大學(xué)物理(機(jī)械工業(yè)出版社)上冊(cè)課后練習(xí)答案

1、第一章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)用分離變量法把式(1)改寫(xiě)為dvABvdt1-1已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：x10t30t將式(2)兩邊積分并考慮初始條件y15t220to式中x、y的單位為m,t的單位為s試求:V-AvvoABvt0dt(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向。分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、得石子速度加速度的A(1_(1分量，再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向由此可知當(dāng)解(1)速度的分量式為dx,t時(shí),v當(dāng)t=0時(shí),Vox=-10ms-1,Voy為V022VoxVoy設(shè)Vo與x軸的夾角為a=123°41'加速度的分dVyay藥40mdtVydydT=15m

2、18.0msa則tana量式為則加速度的大小為2aax1060t1540t-1,則初速度大小收尾速度.A一為一常量，通常稱為極限速度或B再由v矽A(1eBt)并考慮初始條件有dtytAdy-(1e)dtBt得石子運(yùn)動(dòng)方程ytA2(eBt1)BB2設(shè)a與x軸的夾角為b,wtanB=-33°41或3269')1-2一石子從空中由靜止下落，由落體運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)測(cè)得其加速度恒量，求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程。分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問(wèn)題V0yVoxdvxaxdt1-3一個(gè)正在沿直線行駛的汽船,關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，由于阻力得到一個(gè)與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度,即2=-kv2,k為常數(shù)

3、。在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，試證:60ms(2)船在t時(shí)刻的速度大小為在時(shí)間t內(nèi)，船行駛的距離為2ay72.1m船在行駛距離x時(shí)的速率為證明(1)分離變數(shù)得卑VaxVdvVovkdtov=voekdt由于空氣阻力，石子并非作a=A-Bv，式中A、B為正,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù)，因此，需將式dv=a(v)dt分離變量為dvdt后再兩邊積分.a(v)解選取石子下落方向?yàn)閥軸正向，下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)由題dvadtABv可得:Vokt(2)公式可化為由于所以:積分v=dx/dtdxdxVdt1vokt1voktk(1vkt)k(1vkt)1-ln(vkt1)；kkxd(1vkt)d(1v

4、kt).1因此xIn(v0kt1).k123v2x2xc兩邊積分得2/oWvhxz,2dvkvvdx積分得vdvxkdxVov0odvdtdvdxdvdxdtv??；kdxdxdv由題知，x0時(shí)，v。10,.?.c50證Invkxvkx畢kx,voev1-4行人身高為h,若人以勻速v0用繩拉一小車行走，而小v車放在距地面圖為H0/的光滑平臺(tái)上，求小-4-|DT/H31v2.xx25ms1-6如圖所示，一彈性球由靜止開(kāi)始自由下落高度h后落在一傾角30的斜面上，與斜面發(fā)生完全彈性碰撞后作拋射體運(yùn)動(dòng)，問(wèn)它第二次碰到斜面的位置距原來(lái)的下落點(diǎn)多遠(yuǎn)。車移動(dòng)的速度和加、擊圖1-18習(xí)題1-4圖速度。解：人前進(jìn)

5、的速度vo,則繩子前進(jìn)的速度大小等于車移動(dòng)的解：小球落地時(shí)速度為v,2gh建立直角坐標(biāo)系，以QI2v2t2(Hh)2dlv0tdt；vot2(Hh)2d2I(Hh)2v；dt22223/2(Hh)vot所以小車移動(dòng)的速度v小車移動(dòng)的加速度a1-5質(zhì)點(diǎn)沿X軸運(yùn)動(dòng)，226x,a的單位為vsi(Hh)2v0t222(Hh)v。(Hh)2"t23/2其加速度和位置的關(guān)系為m/s2,x的單位為m。質(zhì)點(diǎn)在x=0處，速度為10m/s,試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值解:dvdvdxdvdtdxdtdx分離變量：dadx(26x2)dx小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖vx0v。cos600xv0cos60

6、011gcos600t2vy0v0sin60yv0sin60t102gsin60t第二次落地時(shí)2V01所以xv0cos600tgcos60t22V00.8m17一人扔石頭的最大出手速率為v=25m/s,他能擊中-個(gè)與他的手水平距離L=50m,高h(yuǎn)=13m的目標(biāo)嗎在此距離上他能擊中的最大高度是多少解：由運(yùn)動(dòng)方程xvtcos,yvtsin軌跡方程yxtg彩(tg21)x2以x=,v=25ms-1代入后得-gt2,消去t得2y50tg50tg20(tgJ(1tg2)502225220(1tg2)5)211.254因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為2V04dbR取g=,則當(dāng)tg1.25時(shí)，yma

