2000-2017歷年考研數(shù)學(xué)一真題(答案+解析)

1、歷年考研數(shù)學(xué)一真題 1987-2017(答案+解析)(經(jīng)典珍藏版)最近三年+回顧過去xy ay by ce的一個(gè)特解，則(A) a 3,b 2,c1(B) a 3,b 2,c1(C) a 3,b 2,c 1(D) a 3,b 2,c 1【詳解】線性微分方程的特征方程為r2 ar b 0,由特解可知r1 2 1 / 101最近三年篇(2015-2017)定是特征方程的一個(gè)實(shí)根.如果1不是特征方程的實(shí)根，則對(duì)應(yīng)于占八、anxn在x 1處條n 12015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題 1 8小題.每小題4分，共32分.1 .設(shè)函數(shù)f(x)在(，)上連續(xù)，其二階導(dǎo)數(shù) f (X)的

2、圖形如右圖所示，則曲線 y f (X)在(，)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【詳解】對(duì)于連續(xù)函數(shù)的曲線而言，拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于零或者不存 在.從圖上可以看出有兩個(gè)二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，以及一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)不存 在的點(diǎn)x 0 .但對(duì)于這三個(gè)點(diǎn)，左邊的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的兩側(cè)二階 導(dǎo)數(shù)都是正的，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不是拐點(diǎn).而另外兩個(gè)點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是 異號(hào)的，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)才是拐點(diǎn)，所以應(yīng)該選(C)_x _x_f (x) ce的特解的形式應(yīng)該為 Q(x)e，其中Q(x)應(yīng)該是一個(gè)零次多項(xiàng)式，即常數(shù)，與條件不符，所以 r2 1也是特征方程的另外一個(gè)實(shí)根，這樣由韋達(dá)定理可得 a (2 1)3,b

3、 2 1 2,同時(shí)y* xex是原來方程的一個(gè)解，代入可得 C 1應(yīng)該選(A)3 .若級(jí)數(shù) an條件收斂，則x J3, x 3依次為級(jí)數(shù) n 1nan(x 1)n 的 n 1(A)收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)(B)收斂點(diǎn)，發(fā)散(C)發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)(D)發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【詳解】注意條件級(jí)數(shù)an條件收斂等價(jià)于哥級(jí)數(shù)n 11八12 .設(shè)y -e2x (x 一)ex是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 23化收斂，也就是這個(gè)哥級(jí)數(shù)的收斂為1,即limnan 1annan(x 1)n的收斂半徑R lim n 1nnan(n 1)an i1 ,絕對(duì)收斂域?yàn)橐簿褪牵?,2）,顯然x J3,x 3依次為收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)，應(yīng)該選（ B

4、）D:431.2sin4.設(shè)D是第一象限中由曲線 2xy 1,4xy 1與直線y x, y圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，則 f(x,y)dxdy D1( A )3dsin12 f (rcos , rsin )rdr (4 2sin213dsi；2 f (r cos , r sin )rdr42sin 21(c )3d * f (rcos , rsin )dr (7 2sin2V3x所（）所以 f (x, y)dxdyD(B).5.設(shè)矩陣A13d g；2 f (r cos , r sin )rdr ,所以應(yīng)該選42sin 2111112a,bd,若集合2214ad組Ax b有無窮多

5、解的充分必要條件是(A) a ,d(C) a ,d1,2 ,則線性方程(B) a ,d(D) a ,d13d 狗n2 f (r cos ,r sin )dr42sin 2【詳解】積分區(qū)域如圖所示，化成極坐標(biāo)方程：2 .2112xy 1 2r sin cos 1 r rsin 2, sin 224xy 1 4r sin cos 112sin 212sin2【詳解】對(duì)線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換:1111B (A,b)1 2 a d221 4 a d01a1d103a21d2101 a 10 0(a 1)(a7 / i0i方程組無窮解的充分必要條件是r(A) r(A,b) 3,也就是(a 1

