化工過程系統優(yōu)化基礎 化工過程分析與合成課件-PPT課件

1、第第4 4章化工過程系統優(yōu)化根底章化工過程系統優(yōu)化根底 化工過程分析與合成課件化工過程分析與合成課件制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284.1.2 常見的化工優(yōu)化問題常見的化工優(yōu)化問題典型的化工優(yōu)化問題主要包括(1)廠址選擇(2)管道尺寸確實定和管線布置(3)設備設計和裝置設計(4)維修周期和設備更新周期確實定(5)單元設備如反響器、塔器等操作確實定(6)裝置現場數據的評價，過程數學模型的建立制作人：方利國，蘇嘉俊聯

2、系電話7)最小庫存量確實定(8)原料和公用工程的合理利用等(9)生產方案確實定(10)換熱網絡確實定(11)別離次序確實定(12)催化劑更換周期確實定制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話圖4-2那么是另一個生產過程的維修周期和產品本錢關系。由圖4-2可知，最正確的維修周期為2年圖4-2 產品本錢隨維修周期改變關系2制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話過計算，某換熱器的綜合本錢和冷卻水的出口溫度關系如下已利用模型方程消去傳熱面積、冷卻水流量1)-(4 30480130)1 . 014ln(225222tttJ制作人：方利國，蘇嘉俊

3、聯系電話作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話工優(yōu)化問題的一般數學模型化工優(yōu)化問題的一般數學模型化工優(yōu)化模型包括目標函數經濟指標和系統模型約束方程，一般的數學形式如下：目標函數： J=f(X,U) 4-2 約束條件：gi(X,U)=0(i=1,2,.n) 4-3qj(X,U)0 (j=n+1,n+2,.p) 4-4 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話前尚沒有一種優(yōu)化方法能有效地適用所有的優(yōu)化問題。針對某一特定問題選擇優(yōu)化方法的主要根據為：(1)目標函數的特性(2)約束條件的性質(3)決策變量和狀態(tài)變量的數目制作人：方利國，蘇嘉俊聯

4、系電話化問題求解的一般步驟為：(1)對過程進行分析，列出全部變量(2)確定優(yōu)化指標，建立指標和過程變量之間的關系，即目標函數關系式經濟模型(3)建立過程的數學模型和外部約束包括等式約束及不等式約束，確定自由度和決策變量。一個過程的模型可以有多種，應根據需要，選擇簡繁程度適宜的模型(4)如果優(yōu)化問題過于復雜，那么將系統分成假設干子系統分別優(yōu)化；或者對目標函數的模型進行簡化(5)選用適宜的優(yōu)化方法進行求解(6)對得到的解檢驗，考察解對參數和簡化假定的靈敏度制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話工優(yōu)化問題的根本方法化工優(yōu)化問題的根本方法優(yōu)化問題的求解方法稱

5、為優(yōu)化方法。優(yōu)化問題的性質不同，求解的方法也將不同。根據優(yōu)化問題有無約束條件，可分為無約束優(yōu)化問題和有約束優(yōu)化問題。無約束條件優(yōu)化可分為單變量函數優(yōu)化和多變量函數優(yōu)化；而有約束優(yōu)化問題也可分為兩類：線性規(guī)劃問題和非線性規(guī)劃問題。當目標函數及約束條件均為線性時，稱為線性規(guī)劃問題；當目標函數或約束條件中至少有一個為非線性時，稱為非線性規(guī)劃問題。求解線性規(guī)劃問題的優(yōu)化方法已相當成熟，通常采用單純形法制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話解非線性規(guī)劃問題的優(yōu)化方法可歸納為兩大類1間接優(yōu)化方法 間接優(yōu)化方法就是解析法，即按照目標函數極值點的必要條件用數學分析的方法求解。再按照充分條件或