7、x11.25<13所以他不能射中，能射中得最大高度為ymax11.251-8一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按規(guī)律SVtV0、b都是常量。(1)求t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b(3)當(dāng)加速度達(dá)到已沿圓周運(yùn)行了多少圈分析在自然坐標(biāo)中標(biāo).由給定的12-bt運(yùn)動(dòng)，2(2)t為何b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)xRcost,yRsint,Rh、為正的常量。求：(1)、(3)質(zhì)點(diǎn)的加速度大小(2)(1)軌道方程為x2y2R2這是條空間螺旋線。h_Lzt,式中2,質(zhì)點(diǎn)的速度大??；質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程;在oxy平面上的投影為圓心在原點(diǎn)，半徑為為h-dxRsintdt(2)Vx的圓，螺距運(yùn)動(dòng)方程即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的，速裹示

8、回岫瞅瓢旗開(kāi)始的曲線坐s=s(t),對(duì)時(shí)間t求一階、二階導(dǎo)數(shù)，V和加速度的切向分量at,而加速度an=V2/R.這樣，總加速度為a=atet+222h2VVyVzRT7;42costayR2sinaz0,anen.至于質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程，即為曲線坐標(biāo)的改變量AsSt-S0.因圓周長(zhǎng)為2nR質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)自然可求得.22xayds解(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為Vdt其加速度的切向分量和法向分量分別為Vobtatan22V_R(V0bt)故加速度的大小為-22anatR2b2(V。bt)4R2其方向與切線之間的夾角為arctanAarctanataI=b,由V02(V。bt)Rb1；一事R

9、2b2(V。bt)4b可得Rb從t=0開(kāi)始到t=v。/b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為sts02V0110飛機(jī)以100m-s-1的速度沿水平直線飛行，在離地面高為100m時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)處。問(wèn):(1)此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)下方前多遠(yuǎn)(2)投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度(3)物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度各為多少解:Qy=ggt2,t=V隹452m(2)arctg12.5xV=.2V20(gt1+2=色gt24dt(gt)2V1.96m/s2,g10.0(或221.88m/s2,g=9.8)Qa.qang2b111一無(wú)風(fēng)的下雨天，一列火車以v1=20m/s的速度勻

10、速前進(jìn)，在車內(nèi)的旅客看見(jiàn)玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角下則劃行速度和水流速度U的合速度的方向正對(duì)著岸,速度V合速度V的夾角為a設(shè)劃行降，求雨滴下落的速度V2。（設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng)）vsin解：以地面為參考系，火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為相對(duì)地面豎直下落的速度為V2,旅客看到雨滴下落速度V1,雨滴V2為相對(duì)速度，它們之間的關(guān)系為sin-0.55/1.10.5V2V2'VicosV2vjtg7505.36ms112升降機(jī)以加速度ao=s帽自升降機(jī)的天花板脫落，2上升，當(dāng)上升速度為s1時(shí),有一螺tdV如圖(2)vcos天花板與升降機(jī)的底面相距，試求：（1）螺帽從天花板落到底面所需時(shí)

11、間；（帽相對(duì)于升降機(jī)外固定柱子的下降距離。解：（機(jī)為參考系，此時(shí)，螺絲相對(duì)它的加速度為2）螺1）以升降a'=g+a,螺絲落至1底面時(shí)，有°h2(9a)t22hi0.705sh'Vot（2）由于升降機(jī)在t時(shí)間內(nèi)的高度為八at221.05103s用最短的時(shí)間過(guò)河，則劃行速度的方向正對(duì)著岸±dt,lutu500mv115設(shè)有一架飛機(jī)從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處，飛機(jī)相對(duì)空氣的速率為V,而空氣相對(duì)地面的速率為u,A、B間的距離為I。(i)(2)(3)假定空氣是靜止的（即u=0）,求飛機(jī)來(lái)回飛行的時(shí)間;假定空氣的速度向東，求飛機(jī)來(lái)回飛行的時(shí)間；假定空氣的速

12、度向北，求飛機(jī)來(lái)回飛行的時(shí)間。解：由相對(duì)速度的矢量關(guān)系（1）空氣時(shí)靜止的，即u=0,則往返時(shí)，飛機(jī)相對(duì)地面的飛行速度就等于飛機(jī)相對(duì)空氣的速度v'0(1),故飛則dhh'0.716m機(jī)來(lái)回飛行的時(shí)間t°tABtBAll2l113飛機(jī)A相對(duì)地面以va=1000km/h的速率向南飛行，一飛機(jī)B相對(duì)地面以Vb=800km/h的速率向東偏南30°方向飛行。求飛機(jī)V'V'V'（2）空氣的速度向東時(shí)，當(dāng)飛機(jī)向東飛行時(shí)，風(fēng)速與飛機(jī)相對(duì)空氣的速度同向；返回時(shí)，兩者剛好相反（圖（A相對(duì)飛機(jī)B的速度。故飛機(jī)來(lái)回飛行的時(shí)間為解:Va1OOo,Vb4oo400