6、)(a 2) 0,(d 1)(d 2) 0同時(shí)成立，當(dāng)然應(yīng)該選(D).6.設(shè)二次型f(xhX2,X3)在正交變換x Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為C 2222yiy2 y3 ,其中 P062,63 ，若 Q e, 662 ,則故選擇(A).7.若A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則(A) P(AB) P(A)P(B)0、P(A) P(B)(C)P(AB) :(B) P(AB) P(A)P(B)P(A) P(B)(D) P(AB) ;f (Xi, X2, X3)在x Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為【詳解】P(A) P(AB),P(B) P(AB),所以 P(AB)P(A) P(B)2，一、- 222(A) 2yiy2y3(C) 2

7、yi2y2y2c 222(B) 2 yiy2y3222(D)2yiy2y3故選擇(C).8 .設(shè)隨機(jī)變量X ,Y不相關(guān)，且EX 2,EY i,DX 3 ,則e3 , e2ei ,e2, e3E(X(X Y2)(A)(B) 3詳(C)(D) 5E(X(X Y2)E(X2) E(XY) 2EXDX(EX )2EXEY 2 EXQTPT故應(yīng)該選擇(D).AxyT PAPyQTAQPTAP二、填空題(本題共 線上)9. limX 0ln(cos x)2x6小題，每小題4分，？黃分24分.把答案填在題中橫ln(cos x) tan xlim -2-limx 0 x2 x 0 2x2 sin x10.2

8、1 cosxx dx(x 2 y 3z)dxdydzzdxdydz16 0 zdz dxdyDz1230z(1 z)2dz【詳解】只要注意-1sin x s為奇函數(shù)，在對(duì)稱區(qū)間上積分為零,cosx所以2sin x2 1 cosxx dx 2 2 xdx013. n階行列式11 .若函數(shù)z z(x,y)是由方程ezxyz x cos x2確定，【詳解】按照第一行展開,Dn_n 1 一2Dn 1 ( 1)2(dz |(0,1)有 Dn 22(Dn 1 2)【詳解】設(shè) F (x, y, z) ez xyz x cosx 2,則由于Di 2, D26 ,得Dnn 1n 12 (D1 2) 2 2Fx

9、(x, y,z)yz 1 sinx,Fy (x, y,z) xz,Fz (x, y,z)ze xy維隨機(jī)變量(X,Y)服從正態(tài)分布N(1,0;1,1;0),則x 0, yP XY Y 0一|(0,1) xFx (0,1,0)Fz (0,1,0)1,-z |(o,i)yFy (0,1,0),Fz (0,1,0)【詳解】由于相關(guān)系數(shù)等于零Y都服從正態(tài)分布，也就得到dz |(o,i)dx.12.設(shè)是由平面x yz 1和三個(gè)坐標(biāo)面圍成的空間區(qū)域，則X N (1,1),Y N (0,1),且相互獨(dú)立.則 X 1N(0,1).(x2 y 3z)dxdydzP XY Y 0 P Y(X 1) 0 P Y0,

10、 X 1 0 P Y 0,X 1【詳解】注意在積分區(qū)域內(nèi),三個(gè)變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性，也就是xdxdydzydxdydzzdxdydz三、解答題15.(本題滿分 10 分)設(shè)函數(shù) f (x) x a ln( 1 x) bx sin x ,-3 .g(x) kx在xo時(shí)為等價(jià)無否小，求常數(shù) a,b, k的取值.f (Xo)f (Xo)【詳解】當(dāng)x o時(shí)，把函數(shù)f(x)x a ln( 1 x) bx sin x 展開到三階的馬克勞林公式,曲線y f (x)在點(diǎn)(xo, f (xo)處的切線與直線 xXo及X軸所圍成區(qū)f (X) Xa(xo(x3)bx(x 1x36域的面積為由于當(dāng)X解得，a(

11、1a)X0時(shí),1,bo(x3)1 一 、，-f (Xo)(Xo(Xof (Xo)2 zax(w)33/ 3x o(x )(Xo)f(X),g(X)是等價(jià)無窮小，則有b o,2,k16.(本題滿分1o分)設(shè)函數(shù)y f (x)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意的Xo I ,曲線y f (X)在點(diǎn)(Xo, f (Xo)處的切線與直線 X Xo及X軸所圍成區(qū)域的面積恒為4,且f (o) 2 ,求f (x)的表達(dá)式.【詳解】y f(x)在點(diǎn)(xo, f (Xo)處的切線方程為y f (Xo)(X Xo) f (Xo) r 12整理，得y - y28所求曲線方程為y解方程,17.(本題滿分1。分)1得_ y

