小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)典案例分析

1、上海市教委教研室 姚劍強 本課程從新課程的教學(xué)基本理念和數(shù)學(xué)教學(xué)理論的觀點出發(fā)，立足小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的典型案例進行分析研究，多角度透視、觀察教學(xué)行為，根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本規(guī)律，探索并掌握“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”等學(xué)習(xí)領(lǐng)域的教學(xué)要求和教學(xué)優(yōu)化策略的途徑和方法。 1.聚焦新課程背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。2.注重對教學(xué)理念的詮釋、對教學(xué)策略的探討、對教師智慧的研究、對教學(xué)實效的反思、對教學(xué)細節(jié)的關(guān)注。3.提供小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)典型案例及分析。 通過學(xué)習(xí)、比較、分析小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的不同案例，進一步理解新課程的教學(xué)基本理念，把握數(shù)學(xué)課程標準的要求，把握小學(xué)數(shù)學(xué)教材、教學(xué)和小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點

2、，提高小學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)設(shè)計能力、課堂教學(xué)能力和教學(xué)反思能力。 一、學(xué)習(xí)領(lǐng)域的案例與分析“數(shù)與代數(shù)”的案例與分析“圖形與幾何”的案例與分析“統(tǒng)計與概率”的案例與分析二、學(xué)習(xí)主題的案例與分析關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的案例與分析關(guān)注信息技術(shù)整合的案例與分析關(guān)注拓展內(nèi)容教學(xué)的案例與分析 標準化測試題 績效作業(yè) 在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，“數(shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容劃分為“數(shù)的認識”、“數(shù)的運算”、“常見的量”、“式與方程”、“比和比例”和“探索規(guī)律”幾個部分。其中，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)與百分數(shù)的認識以及相應(yīng)的四則運算是本階段“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，是學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和日常生活的工具。數(shù)學(xué)課程標準指出：數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)，應(yīng)幫助

3、學(xué)生建立數(shù)感和符號意識，發(fā)展運算能力和推理能力，初步形成模型思想。 強調(diào)問題情景的創(chuàng)設(shè)。 強調(diào)“數(shù)感”和“符號意識”的培養(yǎng)。 強調(diào)計算教學(xué)與解決問題教學(xué)的融合。 強調(diào)估算的學(xué)習(xí)，提倡算法的多樣化。 增加了負數(shù)的認識和計算器的使用。 刪減了珠算。 削弱了大數(shù)目運算的要求。 數(shù)感是新課程的核心感念，理解數(shù)感的感念，并讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中建立數(shù)感，是新課程強調(diào)和重視的問題。為什么要強調(diào)數(shù)感？到底什么是數(shù)感？怎樣發(fā)展學(xué)生的數(shù)感？一直是老師們十分關(guān)注的問題。 數(shù)感是人對數(shù)與運算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法做出數(shù)學(xué)判斷，和為解決復(fù)雜的問題選擇有用的策略。數(shù)感，使人眼中看到的世界有了量化的

4、意味，當遇到與數(shù)學(xué)相關(guān)的具體問題時，能自然地、有意識地和數(shù)學(xué)相聯(lián)系，用數(shù)學(xué)的觀點和方法來處理問題。1.關(guān)于數(shù)與數(shù)量表示；2.數(shù)量的大小比較；3.對數(shù)量的估計；4.對運算結(jié)果的估計；5.對各種數(shù)量關(guān)系的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義,理解或表述具體情境中數(shù)量關(guān)系。 1000以內(nèi)數(shù)的認識這部分內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了20以內(nèi)數(shù)的認識、100以內(nèi)數(shù)的認識的基礎(chǔ)上，將認數(shù)的范圍擴展到萬以內(nèi)。它不僅是大數(shù)的計算的基礎(chǔ)，而且是在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用。教材中編排了一幅體育館召開運動會的情境圖，主要讓學(xué)生在具體的情境中感受大數(shù)的意義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、估計意識和能力。例1通過實踐操作數(shù)數(shù)，認識計

5、數(shù)單位“千”，感知更大的數(shù)的組成，發(fā)現(xiàn)每兩個相鄰的計數(shù)單位之間都是十進制的關(guān)系。例2的教學(xué)主要是使學(xué)生會讀、寫1000以內(nèi)的數(shù)，并能說出每個數(shù)的組成。1000以內(nèi)數(shù)的認識，學(xué)生認數(shù)的范圍擴大到四位。這是學(xué)習(xí)讀、寫多位數(shù)的基礎(chǔ)。因此，這部分內(nèi)容是進一步學(xué)習(xí)認數(shù)的重要基礎(chǔ)知識。同時，這部分內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感的重要素材。 這節(jié)課是學(xué)生認識1000以內(nèi)數(shù)的第一課時。在這之前，學(xué)生對100以內(nèi)的數(shù)已經(jīng)非常熟悉了，不僅會熟練地讀、寫100以內(nèi)的數(shù)，而且還會用數(shù)的組成來介紹這些數(shù)。本課是在學(xué)生已經(jīng)掌握了這些知識的基礎(chǔ)上，進一步認識更大的計數(shù)單位千，以及三位數(shù)中間、末尾“0”的讀法與寫法，這既是學(xué)生認知上