13、、總t1to(1v'uVVAVB=1000j4oo400.3r空氣的速度向北時(shí)，飛機(jī)相對(duì)地面的飛行速度的大小由u可得為Vs，22XVu2,故飛機(jī)來(lái)回飛行的時(shí)間為tg呂,40o521方向西偏南t2tt±tABtBAv2I.v'2u22l/v'v.600240023916km/h廠to(1V7114一人能在靜水中以寬s-1的速度劃船前進(jìn)，今欲橫渡一為1000m、水流速度為定劃行s"的大河。（1）,那么應(yīng)如何確方向到達(dá)正對(duì)岸需多少時(shí)間（時(shí)間過(guò)河，應(yīng)如何確定劃行方向2）如果希望用最短的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)船到達(dá)對(duì)岸的位置在什么地方解：如圖（1）若要從出發(fā)點(diǎn)橫渡該河而到

14、達(dá)正對(duì)岸的一點(diǎn)2-1如本題圖，A、B兩物體質(zhì)量均為m,用質(zhì)量不計(jì)的滑輪和細(xì)在m2和m3上的線中張力為丁2。列出方程組如下：繩連接，并不計(jì)摩擦，則A和B的加速度大小各為多migTimiai少。解：如圖由受力分析得mgTamaATaTbmgmaB2aAaBTa2Tb(4)解得aA=i一g5y2mg習(xí)題2-i圖JBmg鏟-5g2-2如本題圖所示，已知兩物體A、m2gT2T2m3gTi代入ai2T2m2(aai)m3(a4m352T2mgm22gaja22m3,可求出：3g丁5Ti2-4光滑的水平面上放置一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼B的質(zhì)量均為m二,a=s2運(yùn)動(dòng)，求物體物體A以加速度B與桌面間的摩環(huán)

15、的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng)，其摩擦系數(shù)為口。物體的初速率為vo.求：（i）t時(shí)刻物體的速率；（2）當(dāng)物體速率從V。減少到vo/2時(shí)，物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過(guò)的路程。擦力。（滑輪與解：（i）設(shè)物體質(zhì)量為m,取圖示的自然坐標(biāo)系,由牛頓連接繩的質(zhì)量不計(jì)）解：分別對(duì)物定律得,體和滑輪受力分析（如圖），由牛頓定律和動(dòng)力學(xué)方程得,FnmqR2mAgFtmAa(i)FfmatdvmdtF'tiFfmBa'2aa'Ft'2Fti(4)FfUFN由上三式可得dvdt對(duì)（4）式積分得dvmT=FB'm65dt=0FTiRv。解得Ffmg，m4mLa7.2N2vRv。當(dāng)物體速率從V。減少

16、到V0/2時(shí),2-3如圖所示，細(xì)線不可伸長(zhǎng)，細(xì)線、輪、動(dòng)滑輪的質(zhì)量均不計(jì)已知定滑匹可得物Rv。tmi4m3m22m3。求各物體運(yùn)動(dòng)體所經(jīng)歷的時(shí)間的加速度及各段細(xì)線中的張力o解：設(shè)mi下落的加速度為ai,因而動(dòng)RvRdt=經(jīng)過(guò)的路程svdt=0RvotIn2滑輪也以ai上升。再設(shè)m2相對(duì)動(dòng)滑輪以加速度a'下落，m3相對(duì)動(dòng)滑輪以加速度a上升，二者相習(xí)題2-325從實(shí)驗(yàn)知道,度，設(shè)其比例常數(shù)為可以認(rèn)為空氣的阻對(duì)地面的加速度分別為:aai(下落)的物體以豎直向上的初速ko將質(zhì)量為（D試證明物體的速度為vo拋出。和aai（上升），設(shè)作用在e1上的線中張力為t1,作用kt1)vemmg-f-F=m

17、a證明物體將達(dá)到的最大高度為mv0嚶ln(1陛)mg證明到達(dá)最大高度的時(shí)間為tH4n(1kkv)mgmg=Ff=bv2dva=dv一出v-dy,2dvbv2mvdyybdymvdvby/mvoveby/m、2ghemg證明：由牛頓定律可得dv(1)-mg-kv=mdttdtV0t%!衛(wèi)°,kmgkvmtmdvmgkvmg言丁k1)mtkvek將已知條件b1,v0.1v0代入上式mm得，mv"y=一In=5.76mbV7一物體自地球表面以速率阻力的值為f=kmv2,.dv(2)-mg-kv=mA&dxdxmvdvmgkv令mgkv其中求：（1）該物體能上升的高度;vo