12、由于f(o)設(shè)函數(shù) f (x, y) x y xy ,曲線C上的最大方向?qū)?shù).【詳解】顯然f (x, y) xgradf曲線Xy3,f (X, y)在xyf y,一y.1(x, y)f (X, y)在(X, y)處的最大方向?qū)?shù)的方向就是梯度方向，最大值為梯度的模 gradf |：，(1 y)2 (1x)29 / 1o122所以此題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F (x, y) (1 x) (1 y)在條件u(x x)v( x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)xy3下的條件極值.用拉格朗日乘子法求解如下:uv(x x) u(x) v令 L(x, y,)(1x)2 (1y)2(x

13、xy 3)u /v(x xx)u(x)解方程組1.1 .( 1,FxFy2 x1),(2,2(1 x)2(1 y)2y xy2x2y1),( 1,2),進(jìn)行比較，可得，在點(diǎn) x 2, y最大，為.9 3.18.(本題滿分10分)(1 )設(shè)函數(shù)u(x),v(x)都由導(dǎo)數(shù)的定義和可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系得幾個(gè)可能的極值點(diǎn)yuy' lim limj v(x x) x x x xuu(x)u '( x)v(x) u( x)v'( x) x1, y 2處，方向?qū)?shù)取到利用導(dǎo)數(shù)定義證明(u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x);(2) 設(shè)函u1(x), U2(x),L,un(

14、x) 都可導(dǎo)(2)f (x) Ui(X)U2(X)L un(x)f (x) Ui(X)Ui(X)U2(X)L Un(x)Ui(X)U2(X)L Un(x)u1(x)u2(x)L uf (x) U(x)U2(x)L Un(x),寫出 f(x)的求導(dǎo)公式.【詳解】(1)證明：設(shè)y u(x)v(x)y u(x x)v(x x) u(x) v(x)19.(本題滿分10分)已知曲線L的方程為 z J2 x2 y2 ,起點(diǎn)為A(0,J2；0),終點(diǎn)為 z xB(0, J2,0), 計(jì) 算 曲 線 積 分L(y z)dx (z2 x2 y)dy (x2 y2)dz .x cost【詳解】曲線L的參數(shù)方程為

15、y J2sint, z cost起點(diǎn)A(0,J2,0)對(duì)應(yīng)t 一,終點(diǎn)為B(0, J2,0)對(duì)應(yīng)t 一 . 2231 / 10122L(y z)dX (z X y)dy(x2 y2)dzx11X22 X3 3 X1 1X22 X3 32(，2sint cost)d(cost)2(、.2cost)d(.2cost) (22 .cos t)d cost可整理得:X1( 12k 3)X2 2X3( 1 k 3)，所以條件轉(zhuǎn)化為線性方程組2 2 02sin2tdt1 2kX 0存在非零解.從而系數(shù)行列式應(yīng)該等于零,也就是20.（本題滿分11分)2, 33向量空間 R3的(1 , 2 , 3) 02k2

16、k3,2 2,3 (k 1) 3.（1）證明:向量組3為向量空間R3的一組基;由于1 , 2,(2)當(dāng)為何值時(shí),存在非零向量，使得在基1,2, 3和基2k3顯然線性無關(guān)，所以0,也就是k 0.2kX13下的坐標(biāo)相同，并求出所有的非零向量此時(shí)方程組化為X2(X1X3) 1X20，【詳解】(1)2 , 3)2,因?yàn)樗?2)X32k2,2k2k0，3是線性無關(guān)的，當(dāng)然是向量空間由于2線性無關(guān),所以X1X2X300X1通解為X2X31, 2, 3顯然線性無關(guān),3R3的一組基.設(shè)非零向量在兩組基下的坐標(biāo)都是（X1,X2,X3），則由條件為任意常數(shù).所以滿足條件的21.（本題滿分11分)C0 ，其中C其

