空間直角坐標(biāo)系學(xué)生

1、 知識梳理1空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫作空間向量(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量(4)共面向量：平行于同一個平面的向量2共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定理a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使得ba，則向量b與非零向量a共線推論如圖所示，點P在l上的充要條件是：ta其中a叫直線l的方向向量，tR，在l上取a，則可化為t或(1t)t.(2)平面向量定理的向量表達(dá)式：a1e12e2，其中x，yR，e1，e2為不共線向量，推論的表達(dá)式為xy或?qū)臻g任意一點O，有xy或

2、xyz，其中xyz1.(3)空間向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空間三個不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數(shù)1，2，3，使得a1e12e23e3.空間中不共面的三個向量e1，e2，e3叫作這個空間的一個基底3空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作a，b，則AOB叫作向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是0a，b，若a，b，則稱a與b互相垂直，記作ab.兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫作向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b|a|b|cosa，b(2)空

3、間向量數(shù)量積的運算律結(jié)合律：(a)·b(a·b)；交換律：a·bb·a；分配律：a·(bc)a·ba·c.4空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運算設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則a·ba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ababa1b1，a2b2，a3b3 (R)，aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|，co

4、sa，b .設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則dAB|. 典題精析題型一空間向量的線性運算例1在如圖所示的三棱錐OABC中，M，N分別是OA，BC的中點，G是ABC的重心，用基向量，表示，.題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)求證：BD平面EFGH；(3)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有()題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例3已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，為邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|，且a分別與，

5、垂直，求向量a的坐標(biāo)基礎(chǔ)演練1已知O，A，B，C為空間四個點，又，為空間的一個基底，則()AO，A，B，C四點不共線BO，A，B，C四點共面，但不共線CO，A，B，C四點中任意三點不共線DO，A，B，C四點不共面2已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值可以是()A2，B，C3,2 D2,23如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E為PB的中點，cos，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點E的坐標(biāo)為()A(1,1,1)B.C.D(1,1,2)4如圖所示，已知PA平面ABC，ABC120°，PAABBC6，則PC等于()

6、A6B6C12 D1445如圖，在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點，E為AD的中點，則_(用a，b，c表示)6若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則_.7在空間直角坐標(biāo)系中，以點A(4,1,9)、B(10，1,6)、C(x,4,3)為頂點的ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，則實數(shù)x的值為_ 能力提升1如圖所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD是平行四邊形若，2，若b，c，a，試用a，b，c表示.2如圖在三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC邊上的中點，試證：A1B平面AC1D.3如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長

7、都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求BD1與AC夾角的余弦值 隨堂小測1已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，則(ab)·(ab)的值為_2下列命題：若A、B、C、D是空間任意四點，則有0；|a|b|ab|是a、b共線的等價條件；若a、b共線，則a與b所在直線平行；對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若xyz (其中x、y、zR)，則P、A、B、C四點共面其中不正確的所有命題的序號為_3同時垂直于a(2,2,1)和b(4,5,3)的單位向量是_4如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()AabcB.abcCabcD.abc5.如圖