八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題16等腰三角形的性質(zhì)

1、專(zhuān)題16等腰三角形的性質(zhì)閱讀與思考等腰三角形是一類(lèi)特殊三角形，具有特殊的性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計(jì)算、線(xiàn)段相等、直線(xiàn)位置關(guān)系的證明等問(wèn)題提供了新的理論依據(jù).因此，在解與等腰三角形相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，除了要運(yùn)用全等三角形知識(shí)方法外，又不能囿于全等三角形，應(yīng)善于利用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑，應(yīng)熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論.一.c1800/A圖1中，ZA=180°-2ZB,/B=/C=，/DAC=2/B=2/C.2圖2中，只要下述四個(gè)條件：AB=AC;/1=/2；CD=DB；ADBC中任意兩個(gè)成立，就可以推出其余兩個(gè)成例題與求解【例1】如圖，在A(yíng)BC中，D在A(yíng)C上，E在A(yíng)B上，且AB=AC,

2、BC=BD,AD=DE=BE,貝U/A=.（五城市聯(lián)賽試題）解題思路：圖中有很多相關(guān)的角，用/A的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于/A的等式.【例2】如圖，在A(yíng)BC中，已知/BAC=900,AB=AC,D為AC中點(diǎn)，AEXBD于E,延長(zhǎng)AE交BC于F,求證：/ADB=/CDF.（安徽省競(jìng)賽試題）解題思路：/ADB與/CDF對(duì)應(yīng)的三角形不全等，因此，需構(gòu)造全等三角形，而在等腰三角形中，作頂角的平分線(xiàn)或底邊上的高（中線(xiàn)）是一條常用的輔助線(xiàn).【例3】如圖，在A(yíng)BC中，AC=BC,/ACB=900,D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,又AE=1BD,求證：BD是/ABC的角平分線(xiàn).2（北京市競(jìng)賽試題

3、）解題思路：/ABC的角平分線(xiàn)與AE邊上的高重合，故應(yīng)作輔助線(xiàn)補(bǔ)全圖形，構(gòu)造全等三角形、等腰三角形.DEBCBMCAACNNBOMACM1CA3BN（如圖3）2解題思路AB為一邊，而一側(cè)作等邊CACN,MN（如圖2）MCA=300,ZMAC=160MD又44O+l6O=60°；可以AC為一邊，向點(diǎn)B所在的例5如圖，ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，BDC是頂角/BDC=1200的等腰三角形，以D求證：AMN為頂點(diǎn)作一個(gè)600角，角的兩邊分別交AB于M,交AC于N,連ZMN,形成一個(gè)三角形.的周長(zhǎng)等于2.（天津市競(jìng)賽試題）解題思路：欲證AMN的周長(zhǎng)等于2,只需證明MN=BM+CN,考慮用補(bǔ)

4、短法證明.【例6如圖，ABC中，/ABC=460,D是BC邊上一點(diǎn)，DC=AB,/DAB=210,試確定/CAD的度數(shù).（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：解本題的關(guān)鍵是利用DC=AB這一條件.能力訓(xùn)練A級(jí)1 .如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夾角為45°,那么這個(gè)等腰三角形的底角為.2 .如圖，已知/A=150,AB=BC=CD=DE=EF,則/FEM=.3 .如圖，在等邊ABC的AC,BC邊上各取一點(diǎn)P、Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于點(diǎn)O,則/BOQ=.4 .如圖，在A(yíng)BC中，/BCA=900,/BAC=600,BC=4,在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)取點(diǎn)D,使AD=AB,則D,B兩點(diǎn)之間的距離是.

