對坐標的曲線積分 ppt課件

1、5.2 對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分(型曲線積型曲線積分分) 一、問題的提出一、問題的提出二、對坐標的曲線積分的概念二、對坐標的曲線積分的概念三、對坐標的曲線積分的計算三、對坐標的曲線積分的計算oxyABL一、問題的提出一、問題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實例實例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取極限取極限. ),()

2、,(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、對坐標的曲線積分的概念二、對坐標的曲線積分的概念11111,.,(),1,2,.,: (),iiiiiiiiniiiiLABFLL ABnP PP PQF QP P inF QP P 設 是一條以 為起點以 為終點的光滑有向曲線是定義在 上的有界向量值函數 把 自 到 任意地分成 個有向子弧段在毎一個有向小弧段上任取一點作點

3、積將各個小弧段所對應的點積相加得和式1.定義定義101,lim().niiiLiFLABF dSF QP P 存在，則稱此極限為向量值函數 沿 由點 到點 的第二類曲線積分 記為101,.0,: lim()iniiiiLQF QP P 如果不論 將怎樣劃分 點怎樣選取 當各小弧段長度的最大值時 上述和式極限,),(),(叫做被積函數叫做被積函數其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L. ),(),(lim),(),(),(),()(),(,101111niiiiiiiLLniiiiiiiniiiiiiiiiiiyQxPdyyxQdxyxPSdFyQxPPPQFQjyixPP在直角坐標系下在

4、直角坐標系下,第二類曲線積分的坐標形式第二類曲線積分的坐標形式jyxQiyxPFL),(),(,在直角坐標系下為平面曲線設2.存在條件：存在條件：.),(),(,),(),(存在第二類曲線積分上連續(xù)時在光滑曲線弧當LdyyxQdxyxPLyxQyxP3.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF特別地特別地,當當L為封閉的有向曲線時為封閉的有向曲線時,將上式寫成將上式寫成:LdyyxQdxyxP),(),(4.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧. RdzQdyPdx.),(lim),(10

5、iiiniixPdxzyxP.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ.),(lim),(10iiiniizRdzzyxR5.5.性質性質即的積分異號到點和積分與由點到點由點沿路徑路徑的有向性,:) 1 (ABBAL即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關.)()()()(ABLBALQdyPdxQdyPdx則任意三點上的是曲線設路徑的可加性，LAAA321,:)2()()()()()()(322131AALAALAALSdFSdFSdF記作為正方向規(guī)定逆時針方向為封閉曲線時當路徑,)3(LLSdFLLdzzyxRdyzyxQdxzyxPdyyxQdxyx

6、P),(),(),(),(),(或三、對坐標的曲線積分的計算三、對坐標的曲線積分的計算 (化為定積分計算）化為定積分計算）,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導數續(xù)導數一階連一階連為端點的閉區(qū)間上具有為端點的閉區(qū)間上具有及及在以在以運動到終點運動到終點沿沿的起點的起點從從點點時時到到變變單調地由單調地由當參數當參數的參數方程為的參數方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設設 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理5.2dttttQtttPdyyxQdxyxPL)(

7、)(),()()(),(),(),(且( ),:():,( ),( , )( , )( ),( )( , )( , ),.().LxtL ABtytP x y dxQ x y dyxtytP x y dxQ x y dyt 即 當時計算是將代入被積表達式中 化為關于 的定積分 積分下限為出發(fā)點對應的參數積分上限為終點對應的參數不一定小于.,)()()(:終點起點推廣ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終終點點為為起起點點為為 .)()(,)(,dxxyxyx

8、QxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終終點點為為起起點點為為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則化為對化為對x或或y的定積分的定積分例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算BAxyLxydxL 解解的的定定積積分分，化化為為對對x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B:, :10:, :01AO yx xOB yx x 的的定定積積分分，化化為為對對y)2(,:2yxLBA

9、 ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的的直直線線段段軸軸到到點點沿沿從從點點的的上上半半圓圓周周針針方方向向繞繞行行、圓圓心心為為原原點點、按按逆逆時時半半徑徑為為為為其其中中計計算算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 )0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原原式式. 0 問題：被積

10、函數相同，起點和終點也相同，但問題：被積函數相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結果不同路徑不同積分結果不同.（即該（即該型曲線積分型曲線積分與路徑有關）與路徑有關） 03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1 , 1 (),0 , 1 ()0 , 0(,)3(;) 1 , 1 ()0 , 0()2(;) 1 , 1 ()0 , 0() 1 (,2222依次是點，這里有向折線的一段弧到上從拋物線的一段弧到上從拋物線為其中計算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的積積分分化化為為對對 xxdxdyxxyL2, 10,:2變到

11、從 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對化為對 yydydxyyxL2,10,:2變到從10422)22(2dyyyyydyxxydxL 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原原式式,上上在在 OA,10, 0變變到到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變變到到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B問題

