二階微分方程應(yīng)用習(xí)題課ppt課件

1、高階微分方程高階微分方程應(yīng)用習(xí)題課應(yīng)用習(xí)題課第七章 微分方程一、兩類高階微分方程的解法一、兩類高階微分方程的解法 1. 可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法2. 二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法一、兩類高階微分方程的解法一、兩類高階微分方程的解法 1. 可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法d( )dnnyf xx)dd,(dd22xyxfxy令令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次積分求解逐次積分求解 2. 二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法 常系數(shù)齊次情形常系數(shù)齊次情形 代

2、數(shù)法代數(shù)法),(0為常數(shù)qpyqypy 20,rprq特征方程特征方程:xrxrCCy21ee2112,r r特征根:21rr 實(shí)根實(shí)根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特特 征征 根根通通 解解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .2. 二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法 常系數(shù)非齊次情形常系數(shù)非齊次情形 代數(shù)法代數(shù)法( ) ( , )ypyqyf xp q為常數(shù)為常數(shù)其中其中 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) ,)(xPm為為 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 .型)(e)(xPxfmx1)2, 1, 0(e)(*kxQx

3、yxmk此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .當(dāng)當(dāng) 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 時(shí)時(shí), 可設(shè)可設(shè)特解特解將此式代入原方程比較系數(shù)即可確定該特解將此式代入原方程比較系數(shù)即可確定該特解.2. 二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法 常系數(shù)非齊次情形常系數(shù)非齊次情形 代數(shù)法代數(shù)法( ) ( , )ypyqyf xp q為常數(shù)為常數(shù)2( )e( )cos( )sinxlnf xP xxP xx型型xRxRxymmxksincose*那么可設(shè)特那么可設(shè)特解解:其中其中 為特征方程的為特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), ilnm,ma

4、x上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.將此式代入原方程比較系數(shù)即可確定該特解將此式代入原方程比較系數(shù)即可確定該特解.的解的解. 例例1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),()(在xyy,)()(, 0的反函數(shù)是xyyyxxy內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)1) 試將試將 xx( y) 所滿足的微分方程所滿足的微分方程 變換為變換為 yy(x) 所滿足的微分方程所滿足的微分方程 ; 2) 求變換后的微分方程滿足初始條件求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y數(shù)數(shù), 且且23)0( y解解 ,1ddyyx, 1ddyxy即上式兩端對(duì)上式兩端

5、對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得 1) 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(2019考研考研)0)(dddd222 yyxyxy0)dd)(sin(dd322yxxyyx,1ddyyx0)(dddd222 yyxyxy222dddd()xyxyyy 3)(yy 代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin 2) 方程的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為方程的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 xxCCYee21設(shè)的特解為設(shè)的特解為 ,sincosxBxAy代入得代入得 A0,21B,sin21xy故從而得的通解從而得的通解: xCCyxxsin21ee21由初始條件由初始條件 ,23)0(, 0)0(yy得得1, 121

6、CC故所求初值問題的解為故所求初值問題的解為 xyxxsin21ee二、微分方程的應(yīng)用二、微分方程的應(yīng)用 1 . 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 列微分方程問題列微分方程問題建立微分方程建立微分方程 ( 共性共性 )利用物理規(guī)律利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系利用幾何關(guān)系確定定解條件確定定解條件 ( 個(gè)性個(gè)性 )初始條件初始條件邊境條件邊境條件可能還有銜接條件可能還有銜接條件2 . 解微分方程問題解微分方程問題3 . 分析解所包含的實(shí)際意義分析解所包含的實(shí)際意義 例例2解解 欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星, 為使其擺脫地球引為使其擺脫地球引力力, 初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度初始速度應(yīng)不小

7、于第二宇宙速度, 試計(jì)算此速度試計(jì)算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為地球質(zhì)量為 M , 衛(wèi)星衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的間隔的質(zhì)心到地心的間隔 為為 h , 由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得: 222ddhmMGthm,0v為(G 為引力系數(shù)為引力系數(shù))那么有初值問題那么有初值問題: 222ddhMGth又設(shè)衛(wèi)星的初速度又設(shè)衛(wèi)星的初速度，已知地球半徑51063R000dd,vtthRht222ddhMGth000dd,vtthRht),(ddhvth設(shè),dddd22hvvth則代入原方程代入原方程, 得得2ddhMGhvvhhMGvvdd2兩邊積分得兩邊積分得ChMG

8、v221利用初始條件利用初始條件, 得得RMGvC2021因而因而RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到注意到 221limvhRMGv12120為使為使,0v應(yīng)滿足0vRMGv20因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)h = R (在地面上在地面上) 時(shí)時(shí), 引力引力 = 重力重力, )sm81. 9(22ggmRmMG即即,2gRMG故代入即得代入即得81. 910632250gRv) s(m102 .113這說明第二宇宙速度為這說明第二宇宙速度為 skm2 .11yOy練習(xí)題練習(xí)題 從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器, 按探測(cè)要求按探測(cè)要求, 需確定儀器的下沉

