ch1復數(shù)和復平面講課

1、1復變函數(shù)與積分變換復變函數(shù)與積分變換李李 畸畸 勇勇廣西大學電氣工程學院廣西大學電氣工程學院2一、教學及考核方式一、教學及考核方式主要參考書主要參考書（略）（略）考試方式：考試方式： 閉卷閉卷考試成績：考試成績： 平時占平時占 40%，考試占，考試占 60%作業(yè)：作業(yè)： 每次課交作業(yè)一次每次課交作業(yè)一次答疑：答疑： 每周一次每周一次課堂教學：課堂教學： 42 學時學時( (練習冊練習冊) )( (電氣學院電氣學院303303室室) )3二、二、教學內(nèi)容教學內(nèi)容本課程由本課程由復變函數(shù)復變函數(shù)與與積分變換積分變換兩個部分組成。兩個部分組成。復變函數(shù)與積分變換課程是工科各專業(yè)必修的重要基礎(chǔ)復變函

2、數(shù)與積分變換課程是工科各專業(yè)必修的重要基礎(chǔ)理論課，是工程數(shù)學的主要課程之一。理論課，是工程數(shù)學的主要課程之一。復變函數(shù)與積分變換復變函數(shù)與積分變換在科學研究、工程技術(shù)等各行各業(yè)中有著廣泛的應用。在科學研究、工程技術(shù)等各行各業(yè)中有著廣泛的應用。復變函數(shù)復變函數(shù)的內(nèi)容包括：的內(nèi)容包括：復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的級數(shù)表示、留數(shù)及其應用、共形變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的級數(shù)表示、留數(shù)及其應用、共形映射映射以及以及解析函數(shù)在平面場的應用解析函數(shù)在平面場的應用。其中，帶其中，帶 “* *” 號的內(nèi)容本課堂不需要掌握。號的內(nèi)容本課堂不需要掌握。積分變換積分變

3、換的內(nèi)容包括：的內(nèi)容包括：傅里葉變換和拉普拉斯變換傅里葉變換和拉普拉斯變換。4第一章 復數(shù)與復平面 第一章第一章 復數(shù)與復平面復數(shù)與復平面復數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展復數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展 。復變函數(shù)理論中的許多概念、理論和方法是實變函數(shù)在復變函數(shù)理論中的許多概念、理論和方法是實變函數(shù)在復數(shù)復數(shù)的產(chǎn)生最早可以追溯到十六世紀中期。但直到十八的產(chǎn)生最早可以追溯到十六世紀中期。但直到十八世紀末期，經(jīng)過了世紀末期，經(jīng)過了卡爾丹卡爾丹、笛卡爾笛卡爾、歐拉歐拉以及以及高斯高斯等許多人等許多人的長期努力，復數(shù)的地位才被確立下來。的長期努力，復數(shù)的地位才被確立下來。復變函數(shù)理論復變函數(shù)理論產(chǎn)生于十八世紀，在十九世紀得到

4、了全面產(chǎn)生于十八世紀，在十九世紀得到了全面為這門學科的發(fā)展作了大量奠基工作的為這門學科的發(fā)展作了大量奠基工作的發(fā)展。發(fā)展。為復變函數(shù)理論的創(chuàng)建做了早期工作的是為復變函數(shù)理論的創(chuàng)建做了早期工作的是歐拉歐拉、達朗達朗貝爾貝爾、拉普拉斯拉普拉斯等。等。則是則是柯西柯西、黎曼黎曼和和維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯等。等。( (虛數(shù)史話虛數(shù)史話) )5第一章 復數(shù)與復平面 第一章第一章 復數(shù)與復平面復數(shù)與復平面1.2 復數(shù)的幾種表示復數(shù)的幾種表示1.1 復數(shù)復數(shù)1.3 平面點集的一般概念平面點集的一般概念1.4 無窮大與復球面無窮大與復球面6第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 1.1 復數(shù)復數(shù)一、復數(shù)及其運

5、算一、復數(shù)及其運算二、共軛復數(shù)二、共軛復數(shù)7第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 一、復數(shù)及其運算一、復數(shù)及其運算1. 復數(shù)的基本概念復數(shù)的基本概念定義定義 (1) 設(shè)設(shè) x 和和 y 是任意兩個實數(shù)，是任意兩個實數(shù)，yixz ( (或者或者 ) )i yxz 的數(shù)稱為的數(shù)稱為復數(shù)復數(shù)。 (2) x 和和 y 分別稱為復數(shù)分別稱為復數(shù) z 的的實部實部與與虛部虛部，并分別表示為：，并分別表示為： ,Rezx .Im zy 當當 y 0 時，時，因此，實數(shù)可以看作是復數(shù)的特殊情形。因此，實數(shù)可以看作是復數(shù)的特殊情形。(3) 當當 x 0 時，時，yiyiz 0稱為稱為純虛數(shù)純虛數(shù)；xixz 0就

