第2講概率隨機(jī)變量及其分布列

1、二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)第第2 2講概率、隨機(jī)變量及其分布列講概率、隨機(jī)變量及其分布列二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考向分析考向分析核心整合核心整合熱點(diǎn)精講熱點(diǎn)精講閱卷評(píng)析閱卷評(píng)析二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考向分析考向分析考情縱覽考情縱覽年份年份考點(diǎn)考點(diǎn)2011201120122012201320132014201420152015古典概型與幾古典概型與幾何概型何概型4 414145 5互斥事件、相互斥事件、相互獨(dú)立事件和互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)151519(1)19(1)4 418(2)18(2)條件概率條件概率19(1)19(1)5 5離散型隨機(jī)變離散型隨機(jī)變量的分布列、量的分布列、均值、方差均值、方差19(

2、2)19(2)181819(2)19(2)19(3)19(3)1818二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)真題導(dǎo)航真題導(dǎo)航D D 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)2.(20152.(2015新課標(biāo)全國(guó)卷新課標(biāo)全國(guó)卷,理理4)4)投籃測(cè)試中投籃測(cè)試中, ,每人投每人投3 3次次, ,至少投中至少投中2 2次才能次才能通過測(cè)試通過測(cè)試. .已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,0.6,且各次投籃是否投中相且各次投籃是否投中相互獨(dú)立互獨(dú)立, ,則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為( ( ) )(A)0.648(A)0.648(B)0.432(B)0.432(C)0.36(C)0.36 (D)0

3、.312 (D)0.312A A二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)A A二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)備考指要備考指要1.1.怎么考怎么考(1)(1)幾何概型很少考查幾何概型很少考查; ;古典概型可以單獨(dú)考查也可以與計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)等古典概型可以單獨(dú)考查也可以與計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯考查知識(shí)交匯考查. .(2)(2)條件概率條件概率, ,正態(tài)分布正態(tài)分布, ,互斥、對(duì)立事件的概率互斥、對(duì)立事件的概率, ,相互獨(dú)立事件的概率以及相互獨(dú)立事件的概率以及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). .可能出現(xiàn)在客觀題中單獨(dú)考查可能出現(xiàn)在客

4、觀題中單獨(dú)考查, ,也可能在解答題中與其他知也可能在解答題中與其他知識(shí)、綜合考查識(shí)、綜合考查, ,難度不大難度不大. .(3)(3)以實(shí)際問題為背景以實(shí)際問題為背景, ,多與統(tǒng)計(jì)結(jié)合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、多與統(tǒng)計(jì)結(jié)合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差方差; ;多以解答題形式呈現(xiàn)多以解答題形式呈現(xiàn). .2.2.怎么辦怎么辦注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想、基本能力的復(fù)習(xí)是關(guān)鍵注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想、基本能力的復(fù)習(xí)是關(guān)鍵, ,是解決綜合性題目的是解決綜合性題目的基礎(chǔ)基礎(chǔ). .在復(fù)習(xí)的過程中一定要注重思想方法的應(yīng)用和能力的培養(yǎng)在復(fù)習(xí)的過程中一定要注重思想方法的應(yīng)用和能力的培養(yǎng), ,注重閱讀注重

5、閱讀能力以及從題目中提取信息的能力的培養(yǎng)能力以及從題目中提取信息的能力的培養(yǎng). .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)核心整合核心整合1.1.隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率(1)(1)隨機(jī)事件的概率范圍隨機(jī)事件的概率范圍:0P(A)1;:0P(A)1;必然事件的概率為必然事件的概率為1;1;不可能事件不可能事件的概率為的概率為0.0.二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)2.2.互斥事件與對(duì)立事件互斥事件與對(duì)立事件(1)(1)對(duì)立事件是互斥事件對(duì)立事件是互斥事件, ,互斥事件未必是對(duì)立事件互斥事件未必是對(duì)立事件; ;4.4.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率: :若若A,BA,B為相互獨(dú)立事件為相互獨(dú)立事件, ,則則P