6、者問題的物理意義，間接地確定最優(yōu)解是極大還是極小。例如，微分法即屬于這一類2直接優(yōu)化方法 直接優(yōu)化方法屬于數值法。由于不少優(yōu)化問題比較復雜，模型方程無法用解析法求解，目標函數不能表示成決策變量的顯函數形式，得不到導函數。此時須采用數值法。這種方法是利用函數在某一局部區(qū)域的性質或在一些點的數值，確定下一步計算的點。這樣一步步搜索，逼近，最后到達最優(yōu)點，直接法是化工系統優(yōu)化問題的主要求解方法制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284.2 優(yōu)化的數學根底優(yōu)化的數學根底制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284.2.1 凸集凸集 如果對于一個集合中的任意一對點x1和x2，連

7、接兩點的直線段總是完全地被包含在集合內，那么這組點或區(qū)域被定義為n維空間的凸集。圖4-4表示了二維情況下的凸集。凸集兩點之間的任意一點可表示為：5)-(4 10 )1 ( 21xxx圖4-4 封閉凸集圖4-5 非凸集圖4-6 開放凸集制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284.2.2 凸函數和表達凸集的定義相仿，如果函數f(x)滿足下面式4-6的條件，那么f(x)在凸集F下是凸函數，見圖4-76)-(4 10 )()1 ( ) ()1 (21 21xfxfxxfx1 x x2 f(x) x1 x x2 f(x) 圖4-7 凸函數圖4-8 凹函數制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 13

8、6222511284.2.3 4.2.3 單變量函數的極值情況單變量函數的極值情況對于單變量函數的極值，如果函數連續(xù)可導，在數學可以方便地通過求解一階導數y=0的方法來得到如對y =2x32-16x+5，其圖形見圖4-10-5-4-3-2-1012345-100-50050100150200250300 xy圖圖4-9 4-9 具有具有2 2個極值個極值點的單變量函數點的單變量函數0.511.522.533.52.752.82.852.92.9533.053.13.15xy圖圖4-10 4-10 具有具有3 3個極個極值點的單變量函數值點的單變量函數制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222

9、51128對于像式4-1的函數，可以通過求導的方法獲得極值點，進而根據實際情況判斷是否最值點來獲取總費用最小時的冷卻物流出口溫度t2。式4-1對t2求導得：1)-(4 30480130)1 . 014ln(225222tttJ5)-(4 )30(480)130(140130)1 . 014ln(2252222222tttttJ制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話x f(x) x f(x) x f(x) 圖4-11-a 不連續(xù)函數圖4-11-b 不可導函數圖4-11-c 離散函數制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284.2.4 4.2.4 多變量函數的極值情況

10、多變量函數的極值情況對于多變量數，其極值情況和最大小值的關系更為復雜。一般情況下，只有兩個變量的函數還可以用圖形來表示，此時包括函數本身，需要用3維空間。超過3維空間就很那用圖形來表示。如果目標函數是含有兩個變量的二次函數或可以用二次函數式4-6來近似表示6)-(4 x)(2222112211122110 xaxxaxaxaxaaf對于求式4-6的最大(小值，如果該函數連續(xù)可導，那么也可仿照單變量函數優(yōu)化的思路，通過分別對兩個不同的變量求導，令下式4-7成立7)-(4 02021122222221211111xaxaaxfxaxaaxf通過求解式4-7的方程組，求得式4-6函數的駐點即一階偏導

11、數為零的點制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話函數：8)-(4 8x)(2221211xxxxxf求一階偏導數：9)-(4 02021122211xxxfxxxf現在在來計算該函數的H(xH(x)。對于一般的二個變量的二次函數，H(xH(x)的通式定義如下10)-(4 222122212212xfxxfxxfxfH那么式4-8函數的H(x)為：11)-(4 2112H制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話4-12 橢圓形等高線-具有最小值圖4-13圓形等高線-具有最小值圖4-14 圓形等高線-具有最大值圖4-15馬鞍狀圖形-無極值制作人：方利國，蘇嘉俊聯系

12、電話4-16 穩(wěn)谷圖形-具有最小值圖4-16 穩(wěn)脊圖形-具有最大值圖4-18 上升山脊-無極值圖4-19 多極值圖制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284.2.5 函數最優(yōu)解的最后確定對于具有多個極值的函數，在優(yōu)化求解時，有時利用優(yōu)化問題的實際意義確定最大值或最小值，比利用純粹的數學分析方法更方便，更符合實際情況。因此，對于具有豐富實際經驗的人來說，利用化工專業(yè)知識，來判斷最優(yōu)解的存在及最優(yōu)解的性質，比采用各種數學工具的分析更直接更可靠制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話t110.0014.0018.0020.0122.0026.0

