碰撞動力學模型綜述

1、碰撞動力學模型綜述摘要：本文目的是展現(xiàn)撞擊分析的總體回顧和此領(lǐng)域內(nèi)的一些重要方法。1 撞擊理論的模型 含動能約束的多體系統(tǒng)的動態(tài)分析是已經(jīng)完善的力學分支。為了建立數(shù)學模型，物體都被假設成為剛性，且鉸接處認為不含間隙。撞擊問題吸引著從天體物理學到機器人學等不同學科領(lǐng)域?qū)W者的注意力。他們的共同目標是發(fā)展能夠預測撞擊物行為的理論。本文主要集中于與剛體有關(guān)的撞擊模型。撞擊理論的演化主要含有四個方面：經(jīng)典力學、彈性應力波傳播、接觸力學和塑性變形。不同的撞擊理論適用于不同撞擊特性（速度和材料性質(zhì)）、假設和相關(guān)結(jié)論。（1） 經(jīng)典力學包含應用基本力學定理來預測撞擊后的速度。脈沖動量定理構(gòu)成這種方法的核心。Go

2、ldsmith在著作1中用了一章的篇幅介紹了這種方法在幾個問題中的應用。Brach2在模擬幾個具有實用價值的問題時一律采用了此法。這種方法具有簡便和易于實現(xiàn)的特點。實際問題中的能量損失是通過恢復系數(shù)實現(xiàn)的。然而，此法不能預報物體之間的接觸力和物體的應力。（2）彈性應力波傳播撞擊通過以撞擊點為起點，應力波在撞擊物之間的傳播描述?？偰芰恐械囊徊糠洲D(zhuǎn)化為振動，這樣，經(jīng)典理論就無法驗證這種理論。Goldsmith把這種方法應用于如下問題中：兩桿的縱向碰撞、質(zhì)點和桿碰撞、粘彈性對碰撞的影響等。Zukas等3也廣泛地應用了這一方法。波傳播法用來研究細長桿的縱向碰撞問題。近年文獻4,5使用符合運算軟件給出兩

3、類典型問題：質(zhì)點桿撞擊和桿撞擊地面問題的符合表達式解。文獻研究了6平面波在含空洞材料中的傳播與考慮徑向剪力和慣性力時波在圓柱形桿中傳播具有模擬關(guān)系。文獻7于不對稱粘彈性桿在頻域的波傳播解，給出了理論和實驗分析。（3）接觸力學兩個物體撞擊產(chǎn)生的接觸應力是碰撞研究中的另一個研究熱點。常規(guī)接觸力學主要與靜態(tài)接觸有關(guān)，盡管此法在涉及撞擊時已經(jīng)延伸至近似解。對于球形接觸面，Hertz理論常被用于撞擊關(guān)系的獲得，從而計算撞擊時間和最大變形。此方法還被用于含塑性變形的情況。通常假設材料有一個屈服點。當Hertz理論不適用時，也可使用屈服區(qū)模型。撞擊力變形關(guān)系常通過增加一個阻尼項來反映接觸區(qū)域的能量耗散，從而

4、允許把接觸區(qū)作為一個彈簧阻尼系統(tǒng)的模型。（4） 塑性變形當塑性應變超過容許變形時，彈性波模型不再適用于分析撞擊問題。這類問題屬于高速撞擊問題，如發(fā)生爆炸和侵徹時。Goldsmith1提供了2種方法：水動力學理論和塑性波傳播理論。水動力學理論中，假設物體密度發(fā)生變化，材料的狀態(tài)方程于密度、溫度的變化相關(guān)，同時利用了能量、動量和質(zhì)量守恒定理。而塑性波傳播理論中，塑性區(qū)的材料認為是不可壓縮的。同樣，與應變、應力、應變率有關(guān)的狀態(tài)方程假設與溫度無關(guān)。Maugin8和Lubliner9假設了脆性材料，荷載的加載是一個長時間的過程。Zukas3提供了分別使用應變相關(guān)和應變獨立理論的塑性波傳播理論。文獻10

