第八章 靜電場

1、第八章第八章 靜電場靜電場一一 電荷、電荷守恒、電荷的量子性電荷、電荷守恒、電荷的量子性 強子的夸克模型具有分?jǐn)?shù)電荷：強子的夸克模型具有分?jǐn)?shù)電荷：13e23e1 1 電荷分為正電荷和負(fù)電荷；電荷的單位為庫侖（電荷分為正電荷和負(fù)電荷；電荷的單位為庫侖（C C）3 3 電荷的量子性電荷的量子性(1, 2,3,)qne n8-1 8-1 電荷電荷 電荷守恒電荷守恒 庫侖定律庫侖定律2 2 在在孤立孤立系統(tǒng)中系統(tǒng)中, ,電荷的代數(shù)和保持不變電荷的代數(shù)和保持不變 - -電荷守恒定律電荷守恒定律C10602. 119e基本電荷基本電荷1 點電荷模型點電荷模型：沒有形狀和大小，只帶電荷的物體：沒有形狀和大小

2、，只帶電荷的物體（帶電的點）（帶電的點）二二 庫侖定律庫侖定律229CmN1098755.8k SISI制制 121212212q qFker2 庫侖定律庫侖定律：在：在真空中真空中，兩個靜止的，兩個靜止的點電荷點電荷之間的相互之間的相互作用力的大小與它們電荷量的乘積成正比，與它們之間作用力的大小與它們電荷量的乘積成正比，與它們之間的距離的平方成反比；作用力的方向沿著兩點電荷的連的距離的平方成反比；作用力的方向沿著兩點電荷的連線方向，并且同號電荷相互排斥，異號電荷相互吸引。線方向，并且同號電荷相互排斥，異號電荷相互吸引。1q2q1 2r12F 為真空介電常量（真空電容率）為真空介電常量（真空電

3、容率）0212120mNC108542.841k121 21 2201 214 q qFer041k 令令112mF108542.8 庫侖力遵守牛頓第三定律：庫侖力遵守牛頓第三定律：1 22 1FF 1q2q1 2r12F21F一一 電場的概念電場的概念 兩點電荷之間存在相互作用的庫侖力，但它們并不接觸，兩點電荷之間存在相互作用的庫侖力，但它們并不接觸，其相互作用是怎樣實現(xiàn)的？其相互作用是怎樣實現(xiàn)的？電電 荷荷電電 場場電電 荷荷 8-2 電場電場 電場強度及其計算電場強度及其計算超距作用？超距作用？如果電荷是靜止的，它產(chǎn)生的場稱為如果電荷是靜止的，它產(chǎn)生的場稱為靜電場靜電場。 電場電場是一種

4、是一種特殊物質(zhì)特殊物質(zhì)，它，它與通常的實物不同，它不是由分子原與通常的實物不同，它不是由分子原子所組成，但它是客觀存在的。子所組成，但它是客觀存在的。 電場具有電場具有力力和和能量能量等客觀屬性等客觀屬性，力表現(xiàn)為電場對放入其中的電力表現(xiàn)為電場對放入其中的電荷有作用力，這種力稱為荷有作用力，這種力稱為電場力電場力；能表現(xiàn)為當(dāng)電荷在電場中移動能表現(xiàn)為當(dāng)電荷在電場中移動時，電場力對電荷時，電場力對電荷做做功功。二二 電場強度（場強）電場強度（場強）單位單位 )11N C (V m電場強度電場強度的物理意義：的物理意義：單位正電荷所受到的庫侖力單位正電荷所受到的庫侖力Q0qF0FEq試驗電荷試驗電荷

5、：體積足夠小、電荷：體積足夠小、電荷量足夠小，對原電場幾乎無影量足夠小，對原電場幾乎無影響響：場源電荷：場源電荷Q0q：試驗電荷：試驗電荷實驗發(fā)現(xiàn)：實驗發(fā)現(xiàn)：1 1）同一電場不同地點試驗電荷受力的大小）同一電場不同地點試驗電荷受力的大小和方向一般不同；和方向一般不同；2 2）同一電場同一地點試驗電荷受力）同一電場同一地點試驗電荷受力的大小與的大小與 成正比。成正比。0q三三 點電荷產(chǎn)生的電場與場強疊加原理點電荷產(chǎn)生的電場與場強疊加原理02014 rqqFer點電荷點電荷 對對 的作用力的作用力 0qq故故 處電場強度：處電場強度： 20014 rFqEeqr0q121200FFFEEEqq2

