二項(xiàng)式定理學(xué)案

1、1.3二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念(一)二項(xiàng)式定理(a+b)n=(nwN*)上面公式叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中C：(r=0,1,2,n)叫做,叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用符號(hào)表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng).公式特征：(1) 項(xiàng)數(shù)：(2) 指數(shù)規(guī)律：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的系數(shù)(關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式)字母a按降哥排列，次數(shù)由遞減到；字母b按升哥排列，次數(shù)由遞增到(3) 二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)：，k=0,1,2,，n(4) 二項(xiàng)式系數(shù)：依次為。這里Ck(k=0,1,2,，n)稱為二項(xiàng)式系數(shù)探究一二項(xiàng)式定理的正用與逆用典例1(1)寫出?5+七，的展開(kāi)式；(2)化簡(jiǎn)：

2、(x-1)5+5(x1)4+10(x1)3+10(x-1)2+5(x-1).(1)跟蹤訓(xùn)練1的展開(kāi)式。2,化簡(jiǎn)多項(xiàng)式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的結(jié)果是()A.(2x+2)5B.2x5C.(2x1)5D.32x5探究二求展開(kāi)式的特定項(xiàng)33、例1已知在版-n的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).求n;(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).小11亡療3.例2x的展開(kāi)式中X的系數(shù)和中間項(xiàng)IX；跟蹤訓(xùn)練212 .在(2而亍)6的展開(kāi)式中，求:x第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及系數(shù)；(2)含x2的項(xiàng)及項(xiàng)數(shù).當(dāng)堂檢測(cè)1.(x+2)6的展開(kāi)式中x3

3、的系數(shù)是()A.20B.40C.80D.16025必的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是()A.20B.20C.40D.-403 .(x+2)8的展開(kāi)式中x6的系數(shù)是()A.28B.56C.112D.2244.使CN*)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為(A.4B.5C.6D.75 .若二項(xiàng)式匕x+x，的展開(kāi)式中5的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)a=(A.2B.54c.12D76 .求(12x)15展開(kāi)式的前4項(xiàng)；7 .在5乂2：；6的展開(kāi)式中，中間項(xiàng)是8.¥9的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是,第4項(xiàng)的系數(shù)是的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例1.設(shè)(x握)n的展開(kāi)式中第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的系數(shù)之比為1：2,求含x2

4、的項(xiàng).例2.求(a+2b+3c)7的展開(kāi)式中a2b3c2項(xiàng)的系數(shù)跟蹤訓(xùn)練1.(1+ax+by)n展開(kāi)式中不含x的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為243,不含y的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為32,則a,b,n的值可能為A. a=2,b=1,n=5B. a-2,b-1,n=6C.a-1,b=2,n=62.已知(1+ax)(1+x)5的展開(kāi)式中D.a=1,b=2,n=5x2的系數(shù)為5,則a=()A.-4B.3C.2D.整除或余數(shù)問(wèn)題例1.求證：51511能被7整除.例2.1012008除以100的余數(shù)是多少?跟蹤訓(xùn)練20091. )8除以7的余數(shù)是(2)證明99100-1能被1000整除.當(dāng)堂檢測(cè)1 .設(shè)aCZ,且0W

5、a<13,若512012+a能被13整除，則a=()A.0B.1C.11D.122. (x2+2)(41)5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是()'x'A.-3B2C2D.33. (1+3x)n(其中nCN且n>6)的展開(kāi)式中，若x5與x6的系數(shù)相等，則n=()A.6B.7C.8D.94. (xy)(x+y)8的展開(kāi)式中x2y7的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫答案)5. 在(x+My)20的展開(kāi)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有項(xiàng).6. 已知(僅十的展開(kāi)式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為14：3,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.7,用二項(xiàng)式定理證明1110-1能被100整除.展開(kāi)式第9項(xiàng)與第10

6、項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，求x的一次項(xiàng)系數(shù).10.在二項(xiàng)式9.若二項(xiàng)式(a>0)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為A,常數(shù)項(xiàng)為B,若B=4A,求a的值.n的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列.(1)求展開(kāi)式的第四項(xiàng);(2)求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì):C：=C：*(0Mkwn).C：=C；C：；(0wken一1).nn若n是偶數(shù)，有C：<C：<<Cn>ACn,>C：,即中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C：最大.n-1n1若n是奇數(shù)，有C0<C：<<C7=C/>>C：>Cnn,即中項(xiàng)二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)nn1C