5、考慮了梁與梁碰撞的問題，采用了質(zhì)量彈簧模型。梁之間的能量能夠很好地近似剛塑性解。工程師常需要解答如下2個基本問題：（1）撞擊前后速度變化的關(guān)系。（2）撞擊點的碰撞力多少？當恢復系數(shù)給定時，脈沖動量定理方法能夠回答第一個問題。但前面已經(jīng)提到，此法不能確定撞擊力，即解決不了第二個問題。波傳播理論可以得到撞擊物內(nèi)的應力，但動力分析中的積分比較復雜。接觸力學方法把接觸區(qū)域作為彈簧阻尼系統(tǒng)，使撞擊問題作為連續(xù)時間動力問題處理。塑性大應變理論在解決彈道學領(lǐng)域中的爆炸、侵徹時最有效。但本文不涉及這方面中高速碰撞問題。2 關(guān)于恢復系數(shù)的歷史與現(xiàn)狀 根據(jù)Kozlov11，關(guān)于撞擊的首次研究可追溯道1668年，由

6、Wallis, Wren和Huygens進行。Netwon后來于1687年在他的著作Mathematical Foundations of Natural Philosophy中參考了Wren的工作。Huygens的工作成果是推導出了動量守恒定理，從而成為撞擊理論的基礎。這個理論的主要假設是認為物體是剛性的，因此撞擊持續(xù)時間為0。單獨使用動量守恒定理不足以確定撞擊后撞擊物和靶體各自的速度。因此初等撞擊理論考慮了兩種極限情況：完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞。完全彈性碰撞指碰撞前后系統(tǒng)的動能守恒。而完全非彈性碰撞指撞擊后撞擊物和靶體連為一體共同運動，從而組合體的速度可以通過定理守恒定理確定。然而，通

7、常的撞擊既不是完全彈性碰撞，也不是完全非彈性碰撞。初始動能的損失是通過恢復系數(shù)e的引入（Netwon提出這一觀點）來實現(xiàn)的。v1f -v2f=-e(v1i-v2i)其中下標1和2分別表示撞擊物和靶體，而i和f分別表示初始(initial)狀態(tài)和最終(final)狀態(tài)。e是個無量綱的系數(shù)，其值介于0和1之間，0對應于完全彈性狀態(tài)，1對應于完全非彈性狀態(tài)?；謴拖禂?shù)的一個對能量損失的綜合概念，可包括不同的能量損失，如材料的粘彈性、接觸面的塑性變形和兩個物體之間的振動等?；謴拖禂?shù)不是僅僅依賴于材料的一種固有屬性，它取決于撞擊物和靶體的材料、接觸面的幾何性質(zhì)和撞擊速度1，p.262。近年來，文獻12使用

8、能量法研究細長桿與光滑界面碰撞的恢復系數(shù)，提出了影響恢復系數(shù)的2個因素：碰撞傾斜解和反映桿幾乎和材料性質(zhì)的常數(shù)Hr。使用恢復系數(shù)的優(yōu)點在于數(shù)學表達上的簡潔性。姚文莉13使用波傳播理論分別提出質(zhì)點與桿和梁碰撞的恢復系數(shù)的求法。得到損失波動能量在質(zhì)點桿碰撞問題中所占比例的數(shù)學表達式。Brach在文獻2中廣泛使用了恢復系數(shù)來解決撞擊問題。Brach還注意到恢復系數(shù)可取1和0之間的數(shù)。這表明在撞擊過程中損失了一些能量，但并不產(chǎn)生速度方向的改變。如侵徹物在穿過靶體時雖然降低了自身速度，但速度方向沒有改變。若干文獻研究了撞擊物初始速度與恢復系數(shù)的關(guān)系。靶體是粘彈性材料時，提出如下觀點14-16：e(v)=