13、030.0035.0040.00dt220.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 dt1/dt20.50 0.70 0.90 1.00 1.10 1.30 1.50 1.75 2.00 dt15.00 17.00 19.00 20.01 21.00 23.00 25.00 27.50 30.00 lndt 14.43 16.82 18.98 20.00 20.98 22.87 24.66 26.80 28.85 dt%3.82 1.05 0.09 0.00 0.08 0.57 1.35 2.53 3.82 表5-1 對數平均溫差與

14、算術平均溫差比較dt1:進口溫差；進口溫差；dt2:出口溫差；出口溫差；dt1/dt2:溫差之比；溫差之比；dt:算術平均溫算術平均溫差；差；lndt:對數平均溫差；對數平均溫差；dt%：兩種溫差相差百分比：兩種溫差相差百分比制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284.3 4.3 無約束函數優(yōu)化無約束函數優(yōu)化制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284.3.1 單變量函數優(yōu)化對于單變量函數的優(yōu)化，必須先確定單變量函數的極值情況。只有一個極值的單變量函數稱單峰函數，單峰函數只有一個唯一的極值(極大或極小)。下面介紹的大局部單變量函數優(yōu)化方法對單峰函數有效，對多峰函數有時

15、必須先分割成假設干個單峰函數進行分區(qū)間求解。多峰函數具有多個極值稱多峰函數。單峰函數和多峰函數的示意圖見圖4-20制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話x f(x) x f(x) 圖4-20-1 單峰函數圖4-20-2 多峰函數制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話使是單峰函數，其極值也分兩種情況，分別是極小值見圖4-21-1和極大值見圖4-21-2。對極小值而言，需滿足(假設x*為極值點)f(x1)f(x2)f(x*) x1x2f(x3)f(x*) x*x3x4 4-14 x1 x2 x* x3 x4 f(x) f(x) x1 x2 x* x3 x4圖4-

16、21-1極小值函數圖4-21-2 極大值函數制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話極大值而言，需滿足(假設x*為極值點)：f(x1)f(x2)f(x*) x1x2x* 4-15f(x4)f(x3)f(x*) x*x3x4 4-16為了計算方便，統一將單變量函數的優(yōu)化問題轉變成求極小值或最小值問題，因為求函數f(x)的最大值可以通過求函數-f(x)的最小值來獲得最優(yōu)解。如： max f(x)=-x2+2x+4 (4-17)的最優(yōu)解為x=1，最大值為5，等價與： min -f(x)= x2-2x-4 (4-18)的最優(yōu)解為x=1，最小值為-5。比較可以發(fā)現式4-17和式4-18的

17、解均是x=1，而目標函數剛好符號相反，但絕對值相同 所以，單變量函數優(yōu)化問題就可以統一為求單變量函數的最小值已規(guī)定為單峰區(qū)間，極值已是全局最值制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話于利用函數導數性質的各種方法如牛頓法，擬牛頓法作者認為，對于單變量函數，尤其對于化工優(yōu)化問題，常常為了花去約束條件，目標函數已變得相當復雜，即使函數可導，如何求取其一階、二階導數也是一個問題，還不如直接利用數值分析的方法來的簡單明了1、窮舉法窮舉法是最直接最具有物理意義的計算單變量函數的方法。其計算思路就是根據優(yōu)化問題的實際意義，確定最優(yōu)解的區(qū)間為a0,b0，然后將a,b區(qū)間分成n1 等分，計算各個

18、函數值，找到最小值點及其左右兩點。將左右兩點作為新的優(yōu)化區(qū)間a1,b1再分成n2等分，計算各個函數值，找到最小值點及其左右兩點；不斷重復上述過程，直至最優(yōu)解的區(qū)間縮至規(guī)定的精度要求制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話謂快速掃描就是從目標函數的某一點出發(fā)，通過不斷增加步長，找到中間低，兩頭高的三個點，掃描法的步驟為：1給定步長，初始點x1,置n=1，f1=f(x1)2xn+1=xn+2n-1, fn+1=f(xn+1)，if f1fnfn+1的三點，否那么取n=n+1,轉2 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話4-1為例，假設步長， t21=32, 利用m