17、中C為任意不為零的常數(shù).0設(shè)矩陣A 133相似于矩陣B(1)求a,b的值;(2)求可逆矩陣P ,使P 1AP為對(duì)角矩陣.【詳解】(1)因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣相似，所以有trA也就是2a1)2(5)的特征值都為1,解方程組(EA)x0,得矩陣的屬于特征值 11的線性無關(guān)的特征向量為解方程組(5EA)x 0得矩陣A的屬于特征值35的線性無關(guān)的特23令 P 1, 2, 3100122.(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)2xln2,x 00, x 0對(duì)X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測， 直到第2個(gè)大于3的觀測值出現(xiàn)時(shí)停止， 記Y 為次數(shù).求Y的分布函數(shù)；(1) 求Y的概率分布；(2) 求數(shù)學(xué)期望EY.【詳解

18、】(1) X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測，得到觀測值大于3的概率為P(X 3)x2 ln 2dx3顯然Y的可能取值為2,3, 4,L且P(Yk) 8C；1183k1)2,k2,3,4,LS(x)E(Y)n(n2n 21)xkP(Yk 2k)23.(本題滿分11分) 設(shè)總體X的概率密度為(xn)2六,x 11 .八 k(k n 264S -64816f(x; )10,其他其中 為未知參數(shù)，Xi,X2,L ,Xn是來自總體的簡單樣本.(1)求參數(shù) 的矩估計(jì)量；(2)求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量.【詳解】(1)總體的數(shù)學(xué)期望為1 11e(X) Lx 2(1)令E(X) X ,解得參數(shù) 的矩估計(jì)量:(2)似然函數(shù)為

19、L(X1,X2,L ,Xn；)1(1廠X1,X2,L ,Xn 10,其他顯然L()是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，為了使似然函數(shù)達(dá)到最大，只要使盡可能大就可以，所以參數(shù) 的最大似然估計(jì)量為 ？ min(X1,X2,L ,Xn).2016年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng) 中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選前的字母填在答題紙指定位 置上。+1(1)若反常積分二一bdX收斂，則()。0 Xa(1 X)bA. a Wb 1B. a 1 且 b 1C. a 1 且 a b 1D. a 1 且 a b 1【答案】C【解析】a-bx =

20、x (1 x)1-Jdx+ 0 xa(1 x)b1+11xa(1 x)bdx，而 4dx0 a0 xy' p(x)y q(x)的兩個(gè)解，則 q(x)=()。-2A. 3x(1 x )(1 x)b 不xa(1 x)bdx= 11a b 1、bx (1-)xdx1f7dx 當(dāng) a a bx-2B. 3x(1 x )x1 x2，1 h此時(shí)(1 )不影響,x因此選擇 C.(2)已知函數(shù)f(x)2(x 1),xIn x, x 1f (x)的一個(gè)原函數(shù)是(A.F(x)(x 1)2,xx(ln x 1),x 1B.F(x)(x 1)2,xx(lnx 1)1,xC.F(x)(x 1)2,xx(lnx

21、1)1,xD.F(x)(x 1)2,xx(lnx 1)11,x函數(shù)f (x)做定積分可得原函數(shù)，In xdx x In x1x dx x In x xC ,因此選擇D.(3 )若 y (1222x )1 x ,y(1x2)2由x2是微分方程C.【解析】將y (1 x2)2 , 1 x2代入微分方程可得:4x(1 x2), x p(x)(1 x2)2 J1 x2 q(x)1 x2而將y (1 x2)2 -.1 x2代入微分方程可得：4x(1 x2)/ x p(x)(1 x2)2 J1 x2 q(x),1 x2將這兩個(gè)式子相加可得：8x(1 x2) 2p(x)(1 x2)2 2q(x)兩個(gè)式子相減

22、可得：2x 2 2p(x) 1 x2 01 x2因此可得2x 、2 2222q(x) 4x(1 x ) ( 2 (1 x )4x(1 x ) x(1 x ) 3x(1 x )1 x故選擇A.x,x 0(4)已知函數(shù)f(x) 111，則()。, x , n 1,2,L n n 1 nA. x 0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)B. x 0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)C. f (x)在x 0處連續(xù)但不可導(dǎo)D. f(x)在x 0處可導(dǎo)E. A A 1與B B 1相似【答案】C【解析】因?yàn)?A與B相似，因此存在可逆矩陣 P ,使得P 1AP B,于 是有：(P 1AP)T PTAT(P 1)T PT AT (PT