18、豎圖送腳。假定空氣對(duì)物體解：分別對(duì)物體上拋和下落時(shí)作受力分聯(lián)（!而）m為物體質(zhì)量。試,（2）物體返回地面時(shí)速度2dvmvdvmv=m=-.dtdyu,dukdvvdvdxm,mgdumdu-u應(yīng)ln(1心kmgmgk%Xdx0mmg(mdumgkvfa'(3)Qtmlnkmgkv2md)(1)-mg-ku0gkv2k'gkvg.)物偏y到最高點(diǎn)時(shí)，v=0,故2h=ymax=_L狽(gM)2kgln(當(dāng)v0時(shí)，t=mlnmg片"即為到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間kmgk26質(zhì)量為m的跳水運(yùn)動(dòng)員，從距水面距離為h的高臺(tái)上由靜止跳下落入水中。把跳水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)，并略去空氣阻力。運(yùn)動(dòng)員入

19、水后垂直下沉，水對(duì)其阻力為一bv2,其中b為一常量。若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,豎直向下為Oy軸，求：（1）運(yùn)動(dòng)員在水中的速率v與y的函數(shù)關(guān)系；（2）跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率v。的1/10（假定跳水運(yùn)動(dòng)員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等）解：運(yùn)動(dòng)員入水可視為自由落體運(yùn)動(dòng)，所以入水時(shí)的速度為v0_2gh,入水后如圖由牛頓定律的（2）下落過(guò)程中,_2dvmvdv-mg+kmv=m=.dtdy0hdyv=vo(1vvdv2kv2kv0)1/22-8質(zhì)量為m的子彈以速度v0水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力f=-kv,k為常數(shù)，求：（1）子彈射入沙土后，速度隨時(shí)間變化的

20、函數(shù)式；（2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度。解：（1）由題意和牛頓第二定律可得kvmA,dt分離變量，可得kdv兩邊同時(shí)積分，所以mvdtvvoem2-11高空作業(yè)時(shí)系安全帶是非常必要的。假如一質(zhì)量為kg(2)子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是v=0的時(shí)候子彈的位的人，在操作時(shí)不慎從高空豎直跌落下來(lái)，由于安全帶的保護(hù)，最終使移，則:他被懸掛起來(lái)。已知此時(shí)人離原處的距離為m,.k由-mdvvdt安全帶彈性緩沖作用時(shí)間為s0求安全帶對(duì)人的平均沖力。分析從人受力的情況來(lái)看，可分兩個(gè)階段：在開(kāi)始下落的過(guò)程中，只受可推出：vdtm,dv,而這個(gè)式子兩邊積分就可以得k重力作用，人體可看成是作自由落體運(yùn)動(dòng)；在安全帶保護(hù)

21、的緩沖過(guò)程中，則人體同時(shí)受重力和安全帶沖力的作用，其合力是一變力，且作用到位移：Xmaxvdtm.mmdvmvo。時(shí)間很短？為求安全帶的沖力2-9已知一質(zhì)量為voX軸上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只受到指m的質(zhì)點(diǎn)在以從緩沖時(shí)間內(nèi)，人體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(動(dòng)量)的改變來(lái)分析即運(yùn)用動(dòng)量向原點(diǎn)的力2k/x,k是比例常數(shù)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在定理來(lái)討論.事實(shí)上，動(dòng)量定理也可應(yīng)用于整個(gè)過(guò)程的速度為零，求質(zhì)點(diǎn)在xA/4處的速度的大小。解:由題意和牛頓律可得是,這時(shí)必須分清重力和安全帶沖力作用的時(shí)間是不同的;在過(guò)程的初態(tài)和末態(tài)，人體的速度均為零？這樣理仍可得到相同的結(jié)果.運(yùn)用動(dòng)量定dvdvdx-JEdv解以人為研究對(duì)象，按分析中的兩個(gè)階段進(jìn)行討論

22、在自由x2mdtdxdtmv-dx落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，人跌落至2m處時(shí)的速度為再采取分離變量法可得:dxmvdvvi2gh(1)兩邊同時(shí)取積分，則:2-10F400300m/sxA/4kdx2xvmvdv0在緩沖過(guò)程中，人受重力和安全帶沖力的作用FPAtmv2mv1(2)由式(1)、(2)可得安全帶對(duì)人的平均沖力大小為根據(jù)動(dòng)量定理，顆子彈在槍筒里前進(jìn)時(shí)所受的合力大小為5410t/3,子彈從槍口射出時(shí)的速率為設(shè)子彈離開(kāi)槍口處合力剛好為零。求：(走完槍筒全長(zhǎng)所用的時(shí)間t；(2)子彈在槍筒中所受力的FmgAmvA.、2ghmg3.1.1410NAtAt2-12長(zhǎng)為60cm的繩子懸掛在天花板上，下方系一質(zhì)