19、atlab 編程如下：clear all;clc;close all;n=1;%alfai=1;alfait1=32;f1=ff(t1) t2=t1+alfai*2(n-1) 由于本目標函數的特殊性，建議用帶“%的語句代替，下同% t2=t1+alfai*(n-1)f2=ff(t2)if f1f2 alfai=-alfai t2=t1+alfai*2(n-1) %t2=t1+alfai*(n-1)else endwhile n100 可以給定其他數 n=n+1 t3=t2+alfai*2(n-1) %t3=t2+alfai*(n-1) f3=ff(t3) if f2f3 break;跳出循環(huán)

20、end t1=t2; f1=f2 t2=t3;f2=f3 enda=t1b=t3 % -function ff=ff(t)ff=225*log(14-0.1*t)/(130-t)+480/(t-30); 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話=收縮后的區(qū)間Ln/初始優(yōu)化區(qū)間L0 (4-19) 解決了優(yōu)化區(qū)間，就可以方便地利用計算的快算計算功能，通過不斷窮舉，就可以計算出最優(yōu)解。其實根據式4-1所表示的實際過程，可以知道最優(yōu)一般在30，140之間，為了防止出現被零除，跳過130，取32,128。每輪計算時將區(qū)間分成100等分，需計算101個點，剩下的區(qū)間由最小點和左右兩點組成，

21、所以每輪就算后剩下的區(qū)間為原來區(qū)間的2%，一般稱為區(qū)間收縮率E，計算公式為制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話設連續(xù)進行3輪如此的計算，那么總收縮率到達0.0008%，完全符合最優(yōu)化溫度要求。其程序的核心代碼如下：function qiongjvfaclear all;clc;close all;tict1=32;t2=128;for k=1:3t=linspace(t1,t2,101);for i=1:101 f(i)=ff(t(i);end fmin=min(f(:);index=find(f(:)=fmin);t1=t(index-1);t2=t(index+1);e

22、nd optimizedtemp=t(index)minf=ff(t(index)toc % -function ff=ff(t)ff=225*log(14-0.1*t)/(130-t)+480/(t-30); 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511282、二分法所為二分法，就是將原來的優(yōu)化區(qū)間一分為二，在分界點的左右兩側各取兩點和原來的區(qū)間兩端點共4個點組成一個優(yōu)化判斷區(qū)間點，見圖4-22。在這4個點中找中間低，兩頭高的3個點，構成新的優(yōu)化區(qū)間，不斷重復以上過程，直至收縮率E到達規(guī)定精度1要求為止。二分法點的計算規(guī)那么如下：x1= (a+b)/2 (b-a) (4-20) x2=

23、 (a+b)/2 +(b-a) (4-21)收斂判據： E1 4-22 理論極大收縮率的計算公式為：23)-(4 )21(nE 圖圖4-22 4-22 二等分法示意圖二等分法示意圖 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話管理論上如果值越小，收縮率也越小，收縮效率越高。但如果取得過小，可能將最優(yōu)解的區(qū)域錯過，從而導致無法求得最優(yōu)解或盡管程序提示求得最有優(yōu)解，其實不是最優(yōu)解。當然也可以通過強加收斂判據來判斷是否沒有求得最優(yōu)解，其判據如下：24)-(4 )(1)()( 2afbfaf制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話1=32;t2=128;n=1;a0=t1;

24、b0=t2;beita=0.005;eer1=0.000001;eer2=0.000001;ticwhile n=f2 t1=c; e1=(b-c)/(a0-b0); optimizedtem=d; minf=f2; else t2=d; e1=(b-c)/(a0-b0); optimizedtem=c; minf=f1; end e2=abs(f2-f1)/(1+abs(f1) ; if e1=eer1 if e2=eer2 break; end endend optimizedtemminftoc 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511283、三分法、三分法圖圖4-23 4-2

