16《小學(xué)奧數(shù)六年級競賽必考章節(jié)精講共36講_小升初必備》-第16講邏輯推理

1、第16講邏輯推理內(nèi)容概述體育比賽形式的邏輯推理問題，其中存在的呼應(yīng)一一“一隊(duì)的勝、負(fù)、平分對應(yīng)著另一 隊(duì)的負(fù)、平、勝”對解題有重要作用，有時(shí)宜將比賽情況用點(diǎn)以及連這些點(diǎn)的線來表示需 要從整體考慮，涉及數(shù)量比較、整數(shù)分解等具有一定綜性的邏輯推理問題.典型問題1 共有4人進(jìn)行跳遠(yuǎn)、百米、鉛球、跳高 4項(xiàng)比賽，規(guī)定每個(gè)單項(xiàng)中，第一名記 5分， 第二名記3分，第三名記2分，第四名記1分.已知在每一單項(xiàng)比賽中都沒有并列名次，并且總分第一名共獲17分，其中跳高得分低于其他項(xiàng)得分； 總分第三名共獲11分，其中跳高 得分高于其他項(xiàng)得分問總分第二名在鉛球項(xiàng)目中的得分是多少？【分析與解】每個(gè)單項(xiàng)的4人共得分5+3

2、+2+仁11分，所以4個(gè)單項(xiàng)的總分為11X4=44分，而第一，三名得分為17、11分，所以第二、四名得分之和為44-(17T1)=16分 其中第四名得分最少為 4分，此時(shí)第二名得分最高，為16-4=12分；又因?yàn)榈谌麨?11分，那么第二名最低為12分；那么第二名只能為12分，此時(shí)第四名4分.于是，第一、二、三、四名的得分依次為17、12、11、4分，而17只能是5+5+5+2, 4 只能是 1+1+1 + 1.不難得到下表：跳遠(yuǎn)百米鉛球跳高總分第一名555217第二名333312第三名222511第四名1111J由表知總分第二名在鉛球項(xiàng)目中的得分是3分.2 4支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，即每兩隊(duì)

3、之間都比賽一場每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，平局各得1分比賽結(jié)果，各隊(duì)的總得分恰好是4個(gè)連續(xù)的自然數(shù)問：輸給第一名的隊(duì)的總分是多少 ？24乂 3【分析與解】四個(gè)隊(duì)共賽了 C：6場，6場總分m在12(=6X2)與18(=6 X23)之間.由于m是4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，所以 m=2+ 3 + 4=5= 14或m=3+4+5=18. 如果m=18,那么每場都產(chǎn)生 3分，沒有平局，但 5=3+1+1表明兩場踢平，矛盾. 所以m=14, 14=3X 2+2X4表明6場中只有2場分出勝負(fù).此時(shí)第一、二、三、四名得 分依次為5、4、3、2 則第三名與所有人打平，那么第二名沒有了平局，只能是第一名與第四名打平

4、，這樣第一名還有1局勝，第二名還有 1局負(fù)，所以第一名勝第二名.A > B,，表示A勝B,各隊(duì)即輸給第一名的隊(duì)得 4分.如下圖所示，在兩隊(duì)之間連一條線表示兩隊(duì)踢平，畫一條用它們的得分來表示.評注：常見的體育比賽模式N個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，至少要打 N -1場比賽：每場比賽淘汰一名選手；2 N(N 1)N個(gè)隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，一共要打 C n場比賽：每個(gè)隊(duì)要打 N -1場比賽.2循環(huán)賽中常見的積分方式： 兩分制：勝一場得 2分，平一場得1分，負(fù)一場得0分；核心關(guān)系：總積分=2X比賽場次； 三分制：勝一場得 3分，平一場得1分，負(fù)一場得 0分；核心關(guān)系：總計(jì)分=3X比賽場次-1 X賽平場次.3. 6支足