9、1f(v1/5)上式表明撞擊速率越大，恢復系數(shù)就會變低。也即撞擊物高速碰撞時，損失的能量更多。式（2）僅考慮粘彈性材料。現(xiàn)實中，還有其他的因素需要考慮。高速碰撞時，彈性波傳播時的耗散及塑性變形消耗的能量需要考慮。而低速碰撞時的粘性力和重力顯得更加重要。文獻17中利用恢復系數(shù)討論了粘彈性地基上的撞擊響應問題。3 接觸力變形模型 關(guān)于撞擊力初級理論的上述綜述基于完全剛體的簡化假設。撞擊物的實際情形是復雜的，并且撞擊持續(xù)時間決對大于0。更為接近實際的模型是采用連續(xù)時間動態(tài)模型。這個方法的成功之處在于基于完善的數(shù)學模型。通常，接觸力變形關(guān)系如下：F=Fc()+Fv(, d/dt)+Fp(, d/dt)

10、Fc是接觸力的彈性部分，F(xiàn)v是粘彈性阻尼部分，F(xiàn)p是由塑性變形導致的耗散部分。以下主要介紹接觸力的彈性部分。其中1882年Hert關(guān)于半無限固體的彈性接觸工作具有重大意義。Johnson18對此理論做了很好的介紹，并于附錄中列舉了相關(guān)公式。Hertz理論指出了應力在接觸區(qū)的分布，也給出計算法向應力和剪切應力在撞擊體內(nèi)的分布。一個很常用的結(jié)論是球體球體接觸時的接觸力變形關(guān)系18： F=K3/2 其中 F 是撞擊物和靶體之間壓縮時的法向力，是兩個球體之間的縮進，也即兩個表面之間總的變形， K是取決于球體半徑和材料彈性常數(shù)的常數(shù)。4 近年來的進展： （1）   

11、0;柔性撞擊  用子結(jié)構(gòu)方法研究了剛性小球和均勻柔性桿的縱向碰撞及和均勻柔性梁的橫向碰撞問題，導出了用模態(tài)坐標表示的動力學方程。 （2）    直接模態(tài)疊加法研究彈性撞擊問題 邢譽峰等利用DMSM策略，討論了等截面桿、梁的碰撞問題19-26。文獻26指出：這種方法可以得到結(jié)構(gòu)彈性碰撞問題的解析解；這種方法不但可以用來分析平動結(jié)構(gòu)的碰撞問題19-25，還可以用來分析機構(gòu)的各種彈性鎖定問題22；不但可以用來分析結(jié)構(gòu)的點碰撞問題19-20，對結(jié)構(gòu)的線、面接觸和碰撞等問題同樣有效23。 對于梁碰撞問題，文獻24進行了如下研究：考慮線彈性接觸變

12、形的前提下,分別對質(zhì)點、桿與簡支Euler-Bernoulli梁的垂直正撞問題進行了研究。文獻25基于不同梁理論：Euler梁、Timoshenko梁和翹曲理論，比較了結(jié)構(gòu)遭受沖擊的動態(tài)響應。 文獻中，如果用一個假想的彈簧來模擬兩個結(jié)構(gòu)相碰處的接觸剛度，并通過該彈簧把撞擊體和靶體聯(lián)系成一個組合振動體系，就可把結(jié)構(gòu)碰撞分析轉(zhuǎn)化為常規(guī)的結(jié)構(gòu)振動響應分析問題，即是該組合振動體系在其撞擊部分具有給定初始速度模式下的振動響應問題。因此可以方便地直接使用常規(guī)的振動模態(tài)疊加法或時間積分法來求解撞擊問題。文獻具體報道了利用解析模態(tài)和有限元離散模態(tài)求解質(zhì)點彈性桿的撞擊力變化過程，并討論了各種因素以及有限元建模對

13、結(jié)果的影響。 （3）纖維復合板 纖維復合板復合板受到低速撞擊問題已被許多學者研究過。Sun和Chattopadhyay27研究了一個四邊簡支各向同性板受到中心撞擊的情形，并考慮了橫向剪切變形。Dobyns28研究了受均布矩形荷載時的撞擊情形。A.Carvalho和C Guedes Soares29也研究了板的撞擊響應，對位移、轉(zhuǎn)角采用Fourier級數(shù)展開，數(shù)值積分用Nemark方法，并與拉普拉斯解進行了比較。 （4）有限元方面的進展 文獻30較早使用有限元方法研究了接觸/撞擊問題。文獻31使用辛方法研究了非線性撞擊問題。Jerome M. Solberg, Panayiotis Papado