6、的一次拓展，也是今后進一步認識萬以內(nèi)數(shù)的基礎(chǔ)。 黃老師在認真鉆研教材的基礎(chǔ)上，找準學(xué)生的認知起點，精心設(shè)計教學(xué)過程，有效促進課堂生成。主要有以下幾個鮮明的特點： 1圍繞教學(xué)目標，創(chuàng)設(shè)有效情境。圍繞教學(xué)目標，創(chuàng)設(shè)有效情境。2關(guān)注學(xué)習(xí)過程，重視數(shù)感培養(yǎng)。關(guān)注學(xué)習(xí)過程，重視數(shù)感培養(yǎng)。（1）通過層層遞進的數(shù)數(shù)和撥珠過程，讓學(xué)生在感知數(shù)是）通過層層遞進的數(shù)數(shù)和撥珠過程，讓學(xué)生在感知數(shù)是數(shù)出來的同時，自然引出數(shù)出來的同時，自然引出“一千一千”。（2）通過數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生進一步體會相鄰計數(shù)單位之間）通過數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生進一步體會相鄰計數(shù)單位之間的進率是的進率是“十十”，感知百與千、一與千的關(guān)系，發(fā)展數(shù)感。，

7、感知百與千、一與千的關(guān)系，發(fā)展數(shù)感。3靈活處理教材，完善認知結(jié)構(gòu)。靈活處理教材，完善認知結(jié)構(gòu)。 10個10個10個千百十一一第一，在學(xué)生體驗中建立數(shù)感。第二，在比較中發(fā)展數(shù)感。第三，在表達與交流中促進數(shù)感的形成。第四，在解決問題中強化數(shù)感。1.你對數(shù)感是怎樣理解的？2.你認為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的途徑還有哪些？ 算法多樣化有別于一題多解，它是針對計算過程中，不同的學(xué)生會從各自的生活經(jīng)驗和思考角度出發(fā)，產(chǎn)生不同的思考方法而提出的一種教學(xué)策略。它強調(diào)尊重學(xué)生的獨立思考。鼓勵學(xué)生探索不同的方法，并非讓學(xué)生掌握多種方法，而是教師在教學(xué)中鼓勵、尊重學(xué)生的思維結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生進行討論、交流，適時地點撥、肯定有創(chuàng)意的

8、方法，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和探索精神。 1. 對課程目標的全面認識 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不僅僅是獲得知識和技能，還要在數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感態(tài)度等多方面得到發(fā)展。看起來學(xué)生在觀察、實驗、嘗試、修正等過程中花費了時間，但他們卻通過獨立思考與合作交流創(chuàng)造性地解決了問題，發(fā)展了自己解決問題的能力和創(chuàng)新精神；他們通過在嘗試過程中的逐步調(diào)整，加強了自己的數(shù)感和估計能力；他們在檢驗猜想并進行修正的過程中，發(fā)展了運用數(shù)學(xué)的自信心和自我評價的能力，而所有這些都是數(shù)學(xué)課程所希望培養(yǎng)學(xué)生的重要目標。 2. 有益于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解 學(xué)生能夠而且應(yīng)該“發(fā)明”自己的計算策略，這種“發(fā)明”對他們的數(shù)學(xué)理解是很有幫助的

9、。如：對算理的理解。3. 有助于教師對學(xué)生的觀察此外，學(xué)生使用的策略也向老師顯示了他們的思考方式和思維水平，這使得教師有機會反思并改進自己的教學(xué)。 1.首先應(yīng)給學(xué)生充分獨立思考的時間，鼓勵他們獨立探索計算的方法，在此基礎(chǔ)上的交流才是有價值的; 如：每個人都想一想。 把你的想法在紙上寫一寫。 在“算法多樣化”的實際教學(xué)中，還需要強調(diào)幾點： 2.交流的必要性和充分性。 學(xué)生應(yīng)學(xué)習(xí)澄清自己的思路，并運用自己的語言表達 思維過程。 多種方式進行表達（自然語言、圖、表、符號）。 還應(yīng)學(xué)習(xí)傾聽他人的方法（重復(fù)、確認、淡化） 。如：說一說，你聽見了什么？ 有沒有不一樣的方法？ 反思自己的方法，最終選擇并逐步

10、掌握適合的方法。 如：再想一想自己原來的方法。 選擇最合適的方法。 在練習(xí)中再說一說自己的方法。 掌握必要的方法（如豎式）。“蜻蜓點水”或無效的討論不僅達不到思維碰撞的效果，而且有可能造成有的學(xué)生一無所獲。3.教師應(yīng)注意發(fā)揮自己的作用。 不能以權(quán)威的身份將現(xiàn)成的方法強加給學(xué)生。 有權(quán)利和義務(wù)提供自己認為最好的方法。 適當?shù)膹娀?.你認為算法多樣化與一題多解有什么不同？2.要不要在教學(xué)中優(yōu)化算法？ 小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的“圖形與幾何”是幾何學(xué)中初步的、小學(xué)生能夠接受的知識。這些知識不僅在日常生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，而且對小學(xué)生建立空間觀念，培養(yǎng)幾何直觀與推理能力都有著獨特的、不可替代的作用。 2

