自動控制原理—非線性控制系統(tǒng)

1、第九章第九章 非線性控制系統(tǒng)非線性控制系統(tǒng)第一節(jié)第一節(jié) 非線性系統(tǒng)述非線性系統(tǒng)述第二節(jié)第二節(jié) 描述函數(shù)法描述函數(shù)法第三節(jié)第三節(jié)第一節(jié)第一節(jié) 非線性系統(tǒng)概述非線性系統(tǒng)概述l1. 何謂線性系統(tǒng)？何謂線性系統(tǒng)？ 靜態(tài)特性：輸入和輸出成比例 動態(tài)特性：可應(yīng)用疊加原理 y=f1(x1)+f2(x2)+f3(x3) y=f(kx)=kf(x)l2. 何謂非線性系統(tǒng)？何謂非線性系統(tǒng)？ 靜態(tài)特性：輸入和輸出不成比例 動態(tài)特性：不可應(yīng)用疊加原理xyxytAtytytytysin)()(1)()(32 3.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的關(guān)系線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的關(guān)系實際系統(tǒng)總含非線性環(huán)節(jié)，所以是非線性系統(tǒng)。但在小信號范圍

2、內(nèi)可線性化為線性系統(tǒng)來分析。4.非線性系統(tǒng)的特征非線性系統(tǒng)的特征(1)輸出響應(yīng)與輸入信號大小和系統(tǒng)初態(tài)有關(guān)4.非線性系統(tǒng)的特征非線性系統(tǒng)的特征(2)系統(tǒng)穩(wěn)定性與輸入信號大小和系統(tǒng)初態(tài)有關(guān)(3)會產(chǎn)生自激振蕩4.非線性系統(tǒng)的特征非線性系統(tǒng)的特征(4)可能產(chǎn)生跳躍諧振(5)會產(chǎn)生波形畸變振幅非線性系統(tǒng)頻率5.典型非線性元件及對系統(tǒng)性能的影響典型非線性元件及對系統(tǒng)性能的影響(1)飽和特性 Kx |x|a y = Ka xa -Ka xa sign x = 1 x0 -1 x1, Ak=Bk=0 于是有)sin(sincos)(11112tCtBtAtx111121211BAtgBAC用正弦量的矢量表

3、示法有 X1(A,)=A X2(A,)=C1e j11.非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)定義非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)定義 描述函數(shù)定義式： 1112),(),(),(jeACAXAXAN由于假設(shè)非線性系統(tǒng)是非儲能元件,所以可只考慮A, 不顧, 于是 N(A,)=N(A)描述函數(shù)定義陳述： 非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)為輸出基波分量非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)為輸出基波分量與輸入信號之比與輸入信號之比2. 典型非線性元件的描述函數(shù)典型非線性元件的描述函數(shù)(1)飽和特性的描述函數(shù)法 x1x2x2x1-aaK-tt2. 典型非線性元件的描述函數(shù)典型非線性元件的描述函數(shù)(1)飽和特性的描述函數(shù)法 當Aa, KA sin t 0 t

4、x2(t) = Ka t - KA sin t - t A sin =a = sin-1(a/A)021021)(sin)(2 0)(cos)(2ttdtxBttdtxA2. 典型非線性元件的描述函數(shù)典型非線性元件的描述函數(shù)(1)飽和特性的描述函數(shù)法 0 1)(1sin2 )()(sin2 )(sin2 )()(sin2112121212021BBACAaAaAaKAtdtKAttdKatdtKAB2. 典型非線性元件的描述函數(shù)典型非線性元件的描述函數(shù)(1)飽和特性的描述函數(shù) )(1sin2221AaAaAaKKN(A)=AaAaAaAa1112121BAjtgeABA3.用描述函數(shù)法研究非線