6、2 電場強度的疊加原理電場強度的疊加原理1q2q0q1r1F2r2F12FFF1 1 點電荷產(chǎn)生的電場點電荷產(chǎn)生的電場q0,q0,場強與矢徑同向場強與矢徑同向q0,q R ) 球內(nèi)球內(nèi) ( r R )r3203REr 球內(nèi)球內(nèi) ( r R )03Er電場分布曲線電場分布曲線REOr+deES 24Er21rE r解：場強呈解：場強呈球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ分布，高斯面為分布，高斯面為球面球面0q內(nèi)343qR內(nèi)343qr內(nèi)03ER對于電量的計算，取半徑為對于電量的計算，取半徑為r，厚度為，厚度為dr的球殼的球殼2d4dVrr2d( )d4d4dkqrVrrkr rr200( )d4d2rrq rqkr rk

7、r高斯面內(nèi)的電量高斯面內(nèi)的電量22( )2 ( )2 q rkrrRqq RkRrRr若若 (r) ?如如 (r)k /r10deSqES例例3 3、有一均勻帶電球體，半徑為、有一均勻帶電球體，半徑為R，電荷體密度為，電荷體密度為 ，今在球內(nèi)挖，今在球內(nèi)挖一半徑為一半徑為r r的球形空腔，的球形空腔，求證此空腔內(nèi)的電場是均勻的求證此空腔內(nèi)的電場是均勻的。若帶電球體。若帶電球體的球心與球形空腔球心的距離為的球心與球形空腔球心的距離為d d，求空腔內(nèi)的場強求空腔內(nèi)的場強。解：雙填補法解：雙填補法OOd先考慮均勻帶電的先考慮均勻帶電的實心球體實心球體在球腔中一點的場強：在球腔中一點的場強：2r1r3

8、12110434rr E1103Er再考慮空腔內(nèi)填充均勻帶再考慮空腔內(nèi)填充均勻帶異號異號電的實心電的實心球體在球腔中同一點的場強：球體在球腔中同一點的場強：2203Er 最后由場強的最后由場強的疊加原理疊加原理：1212000333EEErrd“無限長無限長” 均勻帶電直線，電荷線密度為均勻帶電直線，電荷線密度為+ 解解例例4求電場強度求電場強度分布分布電場分布具有軸對稱性電場分布具有軸對稱性2 2 軸（柱）對稱的情況軸（柱）對稱的情況以高為以高為l ，半徑為半徑為 r 的同軸圓柱面為高斯面，電通量的同軸圓柱面為高斯面，電通量deSES dE S側(cè)面根據(jù)高斯定理根據(jù)高斯定理rdSdSE02lE

9、rl0 2ErdddESESES側(cè)面上底下底rElE dSEdS0E dSdES側(cè)面2Erl+ + + + + +nenene例例5 5 無限長均勻帶電、半徑為無限長均勻帶電、半徑為R R 的圓柱體，電荷體密度為的圓柱體，電荷體密度為 ，求，求距圓柱為距圓柱為 處的電場強度處的電場強度. .r下底上底側(cè)面SESESEdd d對稱性分析：對稱性分析：軸對稱軸對稱解解SeSEd側(cè)面SEd0內(nèi)qrRE022選取閉合的選取閉合的圓柱形高斯面圓柱形高斯面時Rr hRq2內(nèi)時Rr hrq2內(nèi)rhE 202rE hE+ +r+ + +解解電場強度垂直帶正電平面電場強度垂直帶正電平面, 選取選取垂直帶電面的圓

10、柱形高斯面垂直帶電面的圓柱形高斯面 deES 求電場強度分布求電場強度分布dddESESES側(cè)面左底右底2ES根據(jù)高斯定理根據(jù)高斯定理02SES0 2E例例6 “無限大無限大”均勻帶電平面，電荷面密度為均勻帶電平面，電荷面密度為 ddESES左 底右 底3 3 面對稱的情況面對稱的情況EEdSdSE0E dSE dSEdS（勻強電場）（勻強電場）02EEEEE10E 30E22EE一一 電場力做功的特點電場力做功的特點211 2PPAFd r 點電荷的電場點電荷的電場 8-4 8-4 靜電場的保守性靜電場的保守性 靜電場環(huán)流定理靜電場環(huán)流定理q0q1r1P2r2PrFdrrdr2103014P