11、001年數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）將小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“幾何初步知識”改稱“空間與圖形”，作為課程內(nèi)容的一個領(lǐng)域。這個課程標準規(guī)定的關(guān)于“圖形與幾何”將主要內(nèi)容分為“圖形的認識”、“測量”、“圖形與變換”和“圖形與位置”幾個部分。 要認識一種圖形，明確圖形的特征，形成圖形的概念，有兩種基本模式：一是從典型的實際事例出發(fā)，二是從已有的相關(guān)知識出發(fā)。大致表現(xiàn)為以下三種情形：1.舉出典型事例讓學(xué)生觀察，從事例抽象出圖形，分析它們的屬性；找出共同屬性，區(qū)分本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性；最后，概括共同的本質(zhì)屬性，以形成概念。如認識長方形。2.研究新授概念的某個相鄰概念的屬概念；將這個概念適當分類；弄清每一類的特征，實

12、現(xiàn)概念的分化，進而明確新授概念的種差。如認識銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形。3.先舉出典型事例，再出現(xiàn)屬加種差定義。如認識梯形。 有交點沒有交點無論怎樣延長都沒有交點適當延長后就有交點同一平面內(nèi)的兩條線段有交點沒有交點同一平面內(nèi)的兩條(不重合的)直線 (一)概念的獲得,常常需要運用適當?shù)氖吕?但是有些概念涉及“無限”或“無窮”,很難找到該概念的現(xiàn)實原型.這時,我們不得不構(gòu)造出某種事物,作為引出此概念的先導(dǎo).在這一節(jié)課中,為了幫助學(xué)生弄清同一平面內(nèi)的兩條(無限延伸著的)直線的位置關(guān)系,先引導(dǎo)他們研究兩條線段(有限的圖形),然后研究直線(無限的圖形),從有限到無限. (二)在教學(xué)“平行線間的公

13、垂線段相等”時,首先讓學(xué)生運用合情推理提出猜想,然后用論證推理來論證猜想,構(gòu)成一個完整的發(fā)現(xiàn)過程,實現(xiàn)“直觀幾何、實驗幾何與論證幾何的結(jié)合”. 認識平行線,明確“兩條直線或線段平行”所必須具各的條件. 根據(jù)“探究學(xué)習(xí)”的理念設(shè)計一個教學(xué)片斷：梯形面積的計算。 “測量”的教學(xué)內(nèi)容包括：初步建立長度和角度、面積和體（容）積等幾何量的概念；認識常用的長度和角度、面積和體（容）積的計量單位；會用刻度尺和量角器計量長度和角度；掌握常見的幾何圖形的周長公式和面積公式以及常見的幾何形體的表面積和體積的計算公式；會用測量工具進行簡單的土地丈量，會計算形狀比較簡單的土地的面積。 在這類案例中，既有相關(guān)的概念教學(xué)

14、，又有計算公式的教學(xué)。為了得出一個公式，有時可以用演繹推理來論證；有時只能用合情推理，說明公式的發(fā)現(xiàn)過程；有時甚至只能用實驗的方法說明公式的合理性。運用實驗的方法時，最重要的是要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和目標設(shè)計適當?shù)膶嶒灒寣W(xué)生動手操作，使之切實可行，行之有效?！景咐?】 三角尺的三個內(nèi)角和是180直角三角形三個內(nèi)角和是180三角形的三個內(nèi)角和是180 舉例說明：怎樣引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合使用直觀的方法、實驗的方法和論證的方法去獲取知識？ “圖形與位置”這一部分內(nèi)容是新課程中增加的內(nèi)容，它是包括在“圖形與幾何”中的一部分教學(xué)內(nèi)容。通過“圖形與位置”的教學(xué)，使學(xué)生能夠用“上、下、左、右、前、后”以及“東、南、西、北

15、”等詞語來描述物體的相對位置，理解用方向和距離或有序數(shù)對來確定物體位置的方法。掌握識圖和制圖的初步技能。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思考與數(shù)學(xué)的表達 為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好必要基礎(chǔ) 培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要載體 目前，教材中有兩種確定位置的方法，它們實際上分別對應(yīng)了中學(xué)要學(xué)習(xí)的平面直角坐標系和極坐標系，它們都是平面上確定位置的方法。 如上圖,平面直角坐標系有一個坐標原點o,然后是橫軸、縱軸。在這樣的情況下,一個點對應(yīng)著橫坐標和縱坐標,如圖中的p(2,2)。我們常說的幾行幾列就是直角坐標。極坐標系,首先也有一個原點o,然后是極軸。對于點p,就用op的長度(極徑)及op相對于極軸的角度(極角)來刻畫,如p(3,60)。