5、性控制系統(tǒng)用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng) (1) 非線性控制系統(tǒng) (2) 閉環(huán)頻率特性 (3) 閉環(huán)特征方程N(A)G0(s)RY)()(1)()()()()(00jGANjGANjRjYjG0)()(10jGAN3.用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng)用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng) (4) 穩(wěn)定性分析 當G(j)=-1/N(A) 時,產(chǎn)生臨界振蕩. 線性系統(tǒng)的臨界點為(-1,j0), 而在非線性系統(tǒng)中有一條臨界曲線為-1/N(A).)穩(wěn)定系統(tǒng)相角裕量 幅值裕量 20lg(oN/oG) -1N(A)A0G0(j)oNGImRe3.用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng)用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng) (4)

6、穩(wěn)定性分析 )不穩(wěn)定系統(tǒng) -1N(A)G0(j)oImRe)自激振蕩 -1N(A)G0(j)oImRe(A0,0)注：并非所有的交點都產(chǎn)生自振蕩3.用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng)用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng) (4) 穩(wěn)定性分析)穩(wěn)定自振蕩的確定 -1N(A)G0(j)oImReImA132654取點1，2，3，4，5，6，分析： 13 不穩(wěn)A 6 4 12 穩(wěn) A 7 46 不穩(wěn)A 4 45 穩(wěn) A 4結(jié)論：4點為穩(wěn)定的自振蕩點 1點為不穩(wěn)定的自振蕩點推論：由右向左穿越推論：由右向左穿越G0(j )線的點是穩(wěn)定的自振蕩點線的點是穩(wěn)定的自振蕩點73.用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng)用描述函數(shù)法研

7、究非線性控制系統(tǒng) 設(shè)非線性元件具有滯環(huán)繼電特性(a/x2m=0.5),試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性, 并判斷是否存在穩(wěn)定的自振蕩.R(s)Y(s)-a-ax2m320s(s+4)(s+8)3.用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng)用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng) 解解: 查非線性元件描述函數(shù)表知具有滯環(huán)繼電特性(a/x2m=0.5)的描述函數(shù)為 4)(1 sin 4)(212jmjmexAANAaaAeAxAN3.用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng)用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng) 解解:(續(xù)續(xù)) 8444 )sincos(422222222jaAxxajaAxjxAmmmm可見-1/N(A)軌跡為一條與實軸平行的直線而G

8、0(j)為3.用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng)用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng) 解解:(續(xù)續(xù)) )(64(16)320(32)(64(163840- 8)4)(320)(222220jjjjjGG0(j)與-1/N(A)相交于P點, 經(jīng)分析P點為穩(wěn)定的自振點. 令G0(j)與-1/N(A)的實部相等,可解得諧振角頻率p=4.2 rad/s. 令G0(j)與-1/N(A)的實部相等,可解得諧振點輸入信號幅值A(chǔ)p=3.7a或1.85x2m3.用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng)用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng) -1N(A)G0(j)oImRe-1.0354P第三節(jié)第三節(jié) 相平面法相平面法l本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1。

9、基本概念2。相平面圖的繪制3。由相平面圖求系統(tǒng)的過渡過程4。奇點和極限環(huán)1. 基本概念基本概念 非線性系統(tǒng)的相平面分析法是狀態(tài)空間分析法在二維空間下的應(yīng)用， 它是一種用圖解法求解二階非線性控制系統(tǒng)的精確方法。 它不僅能給出系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能信息，還能給出系統(tǒng)運行軌跡的清晰圖象。二階系統(tǒng)的微分方程表達二階系統(tǒng)的微分方程表達0),(),(0122xdtdxxadtdxdtdxxadtxda1，a0為常數(shù)時表達線性定常系統(tǒng)。a1，a0不為常數(shù)時表達非線性系統(tǒng)。1. 基本概念基本概念二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程表達二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程表達 令x1=x，x2=x1, 有.211022111210221),(),

10、(xaxaxxxaxxxaxxx相平面相平面(狀態(tài)平面狀態(tài)平面,x-x平面平面).相平面圖相平面圖(相軌跡構(gòu)成的圖相軌跡構(gòu)成的圖)相平面法相平面法: 相平面圖的繪制和分析 特點: 只限于二階線性或非線性系統(tǒng) 可用于嚴重非線性場合(描述函數(shù)不夠用) 可用于非周期信號輸入x1x22. 相平面圖的繪制相平面圖的繪制. 常用三種方法: 解析法, 等傾線法, 法.1) 解析法解析法 當系統(tǒng)微分方程較簡單時,可推導出相軌跡方程, 據(jù)相軌跡方程可繪制相平面圖. 例如:0)(cFysignkyym 經(jīng)積分推導可得相軌跡方程 2c222mFr )(1nnnmkCryy為一圓方程, 據(jù)此可繪制相軌跡.yn.y2.