6、是就是實數(shù)實數(shù)。將形如將形如.1 i其中其中 i 稱為稱為虛數(shù)單位虛數(shù)單位，即，即8第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 設(shè)設(shè) 與與 是兩個復數(shù)，是兩個復數(shù)，111yixz 222yixz 如果如果,21xx ,21yy 則稱則稱 與與 相等相等。1z2z它們之間只有相等與不相等的關(guān)系。它們之間只有相等與不相等的關(guān)系。一、復數(shù)及其運算一、復數(shù)及其運算1. 復數(shù)的基本概念復數(shù)的基本概念相等相等0 yixz當且僅當當且僅當.0 yx特別地，特別地，復數(shù)與實數(shù)不同，兩個復數(shù)復數(shù)與實數(shù)不同，兩個復數(shù)( (虛部不為零虛部不為零) )不能比較大小，不能比較大小，注注9第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù)

7、一、復數(shù)及其運算一、復數(shù)及其運算2. 復數(shù)的四則運算復數(shù)的四則運算設(shè)設(shè) 與與 是兩個復數(shù)，是兩個復數(shù)，111yixz 222yixz (1) 復數(shù)的加減法復數(shù)的加減法; )(212121yyixxzz 加法加法. )(212121yyixxzz 減法減法(2) 復數(shù)的乘除法復數(shù)的乘除法; )()(1221212121yxyxiyyxxzz 乘法乘法,21zzz .21zzz 如果存在復數(shù)如果存在復數(shù) z，使得，使得則則除法除法10第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 一、復數(shù)及其運算一、復數(shù)及其運算2. 復數(shù)的四則運算復數(shù)的四則運算(3) 運算法則運算法則交換律交換律;1221zzzz .12

8、21zzzz 結(jié)合律結(jié)合律; )()(321321zzzzzz . )()(321321zzzzzz 分配律分配律.)(3121321zzzzzzz 11第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 二、共軛復數(shù)二、共軛復數(shù)1. 共軛復數(shù)的定義共軛復數(shù)的定義設(shè)設(shè) 是一個復數(shù)，是一個復數(shù)，定義定義yixz 稱稱 為為 z 的的共軛復數(shù)共軛復數(shù)，yixz 記作記作 。z共軛復數(shù)有許多用途。共軛復數(shù)有許多用途。注注比如比如21zzz )( )()( )(22222211yixyixyixyix 2221zzzz 12第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 二、共軛復數(shù)二、共軛復數(shù)2. 共軛復數(shù)的性質(zhì)共軛復數(shù)的

9、性質(zhì)其中，其中，“ ”可以是可以是;, ,2121zzzz (2);ImRe2222yxzzzz (3);zz (1)性質(zhì)性質(zhì)13第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 解解 (1)iizz435521 )43( )43()43( )55(iiii 25535i .5157i .5157i 21zz 21zz(2)14第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 證明證明2121zzzz 2121zzzz 2121zzzz . )(Re221zz 15第一章 復數(shù)與復平面 卡爾丹稱它們?yōu)榭柕しQ它們?yōu)椤疤摌?gòu)的量虛構(gòu)的量”或或“詭辯的量詭辯的量”。他還把它。他還把它們與們與負數(shù)統(tǒng)稱為負數(shù)統(tǒng)稱為“虛偽數(shù)虛偽

10、數(shù)”；把正數(shù)稱為；把正數(shù)稱為“證實數(shù)證實數(shù)”。附：附：歷史知識歷史知識 虛數(shù)史話虛數(shù)史話兩數(shù)的和是兩數(shù)的和是 10 , 積是積是 40 , 求這兩數(shù)求這兩數(shù)卡爾丹發(fā)現(xiàn)只要把卡爾丹發(fā)現(xiàn)只要把 10 分成分成 和和 即可。即可。155 155 1545 年，卡爾丹第一個認真地討論了虛數(shù)，他在年，卡爾丹第一個認真地討論了虛數(shù)，他在大術(shù)大術(shù)中求解這樣的問題：中求解這樣的問題： 卡爾丹的這種處理，遭到了當時的代數(shù)學權(quán)威韋達和他的卡爾丹的這種處理，遭到了當時的代數(shù)學權(quán)威韋達和他的學生哈里奧特的責難。學生哈里奧特的責難。16第一章 復數(shù)與復平面 附：附：歷史知識歷史知識 虛數(shù)史話虛數(shù)史話 整個十七世紀，很少

11、有人理睬這種整個十七世紀，很少有人理睬這種 “虛構(gòu)的量虛構(gòu)的量” 。僅有極少數(shù)的數(shù)學家對其存在性問題爭論不休。僅有極少數(shù)的數(shù)學家對其存在性問題爭論不休。意義下的意義下的“復數(shù)復數(shù)”的名稱。的名稱。 1632 年，笛卡爾在年，笛卡爾在幾何學幾何學中首先把這種中首先把這種“虛構(gòu)的量虛構(gòu)的量”改稱為改稱為“虛數(shù)虛數(shù)”，與，與“實數(shù)實數(shù)”相對應。同時，還給出了如相對應。同時，還給出了如今今17第一章 復數(shù)與復平面 附：附：歷史知識歷史知識 虛數(shù)史話虛數(shù)史話 到了十八世紀，虛數(shù)才開始被關(guān)注起來。到了十八世紀，虛數(shù)才開始被關(guān)注起來。,sin1cos)sin1(cosnnn 1722 年，法國數(shù)學家德摩佛給