16、我們常說的距離方向就是極坐標。兩種刻畫位置的方法,既有不同點,又有一些相同點:都要有原點；都要用兩個要素來刻畫,這兩個要素可以是兩個長度,也可以是一個長度、一個角度。 小學(xué)的教育無疑要為初中、高中的教育做準備,學(xué)生以后要學(xué)習(xí)坐標系，坐標系肯定是數(shù)學(xué)的內(nèi)容了,現(xiàn)在我們講的確定位置,實際就是坐標系的萌芽,現(xiàn)在我們一點一點的積淀,到真正的笛卡兒坐標系出現(xiàn)的時候,就變成一個順理成章的過程了。以后,還有極坐標系,還有其他形形色色的坐標系,那么所有這些坐標系,其實都是建立在我們小學(xué)關(guān)于方向和位置的認識的基礎(chǔ)之上的。 數(shù)學(xué)跟其他學(xué)科相比,在學(xué)習(xí)圖形與位置上的不同,就是數(shù)學(xué)的表達。你在其他的學(xué)科也會學(xué)習(xí)確定位

17、置,但是要把它用數(shù)學(xué)的語言表達下來,就需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了。另外,數(shù)學(xué)還要思考背后的道理是什么,為什么用數(shù)對就能刻畫平面上點的位置。實際上就牽涉到對維數(shù)的一種認識。教師可以設(shè)計一些活動,使學(xué)生體會到,如果在一條直線上確定位置,比如說在小組一排中確定位置,告訴我從哪里開始數(shù)。只要1個數(shù)就可以了；在平面上就要用2個數(shù),即數(shù)對；比如電影院里，上面有一層、下面有一層,就要用3個數(shù)來刻畫了。當然,確定位置的內(nèi)容也是發(fā)展學(xué)生空問觀念的良好素材?！景咐?】 1.難點的突破。位置的表示方法是二期課改數(shù)學(xué)課程標準新增的教學(xué)內(nèi)容，大家都比較陌生。對教師而言，在教學(xué)設(shè)計之前了解學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，是有效教學(xué)的前提與基礎(chǔ)。是

18、“數(shù)對有序性” 的理解？還是某些特殊點的數(shù)對表示？通過課前訪談虞老師發(fā)現(xiàn)我們成人習(xí)以為常的規(guī)定未必與學(xué)生的認知心理相一致。就本課教學(xué)內(nèi)容來說，真正的難點在于兒童的觀察習(xí)慣與笛卡爾的規(guī)定存在沖突與矛盾。通常，兒童的觀察習(xí)慣是，他們往往先關(guān)注與橫軸平行的線，也就是先看縱軸數(shù)據(jù)，再看橫軸數(shù)據(jù)。這正好與數(shù)對的次序規(guī)定相反。針對學(xué)生的認知心理，我在自學(xué)問題的設(shè)計與電腦的動態(tài)演示中，特意安排了一些環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生辨析、掌握“先橫后縱”的規(guī)定，收到了較好的教學(xué)效果。 2.起點的把握。對于有序數(shù)對這個新增內(nèi)容來講，我們還要明確本課教學(xué)的起點，它的承前啟后。虞老師今天的教學(xué)很好地回答了這個問題。其實，有序數(shù)對的啟

19、蒙教學(xué)開始于一年級。當時教學(xué)自然數(shù)的序數(shù)意義時，學(xué)生知道了幾個與第幾個的區(qū)別。當時的“第幾個”實際上就是一維坐標，只要用一個數(shù)就可以確定直線上一個點的位置。在此基礎(chǔ)上，今天這節(jié)課的“突破點”就在于，出現(xiàn)了兩個條件，用“兩個第幾”來確定平面上點的位置。再進一步，有序數(shù)對的后續(xù)發(fā)展，有兩個方向。一個方向就是用角度和距離刻畫平面上點的位置，也就是解析幾何中的二維極坐標。在教育部的數(shù)學(xué)課程標準中，這個內(nèi)容出現(xiàn)在第二學(xué)段。 我們上海認為這個內(nèi)容難了，小學(xué)、初中都沒有出現(xiàn)。至于有序數(shù)對后續(xù)發(fā)展的第一個方向，就是在初中正式引進平面直角坐標系，用圖像法研究函數(shù)的性質(zhì)，然后進入高中再系統(tǒng)學(xué)習(xí)解析幾何。我覺得虞老

20、師今天這節(jié)課的可貴之處，就是確立了研究教學(xué)內(nèi)容的整體觀、系統(tǒng)觀，把握了知識的來龍去脈，然后在知識系統(tǒng)的背景下展開新的教學(xué)活動。 3.亮點的體現(xiàn)。我覺得這節(jié)課還有兩個亮點。一個是比較有效地讓小學(xué)生感悟了坐標規(guī)定的必要性與合理性。我們看到，老師首先激發(fā)認知沖突，讓學(xué)生感悟“一個第幾”不夠了，同時啟發(fā)學(xué)生類比：“一個第幾”要規(guī)定從何數(shù)起，那么“兩個第幾”除了要規(guī)定從哪里數(shù)起之外，第一個數(shù)表示什么、第二個數(shù)表示什么，也要做出規(guī)定。第二個亮點是順應(yīng)兒童的認知特點，選擇適當?shù)淖鴺讼翟?。關(guān)于坐標系的原型，目前較為流行的選擇是，從學(xué)生的座位抽象出直角坐標系。我經(jīng)過反復(fù)思考，最終在曹老師、嚴老師的支持下，決定

