力矩轉(zhuǎn)動定律

1、第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量1問：問：在質(zhì)點(diǎn)問題中，我們將物體所受的力均作用于同一在質(zhì)點(diǎn)問題中，我們將物體所受的力均作用于同一點(diǎn)，并僅考慮力的大小和方向所產(chǎn)生的作用；在剛體問點(diǎn)，并僅考慮力的大小和方向所產(chǎn)生的作用；在剛體問題中，我們是否也可以如此處理？力的作用點(diǎn)的位置對題中，我們是否也可以如此處理？力的作用點(diǎn)的位置對物體的運(yùn)動有影響嗎？物體的運(yùn)動有影響嗎？0,0iiMF圓盤靜止不動圓盤靜止不動0,0iiMF圓盤繞圓心轉(zhuǎn)動圓盤繞圓心轉(zhuǎn)動FFFF力矩力矩可以反映力的作用點(diǎn)的位置對物體運(yùn)動的影響可以反映力的作用點(diǎn)的位置對物體運(yùn)動的影響.第

2、四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2Pz*OMFrdM 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在剛體上點(diǎn)作用在剛體上點(diǎn) P , 且且 F一一 力矩力矩 r在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)在轉(zhuǎn)動平面內(nèi), 為由點(diǎn)為由點(diǎn)O 到力的作用點(diǎn)到力的作用點(diǎn) P 的徑矢的徑矢 . FrM 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 FFdM d : 力臂力臂sinFr矢量式矢量式第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量3zOFr討論討論FFFzsinz rFMzFF 1）若力）若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，可把力分解為不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，

3、可把力分解為平行于和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量平行于和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量 F或或321MMMM 其中其中 對轉(zhuǎn)軸的力矩為對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故零，故力對轉(zhuǎn)軸的力矩力對轉(zhuǎn)軸的力矩zF一一 力矩力矩 FrM2）合力矩等于各分力矩的矢量和）合力矩等于各分力矩的矢量和FrMz第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量43）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM結(jié)論：結(jié)論：剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的作用剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的作用力對轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩為零力對轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩為零.0ijMM

4、第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量5O Oz zmmi i 剛體可看成由剛體可看成由 n n 個質(zhì)點(diǎn)個質(zhì)點(diǎn)組成，剛體繞固定軸組成，剛體繞固定軸OzOz轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動，剛體上每一質(zhì)點(diǎn)都繞剛體上每一質(zhì)點(diǎn)都繞OzOz軸作軸作圓周運(yùn)動。圓周運(yùn)動。iriF討論外力矩和角加速度之間的關(guān)系：討論外力矩和角加速度之間的關(guān)系：if 在剛體上取某一質(zhì)點(diǎn)在剛體上取某一質(zhì)點(diǎn)i i，其質(zhì)量為其質(zhì)量為 mmi i，繞，繞OzOz軸作半軸作半徑為徑為r ri i 的圓周運(yùn)動。的圓周運(yùn)動。質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)i i 受力情況如何？受力情況如何？ 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)i i 受兩種力作用，一種是外力

5、受兩種力作用，一種是外力F Fi i（合外力），（合外力），另一種是剛體中其它質(zhì)點(diǎn)作用的內(nèi)力另一種是剛體中其它質(zhì)點(diǎn)作用的內(nèi)力 f fi i（合內(nèi)力）。（合內(nèi)力）。設(shè)：外力設(shè)：外力F Fi i 和內(nèi)力和內(nèi)力 f fi i 均在與均在與OzOz軸垂直的同一平面內(nèi)。軸垂直的同一平面內(nèi)。二二 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量6iiiiamfF 由牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)由牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn) i i 的動力學(xué)方程為：的動力學(xué)方程為：以以 F Fit it 和和 f fit it 分別表示外力和分別表示外力和合內(nèi)力在質(zhì)點(diǎn)軌道切向的分合內(nèi)力

6、在質(zhì)點(diǎn)軌道切向的分力，那么質(zhì)點(diǎn)力，那么質(zhì)點(diǎn)i i 的沿切向的動的沿切向的動力學(xué)方程為：力學(xué)方程為：iiitiititrmamfF兩邊同乘以兩邊同乘以 r ri i ，得：，得：2iiitiitirmfrFrO Oz zmmi iiriFifitfitF第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量7式中：式中：F Fit it r ri i 是合外力是合外力F Fi 的對的對OzOz軸的力矩；軸的力矩；對于剛體上所有的質(zhì)點(diǎn)，可得：對于剛體上所有的質(zhì)點(diǎn)，可得：f fit it r ri i是內(nèi)力是內(nèi)力 f fi 對對OzOz軸的力矩。軸的力矩。故上式左

