習題作業(yè)布置ppt課件

1、4.14.3習題的作業(yè)布置4.1 4.1 習題習題#1 ; #2 .#1 ; #2 .4.2 4.2 習題習題#1 (a),(b),(c); #5 ; #1 (a),(b),(c); #5 ; #10 .#10 .4.3 4.3 習題習題#1 (i),(ii),(iii); #3 ;#1 (i),(ii),(iii); #3 ;#10 .#10 .函數(shù)的概念函數(shù)的概念 從集合從集合X X到集合到集合Y Y的函數(shù)的函數(shù)f:Xf:XY Y是是X X到到Y(jié) Y的的滿足以下條件的二元關(guān)系滿足以下條件的二元關(guān)系f:f: x(xx(x X X!y(y!y(y YY x,yx,yf)f) x,yx,y函數(shù)函

2、數(shù)f f時時, ,記為記為f(x)= y,(xf(x)= y,(x稱為自稱為自變量變量,y,y稱為函數(shù)值稱為函數(shù)值) )函數(shù)函數(shù)f f的定義域等于的定義域等于其前域其前域:D(f)=X,:D(f)=X,其值域其值域R(f)R(f)記為記為f(X).f(X). 關(guān)系關(guān)系f f X X Y Y是函數(shù)關(guān)系的充要條件是是函數(shù)關(guān)系的充要條件是:f:f的定義域等于其前域和的定義域等于其前域和 x x x x( ( x,yx,y , , x,yx,yf fy=yy=y). ). 函數(shù)的合成函數(shù)的合成 設(shè)設(shè)f:Xf:XY Y和和g:Yg:YZ Z是函數(shù)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系, ,那么那么f f與與g g的合的合成關(guān)系

3、有意義成關(guān)系有意義, ,并且是從并且是從X X到到Z Z的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系, ,稱稱為函數(shù)為函數(shù)f f與與g g的合成函數(shù)的合成函數(shù), ,記為記為g(f).g(f). 證證: :我們知道我們知道g(f)g(f)是從是從X X到到Z Z的合成關(guān)系的合成關(guān)系. .由由f f是是函數(shù)得函數(shù)得 x(xx(x X X!y(y!y(y YY x,yx,yf),f), 令此獨一的令此獨一的y y為為y y( ( Y),Y),再由再由g g是函數(shù)得是函數(shù)得 !z(z!z(z ZZ y y,z,zg).g). x(xx(x X X!z(z!z(z ZZ x,zx,zg(f). g(f). 因普通關(guān)系的合成運算

4、是結(jié)合的因普通關(guān)系的合成運算是結(jié)合的, ,從而函數(shù)的從而函數(shù)的合成運算也是結(jié)合的合成運算也是結(jié)合的. .滿射滿射, ,單射單射, ,雙射函數(shù)的定義雙射函數(shù)的定義 函數(shù)函數(shù)f:Xf:XY Y稱為是滿射函數(shù)稱為是滿射函數(shù), ,假設(shè)假設(shè)f(X)=Y;f(X)=Y; 函數(shù)函數(shù)f:Xf:XY Y稱為是單射函數(shù)稱為是單射函數(shù), ,假設(shè)假設(shè) x x x x(x,x(x,x XxXx y yf(x)f(x) f(xf(x);); 函數(shù)函數(shù)f f稱為是雙射函數(shù)稱為是雙射函數(shù), ,假設(shè)假設(shè)f f同時是滿射的和同時是滿射的和單射的單射的. . 滿射函數(shù)的特性是其陪域與值域等同滿射函數(shù)的特性是其陪域與值域等同, ,即

5、陪域即陪域中每個元素都在象中中每個元素都在象中. . 描寫單射函數(shù)的條件按逆反律也可表達為描寫單射函數(shù)的條件按逆反律也可表達為: : x x x x(x,x(x,x Xf(x)=f(xXf(x)=f(x) )x=xx=x).). 函數(shù)函數(shù)f f為雙射當且僅當其陪域的每個元素是且為雙射當且僅當其陪域的每個元素是且僅是前域的一個元素的象僅是前域的一個元素的象( (從而從而|X|=|Y|).|X|=|Y|).例例: : g:0,1 g:0,1a,b, a,b, 其中其中,ba,g(x)=(b-a)x+a.,ba,g(x)=(b-a)x+a.因因g(x)g(x)被被x x獨一確定獨一確定, ,故故g

6、g是函數(shù)是函數(shù). .因?qū)γ總€因?qū)γ總€y y a,b,x=(y-a)/(b-a)a,b,x=(y-a)/(b-a) a,ba,b滿足滿足g(x)=y,g(x)=y,故故g g是滿射函數(shù)是滿射函數(shù). .因因g(x)=(b-a)x+a= g(x)=(b-a)x+a= g(xg(x)=(b-a)x)=(b-a)x+a +a x = x x = x, ,故故g g是單射函數(shù)是單射函數(shù). .結(jié)論結(jié)論:g:g是雙射函數(shù)是雙射函數(shù). . 同理可證同理可證:R:R上的恣意線性函數(shù)上的恣意線性函數(shù):f(x)=ax+b(a:f(x)=ax+b(a 0)0)都是都是R R上的雙射函數(shù)上的雙射函數(shù). .合成運算堅持函數(shù)