6、(AB)=P(A)P(B).P(AB)=P(A)P(B).二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)a.a.曲線位于曲線位于x x軸軸 , ,與與x x軸不相交軸不相交; ;b.b.曲線是單峰的曲線是單峰的, ,它關(guān)于直線它關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱; ;上方上方x=x=二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)1 1 越小越小 越大越大 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)P(-X+)= P(-X+)= ; ;P(-2X+2)= P(-2X+2)= ; ;P(-3X+3)= P(-3X+3)= . .0.68260.68260.95440.95440.99740.9974二輪二輪數(shù)學(xué)

7、數(shù)學(xué)溫馨提示溫馨提示 (1)(1)事件互斥與事件相互獨(dú)立的區(qū)別事件互斥與事件相互獨(dú)立的區(qū)別事件互斥是指在一次試驗(yàn)中事件互斥是指在一次試驗(yàn)中, ,兩個(gè)事件或多個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生兩個(gè)事件或多個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生, ,而事而事件的相互獨(dú)立不要求事件是在一次試驗(yàn)中件的相互獨(dú)立不要求事件是在一次試驗(yàn)中, ,只要它們互不影響就可以稱只要它們互不影響就可以稱為相互獨(dú)立為相互獨(dú)立. .(2)(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件. .滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件有兩個(gè)滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件有兩個(gè), ,一是每一次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)一是每一次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè), ,二是二是在相同條件下在相同條件下, ,試驗(yàn)可以重

8、復(fù)試驗(yàn)可以重復(fù). .(3)(3)正態(tài)分布的計(jì)算主要是通過正態(tài)分布的計(jì)算主要是通過33原則以及正態(tài)曲線的性質(zhì)原則以及正態(tài)曲線的性質(zhì): :曲線關(guān)于曲線關(guān)于x=x=對(duì)稱進(jìn)行計(jì)算對(duì)稱進(jìn)行計(jì)算. .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)熱點(diǎn)精講熱點(diǎn)精講熱點(diǎn)一熱點(diǎn)一古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法技巧方法技巧 (1)(1)有關(guān)古典概型的概率問題有關(guān)古典概型的概率問題, ,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù), ,此類問題經(jīng)常用到排列、組合的有關(guān)知此類問題經(jīng)常用到排列、組合的有關(guān)知識(shí)識(shí); ;對(duì)于較復(fù)雜的題目要注意正確分

9、類對(duì)于較復(fù)雜的題目要注意正確分類, ,分類時(shí)應(yīng)不重不漏分類時(shí)應(yīng)不重不漏. .(2)(2)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí), ,應(yīng)應(yīng)考慮使用幾何概型求解考慮使用幾何概型求解; ;利用幾何概型求概率時(shí)利用幾何概型求概率時(shí), ,關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的確定構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的確定, ,有時(shí)需要設(shè)出變量有時(shí)需要設(shè)出變量, ,在坐標(biāo)系中表示在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域所需要的區(qū)域. .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)熱點(diǎn)二熱點(diǎn)二相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)相互獨(dú)

10、立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)求兩人各射擊求兩人各射擊4 4次次, ,甲恰好擊中目標(biāo)甲恰好擊中目標(biāo)2 2次且乙恰好擊中目標(biāo)次且乙恰好擊中目標(biāo)3 3次的概率次的概率; ;二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(3)(3)假設(shè)每人連續(xù)假設(shè)每人連續(xù)2 2次未擊中目標(biāo)次未擊中目標(biāo), ,則終止其射擊則終止其射擊. .問問: :乙恰好射擊乙恰好射擊5 5次后次后, ,被被終止射擊的概率是多少終止射擊的概率是多少? ?二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法技巧方法技巧 求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn)求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn): :(1)(1)求復(fù)雜事件的概率求復(fù)雜事件的概率, ,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)

11、成要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成, ,看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件的積事件, ,然后用相應(yīng)概率公式求解然后用相應(yīng)概率公式求解. .(2)(2)一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多, ,反面情況比較少反面情況比較少, ,則一般利用對(duì)立事則一般利用對(duì)立事件概率公式進(jìn)行求解件概率公式進(jìn)行求解. .對(duì)于對(duì)于“至少至少”“”“至多至多”等問題經(jīng)常也用這種方法求等問題經(jīng)常也用這種方法求解解. .(3)(3)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征注意辨別獨(dú)立重復(fù)試

12、驗(yàn)的基本特征: :在每次試驗(yàn)中在每次試驗(yàn)中, ,試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況生與不發(fā)生兩種情況; ;在每次試驗(yàn)中在每次試驗(yàn)中, ,事件發(fā)生的概率相同事件發(fā)生的概率相同. .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率. .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)熱點(diǎn)三熱點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)記記X X為甲、乙、丙三名同學(xué)中參加為甲、乙、丙三名同學(xué)中參加B B高校自主招生考試的人數(shù)高校自主招生考試的人數(shù), ,求求X X的的分布列及數(shù)學(xué)期望分布列及數(shù)學(xué)期望. .