25、3 三等分法示意圖三等分法示意圖所謂3分法就是將原來的優(yōu)化區(qū)間，一分為3等份，中間兩點和原來的區(qū)間兩端點共4個點組成一個優(yōu)化判斷區(qū)間點，見圖4-23。在這4個點中找中間低，兩頭高的3個點，構成新的優(yōu)化區(qū)間，不斷重復以上過程，直至收縮率E到達規(guī)定精度1要求為止。三分法點的計算規(guī)那么如下： x1= a+(b-a)/3=(b+2a)/3 (4-25) x2= b-(b-a)/3=(2b+a)/3 (4-26)此方法的理論極大收縮率的計算公式為 27)-(4 )32(nE 三分法編程計算和二分法完全一致，只需將點的計算公式改成如下：c=(2*a+b)/3d=(a+2*b)/3 制作人：方利國，蘇嘉俊聯

26、系電話 136222511284、黃金分割法 (Golden Section Search MethodbL-xx1x2xLax圖圖4-25 4-25 黃金分割比示意圖黃金分割比示意圖 對于長為L的線段，將它分割成長短不同的兩局部，長的一段為x，短的一段為L-x。如圖4-25所示。假設這兩個線段的比值滿足下面的關系式，那么稱為黃金分割。28)-(4 xxLLx根據上面的定義,可解出x同L的關系。由上式4-28可得x2+Lx-L2=0，即：012LxLx解之得：618. 02152411Lx制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話eita=(5)0.5-1)/2tic a=t1;

27、 b=t2; c=a+(1-beita)*(b-a); d=b-(1-beita)*(b-a); f1=ff(c);f2=ff(d)while n=f2 e1=(b-c)/(a0-b0) optimizedtem=d; minf=f2; e2=abs(f2-f1)/(1+abs(f1) a=c; c=d f1=f2 d=b-(1-beita)*(b-a); f2=ff(d) else optimizedtem=c; minf=f1; e1=(b-c)/(a0-b0); e2=abs(f2-f1)/(1+abs(f1) b=d; d=c; c=a+(1-beita)*(b-a); f2=f1 f

28、1=ff(c) end 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511285、拋物線法、拋物線法該法利用優(yōu)化區(qū)間兩端點及內部任意一點共3點為根底見圖4-26，將該3點利用二次函數擬合，再利用拋物線求頂點公式得到拋物線的極值點，將該點和原來3點一起進行比較，找到中間低，兩頭高的3點。在從該3點出發(fā)，進行二次函數擬合，求拋物線頂點，不斷重復以上過程，直至滿足收斂條件為止，拋物線的頂點計算公式如下：x1 x2 x* x3 f(x) 圖4-26 拋物線法示意圖29)-(4 )()()()()()(21213132121222132123221221*xxfxxfxxfxxfxxfxxfx制作人：方

29、利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284.3.2 4.3.2 多變量函數優(yōu)化多變量函數優(yōu)化通用的計算步驟是一致的，具體如下：(1) 給定精度，初始點X0，置k=0(2)決定搜索方向Sk，一維搜索f(XK+kSk)=Minf(XK+Sk),令XK+1=XK+kSk得到一個新點(3) 判斷: 30)-(4 1kkXX假設式(4-30)成立，那么停止計算，反之那么令k=k+1，轉2，直至精度滿足要求為止制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話量輪換法變量輪換法變量輪換法的根本原理是對于有變量輪換法的根本原理是對于有n n個變量的函數，以個變量的函數，以n n個線性無關的個線性無

30、關的向量作為向量作為n n個搜索方向，搜索步長可用各種方法個搜索方向，搜索步長可用各種方法變量輪換法的具體步驟如下1給定精度，初始點X0，置k=0， j=1，Y1=X0，單位向量 ej=(0,01,0)T，單位向量ej中元素為1的位置在第j個元素上2沿沿n個單位向量方向作個單位向量方向作n次一維優(yōu)化搜索次一維優(yōu)化搜索 ： f(Yj+jej)=Minf(Yj+ej)假設假設jn，那么令，那么令Yj+1= Yj+jej，j=j+1，重復，重復(2)；假設；假設j=n,那么下那么下一步一步 3 Xk+1=Yn+1，收斂判斷：，收斂判斷：kkXX1假設此式成立，那么停止計算，反之那么令Y1=Xk+1，

