第三章第二節(jié)函數(shù)的微分法ppt課件

1、3.2 函數(shù)微分法求導法則）一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則二、反函數(shù)的求導法則二、反函數(shù)的求導法則三、復合函數(shù)的求導法則三、復合函數(shù)的求導法則四、高階導數(shù)的定義四、高階導數(shù)的定義五、高階導數(shù)的求法，五、高階導數(shù)的求法， 萊布尼茲公式萊布尼茲公式并并且且可可導導處處也也在在點點分分母母不不為為零零們們的的和和、差差、積積、商商則則它它處處可可導導在在點點如如果果函函數(shù)數(shù),)(,)(),(xxxvxu一、和、差、積、商的求導法則定理定理).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxv

2、xuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設設hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處處可可導導在在xxf推論推論; )( )()1(11 n

3、iiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf4、例題分析例例1 1.sin223的導數(shù)的導數(shù)求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的的導導數(shù)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的的導導數(shù)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin

4、 xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的的導導數(shù)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有內(nèi)內(nèi)也也可可導導在在對對應應區(qū)區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數(shù)數(shù)且且內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導導在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)二、反函數(shù)的求導法則定理定理即即 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)

5、的倒數(shù).證證,xIx 任取任取xx 以增量以增量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 例例1 1.arcsin的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導內(nèi)單調(diào)、可導在在 yIyx, 0cos)(sinyydydx且內(nèi)有內(nèi)有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arct

6、an2xx .11)cot(2xx arc . ,)(eea)x(- lnln)(log1)(dxdy 0 0ln1log ), 0(log x ) 1, 0( 21xaxxxxaxaxeeeaeaaayyayayydydxyaaay）時，（當時，特別地，當）（）（內(nèi)單調(diào)可導，且在解：的導數(shù)。求例例例3 3.sinh的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh ).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且且其其導導數(shù)數(shù)為為可

7、可導導在在點點則則復復合合函函數(shù)數(shù)可可導導在在點點而而可可導導在在點點如如果果函函數(shù)數(shù)三、復合函數(shù)的求導法則定理定理即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導量求導,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則鏈式法則)證證,)(0可可導導在在點點由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設設.)(dxdvdvdudu

8、dydxdyxfy 的的導導數(shù)數(shù)為為則則復復合合函函數(shù)數(shù) 例例1 1.sinln的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例2 2.)1(102的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例3 3.arcsin22222的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例4 4.)2(21ln32的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xxxy解

9、解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例5 5.1sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx .)() )(,)()(lim) )(,)()(0處處的的二二階階導導數(shù)數(shù)在在點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱存存在在即即處處可可導導在在點點的的導導數(shù)數(shù)如如果果函函數(shù)數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 四、高階導數(shù)的定義問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度. .),(tfs 設設)()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的的變變化化率

10、率對對時時間間是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定義定義記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記記作作階階導導數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導導數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù), 二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).)(;)(,稱稱為為一一階階導導數(shù)數(shù)稱稱為為零零階階導導數(shù)數(shù)相相應應地地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱

11、為三階導數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf五、高階導數(shù)的求法，萊布尼茲公式例例7 7).0(),0(,arctanffxy 求求設設解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).任意階導數(shù)。具有階導必為零。且多項式次多項式的結(jié)論：例：1. 0 , 6 , 26123 2nnyyxyxxynxnxxaaaaaay)(ln)() 1, 0()(例：例例8 8.),()(nyRxy求

12、求設設 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例9 9.),1ln()(nyxy求求設設 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n n階導數(shù)時階導數(shù)時, ,求出求出1-31-3或或4 4階后階后, ,不要急于合不要急于合并并, ,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性, ,寫出寫出n n階導數(shù)階導數(shù).(.(數(shù)學歸納數(shù)學歸納法

13、證明法證明) ) ,)1 (!) 1()11(1)()(nnnxnx ,)(!) 1()1(1)()(nnnxanxa ,)1 (!)11(1)(nnxnx ,)1 (!) 1()11(1)()(nnnnaxanax例例1010.,sin)(nyxy求求設設 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()2) 1(sin()2sin()(cos)()(nxnxxxnn,同理可得同理可得例例1111.),(sin)(naxybabxey求求為為常常數(shù)數(shù)設設 解解bxbebxaey

14、axaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 2. 高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則:則則階階導導數(shù)數(shù)具具有有和和設設函函數(shù)數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲

15、公式萊布尼茲公式例例1212.,)20(22yexyx求求設設 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設設,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex3.3.常用高階導數(shù)公式常用高階導數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanx

16、nxxnxee )()( 利用已知的高階導數(shù)公式利用已知的高階導數(shù)公式, 通過四則運算，通過四則運算，1)(!)1()1( nnnxnx 變量代換等方法變量代換等方法, 求求n階導數(shù)階導數(shù).例例1313.,11)5(2yxy求求設設 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例1414.,cossin)(66nyxxy求求設設 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x