12、出德摩佛定理：年，法國數(shù)學家德摩佛給出德摩佛定理： 其中其中 n 是大于零的整數(shù)。是大于零的整數(shù)。,sin1cos1exxx 1748 年，歐拉給出了著名的公式：年，歐拉給出了著名的公式：并證明了德摩佛定理對并證明了德摩佛定理對 n 是實數(shù)時也成立。是實數(shù)時也成立。.1 1777 年，歐拉在遞交給彼德堡科學院的論文年，歐拉在遞交給彼德堡科學院的論文微分公式微分公式中首次使用中首次使用 i 來表示來表示18第一章 復數(shù)與復平面 附：附：歷史知識歷史知識 虛數(shù)史話虛數(shù)史話 十八世紀末，高斯的出現(xiàn)使得復數(shù)的地位被確立下來。十八世紀末，高斯的出現(xiàn)使得復數(shù)的地位被確立下來。 1797 年，當時年僅年，當

13、時年僅 20 歲的高斯在他的博士論文中證明了歲的高斯在他的博士論文中證明了代數(shù)基本定理。代數(shù)基本定理。 高斯在證明中巧妙地給出了復數(shù)的幾何表示，使得人們高斯在證明中巧妙地給出了復數(shù)的幾何表示，使得人們直觀地理解了復數(shù)的真實意義。直觀地理解了復數(shù)的真實意義。 十九世紀中葉以后，復變函數(shù)論開始形成，并逐漸發(fā)展十九世紀中葉以后，復變函數(shù)論開始形成，并逐漸發(fā)展成為一個龐大的數(shù)學分支。成為一個龐大的數(shù)學分支。而且而且 n 次多項式恰好有次多項式恰好有 n 個根。個根。任何多項式在復數(shù)域里必有根，任何多項式在復數(shù)域里必有根，即即19第一章 復數(shù)與復平面 附：附：人物介紹人物介紹 高斯高斯 許多數(shù)學學科的開

14、創(chuàng)者和奠基人。許多數(shù)學學科的開創(chuàng)者和奠基人。 幾乎對數(shù)學的所有領(lǐng)域都做出了重大貢獻。幾乎對數(shù)學的所有領(lǐng)域都做出了重大貢獻。 享有數(shù)學王子的美譽。享有數(shù)學王子的美譽。德國數(shù)學家、 (17771855)高 斯Johann Carl Friedrich Gauss物理學家、 天文學家20第一章 復數(shù)與復平面 高斯去世后，哥廷根大學對高斯的文稿進行了整理，高斯去世后，哥廷根大學對高斯的文稿進行了整理，歷時歷時67年，出版了年，出版了高斯全集高斯全集，共，共12卷。卷。附：附：人物介紹人物介紹 高斯高斯 在哥廷根大學的廣場上，矗立著一座用白色大理石砌在哥廷根大學的廣場上，矗立著一座用白色大理石砌成的紀念

15、碑，它的底座砌成成的紀念碑，它的底座砌成 正十七邊形正十七邊形，紀念碑上是，紀念碑上是高斯的青銅雕像。高斯的青銅雕像。18歲歲( (返回返回) )21第一章 復數(shù)與復平面 1.2 復數(shù)的幾種表示復數(shù)的幾種表示一、復數(shù)的幾何表示一、復數(shù)的幾何表示二、復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示三、復數(shù)的乘冪與方根三、復數(shù)的乘冪與方根四、幾個關(guān)系四、幾個關(guān)系22第一章 復數(shù)與復平面 一、復數(shù)的幾何表示一、復數(shù)的幾何表示1. 復平面復平面此時，此時，x 軸稱為軸稱為實軸實軸，y 軸稱為軸稱為虛軸虛軸。在平面上建立一個直角坐標系，在平面上建立一個直角坐標系，定義定義用坐標為用坐標為 的點來的點

16、來),(yx,yixz 表示復數(shù)表示復數(shù)從而將全體復數(shù)和平面上的全部點從而將全體復數(shù)和平面上的全部點一一對應起來，一一對應起來， 的平面稱為的平面稱為復平面復平面或者或者這樣表示復數(shù)這樣表示復數(shù) zz 平面平面。23第一章 復數(shù)與復平面 引進復平面后，引進復平面后，復數(shù)復數(shù) z 與與點點 z 以及以及向量向量 z 視為同一個概念。視為同一個概念。yixz 在復平面上，從原點到點在復平面上，從原點到點所引的向量與該復數(shù)所引的向量與該復數(shù) z 也構(gòu)成一一也構(gòu)成一一一、復數(shù)的幾何表示一、復數(shù)的幾何表示1. 復平面復平面y 實軸實軸虛軸虛軸i yxz xO對應關(guān)系對應關(guān)系( (復數(shù)零復數(shù)零對應零向量對

