切線長與三角形的內(nèi)切圓

1、24.2.2切線長與切線長與三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：切線的判定：切線的判定：切線的性質(zhì)：切線的性質(zhì)：判定定理切線切線有一個公共點(diǎn). 3r2.d1.垂直于過切點(diǎn)的半徑切線切線一個公共點(diǎn)切線. 3rd2. 1.A.O.A.O.A.O（1）過圓內(nèi)已知點(diǎn)不能作圓的切線（2）過圓上已知點(diǎn)可作圓的唯一一條切線。（3）過圓外一已知點(diǎn)可作圓的兩條切線。過平面內(nèi)一點(diǎn)作已知圓的切線，會有過平面內(nèi)一點(diǎn)作已知圓的切線，會有怎樣的情形呢？怎樣的情形呢？PABO思考：切線長和切線的區(qū)別？切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長

2、，叫做這，叫做這點(diǎn)到圓的點(diǎn)到圓的切線長切線長。探索！切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的它們的切線長相等切線長相等，圓心圓心和這一和這一點(diǎn)點(diǎn)的的連線連線平分平分兩條切線的兩條切線的夾角夾角。.Po.A幾何符號表示為：幾何符號表示為： PA、PB分別切分別切 O于于A、BPA=PB,PA=PB, OPOP平分平分APBAPB動動口：動動口：從以上結(jié)論中，你能說說圓從以上結(jié)論中，你能說說圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線有什么樣的結(jié)論外一點(diǎn)引圓的兩條切線有什么樣的結(jié)論嗎？嗎？BBBABBBBBOB是 O的一條半徑嗎？PB是 O的切線嗎？線段PA與PB， APO 與

3、BPO有什么關(guān)系？請證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。請證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。APOBPA = PBOPA=OPB證明：證明：PAPA，PBPB與與OO相切，點(diǎn)相切，點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL) ) PA = PB OPA=OPBAPO。BM 連結(jié)兩切點(diǎn)連結(jié)兩切點(diǎn)A A、B B，ABAB交交OPOP于點(diǎn)于點(diǎn)M.M.線段線段ABAB與線與線段段OPOP有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?并給出證明并給出證明. .OP垂直平分垂直平分AB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的

4、切線, ,點(diǎn)點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) PA = PB OA=OB OP垂直平分垂直平分ABAPO。BECD例題已知：如圖，例題已知：如圖，PA，PB是是 O的兩條切的兩條切線，線，A、B為切點(diǎn)。直線為切點(diǎn)。直線OP交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)D、E，交，交AB于點(diǎn)于點(diǎn)C。（2）寫出圖中所有的全）寫出圖中所有的全等三角形；等三角形；（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；OAPAOAPA，OBPBOBPB，OPABOPABOAPOAPOBP;OBP;OCAOCAOCBOCBACPACPBCPBCP（3）圖中有哪些線段相等）圖中有哪些線段相等(除半徑外除半徑外)、弧相、弧相等？等？PB=P

5、A;BC=AC弧BD=弧AD,弧EB=弧EA,弧EBD=弧EAD,弧EBA=弧，弧弧 李明在一家木料廠上班，工作之余想對廠李明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，且使圓的面積最大。料，且使圓的面積最大。下圖是他的幾種設(shè)計(jì)，請同學(xué)們幫他確定一下圖是他的幾種設(shè)計(jì)，請同學(xué)們幫他確定一下。下。ABC思考下列問題思考下列問題：1如圖，若如圖，若 O與與ABC的兩邊相切，那么圓心的兩邊相切，那么圓心O的的位置有什么特點(diǎn)？位置有什么特點(diǎn)？圓心圓心0在在ABC的平分線上。的平分線上。2如圖如圖2，如果，如果 O與與ABC的夾內(nèi)角的夾內(nèi)

6、角ABC的兩的兩邊相切，且與夾內(nèi)角邊相切，且與夾內(nèi)角ACB的兩邊也相切，那么此的兩邊也相切，那么此 O的圓心在什么位置？的圓心在什么位置？圓心圓心0在在BAC,ABC與與ACB的三個角的三個角的角平分線的交點(diǎn)上。的角平分線的交點(diǎn)上。 OMABCNO圖圖2AB C探究：三角形內(nèi)切圓的作法探究：三角形內(nèi)切圓的作法3如何確定一個與三角形的三邊都相切如何確定一個與三角形的三邊都相切的圓心的位置與半徑的長？的圓心的位置與半徑的長？ 4你能作出幾個與一個你能作出幾個與一個三角形的三邊都相切的三角形的三邊都相切的圓么？圓么？ 作出三個內(nèi)角的平分線，三條內(nèi)角作出三個內(nèi)角的平分線，三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)

7、就是符合平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是符合條件的圓心，過圓心作一邊的垂線，條件的圓心，過圓心作一邊的垂線，垂線段的長是符合條件的半徑。垂線段的長是符合條件的半徑。 只能作一個，因?yàn)槿切蔚娜龡l內(nèi)角只能作一個，因?yàn)槿切蔚娜龡l內(nèi)角平分線相交只有一個交點(diǎn)。平分線相交只有一個交點(diǎn)。 探究：三角形內(nèi)切圓的作法探究：三角形內(nèi)切圓的作法BAEDFOr作法： ABC1、作、作B、C的平分線的平分線BM和和CN，交點(diǎn)為交點(diǎn)為I。 I2過點(diǎn)過點(diǎn)I作作IDBC，垂足，垂足為為D。 3以以I為圓心，為圓心，ID為為半徑作半徑作 I. I就是所求的圓。就是所求的圓。 DMN探究：三角形內(nèi)切圓的作法探究：三角形內(nèi)切圓的作法