5、球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，即每兩隊(duì)之間都比賽一場.每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，平局各得1分.現(xiàn)在比賽已進(jìn)行了 4輪，即每隊(duì)都已與 4個(gè)隊(duì)比賽過，各隊(duì)已賽 4 場的得分之和互不相同.已知總得分居第三位的隊(duì)共得7分，并且有4場球踢成平局，那么總得分居第五位的隊(duì)最多可得多少分？最少可得多少分？【分析與解】每輪賽3場，最多產(chǎn)生3 3 = 9分，四輪最多4 9 =36分.現(xiàn)在有4場踢成平局，每平一場少 1分，所以總分為36 - 4 1 =32 .前三名得分的和至少為 7 8 9 = 24.所以后三名的得分的和至多為 32 - 24 =8.第5名如果得4分，則后三名的得分的和至少為4 5 = 9,這不可能，

6、所以第 5名最多得 3分，圖(a)為取3分時(shí)的一種可能的賽況圖.顯然第5名最少得1分，圖(b)為取1分時(shí)的一種可能的賽況圖.圏圖評注：以下由第5名得分情況給出詳細(xì)賽況:第5名得3分時(shí)賽況第5名得1分時(shí)賽況各隊(duì)得分情況為占丸+ 7 + 4*3"各甌得分情況為：10+8 + 7 + 6+ 1M：9-3+3 + 3 + O8 = 3+ 3 + 1 + 7=3+3+1+03十屮IU + 1 + 1 + 1 Iji + i +1 +o mJ =i13+ 0 + 0 + 0 W其中；I0R + 3 + 3+ 1 8-3+3+1+1 7=3+3+1+01=1+0+0+0嚴(yán) 2!" V13

7、 + 34-0 + 0 M考慮到平場的得分必須為偶數(shù)i的個(gè) 數(shù)為偶數(shù)，于是只有可能為I、兩種 組合方式，如果是II那么得4分者必狽與得9.8. 7J分者均打平，然而得9分者，無平局*所 以不可能'于擡只能為I、皿這種組會.具體賽況見題解.如果是VI種情況*那么平均得分為呂分揮 可能一具體賽況見題解.g）酸總翊i蕙戴第k4 .某商品的編號是一個(gè)三位數(shù).現(xiàn)有5個(gè)三位數(shù)：874, 765, 123, 364, 925，其中每一個(gè)數(shù)與商品編號，恰好在同一位上有一個(gè)相同的數(shù)字那么這個(gè)三位數(shù)是多少？【分析與解】方法一：每一個(gè)與商品編號，恰好在同一位上有一個(gè)相同的數(shù)字.五個(gè)數(shù)，就要有五次相同，列出這

8、五個(gè)數(shù)：874, 765, 123 , 364, 925百位上五個(gè)數(shù)各不相同，十位上有兩個(gè)6和兩個(gè)2,個(gè)位上有兩個(gè) 4和兩個(gè)5.因此，商品編號的個(gè)位數(shù)字一定和給定 5個(gè)數(shù)中的兩個(gè)個(gè)位數(shù)字相同， 商品編號的十位數(shù) 字一定和給定5個(gè)數(shù)中的兩個(gè)十位數(shù)字相同，商品編號的百位數(shù)字只能跟 5個(gè)數(shù)中的一個(gè)百 位數(shù)字相同.若商品編號的個(gè)位數(shù)字是5，我們就把第二個(gè)和第五個(gè)數(shù)拿走，剩下的三個(gè)數(shù)的十位數(shù)字各不相同，無法滿足題目的要求（事實(shí)上，十位數(shù)字只能取 乙而十位上只有一個(gè) 7）.若商品編號的個(gè)位數(shù)字是 4，拿走第一和第四個(gè)數(shù)后，十位上仍有兩個(gè)2,可取十位數(shù)字為2,再拿走第三和第五個(gè)數(shù)，剩第二個(gè)數(shù)，它的百位是7,