7、邊為作用在質(zhì)點(diǎn)故上式左邊為作用在質(zhì)點(diǎn)i i 上上的外力矩與內(nèi)力矩之和。的外力矩與內(nèi)力矩之和。2iiitiitirmfrFr)()()(2iiiiitiiitirmfrFrO Oz zmmi iiritfitF第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量8由于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的合力矩為零，即由于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的合力矩為零，即有：有：0)(itifr)(itiFrM)(2iirmM轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律)()()(2iiiiitiiitirmfrFr)()(2iiiiitirmFr為剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)所受的外力為剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)所受的外力對轉(zhuǎn)

8、軸的力矩的代數(shù)和，即合對轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和，即合力矩。力矩。第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量9得：得：2iirmJ對于繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體，對于繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體，J J 為一恒量。為一恒量。式中式中)(2iirmJM )(2iirmM轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律是只與剛體的形狀、質(zhì)量以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，而與是只與剛體的形狀、質(zhì)量以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，而與運(yùn)動無關(guān)的因子，定義為剛體對軸的運(yùn)動無關(guān)的因子，定義為剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量10JM JM牛頓第二定律是解決質(zhì)

9、點(diǎn)牛頓第二定律是解決質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動問題的基本定律。運(yùn)動問題的基本定律。轉(zhuǎn)動定律與牛頓第二定律的比較：轉(zhuǎn)動定律與牛頓第二定律的比較：轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律牛頓第二定律牛頓第二定律mFa 轉(zhuǎn)動定律是解決剛體繞定轉(zhuǎn)動定律是解決剛體繞定軸轉(zhuǎn)動問題的基本方程。軸轉(zhuǎn)動問題的基本方程。它們的形式很相似：外力矩它們的形式很相似：外力矩MM和外力和外力F F相對應(yīng)，角加速相對應(yīng)，角加速度度與加速度與加速度a a相對應(yīng)，轉(zhuǎn)動慣量相對應(yīng)，轉(zhuǎn)動慣量J J 與質(zhì)量與質(zhì)量 m m 相對應(yīng)。相對應(yīng)。剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度角加速度與它所受與它所受的的合外力矩合外力矩成正比成正比 ，與剛體

10、的，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比成反比 .第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量11 轉(zhuǎn)動慣量物理意義：轉(zhuǎn)動慣量物理意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度轉(zhuǎn)動慣性的量度. 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量mrrmJiiid22dm 質(zhì)量元質(zhì)量元注意：注意：轉(zhuǎn)動慣量的大小與剛體的密度、幾何形狀及轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量的大小與剛體的密度、幾何形狀及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，一般都要通過實(shí)驗(yàn)確定，只有質(zhì)量分布均的位置有關(guān)，一般都要通過實(shí)驗(yàn)確定，只有質(zhì)量分布均勻，形狀典型的剛體的轉(zhuǎn)動慣量才可以通過計(jì)算求得勻，形狀典型的剛體的轉(zhuǎn)動慣量才可以通過計(jì)算求得.2iirmJ三

11、三 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量國際單位：國際單位：kgm2對質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量對質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量2222112rmrmrmJiii第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量122mdJJCO平行軸定理平行軸定理P96 表表4-1列出了一些均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量列出了一些均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量 . 質(zhì)量為質(zhì)量為m的剛體，如果對的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 Jc，則則對任一與該軸平行，相距為對任一與該軸平行，相距為d 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量dCOm2221mRmRJP例：圓盤對例：圓盤對P 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量

12、RmO223mR（證明略）（證明略）P第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量13哪種握法轉(zhuǎn)動慣量大？哪種握法轉(zhuǎn)動慣量大？第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量14竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量15P96例例1 一個半徑為一個半徑為 R、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的定滑輪（當(dāng)作均勻的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有輕而細(xì)繩索，繩的

13、一端固定在滑輪邊上，圓盤）上面繞有輕而細(xì)繩索，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為另一端掛一質(zhì)量為m 的物體。忽略軸處摩擦，求物體的物體。忽略軸處摩擦，求物體 m下落時的加速度、繩中的張力和滑輪的角加速度。下落時的加速度、繩中的張力和滑輪的角加速度。Rommy yRoTmPTm解：解：受力分析受力分析運(yùn)動分析運(yùn)動分析0a建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系注：轉(zhuǎn)動（順時針）和注：轉(zhuǎn)動（順時針）和平動的坐標(biāo)取向要一致平動的坐標(biāo)取向要一致.列方程列方程maTmg對物體對物體m，列牛頓方程，列牛頓方程221RmJRT對滑輪對滑輪m，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，有，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，有第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2