21、放棄學(xué)生的座位這個現(xiàn)實模型。 因為，首先學(xué)生的座位習(xí)慣上不需要原點和0刻度線；其次，把學(xué)生的座位投映到屏幕上時，有一個旋轉(zhuǎn)的過程。還是從學(xué)生的認知心理角度考慮，初次接觸坐標系時，過多的變化因素會對學(xué)生的感知產(chǎn)生干擾。所以我選取了學(xué)生感興趣的圍棋棋譜（可以下五子棋）作為數(shù)學(xué)抽象的模型，因為它與數(shù)學(xué)的直角坐標系具有比較多的一致性。然后等到鞏固練習(xí)時，再用游戲的形式，請同學(xué)用數(shù)對表示自己的座位，學(xué)生也能應(yīng)答自如。 總之，這節(jié)課虞老師很好地確立了教學(xué)設(shè)計的學(xué)科思想觀與兒童認知觀。找準了學(xué)生學(xué)習(xí)的起點，突破了學(xué)習(xí)的難點，呈現(xiàn)了不少設(shè)計與教學(xué)上的亮點，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性。 你對確定數(shù)學(xué)方法的數(shù)學(xué)原

22、理是如何理解的？ “統(tǒng)計與概率”主要研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機現(xiàn)象，它通過對數(shù)據(jù)收集、整理、描述和分析以及對事件發(fā)生可能性的刻畫，來幫助人們作出合理的推斷和預(yù)測。 數(shù)學(xué)課程標準將“統(tǒng)計與概率”分三個學(xué)段安排了有關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容。第一學(xué)段安排的主要內(nèi)容與要求是：對數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程有所體驗，學(xué)習(xí)一些收集、整理和描述數(shù)據(jù)的簡單方法，能根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果回答一些簡單的問題，初步感受事件發(fā)生的不確定性和可能性。第二學(xué)段安排的主要內(nèi)容與要求是：經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程，進一步學(xué)習(xí)收集、整理和描述數(shù)據(jù)的簡單方法，并根據(jù)數(shù)據(jù)分析的結(jié)果作出簡單的判斷和預(yù)測；進一步體會事件發(fā)生可能性的含義，并能計算一些簡單事件發(fā)生的可

23、能性。 “統(tǒng)計與概率”最重要的核心詞是統(tǒng)計觀念、隨機觀念。下面分別就這兩個核心概念展開一些討論。 數(shù)學(xué)課程標準中提出，統(tǒng)計觀念主要表現(xiàn)在以下幾個方面：認識到統(tǒng)計對決策的作用，能從統(tǒng)計的角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問題；通過收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程，作出合理的決策；能對數(shù)據(jù)的來源、收集和描述數(shù)據(jù)的方法、由數(shù)據(jù)得到的結(jié)論進行合理的質(zhì)疑。 從以上的表述可以看到，在小學(xué)階段對學(xué)生來說統(tǒng)計觀念（又叫數(shù)據(jù)分析的觀念）是非常重要的，因此把它作為統(tǒng)計教學(xué)的一個核心詞。具體包括以下幾個方面： 數(shù)據(jù)的意識。能想到用數(shù)據(jù)來處理問題。實際上用數(shù)據(jù)來進行推斷是一種重要的思維方式。 體會數(shù)據(jù)中是蘊含著信息的。所以我們要

24、經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程，即數(shù)據(jù)處理的過程，把信息提取出來。 根據(jù)背景來選擇合適的方法。統(tǒng)計既是一門科學(xué)，有自己的一些數(shù)學(xué)方法；但它又是一門藝術(shù)，也就是說要根據(jù)實際的背景，選擇不同的方法。比如數(shù)的運算結(jié)果就是對和錯，而數(shù)據(jù)往往沒有一個嚴格意義上的對和錯，不是說這堆數(shù)據(jù)一定要用平均數(shù)刻畫就對了?！景咐?】 “平均數(shù)”是統(tǒng)計學(xué)中的一個重要統(tǒng)計量，被安排為五年級第一學(xué)期的統(tǒng)計這個單元的起始課。由于學(xué)生此前已經(jīng)進行了諸如求每份數(shù)、求平均速度等相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，因此，對于五年級學(xué)生來說，求平均數(shù)的基本計算方法并沒有多少困難。所以本節(jié)課不能將學(xué)生淹沒在求平均數(shù)的具體計算方法中，而是要從“統(tǒng)計與