5、5 .如圖，在A(yíng)BC中，AB=AC,D為BC上一點(diǎn)，BF=CD,CE=BD,那么/EDF等于(A.900-1ZAB.900-ZA2C.1800-/A6.如圖，在A(yíng)BC中,A.600-0C.30D.450-1/A2/ACB=900,AC=AE,BC=BF,則/ECF=(8. 450）（安徽省競(jìng)賽試題）D.不確定第5題圖第6題圖7 .ABC的一個(gè)內(nèi)角的大小是40°,且/A=/B,那么/C的外角的大小是（）A.1400B.800或1000C.1000或1400D.800或1400（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）11118 .三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足十=，則二角形一正是（）abca。bcA.等邊三

6、角形B.以a為底邊的等腰三角形C.以c為底邊的等腰三角形D.等腰三角形（北京市競(jìng)賽試題）9 .如圖，在A(yíng)BC中，AB=AC,D,E分別是腰AB,AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且BD=CE,連結(jié)DE交BC于G,求證：DG=EG.（湖北省競(jìng)賽試題）10 .如圖，在A(yíng)BC中，/BAC=900,AB=AC,BE平分/ABC,CEXBE,求證：CE=BD.2（江蘇省競(jìng)賽試題）11.已知RtABC中，AC=BC,/C=900,D為AB邊中點(diǎn)，/EDF=900,將/EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC,BC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于E、F,當(dāng)/EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DELAC于E時(shí)（如圖1）,一一一1勿證：Sadef+Sacef

7、=SAABC,當(dāng)/EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到2下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況SaDEF,SaCEF，SaABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（牡丹江市中考試題）圖2圖312 .如圖，在A(yíng)BC中，AB=AC,/BAC=80°,O為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且/OBC=10°,/OCA=20°,求/BAO的度數(shù).（天津市競(jìng)賽試題）B級(jí)1 .如圖，在A(yíng)BC中，/ABC=100O,AM=AN,CN=CP,則/MNP=2 .如圖，在A(yíng)BC中，AB=AC,/BAC=90°,直角/EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)

8、，兩邊PE,PF分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,給出以下4個(gè)結(jié)論：AE=CF;EPF是等腰直角三角形；S四邊形aepf=S2abc；EF=AP.當(dāng)/EPF在4ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A,B重合）.上述結(jié)論正確的是（蘇州市中考試題）3 .如圖，在A(yíng)BC中，AB=BC,M,N為BC邊上兩點(diǎn)，并且/BAM=ZCAN,MN=AN,則/MAC的度數(shù)是.4 .如圖，在A(yíng)BC中，AB=AC,/BAC與/ACB的平分線(xiàn)相交于D,/ADC=1300,那么/CAB的大小是（）A.800B.500C.400D.2005 .如圖，在A(yíng)BC中，/BAC=120°,ADBC于D,且AB+BD=DC,貝U/C

9、的大小是（）A.200B.250C.300D.4506 .如圖，在A(yíng)BC中，AC=BC,/ACB=900,AE平分/BAC交BC于E,BDAE于D,DMLAC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M,連CD,下列四個(gè)結(jié)論：/ADC=45°BD=AE;AC+CE=AB;2AB-BC=2MC,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（C.3個(gè)D.4個(gè)延長(zhǎng)BC至D,延長(zhǎng)BA至E,并且使AE=BD,連結(jié)CE、DE,A.1個(gè)B.2個(gè)7 .如圖，已知ABC為等邊三角形,求證：CE=DE.8 .如圖，ABC中，已知/C=600,AOBC,又ABC'、A'BC、ABC都是ABC外的等邊三角形，而點(diǎn)D在A(yíng)C上，且BC=DC.證

10、明：CBDAB'DC;證明：ACDADBA;對(duì)ABC、ABC'、A'BC、ABC,從面積大小關(guān)系上，你能得出什么結(jié)論？（江蘇省競(jìng)賽試題）9.在4ABC中，已知AB=AC,且過(guò)ABC某一頂點(diǎn)的直線(xiàn)可將ABC分成兩個(gè)等腰三角形，試求ABC各內(nèi)角的度數(shù).（江蘇省揚(yáng)州中學(xué)測(cè)試題）10.如圖，在A(yíng)BC中，/C=90°,/CAD=300,AC=BC=AD,求證：CD=BD.11.已知ABC中，/B為銳角，從頂點(diǎn)A向邊BC或BC的延長(zhǎng)線(xiàn)引垂線(xiàn)交BC于H點(diǎn)，又從頂點(diǎn)C向邊AB或AB的延長(zhǎng)線(xiàn)引垂線(xiàn)交AB于K,試問(wèn)：當(dāng)2BHBC2BK坦1是整數(shù)時(shí)，ABC是怎樣的三AB角形？并證明