9、深度需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度與下沉速度 v 之間的函數(shù)之間的函數(shù)關(guān)關(guān)系系. 設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開場(chǎng)下沉設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開場(chǎng)下沉, 在在下沉過程中還受到阻力和浮力作用下沉過程中還受到阻力和浮力作用, 設(shè)儀器質(zhì)量為設(shè)儀器質(zhì)量為 m,體積為體積為B , 海水比重為海水比重為 , 儀器所受阻力與下沉速度成儀器所受阻力與下沉速度成正比正比 , 比例系數(shù)為比例系數(shù)為 k ( k 0 ) , 試建立試建立 y 與與 v 所滿足的所滿足的微分方程微分方程, 并求出函數(shù)關(guān)系式并求出函數(shù)關(guān)系式 y = y (v) . (2019考研考研 )提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐

10、標(biāo)系如圖.質(zhì)量質(zhì)量 m體積體積 B由牛頓第二定律由牛頓第二定律B22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgBgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始條件為初始條件為00yv用分別變量法解上述初值問題得用分別變量法解上述初值問題得得得yOy質(zhì)量質(zhì)量 m體積體積 Btvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意: B22ddtymvkmg在閉合回路中在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為所有支路上的電壓降為 0.例例3 有一電路如下圖有一電路如下圖, ,sintEEm電動(dòng)勢(shì)為電阻電阻 R 和電和電. )(ti LERQ解解 列方程列方程 .知經(jīng)過電阻知經(jīng)過電

11、阻 R 的電壓降為的電壓降為R i ;經(jīng)過經(jīng)過 L的電壓降為的電壓降為d,diLt因而有因而有,0ddiRtiLE即即LtEiLRtimsindd初始條件初始條件: 00ti由回路電壓定律由回路電壓定律:其中電源其中電源求電流強(qiáng)求電流強(qiáng)度度感感 L 都是常量都是常量,解方程解方程:LtEiLRtimsindd00ti( )d( )d( )edP xxP xxyeQ xx C由初始條件由初始條件: 00ti得得222LRLECm)(ti tLRdetLEmsintLRmCtLtRLREe)cossin(222ttLRdedC利用一階線性方程解的公式可得利用一階線性方程解的公式可得 LERQtLR

12、mLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暫態(tài)電流暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流則令,arctanRL因而所求電流函數(shù)為因而所求電流函數(shù)為解的意義解的意義: LERQ求電容器兩兩極板間電壓求電容器兩兩極板間電壓 0ddiRCqtiLE練習(xí)題練習(xí)題 聯(lián)組成的電路聯(lián)組成的電路, 其中其中R , L , C 為常數(shù)為常數(shù) ,sintEEm所滿足的微分方程所滿足的微分方程 .cu解解 設(shè)電路中電流為設(shè)電路中電流為 i(t),的電量為的電量為 q(t) , 自感電動(dòng)勢(shì)為自感電動(dòng)勢(shì)為,LE由電學(xué)知由電學(xué)知,ddtqi ,CquCti

13、LELdd根據(jù)回路電壓定律根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一個(gè)電阻設(shè)有一個(gè)電阻 R , 自感自感L,電容電容C 和電源和電源E串串極板上極板上 在閉合回路中在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為所有支路上的電壓降為 0q LERQCqi,ddtqi ,CquC,ddtiLEL0ddiRCqtiLELCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串聯(lián)電路的振蕩方程串聯(lián)電路的振蕩方程:22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化為關(guān)于化為關(guān)于cu的方程的方程:,ddtuCiC注意故有故有 q LERQCqi假如電容器充電后撤去電源假如電容器充電后撤去電源 ( E = 0 ) , 那么

14、那么得得0dd2dd2022CCCututu當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí)當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí), 物體處于物體處于 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài), 例例4 質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體自在懸掛在一端固定的彈簧上的物體自在懸掛在一端固定的彈簧上,力與阻力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng)力與阻力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),xxO解解阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度向下拉物體使它分開平衡位置后放開向下拉物體使它分開平衡位置后放開,假設(shè)用假設(shè)用手手物體在彈性物體在彈性取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖. 設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 t 物位移為物位移為 x(t). 自在振動(dòng)情況自在振動(dòng)情況.彈性恢復(fù)力彈性恢復(fù)力

15、物體所受的力有物體所受的力有:(虎克定律虎克定律)xcf成正比成正比, 方向相反方向相反.1建立位移滿足的微分方程建立位移滿足的微分方程.據(jù)牛頓第二定律得據(jù)牛頓第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令那么得有阻尼自在振動(dòng)方那么得有阻尼自在振動(dòng)方程程:0dd2dd222xktxntx阻力阻力txRdd 強(qiáng)迫振動(dòng)情況強(qiáng)迫振動(dòng)情況. 假設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受鉛直外假設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受鉛直外作用，t pHFsin，令mHh 那么得強(qiáng)迫振動(dòng)方程那么得強(qiáng)迫振動(dòng)方程:t phxktxntxsindd2dd222力力2xxO解解在無外力作用下做自在運(yùn)動(dòng)在無外力作用下做自在運(yùn)動(dòng),求物體的運(yùn)動(dòng)