11、 相平面圖的繪制相平面圖的繪制2) 等傾線法等傾線法 不用求解微分方程，適用于非線性特性可用數(shù)學式表達的系統(tǒng). 設(shè)xxxxaxxaxxdxxdxdtdxxxxaxxxaxdtxdxxxaxxxax ),(),(),(),(0),(),(0101012. 相平面圖的繪制相平面圖的繪制 對于除平衡點的任一點 ， 和 為確定值。在平衡點， =0 為不定值。速度和加速度均為零，無窮多組斜率的曲線可通過該點。所以可設(shè)),(xx ),(1xxa),(0 xxaxxdxxd常數(shù)dxxd表示相軌跡的斜率。 表示斜率相等。常數(shù)xxxxaxxa),(),(01被稱為等傾線方程被稱為等傾線方程dxxd2. 相平面圖

12、的繪制相平面圖的繪制 等傾線方程等傾線方程是一個代數(shù)方程，易解。根據(jù)等傾線方程可的等傾線分布圖，根據(jù)這個圖可以繪出從初始狀態(tài) |t=0 出發(fā)的相軌跡曲線。 例9。2 試用等傾線法繪制二階線性系統(tǒng)的相平面圖。 解：),(xx 022xxxnn 1 0.5, 112222nnnnnxxxxxx 2. 相平面圖的繪制相平面圖的繪制 根據(jù)等傾線方程令為若干具體數(shù)值，可得等傾線簇。當初始點A已定，則根據(jù)兩等傾線間的平均斜率值可確定AB線段，進而可確定BC，CD，。=-1=-1.4=-2.5=2=-(1.4+1)/2=-1.2=-0.4=-1xx.ABC2. 相平面圖的繪制相平面圖的繪制例9。3 試用等傾

13、線法繪制二階非線性系統(tǒng)的相平面圖。 解：0.2 )(11)(10)(1222xxxxxxxxxx xx.2. 相平面圖的繪制相平面圖的繪制3) 法法 當?shù)葍A線為直線時繪制相軌跡比較方便。當?shù)葍A線為直曲線時繪制相軌跡不方便。這時用法更好。在法中，相軌跡是圓心沿x軸滑動的一系列圓弧的連續(xù)線。 設(shè) ，要求單值并連續(xù)。變形為令 選使值在選定小x，x范圍內(nèi)，不大不小，可看作常量。當在P1(x1, x1)點附近,),(xxfx xxxfxx22),( 22),(),(xxxfxx.2. 相平面圖的繪制相平面圖的繪制C為積分常數(shù), 可求得Cxxdxxxdxxxdxxdxx2122121212)(221 )(

14、 )(0)( 兩邊積分可得或)(21211221xxC2. 相平面圖的繪制相平面圖的繪制這是一個圓方程, 圓心在(1,0),半徑為221121212211212212)()()(2)(xxxxxxCxx進而可推得21121)(xx 2. 相平面圖的繪制相平面圖的繪制以x為橫軸, 以x/為縱軸, P1點附近的相軌跡可用小段圓弧表示. 為得到1可用逐次逼近法.xx/.P1(1,0)例9.4 已知0(0) 1(0) 03xxxxx 求起始于A1(1,0)點的相軌跡.2. 相平面圖的繪制相平面圖的繪制解解: 取=1, 按 有333),(),(xxxxfxxxxxxxxxx xxxfxx22),( 設(shè)