25、概率”的視角審視和處理這一教學(xué)內(nèi)容。1. 理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義，掌握求平均數(shù)的基本方法。 2. 在探究求“平均數(shù)”方法的過程中，提高學(xué)生靈活選用方法的能力。3. 初步形成對一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估測能力。4運用數(shù)學(xué)思想方法解決生活中有關(guān)平均數(shù)的問題，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。 第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪小胖5個5個5個5個5個小亞4個5個6個7個8個小巧8個8個4個7個5個小丁丁 8個7個4個7個 由于新教材將平均數(shù)歸為“統(tǒng)計與概率”這一范疇，更注重了對“平均數(shù)”統(tǒng)計內(nèi)涵的理解?；谶@個認識，整個教學(xué)過程中設(shè)計引用了許多貼近學(xué)生生活的實例，借助生活情景中的“特定數(shù)據(jù)”幫助學(xué)生深化對于平均數(shù)統(tǒng)計意義的理

26、解，如“平均數(shù)是一個虛擬的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，它不小于最小數(shù)，不大于最大數(shù)”等是本節(jié)課的學(xué)習(xí)要點。 本節(jié)課從“統(tǒng)計與概率”的視角，借助求平均數(shù)的具體過程，來不斷深化學(xué)生對平均數(shù)統(tǒng)計意義的理解。將學(xué)生投籃數(shù)用“條形統(tǒng)計圖”的形式呈現(xiàn)出來，不僅將平均數(shù)置于“統(tǒng)計”的大背景下，而且為學(xué)生理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義提供了感性支撐，并讓“數(shù)”與“形”相結(jié)合。從肯定“移”的直觀方便到“移不了”，感受了“移”的局限性，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生的認知沖突，從而導(dǎo)出求平均數(shù)的基本方法“求和平分”，進而明白了平均數(shù)是一個虛擬的統(tǒng)計量。通過對小丁丁補投一輪的討論，學(xué)生對影響平均數(shù)的相關(guān)因素有了初步的理解。并進一步理解了一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不小于最小

27、數(shù)，不大于最大數(shù)。在實際生活應(yīng)用這一板塊中，學(xué)生體會到知識的運用要結(jié)合具體情況作具體分析，不可機械套用。 最后一段周立波的關(guān)于“人均居住面積”的視頻將整堂課推入了高潮，孩子們相告訴周立波的是：1.平均數(shù)是一個虛擬的數(shù)，所以他并沒有真真住在75平方米。2.周立波所講述的是戶均的概念，而不是人均的概念。由此可見，學(xué)生對平均數(shù)的理解相當?shù)轿?，并能做到活學(xué)活用，已達成了原先所期望的教學(xué)目標和教學(xué)效果。 1.什么是統(tǒng)計觀念？如何在統(tǒng)計過程中發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念？ 2.在數(shù)據(jù)分析過程中，如何根據(jù)實際問題來選擇合適的統(tǒng)計量？ 概率是研究隨機現(xiàn)象的一門學(xué)科。隨機現(xiàn)象跟確定現(xiàn)象有什么不同呢？ 第一，就是它的不確定

28、性不確定性，也就是在相同的條件下做一件事，可能是這個結(jié)果，也可能是那個結(jié)果。舉例說，擲一枚硬幣，事先誰也無法預(yù)料，到底是正面朝上還是反面朝上。 第二，就是要能夠重復(fù)做實驗，或者說近似地認為可以重復(fù)做實驗，不是說所有的不確定性都是用概念來解決的。那么重復(fù)做實驗以后，人們發(fā)現(xiàn)每一次雖然無法確定，但是重復(fù)做實驗中，它會呈現(xiàn)一種穩(wěn)定性穩(wěn)定性。 這就是隨機現(xiàn)象特點的兩個方面：一個就是不確定性，一個就是大量重復(fù)實驗的時候它的穩(wěn)定性?！景咐?】 實驗總次數(shù)正面朝上的次數(shù)反面朝上的次數(shù)105510551091104610731064106410641064104610371028 我們來討論案例6中學(xué)生提到的

29、幾個問題,有一些問題我們是容易解決的。比如說有的學(xué)生提到的:我們猜想的是10個硬幣中應(yīng)該出現(xiàn)5正5反,結(jié)果卻出現(xiàn)了9正1反這樣的極端情況,這是為什么?現(xiàn)在就很好理解了,因為它是不確定的,既可以出現(xiàn)9正1反,甚至也可能會出現(xiàn)0正10反,當然這種可能性就比較小,這正是不確定性的特征。所以老師在教學(xué)中就可以往這方面引導(dǎo):同樣的做10次,為什么我們的結(jié)果會不一樣。 怎么理解正面朝上的概率是呢。我們可以通過技術(shù)來模擬一個過程,從中體會頻率穩(wěn)定在概率的意思。首先請老師們先把頻率和概率這兩個概念分清楚。頻率,是正面朝上的次數(shù)除以實驗總次數(shù),它是不確定的,因為你每次做的情況不一樣,頻率是可以變化的。概率是一個