17、應零向量) )。 比如，比如，復數(shù)的加減法復數(shù)的加減法等同于等同于向量的平行四邊形法則向量的平行四邊形法則。24第一章 復數(shù)與復平面 將復數(shù)和向量對應之后，除了利用將復數(shù)和向量對應之后，除了利用實部與虛部來給定一個復數(shù)以外，實部與虛部來給定一個復數(shù)以外，一、復數(shù)的幾何表示一、復數(shù)的幾何表示2. 復數(shù)的模與輻角復數(shù)的模與輻角y i yxz xOxyr 定義定義 設(shè)設(shè) z 的是一個不為的是一個不為 0 的復數(shù)，的復數(shù)，. |z(1) 向量向量 z 的長度的長度 r 稱為復數(shù)稱為復數(shù) z 的的模模，記為，記為還可以借助向量的長度與方向來給還可以借助向量的長度與方向來給定一個復數(shù)。定一個復數(shù)。(2)

18、向量向量 z 的的“方向角方向角” 稱為復數(shù)稱為復數(shù) z 的的輻角輻角，記為，記為.Argz (?)25第一章 復數(shù)與復平面 一、復數(shù)的幾何表示一、復數(shù)的幾何表示2. 復數(shù)的模與輻角復數(shù)的模與輻角zxy 兩點說明兩點說明(1) 輻角是多值的，輻角是多值的，(2) 輻角的符號約定為：輻角的符號約定為：逆時針取正號，順時針取負號。逆時針取正號，順時針取負號。 相互之間可相差相互之間可相差,2 k其中其中 k 為整數(shù)。為整數(shù)。例如例如 對于復數(shù)對于復數(shù),1iz 則有則有,2| z,243Argkz .,2,1,0 k復數(shù)復數(shù) 0 的模為的模為 0，輻角無意義。，輻角無意義。注注26第一章 復數(shù)與復平

19、面 由此就有如下關(guān)系：由此就有如下關(guān)系：一、復數(shù)的幾何表示一、復數(shù)的幾何表示2. 復數(shù)的模與輻角復數(shù)的模與輻角主輻角主輻角對于給定的復數(shù)對于給定的復數(shù) 設(shè)有設(shè)有 滿足：滿足：,0 z zArg 且且, 則稱則稱 為復數(shù)為復數(shù) z 的的主輻角主輻角，記作，記作 .arg z,2argArgkzz .,2,1,0 k27第一章 復數(shù)與復平面 )(31arctanarg ziiiiz)1(212 解解.3i ,10)1()3(|22 z31arctan . xy3 1 28第一章 復數(shù)與復平面 (1) 已知實部與虛部，求模與輻角已知實部與虛部，求模與輻角。一、復數(shù)的幾何表示一、復數(shù)的幾何表示3. 相

20、互轉(zhuǎn)換關(guān)系相互轉(zhuǎn)換關(guān)系y i yxz xOxy|zzarg;22yx| z | 29第一章 復數(shù)與復平面 (1) 已知實部與虛部，求模與輻角已知實部與虛部，求模與輻角。一、復數(shù)的幾何表示一、復數(shù)的幾何表示3. 相互轉(zhuǎn)換關(guān)系相互轉(zhuǎn)換關(guān)系(2) 已知模與輻角，求實部與虛部已知模與輻角，求實部與虛部。)cos(arg|zzx )sin(arg|zzy ; )Argcos(|zz . )Argsin(|zz 由此引出復數(shù)的三角表示式由此引出復數(shù)的三角表示式。y i yxz xOxy|zzarg30第一章 復數(shù)與復平面 二、復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示1. 復數(shù)的三角表示復數(shù)的三

21、角表示稱稱 為為復數(shù)復數(shù) z 的的三角表示式三角表示式。)sin(cos irz y i yxz xOxyr 如圖，如圖，有有 sincosrirz . )sin(cos ir 定義定義 設(shè)復數(shù)設(shè)復數(shù) r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一個輻角，的任意一個輻角，,0 z,cos rx ,sin ry 由由31第一章 復數(shù)與復平面 二、復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示2. 復數(shù)的指數(shù)表示復數(shù)的指數(shù)表示)sin(cos irz .e ir 利用歐拉公式利用歐拉公式 得得 sincoseii 稱稱 為為復數(shù)復數(shù) z 的的指數(shù)表示式指數(shù)表示式。 irze 定義定義 設(shè)復數(shù)

22、設(shè)復數(shù) r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一個輻角，的任意一個輻角，,0 z但習慣上一般取為但習慣上一般取為主輻角主輻角。在復數(shù)的三角表示式與在復數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式中，輻角不是唯一的，指數(shù)表示式中，輻角不是唯一的，注注補補 ( (歐拉公式歐拉公式) )32第一章 復數(shù)與復平面 ,4412| z解解)(122arctanarg zxy212 31arctan 6 .65 . )65sin65cos(4iz 復數(shù)復數(shù) 的三角表示式為的三角表示式為z.465eiz 復數(shù)復數(shù) 的指數(shù)表示式為的指數(shù)表示式為z33第一章 復數(shù)與復平面 二、復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復數(shù)的三角表示和指數(shù)