9、所以商品的編號為 724 .如果一個(gè)數(shù)與商品編號在某一位有相同數(shù)字，那么這個(gè)數(shù)與商品編號不會再有另外相同數(shù)字因此解的過程中用“拿走”這一說法是恰當(dāng)?shù)?方法二：商品編號的個(gè)位數(shù)字只可能是3、4、5.如果是3,那么874, 765, 364, 925這4個(gè)數(shù)中至多有三個(gè)數(shù)與商品編號有相同數(shù)字（百位有一個(gè)相同，十位有兩個(gè)相同 ），還有一個(gè)數(shù)與商品編號無相同數(shù)字，矛盾.如果是5,那么765, 925的個(gè)位數(shù)字是5,從而商品號碼的十位數(shù)字不是6、2,因此必須是7這時(shí)123、364中至少有一個(gè)與商品號碼無相同數(shù)字，矛盾.所以，該商品號碼的個(gè)位數(shù)字只能是4，而且這個(gè)號碼應(yīng)為 724 .即這個(gè)三位數(shù)為724

10、.5 .某樓住著4個(gè)女孩和2個(gè)男孩，他們的年齡各不相同，最大的 10歲，最小的4歲， 最大的女孩比最小的男孩大 4歲，最大的男孩比最小的女孩大4歲.求最大的男孩的歲數(shù).【分析與解】本題中最大的孩子，可能是男孩，可能是女孩.當(dāng)最大的孩子為女孩時(shí)，即最大的女孩為10歲，那么最小的男孩為10-4= 6歲，貝U 4歲定是最小的女孩，那么最大的男孩是4+4: 8歲，滿足題意；當(dāng)最大的孩子為男孩時(shí)，即最大的男孩為10歲，那么最小的女孩為10 4=6歲.則4歲一定時(shí)最小的男孩， 那么最大的女孩為 4+4=8歲，也就是說4個(gè)年齡不同的女孩的年齡在6 8之間，顯然得不到滿足.于是，最大的男孩為 8歲.6 .某次

11、考試滿分是 100分，A, B, C, D E這5個(gè)人參加了這次考試.A說：“我得了 94分.”B說：“我在5個(gè)人中得分最高.”C說：“我的得分是 A和D的平均分，且為整數(shù).”D說：“我的得分恰好是 5個(gè)人的平均分.”E說：“我比C多得了 2分，并且在5個(gè)人中居第二.”問這5個(gè)人各得了多少分？【分析與解】B、E分別為第一、二名，C介于A D之間，則當(dāng)A為第三時(shí)，C為第四，D為第五，得5人平均分的人為最后一名，顯然不滿足.于是D、C A只能依次為第三、四、五名，有 B E、D、C A依次為第一、二、三、四、 五名，A為94分，C為D A得平均分，且為整數(shù)，所以D的得分為偶數(shù)，只可能為 98或96

12、（如果為100，貝U B、E無法取值），D C A得分依次為 98、96、94或96、95、94,有E 比C高2分，貝U E、D、C、A得分依次為 98、98、96、94或97、96、95、94.對應(yīng)5個(gè)人的 平均分為98或96,而B的得分對應(yīng)為104或98,顯然B得不到104分.所以B E、D C、A的得分只能依次是 98、97、96、95、94.7 .在一次射擊練習(xí)中，甲、乙、丙3位戰(zhàn)士各打了 4發(fā)子彈，全部中靶.其命中情況如下： 每人4發(fā)子彈所命中的環(huán)數(shù)各不相同； 每人4發(fā)子彈所命中的總環(huán)數(shù)均為17環(huán)； 乙有2發(fā)命中的環(huán)數(shù)分別與甲其中的2發(fā)一樣，乙另2發(fā)命中的環(huán)數(shù)與丙其中的 2發(fā)一樣： 甲與丙只有1發(fā)環(huán)數(shù)相同； 每人每發(fā)子彈的最好成績不超過7環(huán).問：甲與丙命中的相同環(huán)數(shù)是幾 ？【分析與解】條件較多，一次直接求出滿足所有條件的情況有些困難，爭把條件分類，再逐個(gè)滿足之.第一步：使用枚舉法找出符合每發(fā)最多不超過7環(huán)、四發(fā)子彈命中的環(huán)型不相同， 和為17環(huán)的所有情況；第二步：在這些情況中去掉不符合條件、的，剩下的就是符合全部條利的情況，即 為