23、) 1 BT,即 ATBT,(P 1AP) 1 P 1A 1(P 1) 1 P 1A 1P B1,因此 A1B1,_ 11_1_11_1. 11P (A A )P P AP PAP B B ，因此 AAB B,0 f(0),因此在x 0處連續(xù),(6)設(shè)二次型 f(x1,x2,x3) Xi2 x； x2 4x1x2 4x1x3 4x2x3 , 則1【斛析】lim f (x) lim f (x) lim x 0nn而C選項(xiàng)中，P 1ATP不一定等于BT ,故C不正確，選擇 C.lim f '(x) 1 ,而 lim f '(x) lim x 0x 0x 011x 1,因此n 1 n

24、f(x) f(0)xlimnf (Xi, x2,x3) 2在空間直角坐標(biāo)系下表示的二次曲面為()。111n n (n 1) _ ,而左右兩邊的極限均為 nxn1,因此 lim f '(x) 1 ,x 0故在x 0可導(dǎo)，選擇D.(5)設(shè)A, B是可逆矩陣，且 A與B相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()。A. AT與BT相似B. A 1與B 1相似C. A AT與BBT相似A.單葉雙曲面B.雙葉雙曲面C.橢球面D柱面【答案】B【解析】二次型f(Xi, X2, X3)x2X2X24XiX24XiX34X2X3對(duì)應(yīng)的1 22矩陣A212，根據(jù)| E A| 0可以求得特征值為，2 2115,231 ,因

25、此二次型的規(guī)范形為222f Z1Z2Z3 ,故可得22Ziz22z32 ,即一J1-2(22z2(2)2 (；2)21,因此對(duì)應(yīng)的曲面為雙P(XY0) P(X0) PY0 P(X 0,Y 0)44 11179 9 3 3 39葉雙曲面,選擇B.P(XY1) P(X1,Y1)設(shè)隨機(jī)變量XN（,2)(PX2,則（）。因此可得EXY 0A.B.C.D.p隨著 p隨著 p隨著 p隨著的增加而增加 的增加而增加 的增加而減少 的增加而減少EXY EXEYXY tdxTdy29494111123 3 3 3 9,2,，一，-,故可得相關(guān)系數(shù)為:99二、填空題，914小題，每小題 定位置上.4分，共24分，

26、請(qǐng)將答案寫在答疑紙指PX2 PX PX(9)limxx0tln(1 tsint)dt21 cosxp隨著的增加而增加.(8)隨機(jī)試驗(yàn)E有三種兩兩不相容的結(jié)果A1,A2, A3,且三種結(jié)果發(fā)生的概率均為11,將試驗(yàn)E獨(dú)立重復(fù)做2次, 3X表示2次試驗(yàn)中結(jié)果 A1發(fā)生的次數(shù),Y表示2次試驗(yàn)外發(fā)生的次數(shù),則X于Y的相關(guān)系數(shù)為（limxx0tln(1t sint)dt2 cosxlimxxln(1 xsin x)c22xsin x“im 2xln(1 xsinx)2sin xlim 2 xxsin2 xA.B.C.D.10A(x, y, z) (xz)i xyjzk 的旋根據(jù)題意可知X 1b(2,3)

27、，yrotA【答案】（0,1, y1)12EX EY 2 - 一，DX3 3DY 21- B(2,-),因此有31243 3 9,R rotA yP、，Ap 0,1,y 1 y(11 ) 設(shè)函數(shù) f(u,v)可微, z z(x, y) 由方程(x 1)z y22x f(x z, y)確7E,則 dz|(0,i)f ”(x)一 (12x-中x )-2 2_22_2ax(1 ax )2(1 ax )(1 ax ) 2ax24(1 ax )此時(shí)f ''(0)0 (存疑)【答案】dx2dy【解析】將(x1)z y2 x2f(x z, y)兩邊分別關(guān)于x, y求導(dǎo)可得:(13)行列式z