23、表示3. 利用指數(shù)表示進行復數(shù)的乘除法運算利用指數(shù)表示進行復數(shù)的乘除法運算.)(2121eirr ,1e11 irz ,2e22 irz 設(shè)設(shè)乘法乘法21ee2121iirrzz 21zz2 1z2zxy1 , |2121zzzz 即即.ArgArg)(Arg2121zzzz ( (在集合意義下在集合意義下?)?) 兩個復數(shù)乘積的兩個復數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。幅角等于它們幅角的和。模等于它們的模的乘積；模等于它們的模的乘積；( (集合意義集合意義) )34第一章 復數(shù)與復平面 二、復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示3. 利用指數(shù)表示進行復數(shù)的乘除法運算利用指數(shù)表示進行復

24、數(shù)的乘除法運算,1e11 irz ,2e22 irz .)(2121eirr 設(shè)設(shè)除法除法21ee2121iirrzz 1z2z2 21zz1z2zxy1 .ArgArgArg2121)(zzzz ( (在在集合意義下集合意義下) ) 兩個復數(shù)的商的兩個復數(shù)的商的幅角等于它們幅角的差。幅角等于它們幅角的差。模等于它們的模的商；模等于它們的模的商；,|2121zzzz 即即35第一章 復數(shù)與復平面 i)42(e21 i43e21 .2121i .1ii 例例 計算計算,2eii i 1i4e2 解解 由由有有ii42ee2 ii 1附附一些一些“簡單簡單”復數(shù)的指數(shù)形式復數(shù)的指數(shù)形式,1e i,

25、12e i,12e ik,2eii ,2eii .1 i i1i 1i 1i 1i 136第一章 復數(shù)與復平面 i)653(e4 i2e4 .4i i)653(e i67e 67sin67cosi .2123i i31 ,23ei i 3i65e2 解解 由由有有ii653ee22 )3( )31(ii ii653ee22 ii 33137第一章 復數(shù)與復平面 復數(shù)復數(shù) z 的的乘冪乘冪，設(shè)設(shè) z 是給定的復數(shù)，是給定的復數(shù)， n 為正整數(shù)，為正整數(shù)，n 個個 z 相乘的積稱為相乘的積稱為定義定義三、復數(shù)的乘冪與方根三、復數(shù)的乘冪與方根1. 復數(shù)的乘冪復數(shù)的乘冪,e irz .)(ee nin

26、ninrrz 設(shè)設(shè)則則法則法則 利用復數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到乘冪法則利用復數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到乘冪法則。,nz.個個nnzzzz 即即記為記為38第一章 復數(shù)與復平面 三、復數(shù)的乘冪與方根三、復數(shù)的乘冪與方根1. 復數(shù)的乘冪復數(shù)的乘冪. )sin(cos)sin(cos ninrirznnn .sincos)sin(cos ninin ninninrrze)e( 由由以及復數(shù)的三角表示式可得以及復數(shù)的三角表示式可得在上式中令在上式中令 r = 1，則得到，則得到棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式： 棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式 進一步易得到正弦與余弦函數(shù)進一步易

27、得到正弦與余弦函數(shù)的的 n 倍倍角公式角公式。39第一章 復數(shù)與復平面 23)(ei .32ei 例例22321 i33)(ei 32321 iie .1 33)(ei 32321 ii e.1 3( 1)1. 此外，顯然有此外，顯然有 由此引出由此引出方根方根的概念的概念。40第一章 復數(shù)與復平面 復數(shù)復數(shù) w ，三、復數(shù)的乘冪與方根三、復數(shù)的乘冪與方根2. 復數(shù)的方根復數(shù)的方根稱為把復數(shù)稱為把復數(shù) 開開 n 次方次方，或者稱為求復數(shù)，或者稱為求復數(shù) 的的zz 復數(shù)求方根是復數(shù)乘冪的逆運算復數(shù)求方根是復數(shù)乘冪的逆運算。設(shè)設(shè) 是給定的復數(shù)，是給定的復數(shù)，n 是正整數(shù)，求所有滿足是正整數(shù)，求所有

28、滿足 的的zzwn 定義定義n 次方根次方根，記作記作 或或nzw ./1 nzw 復數(shù)復數(shù) 的的 n 次方根一般是多值的次方根一般是多值的。z41第一章 復數(shù)與復平面 ,2nkn . )1, 1, 0( nk三、復數(shù)的乘冪與方根三、復數(shù)的乘冪與方根2. 復數(shù)的方根復數(shù)的方根 利用復數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到開方法則。利用復數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到開方法則。設(shè)設(shè)推導推導,e irz ,e iw 即即, )sin(cos)sin(cos irninn ;nr ,2 kn 得得,rn kk 正實數(shù)的算術(shù)根。正實數(shù)的算術(shù)根。由由zwn ,ee ininr 有有42第一章 復數(shù)與復平面 三、復數(shù)的乘