11、Pqqrdrrcosr drr drrdr2102014rrqqdrr001211()4qqrr點電荷的電場力是點電荷的電場力是保守力保守力在點電荷在點電荷 的電場中的電場中, 受到的電場力受到的電場力做功只與始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)做功只與始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)q0qdr 任意電荷的電場（視為點電荷系）任意電荷的電場（視為點電荷系）iiFF0121201211()4iiiiiiqAAqrr結(jié)論：結(jié)論：任意靜電場中，電場力做功都與路徑無關(guān)，只與任意靜電場中，電場力做功都與路徑無關(guān)，只與被移動電荷的始末位置有關(guān)，即靜電場力是保守力。被移動電荷的始末位置有關(guān)，即靜電場力是保守力。若路徑為閉合回路

12、，電場力做功為：若路徑為閉合回路，電場力做功為：0LAFd r二二 靜電場的環(huán)流定理靜電場的環(huán)流定理0LE dr211 2PPAFd r 電場力做功還可表示為：電場力做功還可表示為：210PPqEdr21PPEdr表示把表示把單位電荷單位電荷從從 沿任意路徑移到沿任意路徑移到 電場力所做的功。電場力所做的功。1P2P00LAqE dr若路徑為閉合回路，電場力做功為：若路徑為閉合回路，電場力做功為：靜電場的環(huán)流定理靜電場的環(huán)流定理：在靜電場中，場強沿任意：在靜電場中，場強沿任意閉合路徑閉合路徑的線積分的線積分等于等于零零。靜電場的保守性靜電場的保守性：在靜電場中沿任意：在靜電場中沿任意閉合路徑，

13、閉合路徑，場強的環(huán)流恒等于場強的環(huán)流恒等于零零。即靜電場中任何地方的電場線不會成渦旋狀（電場線不閉合）。即靜電場中任何地方的電場線不會成渦旋狀（電場線不閉合）一、一、 電勢能電勢能 靜電場是靜電場是保守場保守場，靜電場力是，靜電場力是保守力保守力. .與這種保守力與這種保守力相對應(yīng)的勢能稱為相對應(yīng)的勢能稱為電勢能電勢能。(0)(0)0aaaWF drqE dr 8-5 8-5 電勢能電勢能 電勢電勢表示：點電荷表示：點電荷 在電場中某點在電場中某點a的電勢能，在數(shù)值上就等的電勢能，在數(shù)值上就等于把電荷于把電荷 從該點移到零勢能點處靜電場力所做的功從該點移到零勢能點處靜電場力所做的功0q0q0a

14、aaWF drqE dr當(dāng)當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域電荷分布在有限區(qū)域時，常選擇時，常選擇無窮遠(yuǎn)處無窮遠(yuǎn)處為電勢能為電勢能零點零點，則電荷處于電場中的電勢能表示為：，則電荷處于電場中的電勢能表示為：電勢能為電荷電勢能為電荷 與靜電場（場源電荷產(chǎn)生的）所共有的。與靜電場（場源電荷產(chǎn)生的）所共有的。0q二、二、 電勢電勢0aaWVq電勢為電勢能與點電荷的比值電勢為電勢能與點電荷的比值0q可見，電勢只與電場本身和場點可見，電勢只與電場本身和場點a a的位置有關(guān)，與的位置有關(guān)，與 無關(guān)。無關(guān)。電勢的物理意義：電勢的物理意義：(0)aE draE dr從從能量能量的角度看：電勢為的角度看：電勢為單位正電荷單位

15、正電荷在電場中某點所具有在電場中某點所具有的電勢能。的電勢能。從從電場力做功電場力做功的角度看：電勢為把的角度看：電勢為把單位正電荷單位正電荷從電場中從電場中a a點移到電勢零點處電場力所做的功。點移到電勢零點處電場力所做的功。若選擇無窮遠(yuǎn)處為若選擇無窮遠(yuǎn)處為電勢零點，則：電勢零點，則：ababUVV電勢差電勢差 ：電場中某兩點的電勢之差：電場中某兩點的電勢之差電場中電場中a a、b b兩點的電勢差為：兩點的電勢差為：而不是電勢增量：而不是電勢增量：baUVV(0)(0)abababUVVE drE dr(0)(0)baE drE drbaE drEab電場中電場中a a、b b兩點的電勢差兩