28、(x 1)Zx2',、，/'、2xf (x z, y) x f(x z, y)(1 zx),(x 1)Zy 2y2'''x f(x z,y)( zy) f2(x z,y) 1。將x 0, y 1代入原式可得z 1,因此將x 0, y 1, z1代入關(guān)于x求導(dǎo)的式子可得:1zx0,因此 Zx1，代入關(guān)于y求導(dǎo)的式子可得:zy 2 0,此有zy 2 ,故可得dz |(0,1)dx 2dy.(12 ) 設(shè)函數(shù)f(x)arctan x 一 1一，且axf ''(0) 1 ，(14)設(shè)x1，x2,L , xn為來自總體N(,2)的簡單隨機(jī)樣本，樣本

29、均值x 9.5,參數(shù) 的置信度為0.95的雙側(cè)知心區(qū)間的置信上限為10.8,f'(x)為:根據(jù) f (x) arctan x11 x22_21 ax 2ax,a2、2(1 ax )x2 ax11 x2可得:2,a2、2(1 ax )然后求二階導(dǎo)數(shù)則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為(8.2,10.8)P u0.025u0.025P xu0.025 x u0.0250.95因?yàn)閤 U0.025 -=10.8 ,所 以 見.025亍1.3 ,因 此可得、n、n2(1 cos ) 2xdxdy dr cos drD-28 2 (3cos23cos3cos4 )d2cos3r 2(1w12co

30、s )dxU0.0258.2 ,故可得置信區(qū)間為(8.2,10.8).三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解 答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15)(本題滿分10分)22.8 2 cos d223,8 34.8 2 cos d 2 cos d53 i4 2 (1 cos2 )d 8 2 (1 sin2 )d sin 228 1 cos：d sin已知平面區(qū)域 D(r, )|2 r 2(1 cos ),-,計(jì)算二重sin 2sin -583、 一、 24() |2 8(sin) |2 (cos sin |22 3sin25353工 工2 cos積分 xdxd

31、y.D322 (1 cos4 )d1sin 44)F_2(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)y(x)滿足方程y'' 2y' ky 0 ,其中0 k 1.(I )證明：反常積分 ° y(x)dx收斂；(n)若 y(0) 1,y'(0) 1,求 0 y(x)dx 的值.1【答案】(i ) ； ( n)-k【解析】(17)(本題滿分10分)同的實(shí)根，即r1,21 至且ri,20,因此二階常系(I )特征方程為r2 2r k 0,由0 k 1可知，特征方程有兩個(gè)不設(shè)函數(shù) f(x, y)滿足 f(x, y) (2x 1)e2x y,且 f (0, y) y 1, L

32、t 是從 x點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,t)的光滑曲線，計(jì)算曲線積分?jǐn)?shù)齊次線性方程的解為：y(x) C1er1x C2er2x,故可得o y(x)dx ° (Ge* C2er2x)dxC1 cr1xC2 cr2x |eI0eI012宜(0 1) C2(0 1)r1匕C1 C2rL因此0 y(x)dx收斂.(n)由 y(x) C1er1x Czer2', y(0) 1,y'(0) 1 可得:xf (x, y)e y(xe2x2x yxe又 f (0, y)C1C2 1一 一 . 一一 一 1C1rlC2 r2 1,斛付 C1 C2 一r1,21 1k代入可得I (t) f(x

33、, y) dx f(x, y) dy ,并求 I (t)的最小值. Lt xy【答案】3【解析】根據(jù) f(x, y) (2 x 1)e2x y 可得：(2x 1)e2xydx e y 2xe2xdx e2xdxe2xdx e2xdx) (y)(y)y 1 故可知(y) y 1 ,因此 f(x,y) xe2x y y 1所以 f(x, y)xe2x y 1 ,yI (t) f(x, y) dx f(x, y) dy (2x 1)e2x ydx (1 xe2x y)dyLtxyLt設(shè) P (2x 1)e2x y,Q 1 xe2x y , 則 有0 y(x)dxC1C2111-(=)2 1 .1k