29、冪與方根三、復數(shù)的乘冪與方根2. 復數(shù)的方根復數(shù)的方根描述描述,)(2enkninnrzw . )1, 1, 0( nkk n在復平面上，在復平面上， 這這 n 個根均勻地個根均勻地nr為半徑的圓周上。為半徑的圓周上。. )/(n 根的輻角是根的輻角是分布在一個以原點為中心、以分布在一個以原點為中心、以其中一個其中一個方法方法 直接利用公式求根直接利用公式求根； 先找到一個特定的根，再確定出其余的根先找到一個特定的根，再確定出其余的根。43第一章 復數(shù)與復平面 例例 求求.83 ,28)(3233e ki 解解. )2, 1, 0( k具體為：具體為：,2 ,23ei.23ei 例例 求解方程

30、求解方程.013 z,11)(32303e kiz 解解. )2, 1, 0( k具體為：具體為：,1,32ei.232ei 32 23144第一章 復數(shù)與復平面 四、幾個關(guān)系四、幾個關(guān)系, |Re|zz . |Im|zz (1). |212121|zzzzzz (2)zIm|zzRez21zz 21zz 1z2z; |zz .|2zzz ,argargzz ; )arg(z (3)|zzzargzzarg|z45第一章 復數(shù)與復平面 2121zzzz 2221|zz )(Re221zz 2221|zz 2221|zz | )Re(|221zz 2221|zz |221zz .|221)(zz

31、 證證)( )(|2121221zzzzzz )( )(2121zzzz 21zz 利用復數(shù)與向量的關(guān)系，可以證明一些幾何利用復數(shù)與向量的關(guān)系，可以證明一些幾何問題問題。21zz 1z2zABC比如，上例證明的結(jié)論可描述為：比如，上例證明的結(jié)論可描述為：三角形的兩邊之和大于等于第三邊。三角形的兩邊之和大于等于第三邊。46第一章 復數(shù)與復平面 .sincose ii 1748 年，歐拉給出了著名的公式年，歐拉給出了著名的公式 令令 有有 .01e i它把五個最重要的數(shù)它把五個最重要的數(shù) 聯(lián)系起來。聯(lián)系起來。e, 0, 1i公式之一，公式之一，附：附：知識廣角知識廣角 奇妙的歐拉公式奇妙的歐拉公式

32、克萊茵認為這是數(shù)學中最卓越的克萊茵認為這是數(shù)學中最卓越的)sin(cos)sin(cosee iiii , )sincoscos(sin)sinsincos(cos i, )(sin)(cos)(e ii 47第一章 復數(shù)與復平面 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉瑞士數(shù)學家、自然科學家 (17071783)歐 拉Leonhard Euler十八世紀數(shù)學界最杰出的人物之一。十八世紀數(shù)學界最杰出的人物之一。 數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家。數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家。 不但為數(shù)學界作出貢獻，不但為數(shù)學界作出貢獻，而且把數(shù)學推至幾乎整個物理領(lǐng)域。而且把數(shù)學推至幾乎整個物理領(lǐng)域。48第一章 復數(shù)與復平面 (牛頓

33、全集牛頓全集 8 卷，高斯全集卷，高斯全集 12 卷卷) 彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了 47 年。年。整理出他的研究成果多達整理出他的研究成果多達 74 卷。卷。 歐拉是科學史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學家。歐拉是科學史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學家。一生共寫下了一生共寫下了 886 本書籍和論文。本書籍和論文。以每年平均以每年平均 800 頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。分析、代數(shù)、數(shù)論占分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占，幾何占18%，物理和力學占物理和力學占28%，天文學占，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占彈道學、航海學

34、、建筑學等占3%，其中其中附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉49第一章 復數(shù)與復平面 課本上常見的如課本上常見的如 i , e , sin , cos , tg , x , , f (x) 等等，等等，也都是他創(chuàng)立并推廣的。也都是他創(chuàng)立并推廣的。 有的學者認為，自從有的學者認為，自從 1784 年以后，微積分的教科書年以后，微積分的教科書基本上都抄襲歐拉的書?；旧隙汲u歐拉的書。 歐拉編寫歐拉編寫了大量的力學、分析學、幾何學的教科書。了大量的力學、分析學、幾何學的教科書。無窮小分析引論無窮小分析引論、微分學原理微分學原理以及以及積分學原理積分學原理都成為數(shù)學中的經(jīng)典著作。都成為數(shù)學中的經(jīng)典著

