指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用

1、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo) ： 1.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用，能利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪的大小及解不等式(重點(diǎn))2.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具，并能運(yùn)用指數(shù)函數(shù)研究一些實(shí)際問題(難點(diǎn))合作 探 究 ·攻 重 難 利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小比較下列各組數(shù)的大?。?1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6 1.2和0.6 1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1 與a0.3(a>0 且a 1).解 (1)1.52.5,1.53.2可看作函數(shù)y 1.5x的兩個(gè)函數(shù)值，由于底數(shù)1.5>1，所以函數(shù)y 1.5x在R 上是

2、增函數(shù)，因?yàn)?.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6 1.2,0.6 1.5可看作函數(shù)y 0.6x的兩個(gè)函數(shù)值，因?yàn)楹瘮?shù)y 0.6x在R 上是減函數(shù)，且1.2>1.5，所以0.6 1.2<0.6 1.5.(3)由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，1.70.2>1.70 1,0.92.1<0.90 1，所以1.70.2>0.92.1.(4)當(dāng) a>1 時(shí)，y ax在R 上是增函數(shù)，故a1.1>a0.3；當(dāng) 0<a<1 時(shí)，y ax在R 上是減函數(shù)，故a1.1<a0.3. 規(guī)律方法 比較冪的大小的方法1 同底數(shù)冪比較大小時(shí)構(gòu)

3、造指數(shù)函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性比較2 指數(shù)相同底數(shù)不同時(shí)分別畫出以兩冪底數(shù)為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象，當(dāng)x 取相同冪指數(shù)時(shí)可觀察出函數(shù)值的大小3 底數(shù)、指數(shù)都不相同時(shí)，取與其中一底數(shù)相同與另一指數(shù)相同的冪與兩數(shù)比較，或借助“ 1” 與兩數(shù)比較4 當(dāng)?shù)讛?shù)含參數(shù)時(shí)，要按底數(shù)a>1 和 0<a<1 兩種情況分類討論343，32 跟蹤訓(xùn)練1比較下列各值的大?。?解 先根據(jù)冪的特征，將這4 個(gè)數(shù)分類：112343232(1)負(fù)數(shù)： 3 ； (2)大于1 的數(shù)： 3 ， 23； (3)大于 0且小于 1 的數(shù)： 4 .1312x(2)中，34 <23<23 (也可在同一平面直角坐標(biāo)系中，

4、分別作出y43 ， y 2x的圖象，再分別取x 3232故有 23 <342<343<23. 13x 1解 (1) 221， 原不等式可以轉(zhuǎn)化為21 x y21 在 R 上是減函數(shù)，3x 1 1， x 0， x 2，比較對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，如圖)，3310利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式3x 1(1)解不等式21 2；2x 3x 1 x 6(2)已知 a <a (a>0， a 1)，求 x的取值范圍.故原不等式的解集是x|x 0(2)分情況討論： 當(dāng) 0<a<1 時(shí)，函數(shù)f(x) ax(a>0， a 1)在 R 上是減函數(shù)，22 x 3x 1>x

5、 6， x 4x 5>0，根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)的圖象可得x< 1 或 x>5； 當(dāng) a>1 時(shí)，函數(shù)f(x) ax(a>0， a 1)在 R 上是增函數(shù)，22 x 3x 1<x 6， x 4x 5<0，根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)的圖象可得1<x<5.綜上所述，當(dāng)0<a<1 時(shí)，x< 1 或 x>5；當(dāng)a>1 時(shí)，1<x<5. 規(guī)律方法 跟蹤訓(xùn)練5 3x2若ax 1> a (a>0 且 a 1)，求x 的取值范圍5 3x解 因?yàn)閍x 1> a1 ，所以ax 1>a3x 5，當(dāng) a>1

6、時(shí)，y ax為增函數(shù)，可得x 1>3x 5，所以x<3；當(dāng) 0<a<1 時(shí)，y ax為減函數(shù)，可得x 1<3x 5，所以x>3.綜上，當(dāng)a>1 時(shí)，x的取值范圍為( ， 3)；當(dāng) 0<a<1 時(shí)， x的取值范圍為(3， )指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用 探究問題 2x 2x 11 函數(shù)f（x）t提示 ： 因?yàn)楹瘮?shù)y21在( ，)上單調(diào)遞減，函數(shù)txf x 的單調(diào)性 解 令 u x2 2x，則原函數(shù)變?yōu)閡11上遞減，在1 ， )上遞增，又 y3在 （ ， ）上遞減， 1 x 2x y在 （ ， 1上遞增，在1 ， ）上遞減 u x2 2x （x