34、1 ，1 k2x y Q(2x 1)e y,一 x2x y e2xe2x y(2x 2 3)dxdydz(2x1)dxdydzx 22 (2x 1)dz(2x2 xDxyy、，xy -1)dxdy滿足一 P Q 一 因此一P ,因此積分與路徑無關(guān) y x故I(t) (2x 1)e2x ydx (1 xe2x y)dy' 'Lt1 t2x2 y.0(2x 1)e dx 0(1 e )dy2 ,2 t 2e t e e.2 tt e2 t2 t 一一.因?yàn)?I(t) t e ，所以 I'(t) 1 e ，令 I'(t) 0 可得 t 2而I ”(t) e2 t ,因

35、此I ”(2) 1 0 ,因此當(dāng)t 2有最小值為I (2) 2 1 3.(18)(本題滿分10分)設(shè)有界區(qū)域 由平面2x y 2z 2與三個(gè)坐標(biāo)平面圍成，為整個(gè)表面的外側(cè)，計(jì)算曲面積分I(x2 1)dydz 2ydzdx 3zdxdy.1【答案】12【解析】I(x2 1)dydz 2ydzdx 3zdxdy,令 P x2 1,Q2y, R 3z由高斯公式可知：PQRI( )dxdydzxyz1dxdy oDxy11 2x 2y0 dx °(2x x xy j)dy1(19)(本題滿分10分)1已知函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f(0) 1,0 f '(x).設(shè)數(shù)列xn 2xn1f(xn

36、)(n 1,2,L),證明：(I )級(jí)數(shù)(xn 1 xn)絕對(duì)收斂；n 1(n ) lim xn 存在，且 0 lim xn 2 . n nn n【答案】利用絕對(duì)收斂定義證明即可。【解析】(I)證：xn 1f(xn),因此有I" Xn| |f(Xn) f(Xm)| | f '()(Xn-|f(Xn1) f(Xn2)| - -|Xn122 2Xn 2、 1，Xn 1)| 二1 Xn21| L 2n 1 1 X2Xi |【答案】a 2時(shí)，無解；a 1時(shí)，有無窮多解，X11k1 1 k2 1k1k2顯然n 1* |X2X |收斂,因此n(Xn 1Xn)絕對(duì)收斂.a 2且a 1時(shí)，有

37、唯一解，X記Snn(Xn 1n 1Xn )Sn Xn 1因?yàn)榧?jí)數(shù)3a1 a 20 -a-4a 210(Xn 1n 1Xn)因此lim nSn存在，因此limnXn存在，不妨設(shè)lim xnnA,(A, B)Xn 1f (Xn)f (Xn)f(0) 1f '( )Xn1 - '(x)可得2廣矩111222 a 11 a11 a a 12111220 a 233 a 400 a 1 1 a 0Xn 1f'( )Xn0,這與1 2xn 1A 21 ,兩邊取極限可得 A1矛盾,0,與(1此可得0 A 2,lim xn n2.(20)(本題滿分11分)設(shè)矩陣,Bf'(因此當(dāng)

38、| A| (a2)(a 1) 0 即 a2且a 1時(shí)，有唯一解;)A 1矛盾，因當(dāng)a為何值時(shí)，方程 求解此方程.AXB無解、有唯一解、有無窮多解？在有解時(shí),X11X12設(shè) X X21X22X31X32當(dāng)1110 a 2300 a 1，代入AX B ,解得Xa 22213 a 401 a 001衛(wèi)a 2a 40 -a 210代112203360330XuX21X12x22 ，因此可得3x326, 3x32 0,這兩個(gè)式子是矛盾的,代111203330000X31X32因此方程組無解；當(dāng)a 1111220 a 233 a 400 a 1 1 a 0為1 X12有無窮多解，將X x21 x22入23

39、 ，此時(shí)方程組0XiX21X312X-i oXooXjo2代入可得,解得3x2i 3X31311xi 1，不妨設(shè)X3”X32為自由未知量，則可得 X K1 k21x12 1ki k2(21)(本題滿分11分)011已知矩陣A 23 00 00(I )求 A，'；(n)設(shè) 3 階矩陣 B ( 1, 2, 3)滿足 B2 BA.記 ( 1, 2, 3),將1, 2, 3分別表示成1, 2, 3的線性組合.【答案】(I ) a" 2 2100 1 2100 2 2"000(H) ( 2 2") ( 2 210°) 2;2(1 2") 1 (1