12、：被積函數相同，起點和終點也相同，但問題：被積函數相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結果相同路徑不同而積分結果相同. （即該（即該型曲線積型曲線積分與路徑無關）分與路徑無關）小結：以上計算對坐標的曲線積分的方法小結：以上計算對坐標的曲線積分的方法稱為直接法，具體步驟為稱為直接法，具體步驟為:1. 畫出畫出L的圖形，指明該有向曲線的方向，的圖形，指明該有向曲線的方向，寫出寫出L的方程，參數變量的變化起點、終的方程，參數變量的變化起點、終點）點）2. 將將L的方程代入被積表達式中，簡化被積的方程代入被積表達式中，簡化被積表達式表達式P(x,y)dx+Q(x,y)dy3. 將對坐標的曲線積分化

13、為定積分。將對坐標的曲線積分化為定積分。注意：定積分的下限為積分變量的起點注意：定積分的下限為積分變量的起點定積分的上限為積分變量的終點。定積分的上限為積分變量的終點。積分變量積分變量2(5) ,C(1,0),(0,1),|(-1,0),(0,-1)Cdxdyxy 習題其中， 為以為頂點的正方形閉路，逆時針方向為正向。12341234 :1,:10:1,:01:1,: 10:1,:01CCCCCCyxdydx xCyxdydx xCyxdydx xCyxdydx x 分析分析01011010()()()()0dxdxdxdxdxdxdxdx1234| CCCCCdxdydxdydxdydxdy

14、xyxyxyxydxdyxy lssysxL0 ,)()(：設有向平面曲線弧為)cos,(cos,),(2222ssssssyxyyxxyxL為處的切線向量的方向角上點四四 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：LLdsdsdyQdsdxPQdyPdx)(則dsssQssPLcos)(),(cos)(),(dssssssQsssssPL)()()()(),()()()() )(),(2222方向角處的切向量的上點為有向曲線其中二類曲線積分的關系為即第一類曲線積分與第),(,)coscos(yxLdsQPQdyPdxLLLLdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(,的關系為與

15、第二類曲線積分對空間第一類曲線積分同理LLxxxdsQPQdyPdxyyybaxxyyL)coscos(,1cos,11cos:),(22：當有向平面曲線弧為LLyyydsQPQdyPdxxxxdcyyxxL)coscos(,11cos,1cos:),(22：當有向平面曲線弧為,),( 為為處處的的切切線線向向量量的的方方向向角角上上點點zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(則則 dstA rdA, dsAt可用向量表示可用向量表示，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲線元；有向曲線元；.上上的的投投影影在在向向量量為為向向量量t

16、AAt處的單位切向量處的單位切向量上點上點),(zyx 解：先由解：先由L的方程的方程y=y(x)求出求出)(xyy例例4 把對坐標的曲線積分把對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分，其中化為對弧長的曲線積分，其中L為沿上半圓周為沿上半圓周從點從點0，0到點到點1，1）。）。LdyyxQdxyxP),(),(xyx222那那么么22xxy22222)21(1111cosxxxxxyxLLdsxyxQxxyxPQdyPdx)1)(,(2),(2得得xxxxxxxyyxx1)21(1211cos2222四、小結四、小結1、對坐標曲線積分的概念、對坐標曲線積分的概念2、對坐標曲線積分的計算方法、對坐標

17、曲線積分的計算方法1-直直接法）接法）3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系、兩類曲線積分之間的聯(lián)系LLdsQPQdyPdx)coscos(coscoscos )PdxQdyRdzPQRds思考題思考題 當當曲曲線線L的的參參數數方方程程與與參參數數的的變變化化范范圍圍給給定定之之后后（例例如如L：taxcos ，taysin ，2,0 t，a是是正正常常數數），試試問問如如何何表表示示 L的的方方向向（如如L表表示示為為順順時時針針方方向向、逆逆時時針針方方向向）？ 思考題解答思考題解答曲線方向由參數的變化方向而定曲線方向由參數的變化方向而定.例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中

18、中當當t從從 0 變變到到 2時時，L取取逆逆時時針針方方向向;反反之之當當 t從從 2變變到到 0 時時，L 取取順順時時針針方方向向. 一、一、 填空題填空題: :1 1、 對對_的曲線積分與曲線的方向有關；的曲線積分與曲線的方向有關；2 2、 設設0),(),( dyyxQdxyxPL, ,則則 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 dyyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限對應于對應于L的的_點點, ,上限上限 對應于對應于L的的_點；點；4 4、兩類曲線積分的聯(lián)系是

19、、兩類曲線積分的聯(lián)系是_ _. .練練 習習 題題二、二、 計算下列對坐標的曲線積分計算下列對坐標的曲線積分: : 1 1、 Lxydx, ,L其中其中為圓周為圓周)0()(222 aayax及及 x軸所圍成的在第一象限內的區(qū)域的整個邊界軸所圍成的在第一象限內的區(qū)域的整個邊界( (按按 逆時針方向繞行逆時針方向繞行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其中其中為圓周為圓周 222ayx ( (按逆時針方向饒行按逆時針方向饒行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其其中中為為有有向向閉閉折折線線ABCD, ,這這里里 的的CBA,依依次次為為點點( (1 1, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,1 1, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,1 1) )； 4 4、 ABCDAyxdydx, ,其其中中ABCDA是是以以)0 , 1(A，)1 , 0(B, , )0 , 1(