30、確定的值,有老師說概率也是不確定的,這是一種混淆,我想慢慢學(xué)習(xí)就會弄清楚。 什么叫大量重復(fù)實驗頻率穩(wěn)定在概率,并不是說我做了1萬次以 后,統(tǒng)計那時候的正面朝上的次數(shù)就正好是5千次,而是說有這么一個趨勢。就是說,當大量重復(fù)實驗時頻率和概率相差比較大的可能性,它的極限是等于零的。這實際上就是大數(shù)定律。 我們還可以借助下面的圖體現(xiàn)頻率穩(wěn)定在概率。首先做了10次實驗,4個小組,算出頻率為0.5,0.3,0,6,0,8,差距挺大的,畫出來以后好像波動挺大的,不是0.5(下面的左圖)。然后,做了100次實驗,也是4個組,最后發(fā)現(xiàn)確實也有絕對數(shù)上的偏差,但是頻率一個是0,55,一個0.51,一個0.48,一

31、個0.52,這個時候離0.5,好像波動就沒有那么大了,就開始有穩(wěn)定性了。 通過這樣一個例子的剖析,可以幫助我們理解概率。有的老師就會說了,擲10次硬幣中正好出現(xiàn)5次正面朝上的概率到底大還是不大。我不知道老師們猜想得怎么樣,反正我調(diào)查過老師們的結(jié)果,猜正好5次正面朝上的概率是0.5的老師非常非常多。但是有的老師感覺很好,他說不是那么容易的,可能沒有o.5那么大。其實,我們?nèi)绻嬲ビ嬎愕脑?那么10次中正好出現(xiàn)5次的概率是25%左右?！景咐?】 討論的時機討論的問題討論的目的連續(xù)三次摸出白球后 怎么會連續(xù)三次摸到白球？使學(xué)生感悟到每次摸球的結(jié)果在摸之前是無法確定的，連續(xù)多次摸到白球也是有可能的.

32、第四次會摸到什么顏色的球？使學(xué)生認識前一次或幾次摸球的結(jié)果并不會對后一次產(chǎn)生影響，初步感悟隨機事件的發(fā)生是相互獨立的.并且和人的心理期望沒有任何關(guān)系.第六次學(xué)生依然摸到白球時真的摸不到黃球嗎？使學(xué)生明確：盒子里有黃球。只要不停地摸下去，是一定能摸到黃球的（如果摸的次數(shù)足夠多，摸到白球和黃球的次數(shù)大致相等）.第七次學(xué)生摸到黃球后對“可能性”有了哪些認識？引導(dǎo)學(xué)生感悟隨機現(xiàn)象的本質(zhì).1.隨機現(xiàn)象有什么特點？用什么方式來幫助學(xué)生體會隨機現(xiàn)象的特點？2.怎么理解頻率穩(wěn)定在概率，在拋硬幣實驗中，是不是實驗次數(shù)越多正面朝上的可能性越接近？ 數(shù)學(xué)課程標準提出：信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的價值、目標、內(nèi)容以及教

33、學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實效。要充分考慮計算器、計算機對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，大力開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效的改進教育學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。 信息技術(shù)與小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科整合的研究與實踐告訴我們，借助信息技術(shù)，教師為學(xué)生提供了豐富的課程資源。信息技術(shù)與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)整合，改變了知識的呈現(xiàn)方式，改變了師生之間、生生之間的交往方式。 信息技術(shù)與小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科整合要思考在全新的課堂教學(xué)中，除了傳統(tǒng)的媒體資源外，

34、各種現(xiàn)代化的設(shè)施、手段已紛紛登臺亮相，如多媒體計算機、液晶投影儀、實物展臺、網(wǎng)絡(luò)、電子白板等，這些都為教與學(xué)的順利高效進行提供了廣闊的背景和有力的保障。關(guān)鍵是如何在不同的條件下整合優(yōu)化多種教學(xué)媒體的使用，充分發(fā)揮教學(xué)媒體的最大功效，為課堂教學(xué)和學(xué)生思維提供最優(yōu)質(zhì)的服務(wù)?！景咐?】 圓的面積公式推導(dǎo),其主要的數(shù)學(xué)思想方法是轉(zhuǎn)化。但是這個轉(zhuǎn)化過程區(qū)別于以前推導(dǎo)平行四邊形、三角形等面積公式的過程。囚為圓是曲線圖形,而轉(zhuǎn)化的結(jié)果應(yīng)該是一個直線圖形,所以在這個轉(zhuǎn)化過程中,學(xué)生的探究思維過程會受到一定的阻礙。這時,需要學(xué)生采用一種極限思維方式,對剪、拼的過程進行大膽的想象?？墒?小學(xué)生畢竟由于年齡特征和思

35、維特點的局限,對這種趨向極限的假想思維過程難以把握,所以,教師在設(shè)計中采用了多媒體計算機技術(shù),讓無限平均分的過程直觀地展示在學(xué)生的眼前,并動態(tài)地拼成長方形(無限類似、接近),讓學(xué)生真切地感受到原來的猜想是可靠的,為后面推導(dǎo)圓的面積公式奠定了重要的基礎(chǔ)。 本節(jié)課在信息技術(shù)與學(xué)科整合上所使用的策略是：用在思維探究的關(guān)鍵點。教學(xué)過程中,教師要善于把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的難易度,對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程要有一定的預(yù)見性,在學(xué)生思維探究的關(guān)鍵處采用恰當?shù)默F(xiàn)代教學(xué)媒體手段及時地點撥提示,盡可能地使學(xué)生通過直觀的演示準確地把握思維過程,發(fā)展學(xué)生的想象思維和抽象思維能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。 在這個演示過程中,多媒體發(fā)揮了

