計算方法例題解答.doc

1、計算方法例題解答緒論 1. 在進行一個工程問題數(shù)值計算時，一般誤差有哪些可能的來？ 模型誤差、參數(shù)誤差（測量、計算等）、理論誤差（算法、模型應(yīng)用）、舍如誤差 （基本含義對即可）第一章 插值 1. 什么是插值？請寫出線性插值公式和拋物插值公式。 2. 已知，求的插值多項式。 解：由題意知： 3. 今需作滿足條件的插值多項式，采用什么插值方法（多項式），請給出多項式的構(gòu)造步驟。 解法1：根據(jù)三次Hermite插值多項式： 并依條件，得 解法2：由于，故可直接由書中（3.9）式，得 4. 設(shè)分段多項式 是以為節(jié)點的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)的值。 解：由可得 解得 5. 對某扭振減振器剛度進行了測量，

2、得出了一組扭矩相對扭轉(zhuǎn)角的數(shù)值如下表所示，現(xiàn)需要得出扭轉(zhuǎn)角為0.3 o、0.8 o、2.3 o時的扭矩，請給出合適的拉格朗日插值方案，即如何選取積分節(jié)點和積分公式。 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 扭轉(zhuǎn)角(O) 0.0025 0.1504 0.4386 0.7038 0.9945 1.2903 1.647 1.9635 2.491 扭矩(Nm) 1.270 111.8 328.9 530.6 755.5 986.8 1271.0 1526.1 3140.2 （如下兩種均可，每個4分）選擇線性插值公式時： 1) 0.3 o時，選擇2、3點 2) 0.8 o時，選擇4、5點 3) 2.3

3、 o時，選擇8、9點 選擇拋物插值公式時： 1) 0.3 o時，選擇1、2、3點 2) 0.8 o時，選擇3、4、5點 3) 2.3 o時，選擇7、8、9點 第二章 數(shù)值逼近和曲線擬合 1. 計算下列函數(shù)關(guān)于的2范數(shù)： 注： 解：（1）（2）2. 求，使積分取得最小值。 解：題意即為在中求的最佳平方逼近多項式，故滿足法方程 或者按下述方法： 因為 上式分別對求偏導(dǎo)，并令其為零，有 從而也有 ， 3. 用最小二乘原理求矛盾方程組 的最小二乘解。 注：給定線性代數(shù)方程組，當(dāng)時，稱其為超定方程組。求使得 取最小值。應(yīng)用微分學(xué)中多元函數(shù)求極值的方法可以證明為方程組 的解。稱為超定方程組的最小二乘解。

4、解法一： 由題意得： 所以即是所求的最小二乘解。 誤差平方和為 解法二：求，使誤差平方和 為最小，令 得方程組如下： 解方程組有： 4. 用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合，并估計平方誤差。 19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 解： 將=19,25,31,38,44分別代入，得 所以誤差 5. 求形如的經(jīng)驗公式，使它能和下表給出的數(shù)據(jù)相擬合。 1 2 3 4 5 6 7 8 153 205 274 366 491 656 878 1176 解： 設(shè)，兩邊取對數(shù)得令，則有 設(shè)，于是得到正規(guī)方程組: 其中, ， 正規(guī)方程組化為: 得=

5、2.43689 =0.291211 =2.43689所以=11.45 =0.291211 =2.43689所以=11.45 1=0.291211 6. 求函數(shù)在給定區(qū)間上對于的最佳平方逼近多項式： 解：設(shè)（1）(2) 。 。 7. 什么是曲線擬合？請給出建立的主要步驟。 主要步驟： 1）讀入數(shù)據(jù)表 2）給出2次多項式形式，定義內(nèi)積運算 3）計算法方程線性方程組的系數(shù)矩陣、右端項 4）求解線性方程組，得出二次多項式系數(shù) 5）得出二次多項式函數(shù)并輸出系數(shù) 第三章 數(shù)值積分 1. 分別用梯形公式計算積分。 解：1）用梯形公式有： 2. 用復(fù)合梯形公式計算下列積分. (1)，（3），（4）解：（1）用