7、：和Cn2相等且最大.各二項(xiàng)式系數(shù)和：2n=C：c：c；C；C：在二項(xiàng)展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和即:C0C2=C3=2n探究一系數(shù)配對(duì)例1.(x2+1)(x2)7的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)是.跟蹤訓(xùn)練(x+2)%21)的展開(kāi)式中x10的系數(shù)為(用探究二系數(shù)和差型例1.設(shè)(1-2x)5=a0+ax+a2x2+a3x3+a4x4+asx5.求：(1)a1+a2+a3+a4+a§的值；(2)a1+a3+a5的值；(3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值.跟蹤訓(xùn)練2 .若(x23x+2)5=a0+ax+a»2+,+a10x10.(1)求

8、a1+a2+，+a10；(2)求(a0+a2+a4+a6+as+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a。2.當(dāng)堂檢測(cè)1.已知(2x)10=a0+a1x+a2X2+,+a10x10,則a8等于()A.180B.180C.45D.-452,若(1+&)5=a+b/(a,b為有理數(shù))，則a+b=()A.45B.55C.70D.803 .(1+x)+(1+x)2+,+(1+x)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為()A.2n+1B.2n1C.2n+11D.2n+1-24 .若(12x)2015=a0+ax+，+a2015x2°15(xCR),則尹羅+,+黃需的值為()D.-2A.2B.0C.-

9、1f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)D.800D.455,在(1+x)6(1+y)4的展開(kāi)式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.2106 .在(x2+3x+2)5的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為A.160B.240C.3607 .(jx+1)4(x1)5展開(kāi)式中x4的系數(shù)為A.-40B.10C.408,若(x2)5=a5x5+a4x4+2冰3+a»2+a1x+a0,則a+a2+23+a4+a§=.(用數(shù)字作答)9 .(x1)(x1)2+(x1)3(x1)4(x1)5的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)是10 .若(1一2x)2004=a0

10、+ax+a2x2+,+a2004x2004(xCR)，則(a0+a)+(a0+a2)+(a0+a3)+,+(a0+a2004)=.(用數(shù)字作答)11、已知(1-2x)7=%+a1x+a2x2+a7x7,求下列各式的值。(1) a1+a2*a3+*a?;(2) a,a3a5a7；22(3) (a。a2a4a6)-(&a3a5a7);(4)現(xiàn)十a(chǎn)2+a3+十a(chǎn)7探究一與“楊輝三角”有關(guān)的問(wèn)題例1.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開(kāi)始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列:Sn,求S16的值.1,2,3,3,6,4,10,5,，記其前n項(xiàng)和為跟蹤訓(xùn)練1.如圖所示，滿足第n行首尾兩數(shù)均為n;表中的遞推

11、關(guān)系類似楊輝三角，則第n行(n>2)的第2個(gè)數(shù)是.12 23 434 7745 11141156 162525166探究二二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)最值問(wèn)題例1.(1+2x)n的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).跟蹤訓(xùn)練.已知(版+x2)2n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x-1)n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992,求gxX的展開(kāi)式中：二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng).當(dāng)堂檢測(cè)1.如圖是一個(gè)類似“楊輝三角”的遞推式，則其第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為133565711117918221892 .在（ab）20的二項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是（）A.第15項(xiàng)B.第16項(xiàng)C.第17項(xiàng)D.第18項(xiàng)3 .在(x、5)2006的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含X的奇次哥的項(xiàng)之和為S,當(dāng)X=J2時(shí)，S等于()30083008o30093009A.2B.一2C.2D.一24 .設(shè)(x2+1)(2x+1)9=a0+a(x+2)+a2(x+2)2+,+a1(x+2)11,則a0+a+a2+,+a1的值為()A.-2B.-1C.1D.22_2545 .代數(shù)式(4x-2x-5)(x+1)的展開(kāi)式中，含x項(xiàng)的系數(shù)是A.30B.30C.70D.903236 .若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有x=a0+a(x2)+az(x2)+a3