23、量為1kg的小球，已知繩子能承受的最大張力為大的水平?jīng)_量作用在原來(lái)靜止的小球上才能將繩子打斷20N。試求要多解：(1)(3)子彈的質(zhì)量。由F400剛好為零,則可以得到：出t二°由沖量定義:(2)0.0030.003Fdt400t2105t2/3由動(dòng)量定理：1所以:105t/3和子彈離開(kāi)槍口處合力解：由動(dòng)量定理得v。4004105t/3(4004105t/3)dt0.00300.6N?s0.0030FdtPmv0.6N?sm0.6/3000.002kg如圖受力分析并由牛頓定律得,TmgTmgmgI2.47Ns2mvl2mv-20l|2/l202-13一作斜拋運(yùn)動(dòng)的物體，在最高點(diǎn)炸裂為質(zhì)

24、量相等的兩塊，最高點(diǎn)距離地面為。爆炸后，第一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上，此處距拋出點(diǎn)的水平距離為100m。問(wèn)第二塊落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上(設(shè)空氣的阻力不計(jì))解：取如圖示坐標(biāo)系，根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，爆炸前，物體在最高點(diǎn)得速度得水平分量為XiVoxt兒Jg/2h物體爆炸后，第一塊碎片豎直下落的運(yùn)動(dòng)方程為yi=h-Vit-igt2當(dāng)碎片落地時(shí)，yi=0,t=t1,則由上式得爆炸后第一塊碎片拋由得速度為h-Igt2VL-A11又根據(jù)動(dòng)量守恒定律，在最高點(diǎn)處有1mvox=Amv2xm+Mv0cosMvm(vu)式甲v為人拋物后相對(duì)地面的水平速率V-u為拋生物對(duì)地面得水平速率，得,muV=V0COS+m+

25、M人的水平速率得增量為muv=v-v0cos=m+M而人從最高點(diǎn)到地面得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為vsint=g所以人跳躍后增加的距離為_(kāi)Lmv°sinx=vt=u(m+Mg110=mv1mv2y2122y聯(lián)立以上()一(4)式得爆炸后第二塊碎片拋由時(shí)的速度分2x=2v0x=2X1/gV2h100ms1量分別為V2yV12-1igt14.7mst1爆炸后第二塊碎片作斜拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x2=X1+v2xt2(5)12y2=h+V2yt2-?gt2落地時(shí)y20,由式(5)和(6)可解得第二塊碎片落地點(diǎn)得水平位置x2=500m2-14質(zhì)量為M的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為m的物體，此人用與水平面成e角的速率V

26、。向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為u的水平速率向后拋出。問(wèn)：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少(假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn))(自己算一遍)解：取如圖所示坐標(biāo)，把人和物視為一系統(tǒng)，當(dāng)人跳躍到最高點(diǎn)處，在向左拋物得過(guò)程中，滿足動(dòng)量守恒，故有2-15鐵路上有一靜止的平板車，其質(zhì)量為M,設(shè)平板車可無(wú)摩擦地在水平軌道上運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)有N個(gè)人從平板車的后端跳下，每個(gè)人的質(zhì)量均為m,相對(duì)平板車的速度均為u。問(wèn)：在下列兩種情況下，(1)N個(gè)人同時(shí)跳離；(2)一個(gè)人、一個(gè)人地跳離，平板車的末速是多少所得的結(jié)果為何不同，其物理原因是什么(典型)解：取平板車及N個(gè)人組成的系統(tǒng)，以地面為參考系，平板車的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)?/p>

27、正方向，系統(tǒng)在該方向上滿足動(dòng)量守恒。考慮N個(gè)人同時(shí)跳車的情況，設(shè)跳車后平板車的速度為V,則由動(dòng)量守恒定律得0=Mv+Nm(vu)v=Nmu/(Nm+M)(1)又考慮N個(gè)人一個(gè)接一個(gè)的跳車的情況。設(shè)當(dāng)平板車上商有n個(gè)人時(shí)的速度為Vn,跳下一個(gè)人后的車速為Vn-1,在該次跳車的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)量守恒有(M+nm)vn=Mvn1+(n-1)mvn1+m(vn1-u)(2)由式(2)得遞推公式vn1=vn+mu/(M+nm)(3)當(dāng)車上有N個(gè)人得時(shí)(即N=n),vn=0；當(dāng)車上N個(gè)人完全跳完時(shí)，車速為V0,根據(jù)式(3)有，vn-1=0+mu/(Nm+M)vn-2=vn-1+mu/(N-1)m+M)V0=