15、步距為0.2. 先取1=0, 以圓心(0,0),半徑1,過A1點畫圓弧,交 =-0.2于A2 . A2的坐標為(-0.2,(1-0.22). 取A2和A1的坐標平均值(xm,xm)代入求1x x .12. 0),(2/ )2 . 011 (1 . 02/)2 . 0(0(31mmmmmmmxxxxxxx2. 相平面圖的繪制相平面圖的繪制以圓心(0.12,0),半徑1-0.12,過A1點再畫圓弧,交 =-0.2于A2 . 以同樣方法可得A3,A4,x 10.120A1A2A2A3A4xX.3. 由相平面圖求系統(tǒng)的過渡過程由相平面圖求系統(tǒng)的過渡過程 常用三種方法：增量法、積分法、圓弧法1）增量法

16、232323121212010101xxtxxtxxtxxtxdxdtdtdxxm3. 由相平面圖求系統(tǒng)的過渡過程由相平面圖求系統(tǒng)的過渡過程xtxxx01x12x23x34x01t01t12t23t343. 由相平面圖求系統(tǒng)的過渡過程由相平面圖求系統(tǒng)的過渡過程2）積分法1011 0101xxdxxtttdxxdtxdxdtdtdxxxtxt01t12t23t341/xx03. 由相平面圖求系統(tǒng)的過渡過程由相平面圖求系統(tǒng)的過渡過程3）圓弧法0101txtxt01t12t23t34xx00112212112211|cos|sin|ddxxtoPPAxPAxxxP1024. 奇點和極限環(huán)奇點和極限環(huán)

17、 1）奇點的定義 速度速度x和加速度和加速度x都為零的點。都為零的點。 奇點是系統(tǒng)的平衡點。在奇點處相軌跡的斜率為不定值。可以有無窮多條相軌跡趨近或離開奇點。2）奇點的類型 見表9-1，有穩(wěn)定焦點、穩(wěn)定節(jié)點、中心點、不穩(wěn)定焦點、不穩(wěn)定節(jié)點、鞍點。.4. 奇點和極限環(huán)奇點和極限環(huán)表9-1（1）奇點類型閉環(huán)根分布相平面圖動態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定焦點穩(wěn)定節(jié)點 4. 奇點和極限環(huán)奇點和極限環(huán)表9-1（2）奇點類型閉環(huán)根分布相平面圖動態(tài)響應(yīng)中心點不穩(wěn)定焦點 4. 奇點和極限環(huán)奇點和極限環(huán)表9-1（3）奇點類型閉環(huán)根分布相平面圖動態(tài)響應(yīng)不穩(wěn)定節(jié)點鞍點 4. 奇點和極限環(huán)奇點和極限環(huán) 3）奇點坐標的確定 設(shè)在奇點有 由

18、上兩方程確定的兩條曲線的交點即為奇點。系統(tǒng)在奇點附近的運動狀態(tài)可由泰勒級數(shù)展開分析得到。 設(shè)有奇點（x10，x20），則),(),(212211xxQxxxPx0),(Q 0),(0 0212121xxxxPxx4. 奇點和極限環(huán)奇點和極限環(huán))( )(),(),()( )(),(),(202),(2101),(1201021202),(2101),(12010212010201020102010 xxxQxxxQxxQxxQxxxPxxxPxxPxxPxxxxxxxx略去高次項，并令4. 奇點和極限環(huán)奇點和極限環(huán)),(2),(1),(2),(12010201020102010 xxxxxxxxxQdxQcxPbxPa則有)()(),()()(),(2021012120210121xxdxxcxxQxxbxxaxxP為簡便分析，設(shè)x10=x20=0（若初值不為零，可通過坐標變換達到零初值），則有狀態(tài)方程4. 奇點和極限環(huán)奇點和極限環(huán)于是可知系統(tǒng)在奇點附近的運動特性取決于上方程的特征根。2121xxdcbaxx0dcbasI例9-6 已知求系統(tǒng)相平面圖025 . 02xxxx 4. 奇點和極限環(huán)奇點和極限環(huán)在系統(tǒng)平衡時211222125 . 01 xxxxxxxx02 002 025 . 0021212112112221xxxxxxxxxxxxxxxx在點（0，0）