31、k=k+1，j=1，轉2，直至精度滿足要求為止制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話例【例4-14-1】 用變量輪換法計算函數用變量輪換法計算函數f=(x1-2)2+(x1-x2)2f=(x1-2)2+(x1-x2)2的最小的最小值。值。X0=(0,0)TX0=(0,0)T，=0.001 e1=(1,0)T =0.001 e1=(1,0)T ，e2=(0,1)T e2=(0,1)T 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話：解：j=1, k=0由初始點得由初始點得Y1=(0,0)T,那么那么Y2= Y1 +1 e1= (1+0,0)T, 代入目標代入目標函數，

32、對函數，對1作一維搜索作一維搜索 : min(1-2)2+(1-0)2 求出求出1=1，那么，那么Y2=(1,0)T，Y3=Y2+2 e2=(1, 2) 對對2作一維搜索作一維搜索: min(1-2)2+(1-2)2 可得可得2=1，那么，那么Y3=(1,1)T,此時此時j=2，所以，所以 X1= Y3=(1,1)T和和X0比較顯然尚未收斂，那么比較顯然尚未收斂，那么 : j=1 ,k=k+1=2進行下一輪計算。進行下一輪計算。Y1=X1=(1,1)T,Y2= Y1 +1 e1 =(1+1,1)T, 代入目標函數，對代入目標函數，對1作一維搜索作一維搜索: min(1+1-2)2+(1+1-1

33、)2 得得1=0.5, Y3=(1.5,1+2),同理可得同理可得:2，所以，所以X2=(1.5,1.5)T ,經屢次迭代經屢次迭代10輪可得：輪可得： x1*=1.999024 x2* 此問題的解析精確解為此問題的解析精確解為x1=2，x2=2，可見經，可見經10輪變量輪換法，已接近精確解輪變量輪換法，已接近精確解 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話純形法單純形法單純形法和上面介紹的坐標輪換法一樣，在優(yōu)化計算過程中無需計算函數的梯度，它屬于模式搜索法，即是一種按照事先規(guī)定的模式來探索最優(yōu)點的方法1、單純形定義及計算原理M次大點 H最大點 KL最小點R映射點 C中心 E擴

34、張點S壓縮點圖4-28 單純形計算過程各點示意圖各點坐標計算公式：2/ )(5 . 010)(12 . 0)(1)(0LiKHRHSHRREHCCRniHiCUUUUUUUUUUUUUUUnUUU制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511282 2、初始單純形的形成、初始單純形的形成用單純形法進行多變量函數優(yōu)化計算時，首先要形成一個初始單純形，在這個初始單純形的根底上方可按照一定的搜索模式進行優(yōu)化搜索。要在n維空間中建立由n+1個頂點組成的單純形，同時又要防止單純形的退化，可按以下兩種方法建立初始單純形1正單純形所謂正單純形也就是各邊邊長相等的單純形。由初始點U0，可得其它n點坐標如下

35、： U0=(u1,u2,ui.un)T U1=(u1+p,u2+q,u3+q,ui+qun+q)T Ui=( u1+q,u2+q,u3+q,ui+pun+q)T Un=( u1+q,u2+q,u3+q,ui+qun+p)T hnnqhnnnp211211制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511282直角單純形直角單純形直角單純形的生成較簡單，由初始點U0可得其它各點坐標如下： Ui=U0+hei ei=(0,0,01第第i個元素個元素,.0)Tei 為單位列向量，h為直角邊長 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511283、單純形法計算步驟、初始化：函數f(U)，給定初始點

36、U0及、建立初始單純形，求得各點坐標Ui、計算各點函數fi=f(Ui)，并求出最大點H，次大點M，最小點L。max fi=fH=f(UH)， min fi=fL=f(UL) max fi=fM=f(UM)iH、收斂判據：ABS(fH-fL)/Fh) ,假設此式成立，那么停止計算，輸出函數最小值為fL，最小點坐標為UL，否那么轉下一步。映射：先計算重心坐標，然后計算映射點UR=UC+(UC-UH), 計算f R=f(UR)制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話縮：取US=UH+(UR-UH) ， fS =f(US) 壓縮成功： 假設fSfM成立，那么以S點代替原最大值點H，構成