28、v1+mu/(M+nm)將上述各等式的兩側(cè)分別相加，整理后得Vo =n= i M-nm量。設(shè)介質(zhì)對(duì)物體的阻力正比于速度的平方kv2,F2 =G2,mu由于MnmMNm,n1,2,3.N故有，VofV即N個(gè)人一個(gè)接一個(gè)地跳車時(shí)，平板車的末速度大于N個(gè)人同時(shí)跳下車的末速度。這是因?yàn)镹個(gè)人逐一跳離車時(shí)，車對(duì)地的速度逐次增加，導(dǎo)致跳車者相對(duì)地面的速度也逐次增加，弁對(duì)平板車所作的功也相應(yīng)增大，因而平板車得到的能量也大，其車速也大。2-16物體在介質(zhì)中按規(guī)律x=ct3作直線運(yùn)動(dòng)，c為一常試求物體由Xo=0運(yùn)動(dòng)到X=l時(shí)，阻力所作的功分析本題是一維變力作功問(wèn)題，仍需按功的定義式F=GiG2方可在力停止作用后

29、，恰能使在跳起來(lái)時(shí)B稍被提起。(設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k)解：選取如圖所示坐標(biāo)系，取原點(diǎn)處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能零點(diǎn)，作各種狀態(tài)下物體的受力圖。對(duì)A板而言，當(dāng)施以外力F時(shí)，根據(jù)受力平衡有Fi=GiF(1)當(dāng)外力撤除以后，由機(jī)械能守恒定律得,1212Aky1-mgy1=ky2mgy2y2為M、N兩點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的位移。因?yàn)镕1=ky1,F2=ky2,G1=m1g上式可以寫(xiě)為,h-F2=2G(2)由()和(2)式可得當(dāng)A板跳到N點(diǎn)時(shí)，B板剛被提起，此時(shí)彈性力且F2 = F2,由式(3)可得義式求解.F = G1+G2=(m1+m2)gWFdx來(lái)求解？關(guān)鍵在于尋找力函數(shù)F=F(x)?根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，可將已知力

30、與速度的函數(shù)關(guān)系F(v)=kv 18如本題圖所示，A和B兩塊板用一輕彈簧連接起來(lái)，它們的質(zhì)量分別為 m1和m2。問(wèn)在A板上需加多大的壓力，變換到F(t),進(jìn)一步按x=ct3的關(guān)系把F(t)轉(zhuǎn)換為F(x),這樣，就可按功的定解由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程x=ct3,可得物體的速度dxdt3ct2按題意及上述關(guān)系，物體所受阻力的大小為22,42/34/3Fkv9kct9kcx則阻力的功為WFdx2-19如本題圖所示，質(zhì)量為m、速度為v的鋼球，射向質(zhì)量為M的靶，靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為k的彈簧，此靶最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，但可在水平面上作無(wú)摩擦滑動(dòng)，求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離。解：設(shè)彈簧得最大壓縮量為

31、x0。小球與靶共同運(yùn)動(dòng)得速度為v10由動(dòng)量守恒定律，有l(wèi)l2/34/3,272/37/3WFdxcos18(dx09kcxdxkclmv(mM)v1又由機(jī)械能守恒定律，有121212mv=(mM)v1由(1式和(2)式可得mMk (m M )<777/z習(xí)題2 19圖2-17一人從10m深的井中提水，起始桶中裝有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏去的水。求水桶被勻速地從井中提到井口，人所作的功。(典型)解：水桶在勻速上提的過(guò)程中，加速度為0,拉力和重力平衡，在圖示坐標(biāo)下，水桶重力隨位置的變化關(guān)系為G=mg-agy其中a=m,人對(duì)水桶的拉力的功為2-20以質(zhì)量為m的彈丸，穿過(guò)如本題

32、圖所示的擺錘后，速率由v減少到v/2。已知擺錘的質(zhì)量為M,擺線長(zhǎng)度為l,如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，彈丸的速度的最小值應(yīng)為多少解：10Wo(mg-gy)dy=882J由水平方向的動(dòng)量守恒有，據(jù)能量守恒，可得到：1(mAmB)v2vmv=m2Mv'為了使擺錘能在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)，擺線中的張力F=0,則，k,mAmBX0;妒竿式中v'h為擺線在圓周最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率。（2）分離之后，A的動(dòng)能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能,又由機(jī)械能守恒定律得12mAV2!kx22，則:Xa1212Mv'=2Mgl+Mv'h2-23如圖2-41所示，光滑斜面

33、與水平面的夾角為22解上述三個(gè)方程，可得擔(dān)丸所需速率的最小值為v=2-21如本題圖所示，一質(zhì)量為M的物塊放置在斜面的最底端A處，斜面的傾角為a,高度為h,物塊與斜面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為P,今有一質(zhì)量為m的子彈以速度V。沿水平方向射入物塊并留在其中，且使物塊沿斜面向上滑動(dòng)，求物塊滑出頂端時(shí)的速度大小。解:在子彈與物塊的撞擊過(guò)程中，在沿斜面的方向上,根據(jù)動(dòng)量守恒有mv0cos(Mm)v1在物塊上滑的過(guò)程中，若令物塊剛滑由斜面時(shí)的速度并取A點(diǎn)的重力勢(shì)能為0。由系統(tǒng)的功能原理可得為V2,-kx。2,所以：2輕質(zhì)彈簧上端固定。今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)量為所以:二30M二的木塊，木塊沿斜面從靜止開(kāi)始向下滑