36、傳統(tǒng)媒體無可比擬的特殊作用。而事實上,傳統(tǒng)媒體也是無法實現(xiàn)這樣的教學(xué)效果的。而且,教師還可以進一步運用圖形的閃爍還原功能,激發(fā)學(xué)生的有意注意和數(shù)學(xué)思考,認識“長方形的長相當于圓周長的一半、長方形的寬相當于圓的半徑”這樣的結(jié)論。 這樣的教學(xué)媒體設(shè)計,著眼于學(xué)生思維探究活動的關(guān)鍵點,通過無限分割、拼合的直觀演示,使學(xué)生在興奮中初步領(lǐng)會“化圓為方,化曲為直”的數(shù)學(xué)思想方法,減緩了學(xué)生思辨推理的難度,同時向?qū)W生滲透了極限的思想,有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。 【案例10】 在設(shè)計“年月日”這一內(nèi)容的教學(xué)方案時,傳統(tǒng)的做法往往是讓學(xué)生在家里收集多個年份的年歷片,然后在課堂中觀察、學(xué)習(xí)新知。然而,學(xué)生所收集的

37、年歷往往都是同一年份的,大多是本年度或剛過去的一年的,缺少豐富性,更很少有閏年年份的,所以學(xué)習(xí)資源的稀缺往往使得“年月日”的知識教學(xué)缺乏探究味,學(xué)生往往是被動地接受知識。這種現(xiàn)象在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下得到了徹底的改觀。豐富的網(wǎng)絡(luò)資源,便捷的互動方式,有利于提高課堂教學(xué)的實效性。網(wǎng)絡(luò)化的學(xué)習(xí)環(huán)境拓展了學(xué)生自主探究和發(fā)展的空間,幫助學(xué)生及時地獲得了必要的信息。在上述的教學(xué)設(shè)計中,網(wǎng)絡(luò)資源的利用充分關(guān)注了課堂教學(xué)的效益, 網(wǎng)絡(luò)“萬年歷”為教與學(xué)提供了極大的便利,用在了刀刃上,因而體現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下現(xiàn)代教學(xué)媒體的效益適用性。 網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的課堂教學(xué)是當前教學(xué)改革的前沿課題。從信息論的觀點來看,在有限的課堂教學(xué)活動時

38、間內(nèi)盡量多地增加學(xué)生的有效信息量,無疑將有利于學(xué)生對新知的理解與掌握?；诰W(wǎng)絡(luò)環(huán)境的課堂教學(xué)具有很突出的優(yōu)勢,如信息豐富、資源共享、溝通便捷、多向交流等。但是,并不是說任何一堂數(shù)學(xué)課都適合在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下進行,教師必須要充分地考慮教學(xué)內(nèi)容適不適合在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下進行,有沒有必要使用網(wǎng)絡(luò)。不少教師認為網(wǎng)絡(luò)無所不能,困此想方設(shè)法地把網(wǎng)絡(luò)用到課堂教學(xué)的每個環(huán)節(jié)中,特別是當學(xué)生學(xué)習(xí)遇到困難時,更是把網(wǎng)絡(luò)作為救星,動輒便讓學(xué)生上網(wǎng)查詢資料,搜集信息。這種做法是不可取的。 【案例11】 折線統(tǒng)計圖的認識是上海小學(xué)數(shù)學(xué)二期課改新教材（試驗本）四年級第二學(xué)期第三單元“統(tǒng)計”中的一個內(nèi)容。教材上有五個例題，一般可以通過

39、三到五個課時來完成。今天上的是第一課時，這一課時的教學(xué)目標是：1.初步認識單式折線統(tǒng)計圖。2.通過觀察比較、分析知道單式折線統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖各自的特點。3.會看單式折線統(tǒng)計圖，能根據(jù)單式折線統(tǒng)計圖回答簡單的問題，能從單式折線統(tǒng)計圖上獲取數(shù)據(jù)變化情況的信息，并根據(jù)數(shù)據(jù)變化的信息進行合理的推測。4.通過看折線統(tǒng)計圖，融入“兩綱教育”，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，增強學(xué)生民族自豪感，感受生命的可貴。 基于以上目標，教師將教材上題一至題三進行了整合與改變。由于學(xué)生在學(xué)習(xí)這節(jié)課之前的春游，剛?cè)ミ^上?？萍拣^，對于科技館較熟悉和親切，所以就以2006年上?？萍拣^的參觀人數(shù)情況統(tǒng)計圖作為主題展開教學(xué)，使教學(xué)內(nèi)容的選擇更貼近學(xué)生生活