13、二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法技巧方法技巧 (1)(1)求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件取每一個(gè)值所表示的具體事件, ,然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式求出概率然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式求出概率. .(2)(2)求隨機(jī)變量的期望的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列求隨機(jī)變量的期望的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列, ,若隨機(jī)變量服若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布從二項(xiàng)分布, ,則可直接使用公式求解則可直接使用公式求解. .(3)(3)對(duì)于兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的期望、方差可直接代入相關(guān)對(duì)于兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、

14、超幾何分布的期望、方差可直接代入相關(guān)公式求解公式求解; ;對(duì)于一般類型的隨機(jī)事件的期望與方差需列出概率分布列對(duì)于一般類型的隨機(jī)事件的期望與方差需列出概率分布列, ,用期用期望、方差公式求解望、方差公式求解. .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)求這求這5050名考生成績(jī)?cè)诿忌煽?jī)?cè)?2,3022,30內(nèi)的人數(shù)內(nèi)的人數(shù); ;解：解：(2)(2)由題頻率分布直方圖知由題頻率分布直方圖知, ,后兩組頻率為后兩組頻率為(0.03+0.02)(0.03+0.02)4=0.2,4=0.2,人數(shù)為人數(shù)為0.20.250=10,50=10,即該校這即該校這5050名考生聽力成績(jī)?cè)诿?/p>

15、考生聽力成績(jī)?cè)?2,3022,30內(nèi)的人數(shù)為內(nèi)的人數(shù)為10.10.二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)備選例題備選例題【例【例1 1】 (2015(2015山東卷山東卷) )若若n n是一個(gè)三位正整數(shù)是一個(gè)三位正整數(shù), ,且且n n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字, ,十位數(shù)字大于百位數(shù)字十位數(shù)字大于百位數(shù)字, ,則稱則稱n n為為“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”( (如如137,359,567137,359,567等等).).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中, ,每位參加者需從所有的每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取1 1個(gè)數(shù)個(gè)數(shù), ,且

16、只能抽取一次且只能抽取一次. .得分規(guī)則如下得分規(guī)則如下: :若抽取的若抽取的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)的三個(gè)數(shù)字之積不能被字之積不能被5 5整除整除, ,參加者得參加者得0 0分分; ;若能被若能被5 5整除整除, ,但不能被但不能被1010整除整除, ,得得-1-1分分; ;若能被若能被1010整除整除, ,得得1 1分分. .(1)(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是寫出所有個(gè)位數(shù)字是5 5的的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”; ;二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)若甲參加活動(dòng)若甲參加活動(dòng), ,求甲得分求甲得分X X的分布列和數(shù)學(xué)期望的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).E(X).二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解解: : (1) (1)根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù), ,在在1010場(chǎng)比賽中場(chǎng)比賽中, ,李明投籃命中率超過李明投籃命中率超過0.60.6的場(chǎng)次的場(chǎng)次有有5 5場(chǎng)場(chǎng), ,分別是主場(chǎng)分別是主場(chǎng)2,2,主場(chǎng)主場(chǎng)3,3,主場(chǎng)主場(chǎng)5,5,客場(chǎng)客場(chǎng)2,2,客場(chǎng)客場(chǎng)4.4.所以在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)比賽中所以在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)比賽中, ,李明的投籃命中率超過李明的投籃命中率超過0.60.6的概率是的概率是0.5.0.5.二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)閱卷評(píng)析閱卷評(píng)析二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)【答題啟示】【答題啟示】1.1.要理解正態(tài)分布中的兩個(gè)重要參數(shù)要理解正態(tài)分布中