2(3)如圖d:首先過點B作BBXAC于O,且OB=OB,連接DB并延長交AC于P.(由AC是BB'的垂直平分線，可得/APB=/APD).點評：此題主要考查軸對稱-最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊.5.

28、(2009?漳州)幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個定點.問題：在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最小.方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A',連接A'狡l于點巳則PA+PB=AB的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點，P是AC上一動點.連接BD,由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于巳則PB+PE的最小值是；(2)如圖2,。的半徑為2,點A、B、C在。O上，OA.LOB,/AOC=60,P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；(3)如圖3,/AOB=45,P是/AOB內(nèi)一點，PO=10,Q、R

29、分別是OA、OB上的動點，求4PQR周長的最小值.考點：軸對稱-最短路線問題.3113559專題：壓軸題；動點型.分析：(1)由題意易得PB+PE=PD+PE=DE在ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；(2)作A關(guān)于OB的對稱點A',連接A'C交OB于P,求A'的勺長，即是PA+PC的最小值;13/32(3)作出點P關(guān)于直線OA的對稱點M,關(guān)于直線OB的對稱點N,連接MN,它分別與OA,OB的交點Q、R,這時三角形PEF的周長=MN,只要求MN的長就行了.解答：解：(1)二.四邊形ABCD是正方形，AC垂直平分BD,，PB=PD,由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE在A

30、DE中，根據(jù)勾股定理得，DE=J22+12=而；(2)作A關(guān)于OB的對稱點A',連接A'，交OB于P,PA+PC勺最小彳直即為A'的勺長，/AOC=60°./A'OC=120°作OD±A'什D,則/A'OD=60.OA'=OA=2.A'畫.VC=2；(3)分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N,連接OM、ON、MN,MN交OA、OB于點Q、R,連接PRPQ,此時4PQR周長的最小值等于MN.由軸對稱性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10,/MOA=/POA,/NOB=/POB,./MON=2/AOB=2X4

31、590；即PQR周長的最小值等于1小歷.此題綜合性較強，主要考查有關(guān)軸對稱-最短路線的問題，綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識.在RtAMON中，MnNoh'+ON”10，+102=10x2.點評:6. (2006?湖州)如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(2,-3),B(4,-1).7(1)若P(p,0)是x軸上的一個動點，則當(dāng)p=2時，4PAB的周長最短；(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個動點，則當(dāng)a=4時，四邊形ABDC的周長最短；(3)設(shè)M,N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M(m,0)、N(0,n),使四邊形ABM

32、N的周長最短？若存在，請求出m=2,n=-3(不必寫解答過程)；若不存在，請說明理由.14/32考點：軸對稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).3113559專題：壓軸題.分析：(1)根據(jù)題意，設(shè)出并找到B(4,-1)關(guān)于x軸的對稱點是B',其坐標(biāo)為(4,1),進而可得直線AB'的解析式，進而可得答案；(2)過A點作AE，x軸于點E,且延長AE,取A'E=AE做點F(1,-1),連接A'F.利用兩點間的線段最短，可知四邊形ABDC的周長最短等于A'F+CD+AB,從而確定C點的坐標(biāo)值.回國(3)根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，可得存在使四邊形ABMN周長最短的點M、N,當(dāng)

33、且僅當(dāng)m=2,n=-3;時成立.解答：解：(1)設(shè)點B(4,-1)關(guān)于x軸的對稱點是B',其坐標(biāo)為(4,1),設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b,r2k+b=-3把A(2,-3),B'(4,1)代入得：=1,k毛解得1b二一7,y=2x-7,7令y=0得x=2,即p=2.A'(2,(2)過A點作AE±x軸于點E,且延長AE,取A'E=AE.做點F(1,-1),連接A'F.那么3).直線A'F的解析式為L-i=3"Cx-i),即y=4x-5,.C點的坐標(biāo)為(a,0),且在直線A'F上,5-a=4a-(3)存在使四

34、邊形ABMN周長最短的點M、N,作A關(guān)于y軸的對稱點A',作B關(guān)于x軸的對稱點B',連接A'B'與x軸、y軸的交點即為點M、N,A'(2,-3),B'(4,1),2至直線A'的解析式為：y-3x-3,.M(2,0),N(0,-3)15/32m=£,n=一>.點評:考查圖形的軸對稱在實際中的運用，同時考查了根據(jù)兩點坐標(biāo)求直線解析式，運用解析式求直線與坐標(biāo)軸的交點等知識.A,B兩個城市的距離之和最小，請作出機場的7. (2007?慶陽)需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到考點專題分析解答軸對稱-最短路線問題.31135