7、1）21 1，u1y3 ，u 1， ），0<31 u13 3， 原函數(shù)的值域?yàn)椋?,32x1 在 ( ，2x 2x 11)上單調(diào)遞減，在(1， )上單調(diào)遞增，所以復(fù)合函數(shù)f(x)21在 ( ， )上單調(diào)遞減a 1)的單調(diào)性與yx2的單調(diào)性存在怎樣的關(guān)系？21)上單調(diào)遞增，在(1，2 函數(shù)y a x (a>0，且提示 ： 分兩類：(1)當(dāng)a>1 時(shí)，函數(shù)y a x 的單調(diào)性與yx2的單調(diào)性一致；(2)當(dāng)0<a<1 時(shí)，函數(shù)y a x 的單調(diào)性與yx2的單調(diào)性相反2x 2x判斷f(x)1 的單調(diào)性，并求其值域.3思路探究 ： 令2u x 2xu x 的單調(diào)性yu1 的

8、單調(diào)性u(píng)1y3 .u x2 2x （x 1）2 1 在 （ ，2 x 2x母題探究：1.把本例的函數(shù)改為“f(x) 2 ”，求其單調(diào)區(qū)間2 x 2x 解 函數(shù)y2 的定義域是R .令ux22x，則y 2u.當(dāng)x( ，1時(shí)，函數(shù)ux22x為增函數(shù)，函數(shù)y2u是增函數(shù)，2 x 2x所以函數(shù)y 2 在 ( ， 1上是增函數(shù)當(dāng)x1 ，)時(shí)，函數(shù)ux22x 為減函數(shù)，函數(shù)y2u是增函數(shù)，所以函2 x 2x數(shù)y 2 在 1 ， )上是減函數(shù)2 x 2x綜上，函數(shù)y 2 的單調(diào)減區(qū)間是1 ， )，單調(diào)增區(qū)間是( ， 11 ax2 2x2把本例函數(shù)改為“f(x)13，且 f(x)有最大值9”，求a的值g(x)

9、 解 令g(x) ax2 2x，則f(x)31，由于 f(x)的最大值為9，所以g(x)的最小值為2. 2x1 當(dāng)a0 時(shí)，f(x)3 ，無(wú)最大值 當(dāng)a0 時(shí)，由題意可知a>0，1 4解得a 2，4a 2，1所以，當(dāng)f(x)的最大值為9時(shí)， a 的值為21. 規(guī)律方法 函數(shù)y af x a>0， a 1 的單調(diào)性的處理技巧1 關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y afx a>0，且a 1 的單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底數(shù)a>1 還是 0<a<1；二是 f x的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)y au， u fx復(fù)合而成.2 求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y f u

10、 ，u x ，通過考查f u 和 x 的單調(diào)性，求出y f x 的單調(diào)性.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo) ·固 雙 基 1若2x 1<1，則x的取值范圍是()A ( 1,1)B ( 1，)C (0,1) (1，)D (，1)D 2x 1<1 20，且y 2x是增函數(shù)， x 1<0，x< 1.2下列判斷正確的是()A1.72.5>1.73C 2< 2B0.82< 0.83D 0.90.3> 0.90.5D y 0.9x在定義域上是減函數(shù)，0.3< 0.5，0.90.3>0.90.5.1 x3函數(shù)y12的單調(diào)增區(qū)間為()A RB(0，)C (1，)D (0,1)u(x)111A令u(x) 1 x，則u(x)在R 上是減函數(shù)，又y2 是減函數(shù)，故y2x在 R 上單調(diào)遞增，故選A.4已知a2，函數(shù)f(x)ax，若實(shí)數(shù)m，n 滿足f(m)>f(n)，則m，n 的大小關(guān)系為 .m<na2 (0,1)，f(x)ax在R 上是減函數(shù)，又f(m)>f(n)， m<n.5已知函數(shù)f(x) ax(a>0 且 a 1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)2， 9 .