34、動(dòng)。當(dāng)木塊向下滑x=30cm時(shí)，恰好有一質(zhì)量m二的子彈，沿水平方向以速度v200m/s射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k25N/m。求子彈打入木塊后它們的共同速度。解：由機(jī)械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過(guò)程木快沿斜面方向動(dòng)量守恒，（瞬間）可得:1Mv121與kxMgxsin前木快的速度）Mvimvcosv0.89224二質(zhì)量相同的小球,一個(gè)靜止，另一個(gè)以速度靜止的小球作對(duì)心碰撞，求碰撞后兩球的速度。（1）假設(shè)碰撞是完全非彈中子彈和v10.83(碰撞0與u(m+M)gcossin2由(1、(2)式可得(m+M)v?(m+M)gh-(m+M)?2性的；（2）假設(shè)碰撞是完全彈性的;習(xí)

35、題221圖（3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)e0.5解：由碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒以及附加條件，可得v2二-aVqCOS)22gh(ucot+1)片m+M（1）假設(shè)碰撞是完全非彈性的，即兩者將以共同的速度前行：mvo2mv2-22如圖2-40所示，在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連著物體A、B,1所以：vv02圖2-40習(xí)題2-22圖(2)假設(shè)碰撞是完全彈性的,它們質(zhì)量分別為mA和mB,彈簧mAimv1mv2勁度系數(shù)為k,原長(zhǎng)為Io用力推B,使彈簧壓縮xo，然后釋放mv022221mv12mv2求：（1）當(dāng)A與B開(kāi)始分離時(shí)，它們的位置和速度；（2)兩球交換速度,V10V2vo分離之后，A還能往

36、前移動(dòng)多遠(yuǎn)解：（1）當(dāng)A和B開(kāi)始分離時(shí)，兩者具有相同的速度，根（3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)e0.5,也就是mv0mv1mv2圖2-46習(xí)題2-29圖V2W0.5v10v20(2)121212(2)二m2V20222-kx-(mim?)v所以:vi1V。，42-25如本題圖所示，一質(zhì)量為m的鋼球，系在一長(zhǎng)為I的繩一3v2v4那么計(jì)算可得：x2-27如本題圖示,1x02繩上掛有質(zhì)量相等的兩個(gè)小球，兩球碰撞時(shí)的恢端，繩另一端固定，現(xiàn)將球由水平位置靜止下擺，當(dāng)球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)與質(zhì)量為M,靜止于水平面上的鋼塊發(fā)生彈性碰撞，求碰后m和M的速率。解：由機(jī)械能守恒得，碰前mv2=mgl.v=2gl習(xí)題225圖m的速

37、度為翅球猊到達(dá)2域A酒翻僮戢態(tài)暮則撞擊球A釋放前的張角B,剛好應(yīng)滿足cos=1/9。證明：設(shè)球A到達(dá)最低點(diǎn)的速率為2mvmg2l(1cos),2所以，vJ4gl(1cos)設(shè)碰撞后代B兩球的速率分別為vb50.5v,根據(jù)機(jī)械能守恒有va,vb,由題意得:VbVa0.5v由他俾刖/口區(qū)121222mv=mvA,B兩球碰撞時(shí)水平方向動(dòng)量守恒：mvBmvAmvmv=mvMv由（2）,（3）式得3v4Vb4mMv=m+M2mm+M2-26如圖2-43所示,m-2glm+M兩個(gè)質(zhì)量分別為mi和m2的木塊A、B,用一勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接，放在光滑的水平面上。A緊靠墻。今用力推B塊，使彈簧壓縮圖2-43

38、習(xí)題2-26圖xo然后釋放。（已知m23mi）求：（1）釋放后A、B兩滑塊速度相等時(shí)的速度大小；（2）彈簧的最大伸長(zhǎng)量。解：分析題意，可知在彈簧由壓縮狀態(tài)回到原長(zhǎng)時(shí)，是彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)換為B木塊的動(dòng)能，然后B帶動(dòng)A一起運(yùn)動(dòng)，此時(shí)動(dòng)量守恒，可得到兩者相同的速度v,并且此時(shí)就是彈簧伸長(zhǎng)最大的位置，由機(jī)械能守恒可算出其量值0121|2m2V2022kxo碰撞后B球機(jī)械能守恒，故有12mvBmgl將（1,（4）代入（5）得:1cos92-28如圖2-45所示，一質(zhì)量為面上，在球殼內(nèi)有另一質(zhì)量也為m,半徑為R的球殼，靜止在光滑水平的小球，初始時(shí)小球靜止在圖示水平位置上。大球殼內(nèi)往下滾，同時(shí)大球殼也會(huì)在水