7、的滿射合成運算堅持函數(shù)的滿射, ,單射單射, ,雙射性雙射性 對于函數(shù)對于函數(shù)f:Xf:XY Y與與g:Yg:YZ Z的合成函數(shù)的合成函數(shù)g(f)g(f)成成立立: : f f滿射滿射gg滿射滿射g(f)g(f)滿射滿射; ; f f單射單射gg單射單射g(f)g(f)單射單射; ; f f雙射雙射gg雙射雙射g(f)g(f)雙射雙射. . 的證明的證明:g(f(x)=g(f(x:g(f(x)=g(f(x) f(x)=f(x f(x)=f(x) ( g) ( g為單射為單射) ) x = x x = x ( f ( f為單射為單射) ) x x x x(x,x(x,x Xg(f(x)=g(f(

8、xXg(f(x)=g(f(x)x=xx=x).). 的證明類似的證明類似( (見教本見教本););直接由和推出直接由和推出. .恒等函數(shù)與特征函數(shù)恒等函數(shù)與特征函數(shù) X X上的相等關(guān)系也是上的相等關(guān)系也是X X到本身的函數(shù)關(guān)系到本身的函數(shù)關(guān)系, ,稱為稱為X X上的恒等函數(shù)上的恒等函數(shù), ,記為記為1X,1X,即即 x(xx(x X X1X(x)=x)1X(x)=x) 1X1X是雙射函數(shù)是雙射函數(shù). . 令令U U為選集合為選集合,A,A U.U.集集A A的特征函數(shù)的特征函數(shù) A:UA:U0,10,1定義為定義為: :AxAxxA若若01)(特征函數(shù)的性質(zhì)特征函數(shù)的性質(zhì) A=A= x(x(

9、A(x)=0);A(x)=0); A=U A=U x(x( A(x)=1);A(x)=1); A A B B x(x( A(x)A(x)B(x); B(x); AB(x)= AB(x)= A(x)A(x) B(x).B(x). 證證:x:x AB AB x x AxAx B B A(x)=1A(x)=1 B(x)=1B(x)=1 A(x)A(x) B(x)=1.B(x)=1.集合集合X X上函數(shù)上函數(shù)f f的冪的冪 定義定義: f0 = 1X; f1 = f; f2 = : f0 = 1X; f1 = f; f2 = f(f); fk+1 = f(fk); f(f); fk+1 = f(fk)

10、; 性質(zhì)性質(zhì): : f f 有恣意次冪有恣意次冪; ; 取論述域為取論述域為X X上一切函數(shù)的集合上一切函數(shù)的集合:XX,:XX,那么那么 f(ff(f為滿為滿( (單單, ,雙雙) )射射k(kk(k N Nfkfk為為滿滿( (單單, ,雙雙) )射射).).4.2#1 4.2#1 以下函數(shù)能否滿以下函數(shù)能否滿, ,單單, ,雙射雙射? ?(d) f:N(d) f:N N NN,f(m,n)=mnN,f(m,n)=mn解解: 0: 0 N,f(0,0)=00 N,f(0,0)=00 沒有意義沒有意義, ,故故f f不是函數(shù)不是函數(shù). .(e) f:R(e) f:RR+ =(0,+R+ =(

11、0,+ ),f(x)=3x ),f(x)=3x 解解: : 因因3x 3x 是由是由x x決議的獨一正數(shù)決議的獨一正數(shù), ,故故f f是函數(shù)是函數(shù)( (指指數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)).).可證可證f f是雙射是雙射. .它為單射的理由是它為單射的理由是: : x x x x(f(x)=f(x(f(x)=f(x) )x=xx=x)(3x=3x)(3x=3x=y =y x=xx=x=log3 y); f=log3 y); f是滿射的理由是是滿射的理由是: : y(yy(y R+R+x(xx(x Rf(x)=y)Rf(x)=y)(x=log3 y(x=log3 y滿足滿足f(x)=y) f(x)=y) n n元

12、集元集X X上的雙射函數(shù)上的雙射函數(shù)P P稱為稱為n n次置換次置換 常令常令X=1,n,XX=1,n,X上的上的n n次置換次置換P P可用矩陣表可用矩陣表示如下示如下: : X X上兩個上兩個n n次置換次置換P,PP,P的合成的合成, ,常記為常記為P P P P. .令令 那么那么hihi可簡便地計算如下可簡便地計算如下: :先在的矩陣表示的先在的矩陣表示的第第i i列找到列找到P(i);P(i);再找到再找到P P的矩陣表示的第的矩陣表示的第P(i)P(i)列列, ,其下面的元素就是其下面的元素就是hi.hi. 不同不同n n次置換的個數(shù)是次置換的個數(shù)是n!.n!.)() 2 (2)