35、59作圖題.A關(guān)于公路的對稱點A,連接A'B與公路的交點就是點P的位置.利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作點點評:本題主要是利用軸對稱圖形來求最短的距離.用到的知識：兩點之間線段最短.8. (2006?貴港)如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個新開發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角ZAON=30,新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米.(1)新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為8;(2)現(xiàn)要在MN上某點P處向新開發(fā)區(qū)A,B修兩條公路PA,PB,使點P到新開發(fā)區(qū)A,B的距離之和最短.此時PA+PB=14（千米）.NC（9V16/32考點：軸對稱-最短路線問題.3113559專題

36、：計算題；壓軸題.分析：(1)先求出OB的長，從而得出OA的長，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離.(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得EF=CD=BC=3AF=AE+EF=AE+BC=1,1再根據(jù)余弦概念求解.解答：解：(1)BC=3,ZAOC=30,.OB=6.過點A作AE±MN于點E,AO=AB+OB=1Q.AE=8.即新開發(fā)區(qū)A到公路的距離為8千米；（2）過D作DF,AE的延長線（點D是點B關(guān)于MN的對稱點），垂足為F.則EF=CD=BC=3AF=AE+EF=AE+BC=1,1過B作BGJ±AE于G,.BG=DF, BG=AB?cos305 ?連接PB,貝UPB=PD, .PA+PB

37、=PA+PD=AD=14千米）.點評:此題主要考查學(xué)生利用軸對稱的性質(zhì)來綜合解三角形的能力.9. (2006?巴中)如圖：(1)若把圖中小人平移，使點A平移到點B,請你在圖中畫出平移后的小人；(2)若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點P處喝水后，再游到B,但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點P的位置.17/3211一一111-*11.J44-rq1iNq4-4-44-k：>1;:11'1-11111L11A11q4u-L.i|)141IIur4;:;1；!；i1；一二一:一，一，一工_；：；11：J-:1考點:專題:分析:解答:點評:軸對稱-最短路線問題；作圖-軸對

38、稱變換；作圖-平移變換.3113559作圖題.根據(jù)平移的規(guī)律找到點B,再利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短的性質(zhì)，找到點A的對稱點,連接A1B與l相交于點P,即為所求.解:本題考查的是平移變換與最短線路問題.最短線路問題一般是利用軸對稱的性質(zhì)解題，通過作軸對稱圖形，利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短可求出所求的點.作平移圖形時，找關(guān)鍵點的對應(yīng)點也是關(guān)鍵的一步.平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對應(yīng)點；確定圖形中的關(guān)鍵點；利用第一組對應(yīng)點和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點的對應(yīng)點；按原圖形順序依次連接對應(yīng)點，所得到的圖形即為平移后的圖形.10. （2003?泉州）如圖，在直角坐標(biāo)

39、系中，等腰梯形ABB1A1的對稱軸為y軸.（1）請畫出：點A、B關(guān)于原點O的對稱點A2、B2（應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；（2）連接A1A2、B1B2（其中A2、B2為（1）中所畫的點），試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2;（3）設(shè)線段AB兩端點的坐標(biāo)分別為A（-2,4）、B（-4,2）,連接（1）中A2B2,試問在x軸上是否存在點C,使4A1B1C與4A2B2c的周長之和最??？若存在，求出點C的坐標(biāo)（不必說明周長之和最小的理由）；若不存在，請說明理由.18/32考點：作圖-軸對稱變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題.3113559專題：作圖題；證明題；壓軸題

40、；探究型.分析：(1)根據(jù)中心對稱的方法，找點A2,B2,連接即可.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)依題意與(1)可得A1(-x1,y1),B1(-x2,y2),A2(-x1,-y1),B2(-x2,-y2),得到A1、B1關(guān)于x軸的對稱點是A2、B2,所以x軸垂直平分線段A1A2、B1B2.(3)根據(jù)A1與A2,B1與B2均關(guān)于x軸對稱，連接A2B1交x軸于C,點C為所求的點.根據(jù)題意得B1(4,2),A2(2,4)設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法.解得b=，所以可求直線A2B1的解析式101010為y=3xT0.令y=0,得x=3,所以C的坐標(biāo)為(3,0).即