14、poulos 32基于非線性力學有限元原理，使用數(shù)值方法研究了接觸/撞擊問題。對于無摩擦問題，建立數(shù)值微分方程。在接觸面上損失了一部分能量，以穩(wěn)定接觸面的動能場。數(shù)值解采用了Nemark積分法，較好地模擬了接觸/撞擊過程。文獻33依據(jù)波傳播理論提出一種新的數(shù)值算法：含有模態(tài)綜合的有限元計算法，并與柔性桿受軸向撞擊的經(jīng)典St. Venant解進行了比較。 臺灣學者R.-F. FUNG AND J.-H. SUN和 J.-W. WU34研究了研究了滑動曲柄機構(gòu)在撞擊下的軌跡控制。Khulief and Shabana35通過GMB途徑來研究多體系統(tǒng)的撞擊問題，同時發(fā)展了CFM方法來研究多體系統(tǒng)撞擊

15、問題。 除了上述研究，近年來許多學者對不等截面桿及受載梁的自由振動進行了大量研究。Q.S. LI等對等截面桿、不等截面桿含有集中質(zhì)量彈簧耦合系統(tǒng)進行了大量研究36-47。M. Gürgöze針對兩個固支自由縱向振動桿，端部帶有質(zhì)量塊，由兩彈簧質(zhì)量系統(tǒng)耦合文獻，還討論了梁含有阻尼器的自由振動48。 5本論文主要工作： （1）給出細長圓錐形的截面桿受到質(zhì)點縱向彈性碰撞時的精確解析解。使用了一種新方法用于分析質(zhì)點圓錐形桿碰撞，即由疊加法給出桿的響應。其結(jié)果可驗證數(shù)值解和其他解析解。算例顯示，所提出方法的優(yōu)點之一是響應解的解析形式簡潔。算例表明一些描述桿幾何形狀的變量在撞擊分析中具

16、有重要作用。 研究了含彈簧的錐形桿結(jié)構(gòu)撞擊問題的解析解。振動過程中把桿和質(zhì)點作為整體考慮，采用無量綱變量，從而簡化方程模型。算例說明了桿中波傳播情況和撞擊端的響應，并且討論了質(zhì)量比和錐形桿截面傾角對波傳播的影響。解決了錐形桿結(jié)構(gòu)的縱向撞擊問題，并且與等截面桿的縱向撞擊問題進行了比較。 （2）把桿的質(zhì)量函數(shù)和剛度函數(shù)作為2個獨立的函數(shù)，對于質(zhì)量函數(shù)和剛度函數(shù)的若干種形式，進行適當?shù)暮瘮?shù)變換后，基本方程轉(zhuǎn)化為Bessel方程或具有常系數(shù)的常微分方程。得到滿足正交條件的基本解，并且建立了一階非均勻桿碰撞時的頻率方程。 研究了如下受載梁的撞擊問題：一個一端固支，一端自由的桿含有一個彈簧質(zhì)量耦合系統(tǒng)。使

17、用DMSM方法，撞擊問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)具有初速度的軸向振動系統(tǒng)。把撞擊物和靶體作為一個整體振動，獲得系統(tǒng)的微分方程，分離時間變量后，化為有初始邊值的常微分方程問題。考慮系統(tǒng)的一些參數(shù)對系統(tǒng)頻率的影響，并且給出此桿結(jié)構(gòu)受撞擊后的動態(tài)響應。 （3） 對于質(zhì)點梁撞擊問題，把撞擊物和被撞擊物分開考慮，引入撞擊力時間模型，得到如下兩種預報撞擊力的方法：第一：基于位移協(xié)調(diào)方程的解法；第二：基于動力微分方程的數(shù)值法。與文76相比，方法一大幅簡化了計算過程，得到近似解，且此法可以推廣到四邊簡支板中去。 （4）對于復合材料梁端部受撞擊問題，本文把質(zhì)量塊看成質(zhì)點，使用模態(tài)疊加法提供了彎扭耦合作用下的分析方法。算例表明