40、 210°) 2;3(2 298) 1 (2 2") 2【解析】(I)利用相似對(duì)角化，由| E A| 0得到特征值為0, 1, 2,1對(duì)應(yīng)的特征向量為0時(shí)，代入 E A中，求解方程組(E A)X 0的解就是特征向同理得到其他的兩個(gè)特征向量分別為：11r2 1 ,2對(duì)應(yīng)的特征向量為r3 2 ,0019 / 1013 1設(shè)P «/小)2 12 0990 00A99 P 0100 02102 ，則有 P 1AP 000P 1 ,根據(jù)矩陣P可0010 ,因此可得02以求得其逆矩陣為3(2 298) 1 (2 299) 2因此有(22)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量 (X

41、,Y)在區(qū)域D (x,y)|0從均勻分布，令x 1,x2 y 4上服99A99P 002991,X Y0,X Y2299210。299210。298299(I )寫出(X,Y)的概率密度；(n )問U與X是否相互獨(dú)立？并說明理解;(出)求Z U X的分布函數(shù)F(z).B100B100因此有(I)f(x,y)3,0 x1,x2y . x0,其他)B2BAB3BBAB2ABAABA2BA99、，所以3)一 99/3)A(2, 3)299210。299210。298299299)(2 2100) 2；2(1299) 1(1 2100) 2；11(n) U與X不獨(dú)立，因?yàn)镻U -,X 22(m) Z的

42、分布函數(shù)為：0,z 0§z2 z3,0 z 1Fz(z)23。1: 3)-2(z 1)2 -(z 1)2,1 z 21,z 2【解析】(I )區(qū)域D的面積為s(D)° (Jx x2)dx11PU /X 21，一，因此服從均勻分布,343 / 101因此有因此可得f (x, y)3,0 x 1,x20,其他U與X不獨(dú)立Fz(z)PUPU1,X221 PU211-,px -220,X - PX Y, X - 2212-20,z3 2 z2121,z,0因此PU2,X(出)F(z)PUPUXPUPX 乙XX z,U 0Yz PU-0PUP1 XPX z, X Y0,z3 2 z2

43、1一，z2z3,0P1 X z,X Y0,z2(z131)22(z31)21)2,1z 2(23)(本題滿分11分)設(shè)總體X的概率密度為f (x,"0 Y3 ,0 ，其中 (0,)為未0,其他X z|U 0PU0 PU0PU X 乙U 132(zX z|U 1PU服數(shù)，Xi,X2,X3為總體X的簡單隨機(jī)抽樣，令T max(Xi,X2,X3).12,zPU 1Y2_1) ,1 z 2PU1(I )求T的概率密度；(n )確定a ,使得aT為 的無偏估計(jì).【答案】(I)fT(x)的概率密度:9x8 .,0 x0,其他109(I )根據(jù)題意， X1,X2,X3獨(dú)立同分布,Ft Pmax(X

44、1,X2,X3) t PX1P% tPX2 tPX3 t (PXi因此可得t,Xt)2 tX t3當(dāng) t 0時(shí)，F(xiàn)T(t) 0；時(shí)，(t)(3x2dx)3t9當(dāng)t 時(shí)，F(xiàn)t (t) 1,因此可得概率密度函數(shù)為:fT(X)9x8,00,其他E(aT) aE(T)t998dt 2a0910,根據(jù)題意，如果aT為 的無偏估計(jì)，則有9 E(aT ),因此可得a 一 .102017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上?！敬鸢浮緾1,lim f(x) b,因此可 2a x 0-1 cos x(1)若函數(shù)f(x)ax ,x 0在x 0連續(xù)，則()。b,x 0A -1A. ab 2B. ab 12C. ab 0D. ab 2【答案】A【解析】由連續(xù)的定義可得lim- f (x)lim+ f (x)f(0),而1 cosjx2 訴lim+ f (x) lim+ lim+ -x 0+x 0+ax x 0+ ax1得b ,故選擇Ao2a(2)設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f(x)f'(x) 0,則(A. f(1)f( 1)B. f(1)f( 1)C. | f(1)| | f( 1)【解析】令F(x) f2(x),則有F'(x)