41、點C(3,0)能使4A1B1C與A2B2c的周長之和最小.解答：解：(1)如圖，A2、B2為所求的點.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)依題意與(1)可得A1(-x1,y1),B1(-x2,y2),A2(-x1,-y1),B2(-x2,-y2).A1、B1關(guān)于x軸的對稱點是A2、B2,，x軸垂直平分線段A1A2、B1B2.(3)存在符合題意的C點.由(2)知A1與A2,B1與B2均關(guān)于x軸對稱，連接A2B1交x軸于C,點C為所求的點.A(-2,4),B(-4,2)依題意及(1)得：B1(4,2),A2(2,-4).r4kb=2設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b貝U有4fk?解得b=-

42、1°直線A2B1的解析式為y=3x-10,10令y=0,得x=*,19/3210，C的坐標(biāo)為（3,0）10綜上所述，點0（3,0）能使4A1B1C與4A2B2c的周長之和最小.點評:主要考查了軸對稱的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì).要知道對稱軸垂直平分對應(yīng)點的連線.會根據(jù)此性質(zhì)求得對應(yīng)點利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.11. （2001?宜昌）某大型農(nóng)場擬在公路L旁修建一個農(nóng)產(chǎn)品儲藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進行儲藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟效益.請你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置工廠C的運輸路程之和最短.（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不

43、寫作法和證明）C,使A、B兩地到加考點專題分析解答軸對稱-最短路線問題.3113559作圖題.作A關(guān)于直線L的對稱點E,連接BE交直線L于C,則C為所求.點評:本題主要考查對軸對稱-最短路線的問題的理解和掌握，根據(jù)題意正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵,12. （2012?淮安）閱讀理解如圖1,4ABC中，沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，/BAC是ABC的好角.小麗展示了確定/BAC是ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿

44、等腰三角形ABC頂角/BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3,沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合.探究發(fā)現(xiàn)（1）4ABC中，/B=2/C,經(jīng)過兩次折疊，/BAC是不是4ABC的好角？是（填是“或不是“）.20/32（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了/BAC是4ABC的好角，請?zhí)骄?B與/C（不妨設(shè)/B>/C）之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊/BAC是4ABC的好角，則/B與/C（不妨設(shè)/B>/C）之間的等量關(guān)系為/B=nZC.應(yīng)用提升（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15。、

45、60。、105°,發(fā)現(xiàn)60。和105。的兩個角都是此三角形的好角.請你完成，如果一個三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角.mi闔2度Im考點：翻折變換（折疊問題）.3113559專題：壓軸題；規(guī)律型.分析：（1）在小麗展示的情形二中，如圖3,根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知/B=2/C;（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知/A1A2B2=/C+/A2B2c=2ZC;根據(jù)四邊形的外角定理知/BAC+2ZB-2c=180，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知/BAC+/B+ZC=180°由可以求得/B=3/C;利用數(shù)

46、學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：/B=nZC;（3）利用（2）的結(jié)論知/B=n/C,/BAC是4ABC的好角，ZC=nZA,/ABC是ABC的好角，ZA=nZB,/BCA是4ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個角的度數(shù)可以是4、172;8、168;16、160;44、132;88°、88°.解答：解：（1）4ABC中，/B=2/C,經(jīng)過兩次折疊，/BAC是4ABC的好角；理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3,沿/BAC的平分線AB1折疊，/ B=/AA1B1;又.將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合，/ A1B1C=ZC

47、;/AA1B1=/C+/A1B1C（外角定理）,，/B=2/C,/BAC是ABC的好角.故答案是：是；（2） /B=3/C;如圖所示，在4ABC中，沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿/B2A2c的平分線A2B3折疊，點B2與點C重合，則/BAC是4ABC的好角.證明如下：二.根據(jù)折疊的性質(zhì)知，/B=/AA1B1,/C=/A2B2C,ZA1B1C=ZA1A2B2,，根據(jù)三角形的外角定理知，ZA1A2B2=ZC+ZA2B2C=2ZC;.根據(jù)四邊形的外角定理知，ZBAC+ZB+ZAA1B1-/A1B1C=ZBAC+2Z

48、B-2/C=180,°根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，/BAC+ZB+ZC=18CF,/B=3/C;由小麗展示的情形一知，當(dāng)/B=/C時，/BAC是4ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)/B=2/C時，/BAC是4ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng)/B=3/C時，/BAC是4ABC的好角；故若經(jīng)過n次折疊/BAC是4ABC的好角，則/B與/C（不妨設(shè)ZB>ZC）之間的等量關(guān)系為ZB=nZC;21/32(3)由(2)知設(shè)/A=4°,./C是好角，./B=4n°:/A是好角，/C=m/B=4mn°其中m、n為正整數(shù)得4+4n+4mn=180，如果