18、此方法是有效的。 （5） 提出一種確定恢復系數(shù)的方法：即首先使用DMSM方法得到撞擊結(jié)束時間，再得到恢復系數(shù)的步驟。算例表明，本文方法能夠從理論上得到彈性碰撞恢復系數(shù)的表達式，且結(jié)果是有效的。參考文獻： 1. Goldsmith, Werner, Impact, Edward Arnold Publishers, London, 1960. 2. Brach, Raymond M., Mechanical Impact Dynamics: Rigid Body Collisions. JohnWiley & Sons, New York, 1991. 3. Zukas, Jonas A

19、.; Nicholas, T.; Swift, H. F.; Greszczuk, L. B.; Curran, D. R. Impact Dynamics, Krieger Publishing Company, Malabar, FL, 1992. 4 B. Hu, P. Eberhard and W. Schiehlen. Symbolic Impact Analysis for a Falling Conical Rod against the Rigid Ground JJournal of Sound and Vibration. 2001, 240(1): 41-57. 5

20、60; Bin Hu, Peter Eberhard. Symbolic computation of longitudinal impact wave J. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2001, 190: 4805-4815. 6. THOMAS W. WRIGHT. ElASTIC WAVE PROPAGATION THROUGH A MATERIAL WITH VOIDS. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1998, 46(10): 2033-2047. 7. A. Be

21、natara, D. Rittelb, A.L. Yarinb. Theoretical and experimental analysis of longitudinal wave propagation in cylindrical viscoelastic rods. Journal of the Mechanics and Physics of Solids 2003(51) 1413-1431. 8. Maugin, Gerard A., The Thermomechanics of Plasticity and Fracture, Cambridge University Pres

22、s, Cambridge, 1992. 9. Lubliner, Jacob, Plasticity Theory, Macmillan Publishing Company, New York, 1990. 10. H. H. Ruan and T. X. Yu. Collision between massspring systems. International Journal of Impact Engineering, 2005, 31(3): 267-288. 11. Kozlov, Valerii V. and Treshchëv, Dmitrii V., Billia

23、rds: A Genetic Introduction to the Dynamics of Systems with Impacts, American Mathematical Society, 1991. 12. Yildirim Hurmuzlu. ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 65, No.4, An Energy Based Coefficient of Restitution for Planar Impacts of Slender Bars with Massive External Surfaces: 952-962. 13

24、 姚文莉. 考慮波動效應的碰撞恢復系數(shù)研究. 山東科技大學學報，2004, 23 (2)：83-86. 14. Ramírez, Rosa; Pöschel Thorsten; Brilliantov Nikolai V. and Schwager Thomas, Coefficient of restitution of colliding viscoelastic spheres, Physical Review E, 1999 60 (4), 4465-4472. 15. Falcon, E.; Laroche C.; Fauve S. and Coste C., B

25、ehavior of One Elastic Ball Bouncing Repeatedly off the Ground, The European Physical Journal B, Vol. 3, 1998, 45-57. 16. Kuwabara, G. and Kono K., Restitution Coefficient in a Collision Between Two Spheres, Jap. J. of Appl. Physics, 1987, 26(8): 1230-1233. 17. 尹邦信. 彈性板受撞擊的動力響應分析. 應用數(shù)學和力學, 1996, 17

26、(7)：639-644. 18. Johnson K. L., Contact Mechanics, Cambridge University Press, 1985. 19 Xing YuFeng, Zhu DeChao, Analytical Solutions of Impact Problems of Rod Strucutures with Springs. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. , 1998,160: 315323 20 諸德超，邢譽峰. 點彈性碰撞問題之解析解. 力學學報, 1996, 28( 1): 99103. 21 Xing

27、Yu-feng, Qiao Yuan-song, Zhu De-chao, Sun Guo-jiang. Elastic Impact on Finite Timoshenko Beam. ACTA Mechanica Sinica. 2002, 18(3): 252-263. 22邢譽峰，諸德超. 桿和板彈性正碰撞的瞬態(tài)響應. 航空學報, 1996, 17(7): S42S46 23邢譽峰. 梁結(jié)構(gòu)線彈性碰撞的解析解. 北京航空航天大學學報. 1998, 24 (6): 633-637. 24邢譽峰.有限長Timoshenko梁彈性碰撞接觸瞬間的動態(tài)特性J.力學學報,1999,31(1):6