16、點的電勢差：就是把一個：就是把一個單位正電荷單位正電荷從從a a點移到點移到b b點電場力所做的功。點電場力所做的功。 電勢差是絕對的，與電勢零點的選擇無關(guān)；電勢差是絕對的，與電勢零點的選擇無關(guān)； 電勢大小是相對的，與電勢零點的選擇有關(guān)電勢大小是相對的，與電勢零點的選擇有關(guān). .注意注意()ababababAWWq VVqU已知電勢差求電場力做功：已知電勢差求電場力做功：電勢單位：伏特電勢單位：伏特(V) 電場力做功、電勢能、電勢、電勢差的關(guān)系電場力做功、電勢能、電勢、電勢差的關(guān)系已知電勢求電勢能：已知電勢求電勢能：WqV已知電勢能求電場力做功：已知電勢能求電場力做功：ababAWWEqab等

17、勢面等勢面E三、三、 電勢的計算方法電勢的計算方法令令0V04 PqVr0,0qV204 rqdrr1 1 點電荷電場的電勢點電荷電場的電勢qrPPrVE dr離點電荷越遠(yuǎn)，電勢越小離點電荷越遠(yuǎn)，電勢越小離點電荷越遠(yuǎn)，電勢越大離點電荷越遠(yuǎn)，電勢越大0,0qV1q2q3q2 2 電勢的疊加原理電勢的疊加原理 點電荷系點電荷系iiEEaaVE driiaE dr04iaaiiiiqVVr 電荷連續(xù)分布電荷連續(xù)分布04 aadqVdVra1r1E2r3r2E3Eradq3 3 求電勢的方法求電勢的方法04aadqVdVr（2 2）已知場強，求電勢）已知場強，求電勢(0 )aaVEdr有限大連續(xù)有限大

18、連續(xù)帶電體（選帶電體（選無限遠(yuǎn)無限遠(yuǎn)處為電勢零點）處為電勢零點）點電荷或點電荷系（選點電荷或點電荷系（選無限遠(yuǎn)無限遠(yuǎn)處為電勢零點）處為電勢零點）04iaaiiiiqVVr（1 1）利用疊加原理求電勢）利用疊加原理求電勢（若連續(xù)帶電體電荷分布擴展到無窮遠(yuǎn)，（若連續(xù)帶電體電荷分布擴展到無窮遠(yuǎn)，電勢零點不電勢零點不能再取無窮遠(yuǎn)能再取無窮遠(yuǎn)）例例1 電偶極子的電勢分布電偶極子的電勢分布（1 1）延長線上的電勢）延長線上的電勢004()4()22PqqVllRR（2 2）中垂線上的電勢）中垂線上的電勢qqplPR0044PqqVrr0qqlPrrr例例2 長為長為L, 均勻帶電的桿的電勢分布均勻帶電的桿

19、的電勢分布（1 1）延長線上的電勢）延長線上的電勢04()PdxdVLRx（2 2）中垂線上的電勢）中垂線上的電勢000ln4()4LPdxRLVLRxR2204PdxdVxr2220024LPdxVxr220lnln222LLrrPOrOdxxxRPdxxxRlqrVP 2d 41d020001d4 2 4 RPq lqVrRr220 4Rxq+Rr 例例3 正電荷正電荷 均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為 的細(xì)圓環(huán)上的細(xì)圓環(huán)上. 求求圓圓環(huán)環(huán)軸線上距環(huán)心為軸線上距環(huán)心為 處點處點 的電勢的電勢.qRxPldxPRlqlq 2dddoyzxRqVx00 40 ，xqVRxP0 4 ，220 4

20、RxqVP討討 論論 Rq04xoV21220)( 4RxqRox)( 2220 xRx22rxxPrrqd 2drrdRPrxrrV0220d 2 41推廣到均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢推廣到均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢2204 PdqdVxr220(1)2xExR由場強求電勢：220(1)2PxxVdxxR)( 2220 xRx但這里用場強求電勢不方便，要先用疊加法求場強，再積分求電勢但這里用場強求電勢不方便，要先用疊加法求場強，再積分求電勢例例4 4 均勻帶電球殼的電勢均勻帶電球殼的電勢. .真空中，有一帶電為真空中，有一帶電為 ，半徑為，半徑為 的帶電球殼，求其的帶電球殼，求其電勢分布。電