49、一個三角形的最小角是4°,三角形另外兩個角的度數(shù)是4、172;8、168;16、160;44、132;88°、88°.點評:.解答此題時，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理本題考查了翻折變換(折疊問題)以及折疊的性質(zhì).難度較大.13.(2013?青羊區(qū)一模)如圖，4ABC中AB=AC,BC=6,5,點p從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖，當(dāng)點P為AB的中點時，求CD的長；(2)如圖，過點P作直線BC的垂線垂足為E,當(dāng)點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、C

50、D中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由;考點專題分析等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).3113559幾何綜合題；壓軸題；分類討論.(1)過點P做PF平行與AQ,由平行我們得出一對同位角和一對內(nèi)錯角的相等，再由AB=AC,根據(jù)等邊對等角得角B和角ACB的相等，根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等，根據(jù)等角對等邊得BP=PF又因點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同即BP=CQ等量彳弋換得PF=CQ在加上對等角的相等，證得11三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊邊相等得出DF=CD=CF,而又因P是AB的中點，PF/AQ得出F是BC的中點，進而根據(jù)已知的BC的長，求出CF,即

51、可得出CD的長.(2)分兩種情況討論，第一種情況點P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得一問的全等可知EF+FFBEHK二）改二3DF=CR所以ED=,得出線段DE的長為定值;BE=EF再又第第二種情況，M,根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角PMBABC等于角PMB,根據(jù)等角對等邊得到PMP在BA的延長線上，作PM平行于AC交BC的延長線于等于角ACB,而角ACB等于角ABC,根據(jù)等量代換得到角等于PB,根據(jù)三線合一，得到BE等于EM,同理可得4PMD全等于4QUD,得到CD等于DM,根據(jù)DE等于EMMDM,把EM換為BC加CM的一半，化簡后得到值為定值.解答：解：(1)如圖，過P點作PF/

52、AC交BC于F,點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同,.BP=CQ1.PF/AQ,/PFB=ZACB,/DPF=ZCQD,又AB=AC,/B=ZACB,22/32/B=/PFB,，BP=PFPF=CQ又/PDF=ZQDC, 證得PFgQCD, .DF=CD=：CF,又因P是AB的中點，PF/AQ,1 .F是BC的中點，即FC=2bC=3,1 3.CD=2cf=2；(2)分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段如圖，如果點P在線段AB上，過點P作PF/AC交BC于F,PBF為等腰三角形，.PB=PFBE=EF.PF=CQFD=DC,EF+FDRE+DC二為C=3.ED=上,二.ED為定值，/PMC=

53、ZACB,又AB=AC,/B=ZACB,/B=/PMC,PM=PB,根據(jù)三線合一得BE=EM,同理可得PMDQCD,所以CD=DM,-D忙3+DM-DM二3綜上所述，線段ED的長度保持不變.23/32點評:此題考查了等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判斷與性質(zhì),題.考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,是一道綜合考點:分析:解答:14.(2012?東城區(qū)二模)已知：等邊ABC中，點O是邊AC,BC的垂直平分線的交點，M,N分別在直線AC,BC上，且/MON=60.(1)如圖1,當(dāng)CM=CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，請寫出AM、CNMN三者之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,當(dāng)CWCN時，M、N分別在邊AC、

54、BC上時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖3,當(dāng)點M在邊AC上，點N在BC的延長線上時，請直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系.全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).3113559(1)在AM上截取AN=CN連接ON,OC,OA,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線得出/OCN=/OAN'=30OC=OA證OCNOAN推出ON=ON；/CON=/AON',求出/NOM=/MON',根據(jù)SASffiMONAMON,推出MN=MN,即可求出答案；(2)結(jié)論還成立，證明過程與(1)類似；(3)結(jié)論是MN=CN+A

55、M,延長CA至UN',使AN=CN連接OC,OA,ON，證OCNAOAN推出ON=ON,/CON=/AON；求出/NOM=/MON',根據(jù)SAS證MONMON',推出MN=MN',即可求出答案；解：(1)MN=AM-CN,理由是：在AM上截取AN=CN連接ON,OC,OA,.O是邊AC和BC垂直平分線的交點，ABC是等邊三角形,OC=OAO也是等邊三角形三個角的平分線交點，/OCA=ZOAB=ZOCN=2x6=30；/AOC=180-30°-30=120；24/32/NCO=ZCAN； 在4OCN和OAN中0C=0AZNC0=Z0ANJ,AN，=CK .OCNOAN'(SAS, .ON'=ONZCON=ZAON； /COA=120；/NOM=60°, /CON+ZCOM=60°, /AO