39、平面上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它們水平面上時(shí)，的位移大小是多少m2V20(mim2)v所以v34x0Ik13mm,半徑為r放手后小球沿再次靜止在問(wèn)大球殼在水平面上相對(duì)初始時(shí)刻解：系統(tǒng)在水平方向上不受外力，因而系統(tǒng)質(zhì)心的水平位置始終不變。如圖所示，初始時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)心到球心為（從質(zhì)心公式算）RrXc2小球最終將靜止于大球殼的最下方,O的距離而系統(tǒng)質(zhì)心的水平位置始終不變，因而大球殼在水平面上相對(duì)初始時(shí)刻的位移大小2-292如圖2-46所示,從坐標(biāo)原點(diǎn)以Vo的初速度發(fā)射一發(fā)炮彈,發(fā)射傾角二45當(dāng)炮與板面垂直的，通過(guò)幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由式xcm1X1m2X2 .* mm2m，有彈到達(dá)X1-處時(shí)，突然爆炸分成質(zhì)量

40、相同的兩塊，其3g中一塊豎直下落，求另一塊落地時(shí)的位置X2是多少解：炮彈爆炸后其質(zhì)心仍按原拋物線軌道運(yùn)動(dòng)，因而落地后2的質(zhì)心坐標(biāo)為xcVOg22Jab（ab）。其中a,b為矩形板的長(zhǎng)，寬。12證明一：如圖，在板上取一質(zhì)元dmdxdy,對(duì)與板面垂直的、通過(guò)幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dJr2dmabab(x2y2)dxdy22/2*第三章岡“體3g力學(xué)-ab（a2b2）12證明二：如圖，在板上取一細(xì)棒dmbdx,對(duì)通過(guò)細(xì)棒中心與棒垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的3-1一通風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)部分以初角速度3。繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C為一常量。若轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,問(wèn)：（1）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后其

41、轉(zhuǎn)動(dòng)角速度減少為初角速度的一一12轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dmb,根12據(jù)平行軸定理，對(duì)與板面垂直ib-1!dm0半（2）在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)解：（1）由題可知：阻力矩MCdJdmb2IndtdJdtcJoe02:(2)角位移dtJcln2tceJdt±12J12b3dxb(1dm(a2ax)2dx2,3ba112道題以右邊為坐標(biāo)原點(diǎn)，左為正方向3-3如圖3-28所示，一輕繩跨過(guò)兩個(gè)質(zhì)量為m、半徑為r的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為2m和m的重物，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，求重物的加速度和各段繩中的張力。（現(xiàn)在滑輪質(zhì)量要計(jì)，所以繩子拉力會(huì)不等）解：受力分析如圖x)2322baa

42、b(ab)(這122mgT22ma(1)所以，此時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為n-2Timgma（2）圖3-28習(xí)題3-3圖(T2T)rJ(3)jX-X"dm(TTi)rJ速度和繩中的張力。解：分別對(duì)兩物體做如圖的受力分析。根據(jù)牛頓定律有（對(duì)于質(zhì)量非常小的物體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零，才有可能T=Ti）12呀聯(lián)立求出1T11mg,Ti-mg,T2a-g，843-4如圖3-29所示，一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為L(zhǎng),質(zhì)量為m,平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，設(shè)開(kāi)始時(shí)桿以角圖3-29習(xí)題3-4圖m1gT1m1a1T2m2gm2a又因?yàn)榻M合輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是兩輪慣量之和,理有（從積分定義式即可算出）T1R丁2(JiJ2)而且，qR,

43、a2r,（列1?牛二2.轉(zhuǎn)動(dòng)定律3咨束方程即可求解）m1Rm2ra1JJmRmzpgR根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定速度0繞過(guò)細(xì)桿中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：（作°）用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。mRm2ra22_grJ1J2miRm2rJ1J2m2r2m2Rrmg解：設(shè)桿的線J1J2m1Rm2r在桿上取一小質(zhì)元dmdxdfdmggdxdMgxdx考慮對(duì)稱Mgxdx-mgl根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律0MdtwJd0mglt01所以一3-5質(zhì)量為mi和m2的兩物體A、B分別懸掛在如本題圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為R和r,兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2,輪與軸承間的摩擦力略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩物體的加2J1J2m|Rm1Rr2J1J2m|Rm2r3-6如本題圖所示裝置，定滑輪的半徑為動(dòng)慣量為J,滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量為r,繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)m1和m2的物體A、BoA置于傾角為e的斜面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為葭若B向下作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求：（1）其下落加速度的大小；（2）滑輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長(zhǎng)均不計(jì)，繩與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，滑輪軸光滑）解:A、B物體的受力分析如圖。根據(jù)牛頓定律有T1m1gsinfm1a1m2gT2m2a2對(duì)滑輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有T2rT1rJ由于