28、7-74. 25邢譽峰，諸德超，喬元松. 復合材料疊層梁和金屬梁的固有振動特性. 力學學報. 1998,30 (5): 628-634. 26 邢譽峰，諸德超. 桿和梁在鎖定過程的響應. 計算力學學報, 1998, 15(2): 192196. 27 C.T. Sun and S. Chattopadhyay, Dynamic response of anisotropic laminated plates under initial stress to impact of a mass. J. Appl. Mech. 42 (1975), p. 693 28. A.L. Dobyns, An

29、alysis of simply-supported orthotropic plates subject to static and dynamic loads. AIAA J. 19 (1980), 642. 29 A. Carvalho and C. Gliedes Soares. Dynamic response of rectangular plates of composite materials subjected to impact loads. Composite Structures, 1996,34(1): 55-63. 30. T.J.R. Hughes, R.L. T

30、aylor, J.L. Sackman et al., A finite element method for a class of contact-impact problems, Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg. 8 (1976) 249-276. 31. J.C. Simo, N. Tarnow, K.K. Wong, Exact energy-momentum conserving algorithms and symplectic schemes for nonlinear dynamics, Comput. Methods. Appl. Mec

31、h. Engrg. 100 (1992) 63-116. 32. Jerome M. Solberg, Panayiotis Papadopoulos. A finite element method for contact/impact.Finite Elements in Analysis and Design. 1998 (30) 297-311. 33 J.L. Escalona, J. Mayo, J. DomõÂ nguez. A new numerical method for the dynamic analysis of impact loads in f

32、lexible beams. Mechanism and Machine Theory. 1999(34) 765-780. 34. R.-F. FUNG, J.-H. SUN, J.-W. WU. TRACKING CONTROL OF THE FLEXIBLE SLIDER CRANK MECHANISM SYSTEM UNDER IMPACT  Journal of Sound and Vibration. 2002. 255(2), 337-355. 35 Y. A. KHULIEF, A. A. SHABANA. Dynamic analysis of const

33、rained system of rigid and flexible bodies with intermittent motion. American Society of Mechanical Engineers Journal of Mechanisms, Transactions, and Automation in Design 1986(108), 3845. 36. Q. S. Li, L. F. Yang, Y. L. Zhao and G. Q. Li. Dynamic analysis of non-uniform beams and plates by finite e

34、lements with generalized degrees of freedom. International Journal of Mechanical Sciences, 2003, 45(5): 813-830. 37.  Ke Yang , Q. S. Li and Lixiang Zhang. Longitudinal vibration analysis of multi-span liquid-filled pipelines with rigid constraints. Journal of Sound and Vibration, 2004, 27

35、3, (1,2):125-147. 38. Q. S. Li. Analytical solutions for buckling of multi-step non-uniform columns with arbitrary distribution of flexural stiffness or axial distributed loading. International Journal of Mechanical Sciences, 2001, 43(2): 349-366. 39. Q. S. Li. Non-conservative stability of multi-st

36、ep non-uniform columns. International Journal of Solids and Structures, 2002, 39(9): 2387-2399. 40. Q. S. Li. Buckling of multi-step non-uniform beams with elastically restrained boundary conditions.  Journal of Constructional Steel Research, 2001, 57(7): 753-777. 41. Q. S. Li. Classes of

37、exact solutions for buckling of multi-step non-uniform columns with an arbitrary number of cracks subjected to concentrated and distributed axial loads. International Journal of Engineering Science, March 2003, , 41(6): 569-586. 42. Q. S. Li. Torsional vibration of multi-step non-uniform rods with v

38、arious concentrated elements.  Journal of Sound and Vibration, 2003, 2607(4): 637-651. 43. H. Qiao, Q. S. Li and G. Q. Li. Vibratory characteristics of flexural non-uniform EulerBernoulli beams carrying an arbitrary number of springmass systems. International Journal of Mechanical Sciences, 2002, 44(4): 725-743. 44. Q. S. Li, J. R. Wu and Ji