35、作。附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉50第一章 復數(shù)與復平面 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉 如今幾乎每一個數(shù)學領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字：如今幾乎每一個數(shù)學領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字：初等幾何的初等幾何的歐拉線歐拉線多面體的多面體的歐拉定理歐拉定理解析幾何的解析幾何的歐拉變換歐拉變換四次方程的四次方程的歐拉解法歐拉解法數(shù)論中的數(shù)論中的歐拉函數(shù)歐拉函數(shù)微分方程的微分方程的歐拉方程歐拉方程級數(shù)論的級數(shù)論的歐拉常數(shù)歐拉常數(shù)變分學的變分學的歐拉方程歐拉方程復變函數(shù)的復變函數(shù)的歐拉公式歐拉公式51第一章 復數(shù)與復平面 歐拉的記憶力驚人！歐拉的記憶力驚人！ 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉能背誦羅馬

36、詩人維吉爾能背誦羅馬詩人維吉爾(Virgil)的史詩的史詩Aeneil，能背誦能背誦“全部全部”的數(shù)學公式，的數(shù)學公式，直至晚年，還能復述年輕時的筆記的直至晚年，還能復述年輕時的筆記的“全部全部” 內(nèi)容。內(nèi)容。能背誦前一百個質(zhì)數(shù)的前十次冪，能背誦前一百個質(zhì)數(shù)的前十次冪，52第一章 復數(shù)與復平面 歐拉的心算能力罕見！歐拉的心算能力罕見！ 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉歐拉的兩個學生把一個復雜的收斂級數(shù)歐拉的兩個學生把一個復雜的收斂級數(shù)歐拉為了確定究竟誰對，用心算進行了歐拉為了確定究竟誰對，用心算進行了道聽途說道聽途說的前的前 17 項加起來，算到第項加起來，算到第 50 位數(shù)字，位數(shù)字，兩人

37、相差一個單位；兩人相差一個單位；全部運算，最后把錯誤找了出來。全部運算，最后把錯誤找了出來。53第一章 復數(shù)與復平面 歐拉的毅力極其頑強！歐拉的毅力極其頑強！ 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉可以在任何不良的環(huán)境中工作?？梢栽谌魏尾涣嫉沫h(huán)境中工作。常常抱著孩子在膝上完成論文。常常抱著孩子在膝上完成論文。在雙目失明以后，也沒有停止對數(shù)學的研究。在雙目失明以后，也沒有停止對數(shù)學的研究。在失明后的在失明后的 17 年間，還口述了年間，還口述了400 篇左右的論文。篇左右的論文。( (返回返回) )54第一章 復數(shù)與復平面 關(guān)于關(guān)于 ( (在集合意義下在集合意義下) )2121ArgArg)(Arg

38、zzzz 附：附： 所謂所謂“在集合意義下在集合意義下”是指：是指：分別從集合分別從集合 中與集合中與集合 中任取一個中任取一個元素元素( (即輻角即輻角) )，相加后，得到集合相加后，得到集合 中的中的2Argz1Argz)(Arg21zz 一個元素一個元素( (即輻角即輻角) )。比如比如 設(shè)設(shè),zzw 則則,|2zzzw zzzzwArgArg)(ArgArg 事實上，事實上，)2arg()2arg(ArgArg21kzkzzz kkz)(2arg221 ;2arg2kz )2(arg2Arg2kzz .Arg2z.4arg2kz ( (返回返回) )55第一章 復數(shù)與復平面 1.3 平

39、面點集的一般概念平面點集的一般概念一、平面點集一、平面點集二、區(qū)域二、區(qū)域三、平面曲線三、平面曲線56第一章 復數(shù)與復平面 一、平面點集一、平面點集1. 鄰域鄰域設(shè)設(shè) 為復平面上的一點，為復平面上的一點，定義定義0z,0 z0 z0(1) 稱點集稱點集 為為 點的點的 鄰域鄰域；| :0 zzz0z (2) 稱點集稱點集 為為 點的點的 去心鄰域去心鄰域。|0:0 zzz0z 57第一章 復數(shù)與復平面 內(nèi)點內(nèi)點一、平面點集一、平面點集2. 內(nèi)點、外點與邊界點內(nèi)點、外點與邊界點;0Gz (1)內(nèi)點內(nèi)點外點外點邊界點邊界點考慮某平面點集考慮某平面點集 G 以及某一點以及某一點 ，0z,| :0 z

40、zz(2),0 有有.Gz 外點外點;0Gz (1),| :0 zzz(2),0 有有.Gz 邊界點邊界點0z(1)不一定屬于不一定屬于 G ；在在 中，中， |0zz(2),0 既有既有,Gz 又有又有.Gz 邊界邊界 G 的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 G 的的邊界邊界。58第一章 復數(shù)與復平面 3. 開集與閉集開集與閉集開集開集 如果如果 G 的每個點都是它的內(nèi)點，則稱的每個點都是它的內(nèi)點，則稱 G 為為開集開集。一、平面點集一、平面點集閉集閉集 如果如果 G 的邊界點全部都屬于的邊界點全部都屬于 G ，則稱，則稱 G 為為閉集閉集。4. 有界集與無界集有界集與無界集定義定義 若存