14、力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量16Rommy yRoTmPTm0amaTmg221RmJRT解得解得另有另有Ra TTmmmga22mmmgmT2Rmmmg)2(2第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量17P97例例2 有一半徑為有一半徑為R質(zhì)量為質(zhì)量為 m 勻質(zhì)圓盤勻質(zhì)圓盤, 以角速度以角速度0 0繞繞通過圓心垂直圓盤平面的軸轉(zhuǎn)動通過圓心垂直圓盤平面的軸轉(zhuǎn)動. .若有一個與圓盤大小相若有一個與圓盤大小相同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗稱剎車片俗稱剎車片) )擠壓此轉(zhuǎn)動圓盤擠壓此轉(zhuǎn)動圓盤, ,故而有正壓故而有正壓力力N N 均勻

15、地作用在盤面上均勻地作用在盤面上, , 從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢. .設(shè)正設(shè)正壓力壓力N N 和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)均已被實(shí)驗(yàn)測出均已被實(shí)驗(yàn)測出. .試問經(jīng)過多長時間圓盤才停止轉(zhuǎn)動試問經(jīng)過多長時間圓盤才停止轉(zhuǎn)動? ? 在圓盤上取面積微元在圓盤上取面積微元, 面積面積元所受對轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩大小元所受對轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩大小rlRNrFrMfdddd2rl drdfFd剎車片剎車片解：解：0第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量18面積微元所受摩擦力矩面積微元所受摩擦力矩MMd圓盤所受摩擦力矩圓盤所受摩擦

16、力矩NR32以順時針方向?yàn)檎皂槙r針方向?yàn)檎?由轉(zhuǎn)動定律可由轉(zhuǎn)動定律可得圓盤角加速度得圓盤角加速度MRNJM43NmRt0043停止轉(zhuǎn)動需時停止轉(zhuǎn)動需時rlRNrFrMfdddd2rl drdfFd剎車片剎車片0rRlRrNr2002ddRRrNr022d2第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量19mlo P98例例3 一長為一長為 l 質(zhì)量為質(zhì)量為 m的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動相接，并可繞其轉(zhuǎn)動. 由于此豎直放由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時

17、，置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動.試計(jì)算試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成角時的角加速度和角速度角時的角加速度和角速度.Jmglsin21NFP2l解：解：NF和鉸鏈對細(xì)桿的約束力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力受力：細(xì)桿受重力受力：細(xì)桿受重力P由轉(zhuǎn)動定律得由轉(zhuǎn)動定律得式中式中231mlJ 第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量20t dd得得sin23lg00dsin23dlg)cos1 (3lg231sin21mlmglmloNFP2lt d

18、ddddd得得第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量21JM 本節(jié)小結(jié)：本節(jié)小結(jié)：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定剛體定軸轉(zhuǎn)動的軸轉(zhuǎn)動的角加速度角加速度與它所受與它所受的的合外力矩合外力矩成正比成正比 ，與剛體，與剛體的的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比成反比 .2iirmJ剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量本節(jié)本節(jié)結(jié)束結(jié)束FrM一、力矩一、力矩二、轉(zhuǎn)動定律二、轉(zhuǎn)動定律OPdrFM三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量四、平行軸定理四、平行軸定理J JJ JC Cmdmd2 2第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動

19、慣量轉(zhuǎn)動慣量22CgmfFCaNxy* *P98例例4 如圖一斜面長如圖一斜面長 l = 1.5m, 與水平面的夾角與水平面的夾角= 5o. 有兩個物體分別靜止地位于斜面的頂端有兩個物體分別靜止地位于斜面的頂端, 然后由頂端沿然后由頂端沿斜面向下滾動斜面向下滾動, 一個物體是質(zhì)量一個物體是質(zhì)量 m1 = 0.65kg、半徑為、半徑為R1 的實(shí)心圓柱體的實(shí)心圓柱體, 另一物體是質(zhì)量為另一物體是質(zhì)量為 m2 = 0.13 kg 、半徑、半徑 R2 = R1 = R 的薄壁圓柱筒的薄壁圓柱筒. 它們分別由斜面頂端滾到斜它們分別由斜面頂端滾到斜面底部各經(jīng)歷多長時間面底部各經(jīng)歷多長時間?物體由斜面頂端滾下物體由斜面頂端滾下, 可視為質(zhì)心的平動和可視為質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的滾動兩種相對質(zhì)心的滾動兩種運(yùn)動合成運(yùn)動合成.解：解：第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量23質(zhì)心運(yùn)動方程質(zhì)心運(yùn)動方程CmaFmgfsin轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律JRFfRaaC角量、線量關(guān)系角量、線量關(guān)系2sinRJamgmaJmRmgRa22sinCgmfFCaNxy圓柱圓柱2121mRJ 薄壁圓柱筒薄壁圓柱筒22mRJ 第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量24JmRmgRa22sin3sin21ga 2sin2ga )(