8、1、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角 形的形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)內(nèi)心心，這個三角形叫做圓的，這個三角形叫做圓的外切三角形外切三角形。2、性質(zhì)、性質(zhì): 內(nèi)心到三角形三邊的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等距離相等； 內(nèi)心與頂點(diǎn)連線內(nèi)心與頂點(diǎn)連線平分內(nèi)角平分內(nèi)角。O圖圖2AB CABCO外心（三角形外接圓的圓心）名稱確定方法圖形性質(zhì)三 角 形 三邊 中 垂 線的交點(diǎn) （1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的內(nèi)部內(nèi) 心 （ 三角 形 內(nèi) 切圓的圓心）三 角 形 三條 角 平 分線的交點(diǎn) （1）到三邊的距離相等

9、；（2）OA、OB、OC分別平分 B A C 、 A B C 、ACB；（3）內(nèi)心在三角形內(nèi)部ABCO例題例題 已知：在已知：在ABCABC中，中，BC=14BC=14，AC=9AC=9，AB=13AB=13，它的內(nèi)切圓分別和，它的內(nèi)切圓分別和BCBC、ACAC、ABAB切于點(diǎn)切于點(diǎn)D D、E E、F F，求，求AFAF、BDBD和和CECE的長的長。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x(13-x)+(9-x)=14略解：設(shè)略解：設(shè)AFx，則，則BF=13-x由切線長定理知由切線長定理知:AE=AF=x,BD=BF=13-x,DC=EC=9-x,又又BD+CD=14解得解得x=4答：答

10、：AF=4BD=9CE=5AF=4，BD=9，CE=5課本課本98頁練習(xí)頁練習(xí)1如圖，在如圖，在ABC中中ABC=50，ACB75，點(diǎn)，點(diǎn)O是內(nèi)心，求是內(nèi)心，求BOC的的度數(shù)。度數(shù)。 分析：分析： O = ? 1 + 3= ? O為為ABC的內(nèi)心的內(nèi)心 BO是是ABC的角平分線的角平分線 CO是是ACB的角平分線的角平分線 ABC211ACB213OA243BC1解： 點(diǎn)O為ABC的內(nèi)心 12 0025502121ABC005 .3775212143ACB BOC=1800 - (1+2) =1800 - (250+37.50) =117.50 BOC=117.50C1O243BA課本課本98

11、頁練習(xí)頁練習(xí)2.ABC的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為r， ABC的周長為的周長為l，求，求ABC的面積的面積.（提示：（提示：設(shè)內(nèi)心為設(shè)內(nèi)心為O，連接，連接OA、OB、OC.）解：解： 設(shè)設(shè): AB = a BC = a AC = b則則1,2AOBScr1,2BOCSar1.2AOCSbrABCAOBBOCAOCSSSS1()2r abc1.2lrCABODMNrrr比一比看誰做得快.ABCabcrr =a+b-c2例：直角三角形的兩直角例：直角三角形的兩直角邊分別是邊分別是5cm5cm，12cm .12cm .則其則其內(nèi)切圓的半徑為內(nèi)切圓的半徑為_。rO已知：如圖，在已知：如圖，在RtRtA

12、BCABC中，中，C=90C=90 ，邊邊BCBC、ACAC、ABAB的長分別為的長分別為a a、b b、c c，求，求求其內(nèi)切圓求其內(nèi)切圓O O的半徑長的半徑長。2ED例例4.如圖，如圖，ABC中中,C =90 ,它的它的內(nèi)切圓內(nèi)切圓O分別與邊分別與邊AB、BC、CA相切相切于點(diǎn)于點(diǎn)D、E、F，且，且BD=12，AD=8，求求 O的半徑的半徑r.OEBDCAF。PBAO（3）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)（2）連結(jié)兩切點(diǎn)）連結(jié)兩切點(diǎn)（1）分別連結(jié)圓心和切點(diǎn)）分別連結(jié)圓心和切點(diǎn)反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。小結(jié)：小結(jié)：1.1.切線長：在經(jīng)過切線長：在經(jīng)過圓

13、外一點(diǎn)的圓的切圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切叫做這點(diǎn)到圓的切線長。線長。2.2.切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。連線平分兩條切線的夾角。.A.Po.BFDAPO。B 若延長若延長PO交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)C，連結(jié)，連結(jié)CA、CB，你又你又能得出什么新的結(jié)論能得出什么新的結(jié)論? ?并給出證明并給出證明. .CA=CB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的切線, ,點(diǎn)點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC例例3 、如圖，四邊形、如圖，四邊形ABCDABCD的邊的邊ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圓和圓OO分別分別相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)L L、M M、N N、P P，求證：求證： AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CDDLMNABCOP證明：由切線長定理得證明：由切線長定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC， DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MBAL+L