21、勢分布。Q解解2204 rQrREer，01ERr，2VEdrrRrR當(dāng)時，+QRroPEre204 Qdrrr04 QrVE drrrR當(dāng)時，12RREdrEdrr04 QRRQ0 4RroVrQ0 4例例5 兩個同心均勻帶電球面，小球半徑為兩個同心均勻帶電球面，小球半徑為 ，帶電，帶電 ，大球半徑為大球半徑為 ，帶電，帶電 ，求電勢分布。，求電勢分布。1R解解12RrR時2rR時2R1q2q1210 10 144qqVrr1220 20244qqVrR1R1ro1P2R2P3P2r3r1rR時123010244qqVRR例例6 無限長均勻帶正電直導(dǎo)線的電勢無限長均勻帶正電直導(dǎo)線的電勢02r

22、Eer選選 為電勢零點。為電勢零點。 0P0ddPPPPrEEr0dPPPVrEdPPEr00(lnln)2rroPr0P0rP由由高斯定理高斯定理得得P點場強為：點場強為：解：解：由于電荷分布到由于電荷分布到 ，不再選，不再選0VP點的電勢為：點的電勢為：00d2rrrr 例例7 在電偶極子電場中，將點電荷在電偶極子電場中，將點電荷 從從 移到移到 電場力電場力做的功做的功004()4()22PqqVllRRqqplPRPRPP 和和 的電勢的電勢: :PP004()4()22PqqVllRR2204()4P PPPqlUVVlR002204()4P Pq qlAq UlR 和和 的電勢差的

23、電勢差: :PP電場力做功：電場力做功：0q例例8 平行板電容器平行板電容器平行板電容器間為勻強電場，且場強為：平行板電容器間為勻強電場，且場強為：Q022EUEd極板間的電勢差為：極板間的電勢差為：Qd0QS0dQS 空間空間電勢相等的點電勢相等的點連接起來所形成的面稱為等勢面。連接起來所形成的面稱為等勢面。一一 等勢面等勢面（電勢圖示法）（電勢圖示法）8-6 8-6 電場強度與電勢梯度的關(guān)系電場強度與電勢梯度的關(guān)系等勢面的特點：等勢面的特點：（1 1）電場線與等勢面正交且指向電勢降落的方向）電場線與等勢面正交且指向電勢降落的方向在靜電場中，正電荷沿在靜電場中，正電荷沿等勢面等勢面移動時，電

24、場力做功：移動時，電場力做功：00()0bababaAqVVqEdr在靜電場中，正電荷沿在靜電場中，正電荷沿電場線電場線移動時，電場力做功：移動時，電場力做功：00()0bababaAqVVqE drabVVEdr（2 2）等勢面密集的區(qū)域場強的數(shù)值大，等勢面稀疏的區(qū)）等勢面密集的區(qū)域場強的數(shù)值大，等勢面稀疏的區(qū)域場強的數(shù)值小。域場強的數(shù)值小。規(guī)定：任意兩規(guī)定：任意兩相鄰相鄰等勢面間的等勢面間的電勢差相等電勢差相等. .1r2r21rr21EE+ + + + + + + + + + + + +二二 場強分量與電勢方向?qū)?shù)的關(guān)系場強分量與電勢方向?qū)?shù)的關(guān)系dUdV -rdVEdr 電場中某一點的

25、電場中某一點的電場強度電場強度沿沿某一方向的分量某一方向的分量，等于該點的，等于該點的電勢沿電勢沿此此方向的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù)的負(fù)負(fù)值。值。cosEdrrE drVdVVABdV dr : :電勢沿電勢沿r r方向單位長度上的變化（在方向單位長度上的變化（在r r方向的空間方向的空間變換率），稱為變換率），稱為電勢在電勢在r r方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù)。,A B 間的電勢差rEdrE dr三三 場強與電勢梯度的關(guān)系場強與電勢梯度的關(guān)系,xyzVVVEEExyz 電場中任意一點的電場強度等于該點電勢梯度的負(fù)值。電場中任意一點的電場強度等于該點電勢梯度的負(fù)值。VVVEijkxyz ( )gradijkxyz ()Egrad VV 場強的矢量表達(dá)式：場強的矢量表達(dá)式