6、復(fù)合梯形公式有： ， 解（3）： 由復(fù)合梯形公式有： （4）解： 由復(fù)合梯形公式： 3. 利用代數(shù)精度方法構(gòu)造0,1區(qū)間內(nèi)的兩點Gauss求積公式，并給出代數(shù)精確度。 解：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 解得： 代數(shù)精確度：3 4. 在一維數(shù)值積分中，梯形計算公式有幾階代數(shù)精確度；兩點高斯積分公式可以滿足3階的代數(shù)精確度，請簡述其原因。 梯形公式有1階代數(shù)精確度； 兩點高斯公式有3階代數(shù)精確度,其原因：因為積分公式中有兩個積分點位置和兩個積分常數(shù)，共四個參數(shù)，可以通過滿足4個條件解出。所以可以實現(xiàn)03次多項式的精確積分，故此有3次代數(shù)精確度。 5. 用復(fù)合梯形公式計算積分，計算中函數(shù)值參照下表。

7、1/8 1/4 3/8 1/2 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 5/8 3/4 7/8 1 0.9361556 0.9088516 0.8771926 0.8414709 （10分）第四章 線性方程組 1. 在應(yīng)用高斯消去法進行線性方程組求解時，常需要應(yīng)用選主元高斯消去法，請簡述選主元的原因。 因為高斯消去時，需要進行將對角元素作為除數(shù)的除法運算，當(dāng)其為0或接近0時，講出現(xiàn)數(shù)據(jù)溢出或誤差過大，選擇矩陣中絕對值大的元素，移到對角位置，則消元時可避免這一問題出現(xiàn)。 2. 用Gauss消去法解方程組 解:方程組寫成矩陣形式為 對其進行Gauss消去得

8、得方程組 3. 用Gauss列主元素消去法解方程組 解：因為第一列中10最大,因此把10作為列主元素 得到方程組 4. 已知，求二范數(shù)。 解： 5. 設(shè)計算A的條件數(shù) 解： 矩陣A的較大特征值為198.00505035，較小的特征值為-0.00505035，則 第五章 非線性方程 1. 證明在內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不大于的根要迭代多少次？ 證明：設(shè) 由于 且當(dāng)時， 因此方程在區(qū)間內(nèi)有一個根。 由解得 所以需要迭代14次，才能使求得的根的誤差不大于。 2. .能否用迭代法求解下列方程 解： 故迭代格式收斂，可以用其來求解方程。 設(shè) 可知在上存在一個根，即 當(dāng)時， 可知不能用迭代格式來求解方

9、程。 可將方程變形為令 所以迭代格式收斂，可以用其來求解方程。 3. 給出牛頓迭代格式，計算給定的方法求在附近的根。 解： 將它們代入公式有， 取計算結(jié)果列于下表，并和比較得出結(jié)果， 0 1 2 3 2 1.888889 1.879452 1.879385 解得 4. 設(shè)構(gòu)造求解方程的Newton迭代格式； 解：由從而有Newton迭代格式 第六章 常微分方程 1. 用Euler格式計算初值問題 的解函數(shù)在時的近似值（取步長）。 解：將代人Euler格式，注意到則有： 據(jù)可得計算結(jié)果如下 即 2. 需要對某常微分方程初值問題進行數(shù)值求解，請給出數(shù)值計算主要步驟；隨著積分過程，其誤差具有什么特點。 步驟： 1) 定義導(dǎo)數(shù)運算函數(shù)或子程序 2) 定義計算初始值 3) 給出積分步長和計算終止條件 4) 選擇并實現(xiàn)計算方法，如龍格庫塔法等 5) 進行積分運算 6) 單步輸出或最后統(tǒng)一輸出計算結(jié)果（離散點數(shù)據(jù)值）誤差特點：誤差具有不可避免的累積過程，積分步長和方法不同，會有差異。 第七章 其它 一 請簡述需要應(yīng)用弱形式進行偏微分方程數(shù)值求解基本原理和關(guān)鍵過程。 基本原理：采用弱形式方程代替強形式作為求解方程，選擇合適的線性空間進行描述試驗函數(shù)和界定試驗函數(shù)尋求范圍；通過選擇權(quán)函數(shù)并帶入弱形式方程，獲得計算試驗函數(shù)中待定系數(shù)的代數(shù)