11、你的結(jié)論.（“智能杯”通訊賽試題）專(zhuān)題16等腰三角形的性質(zhì)例145*例2提示：過(guò)點(diǎn)A作/A的平分線(xiàn)交于BD于G,先證明收有ZXACF,再證明&W；D22ACFD.例3提示，低長(zhǎng)HC.AE交于點(diǎn).例4提示,如圖.作8D-AC于。.j延長(zhǎng)GW交6D廣（）連AO.則/aD=/a4D=3o>AZHAO=44“-30w-14°/MAO=Z（）AD-NMAC=14*AZ；MQ=ZMAO乂V/AOD=/8D-90e30、60AZAC）B-ZAaVf=12O0：.（）BCM又=40=AO,AOBA/VAf又丁/BOM12O，NCIM8=3O二故/HMG180.-ZOVfB=150人例5

12、如IS在A(yíng)C隨長(zhǎng)線(xiàn)上截取-BM,由RtABDM2Ri/：濁DM得MD=MD./MD8=/MDCn工乙MDM產(chǎn)120e-ZMDBI/M：DC=120乂ZMDN-6O.ZNDxVf=60>.:MD=MD,4MDN/NDM-60,DN=DN.:.AMDNAMDM肉MN=NM.故AVfN周長(zhǎng):AM-MN+ANAM+A+NM、AM+AM=ABIAC=2.例6解法l如39a,作zMBD關(guān)FAD的軸對(duì)稱(chēng)圖形AED則/以力=21二AE=Ab.；QE=BD.又NADC=2r-"=67"，故/ADE«ZADB=180*一67113,ZCDE-113-67-46c連CE可證CDf

13、sADDAED.NODE-"ED76得OD=OE,乂DC=AE.則AO-OCXNOT人=ZOAC,NOOE=2ZACXX/COE-2X46'=92+=2ZACO.從而/ACO=46*=/QAC.，ZDAC-ND人E+/E/W7-67二解法2如田b.過(guò)A點(diǎn)作AEBC過(guò)。點(diǎn)作DEAB，連結(jié)EC.VZEDC=ZABC=46DE-AB=CD./DCE=NCED=Jx（】80-46°）-67°4/ADC=/ABCr/BAD46'+267一ADC-/X.D-J，梯賬ADCE為哥腰舜形.AACDE（等展梯形對(duì)角線(xiàn)相等）.AC-AB=CD/DAC=/ADC=67.

14、A級(jí)1.67.5°或22.5.2.7s3.60e4.85.A6.B7.B8 .D梃示,由已知得S-CQ）Q+C=0,故6=c"或a-69 .提示：過(guò)DftDF"交次于卜法明DRASAEtt；10 .提示：延長(zhǎng)CE交84的延長(zhǎng)級(jí)于F證明ABEC也BEF.再證明A4FC¥2ZsAnR11 .提示：圖2成立,聯(lián)系圖I可證明AECDgZiFBD.S二*+Say=S/£q/Sjf-'SziOV=Sub圖3不成立比時(shí).SoS.rH妄S.g.12 .作/HAC的角平分線(xiàn)與8延K線(xiàn)交D,連HD.則AWMAACD,9fi7AHD=ACD3O'./

15、CBD-/ABC-N0BC-NABI>20J/AB/）/XJB=NOBC+4IB-40=Z/AAB.從而AABD/OBmAB=OB,即乙加。為等里三角形，得/B人O一寺（180，4Oe）=7OB縱1.40s>3）提示：連AP.3. 60'a承s設(shè)NCANn/BAM=a./MANd則NC=NB八CfdNAM、=H4. D5.A6.D7 .提示廷長(zhǎng)BD到F.使QF=BC.則ABEF為等邊三角形，冉證明BCEKAFDE8 .(1)此明略(2)由得CD=AC=AB'，的例D廳二UACA.AD=ADACDtDB'AiQSauc>S4s>S3>SubSatrSwr=S“M+9.房足題意的圖形行以下四師情出又；/DCB-W-NACD-9(T-75151:"CAE-NBCD=/ECA.乂:AC-BC.CE=CD.ACEABCD,NDBC=/EAC=I51，工D