41、在若存在 ，使得點集，使得點集 G 包含在原點的包含在原點的 鄰域內(nèi)，鄰域內(nèi)，0 則則 G 稱為稱為有界集有界集，否則稱為否則稱為非有界集非有界集或或無界集無界集。59第一章 復數(shù)與復平面 二、區(qū)域二、區(qū)域1. 區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域區(qū)域 平面點集平面點集 D 稱為一個稱為一個區(qū)域區(qū)域，如果它滿足下列兩個條件，如果它滿足下列兩個條件:(1) D 是一個開集；是一個開集；(2) D是是連通連通的，的，閉區(qū)域閉區(qū)域 區(qū)域區(qū)域 D 與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域或或閉域閉域, 記作記作 D。不不連連通通的一條折線連接起來。的一條折線連接起來。即即 D 中任何兩點都可以用完全屬

42、于中任何兩點都可以用完全屬于 D連通連通60第一章 復數(shù)與復平面 二、區(qū)域二、區(qū)域2. 有界區(qū)域與無界區(qū)域有界區(qū)域與無界區(qū)域 ( (顧名思義顧名思義) )3. 內(nèi)區(qū)域與外區(qū)域內(nèi)區(qū)域與外區(qū)域（如何圍出面積最大的區(qū)域）定義定義 一條一條“簡單閉曲線簡單閉曲線( (?) )”把整個復平面分成兩個區(qū)域，把整個復平面分成兩個區(qū)域， 其中其中有界有界的一個稱為該簡單閉曲線的的一個稱為該簡單閉曲線的內(nèi)部內(nèi)部( (內(nèi)區(qū)域內(nèi)區(qū)域) )，稱為該簡單閉曲線的稱為該簡單閉曲線的外部外部( (外區(qū)域外區(qū)域) )。4. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域定義定義 設(shè)設(shè) D 為區(qū)域，如果為區(qū)域，如果 D 內(nèi)的任何一條簡單

43、閉曲線的內(nèi)的任何一條簡單閉曲線的內(nèi)部內(nèi)部仍仍屬于屬于 D，則，則 D 稱為稱為單連通域單連通域， 多連通域多連通域又可具體分為又可具體分為二連域二連域、三連域三連域、 。另一個另一個否則稱為否則稱為多連通域多連通域。61第一章 復數(shù)與復平面 A 省省( (二連域二連域) )( (三連域三連域) )二、區(qū)域二、區(qū)域4. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域A 省省( (單連域單連域) )B 省省( (單連域單連域) )B 省省( (非區(qū)域非區(qū)域) )舉例舉例( (杜撰杜撰) )飛地飛地62第一章 復數(shù)與復平面 ;1| )2(| iz區(qū)域區(qū)域1 2 + i閉區(qū)域閉區(qū)域3/( (角形角形) )區(qū)域區(qū)

44、域;0 x63第一章 復數(shù)與復平面 三、平面曲線三、平面曲線1. 方程式方程式 在直角平面上在直角平面上.0),( yxf 在復平面上在復平面上.0)( zf 如何相互轉(zhuǎn)換如何相互轉(zhuǎn)換？( (比較熟悉比較熟悉) )( (比較陌生比較陌生) )(1)0),( yxf2/ )(zzx )2/()(izzy .0)( zf(2)0)( zfyixz .0),( yxf( (建立方程建立方程) )( (理解方程理解方程) )64第一章 復數(shù)與復平面 22(1)4.xy0.y.yx 22221.2(3)xy.122 yxi i(1)i i(2)2i 2(3)1 12 2i3i3 (4)1 1(5)65第

45、一章 復數(shù)與復平面 三、平面曲線三、平面曲線2. 參數(shù)式參數(shù)式 , )(, )(tyytxx 在直角平面上在直角平面上. )( t, )()()(tyitxtzz 在復平面上在復平面上. )( t例如例如 考察以原點為圓心、以考察以原點為圓心、以 R 為半徑的圓周的方程為半徑的圓周的方程。)()()( yixzz (2) 在復平面上在復平面上 ,sin)(,cos)( RyyRxx(1) 在直角平面上在直角平面上. )20( , )sin(cos iR . )20( ,e iRz 66第一章 復數(shù)與復平面 三、平面曲線三、平面曲線3. 曲線的分類曲線的分類, )()()(tyitxtzz 考慮曲線考慮曲線. )( t簡單曲線簡單曲線當當 時，時，, ,2 t. )()(21tztz 21tt , ),(1 t簡單閉曲線簡單閉曲線. )()( zz 簡單曲線且簡單曲線且光滑曲線光滑曲線.0)( tz在區(qū)間在區(qū)間 上，上，和和 連續(xù)且連續(xù)且, )(tx )(ty 簡單、不閉簡單、不閉簡單、閉簡單、閉不簡單、閉不簡單、閉不簡單、不閉不簡單、不閉67第一章 復數(shù)與復平面 三、平面曲線三、平面曲線4. 有向曲線有向曲線定義定義 設(shè)設(shè) C 為平面上一條給定的光滑為平面上一條給定的光滑( (或分段光滑或分段光滑) )曲線曲線，指定指定 C 的兩個可能方向中的一個作為正向的兩