16、規(guī)律求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ,0v速度為. )(txx 為為 初始初始,0 xx設(shè)設(shè)t = 0 時(shí)物體的位置時(shí)物體的位置00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2的定解問題為的定解問題為由由1 知知, 位移滿足位移滿足方程方程:22ddtx02xk特征方程特征方程:, 022krkri2,1特征根特征根:tkCtkCxsincos21方程通解方程通解: 無阻尼自在振動(dòng)情況無阻尼自在振動(dòng)情況 ( n = 0 )利用初始條件得利用初始條件得:,01xC kvC02故所求特解故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv00022020tan,vxkkvxA)

17、sin(tkAx0 xAAxtO簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng) A: 振幅振幅, : 初相初相,周期周期: kT2:mck 固有頻率固有頻率 T0dd00vtxt, 000 xxt下圖中假設(shè)(僅由系統(tǒng)特性確定僅由系統(tǒng)特性確定)解的特征解的特征: :方程方程:特征方程特征方程:0222krnr222,1knnr特征根特征根:小阻尼小阻尼: n k臨界阻尼臨界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(e21tCtCxtn)(22nk trtrCCx21ee21tntCCxe)(21小阻尼自在振動(dòng)解的特征小阻尼自在振動(dòng)解的特征 : )sincos(e21tCtCxtn)(22nk 由初始

18、條件確定任意常數(shù)后變形由初始條件確定任意常數(shù)后變形)sin(etAxtntxOT0 x運(yùn)動(dòng)周期運(yùn)動(dòng)周期:;2T振幅振幅: tnAe衰減很快衰減很快,)0, 0(00vx此圖隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的增大物體的增大物體趨于平衡位置趨于平衡位置.大阻尼解的特征大阻尼解的特征: ( n k )1) 無振蕩現(xiàn)象無振蕩現(xiàn)象; trtrCCx21ee21222,1knnr其中22knn0.0)(limtxtOtx0 x此圖參數(shù)此圖參數(shù): 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 對(duì)任何初始條件對(duì)任何初始條件即隨時(shí)間即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置的增大物體總趨于平衡位置.臨界阻尼解的特征臨

19、界阻尼解的特征 :( n = k )任意常數(shù)由初始條件定任意常數(shù)由初始條件定, tntCCxe)(21)() 1tx最多只與最多只與 t 軸交于一點(diǎn)軸交于一點(diǎn); :,21取何值都有無論CC)(lim)3txt即隨時(shí)間即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置的增大物體總趨于平衡位置.0e)(lim21tnttCC2) 無振蕩現(xiàn)象無振蕩現(xiàn)象 ;此圖參數(shù)此圖參數(shù): 2n1 . 00 x10v0 xOxy3的作用，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的作用，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 解解 問題歸結(jié)為求解無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程問題歸結(jié)為求解無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程 tphxktxsindd222 當(dāng)當(dāng)p k 時(shí)時(shí), 齊次通解齊次通解: tk

20、CtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齊次特解形式非齊次特解形式:0,22bpkha因而原方程之解為因而原方程之解為假設(shè)設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力假設(shè)設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力 fsinFhpt和鉛直干擾力和鉛直干擾力Oxx代入可得代入可得: 當(dāng)干擾力的角頻率當(dāng)干擾力的角頻率 p 固有頻率固有頻率 k 時(shí)時(shí),)(sintkAxtppkhsin22自在振動(dòng)自在振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)!22將很大振幅pkh 當(dāng)當(dāng) p = k 時(shí)時(shí), )cossin(tkbtkatx非齊次特解形式非齊次特解形式:代入可得代入可得: khba2, 0方程的解為方程的解為 Oxxtphxktxsind

21、d222假設(shè)要利用共振現(xiàn)象假設(shè)要利用共振現(xiàn)象, 應(yīng)使應(yīng)使p 與與k 盡量靠近盡量靠近, 或或使使 )(sintkAxtktkhcos2隨著隨著 t 的增大的增大 , 強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅tkh2這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象 .可無限增大可無限增大,假設(shè)要防止共振現(xiàn)象假設(shè)要防止共振現(xiàn)象, 應(yīng)使應(yīng)使 p 遠(yuǎn)離固有頻率遠(yuǎn)離固有頻率 k ;p = k .自在振動(dòng)自在振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)機(jī)械來說對(duì)機(jī)械來說, 共振可能引起破壞作用共振可能引起破壞作用, 如橋梁被破壞如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等電機(jī)機(jī)座被破壞等, 但對(duì)電磁振蕩來說但對(duì)電磁振蕩來說, 共振可能起共振可能起有利作用有利作用, 如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理. Oxx練習(xí)練習(xí)1 1 容器內(nèi)溶液的含糖量問題容器內(nèi)溶液的含糖量問題100)0(m 一容器內(nèi)有糖水100L，含糖量為100克，現(xiàn)以5L/min的速度注入濃度為10克/L的糖水，同時(shí)將均勻混合的糖水以5L/min的速度排出