13、 1 (1nPnPPP.2121nhnhhPP;)( ) 2 ( 2) 1 ( 1nPnPPP4.2#10 4.2#10 知知4 4次置換次置換P P求其各次冪求其各次冪 依次計算依次計算P P的各次冪如下的各次冪如下: :4433221110XP241332411PP1423423134431221241332413P3443122124133241241332412P22411423423124133241PPPX假設(shè)假設(shè)f:Xf:XY Y是雙射函數(shù)是雙射函數(shù), ,那么其逆關(guān)那么其逆關(guān)系系ff也是雙射函數(shù)也是雙射函數(shù) f:Yf:YX X證證: :由定義知由定義知: : x,yx,yf f

14、y,xy,xf f 由由f f是滿是滿, ,單射也推出單射也推出; ; y(yy(y Y Y!x(x!x(x XX y,xy,xf)f)換句話說換句話說,f,f是函數(shù)是函數(shù). .此外此外, D(f)=f(X)=Y; , D(f)=f(X)=Y; f(Y)=X=D(f),f(Y)=X=D(f),易見易見:f:f也是滿也是滿, ,單射單射, ,即雙射即雙射. . XYxyff雙射函數(shù)雙射函數(shù)f:Xf:XY Y的逆關(guān)系的逆關(guān)系ff所獨一確定的所獨一確定的雙射函數(shù)稱為雙射函數(shù)稱為f f的逆函數(shù)的逆函數(shù), ,記為記為:f-1:Y:f-1:YX.X. 由關(guān)系求逆的對合性推出函數(shù)求逆的對由關(guān)系求逆的對合性推

15、出函數(shù)求逆的對合性合性: (f-1)-1 = f.: (f-1)-1 = f. f f為可逆函數(shù)為可逆函數(shù) f-1 f-1為可逆函數(shù)為可逆函數(shù). . f-1(f)=1X; f(f-1)=1Y; f-1(f)=1X; f(f-1)=1Y; 特別地特別地, ,對對X X上上恣意可逆函數(shù)都有恣意可逆函數(shù)都有 f-1(f)=f(f-1)=1Xf-1(f)=f(f-1)=1X 證證: x: x X,f(x)=yX,f(x)=y Y, f-1(y)=x,Y, f-1(y)=x, f-1(f(x)= f-1(y)=x=1X(x) f-1(f(x)= f-1(y)=x=1X(x) f- f-1(f)=1X1(

16、f)=1X 逆象的概念逆象的概念 定義定義: :函數(shù)函數(shù)f:Xf:XY Y陪域的子集陪域的子集Y Y Y Y的逆象定義的逆象定義為為 f-1(Y f-1(Y )=x|f(x)=x|f(x) Y Y 留意留意: :逆象記號中的逆象記號中的f-1f-1與逆函數(shù)記號中的與逆函數(shù)記號中的f-1f-1不是同一含義不是同一含義; ;并且并且 Y Y (Y(YY Yf-1(Yf-1(Y ) ) X.X. 例例:X=a,b,c,d,Y=0,1,2,3,4,:X=a,b,c,d,Y=0,1,2,3,4,函數(shù)函數(shù)f:Xf:XY Y由以下圖定義由以下圖定義. . f-1(0)=b; f-1(1)=a,c;f-1(0

17、)=b; f-1(1)=a,c; f-1(2,3)=d;f-1(2,4)=f-1(2,3)=d;f-1(2,4)=. . f-1(f(a)=f-1(1)f-1(f(a)=f-1(1) =a,c=a,c a=f-1(f(a)a=f-1(f(a)04132abcd函數(shù)誘導(dǎo)的等價關(guān)系函數(shù)誘導(dǎo)的等價關(guān)系 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f:Xf:XY Y的定義域的定義域( (即前域即前域) )非空非空, ,那么那么X X的以下子集族的以下子集族: : =f-1(y)|y=f-1(y)|y Yf-1(y)Yf-1(y) 構(gòu)成構(gòu)成X X的一個劃分的一個劃分.(y.(y y yf-1(y)f-f-1(y)f-1(y1(y) =) =, ,否那么否那么 x(xx(x Xf(x)=yf(x)=yXf(x)=yf(x)=y),),便與函數(shù)定義矛便與函數(shù)定義矛盾盾) ) 劃分劃分 導(dǎo)出的導(dǎo)出的X X上等價關(guān)系上等價關(guān)系R(xRxR(xRxf(x)=f(xf(x)=f(x)是這個關(guān)系的描寫是這個關(guān)系的描寫) )稱為函數(shù)稱為函數(shù)f f誘導(dǎo)的等價關(guān)系誘