37、新的單純形，回到；壓縮失?。?假設fSfM不成立，那么轉下一步收縮 收縮：Ui=(Ui+UL)/2, 轉影射成功：影射成功： 假設假設fRfM 成立，那么擴張至成立，那么擴張至E點，同時計算點，同時計算E點點的函數值，并和的函數值，并和R點的函數值進行比較。點的函數值進行比較。擴張成功擴張成功 ：假設：假設fEfR 成立，那么以成立，那么以E點代替原最大值點點代替原最大值點H，構，構成新的單純形，回到；成新的單純形，回到； 擴張失?。杭僭O擴張失敗：假設fEfR不成立那么以不成立那么以R點代替原最大值點點代替原最大值點H，構成新的單純形，回到構成新的單純形，回到 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話

38、136222511284、實例計算【例4-2】請用單純形法計算函數f(U)=(u1-2)2+(u2-3)2的最小值。 U0=(0,0)T,h=2,=1,=0.75,=1。 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話：由初始點及步長構成初始單純形及各點函數值采用直角單純形：U0=(0,0)T, f0=13U1=(0,0)T+2(1,0)T=(2,0)T, f1=9U2=(0,0)T+2(0,1)T=(0,2)T, f2=5進行函數值大小比較可得： UH=U0=(0,0)T， fH=13 UM= U1=(2,0)T ， fM=9 UL= U2=(0,2)T ， fL=5 計算除最大值

39、點外的重心：UC=UM+ UL/2=(1,1)T影射：UR=UC+(UC-UH)=(2,2)T, fR=1 fR=1擴張失敗，以R點代替原H點，構成新的單純形，進行重新計算制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話單純形三點： U0=(2,2)T , f0=1U1=(2,0)T, f1=9U2=(0,2)T, f2=5進行函數值大小比較可得： UH=U1=(2,0)T, fH=9 UM= U2=(0,2)T fM=5 UL= U0=(2,2)T fL=1計算除最大值點外的重心：UC=(UM+ UL)/2=(1,2)T影射：UR=UC+(UC-UH)=(0,4)T, fR=5=fM

40、, 影射失敗，壓縮。壓縮：US=UH+(UR-UH)=(2,0)T+.75(0,4)T-(2,0)T)=(0.5,3)T, fS=2.25 fM=5 壓縮成功。以S點代替原H點，構成新的單純形，進行重新計算： 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話單純形三點： U0=(2,2)T, f0=1U1=(0.5,3)T, f1U2=(0,2)T, f2=5進行函數值大小比較可得： UH=U2=(0,2)T ， fH=5 UM=U1=(0.5,3)T ， fM UL= U0=(2,2)T ， fL=1計算除最大值點外的重心：UC=(UM+ UL)/2=(1.25,2.5)T影射：UR

41、=UC+(UC-UH)=(2.5,3)T, fR=0.25 fR=1擴張失敗，以R點代替原H點，構成新的單純形，進行重新計算。制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話單純形三點： U0=(2,2)T, f0=1U1=(0.5,3)T, f1U2=(2.5,3)T, f2真正的最優(yōu)解為U*=(2,3)T,經過三輪計算單純形已包含最優(yōu)解，假設繼續(xù)算下去，就可以得到滿足精度要求的最優(yōu)解。單純形法常常用在目標函數比較復雜，函數不連續(xù)，獲得偏導數比較苦難的情況。如強化傳熱中根據實驗條件擬合得到的傳熱準數方程進行管參數優(yōu)化時常常利用單純形法。 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 1362225

42、11284.3.2.4.3.2.3梯度法1 1、根本原理、根本原理多變量函數的負梯度方向是函數下降最快的方向。梯度是一個向量，其各元素的值為函數對各變量偏導數在某一點處的值。 有某一n維函數f(X),那么其梯度f(X)記作30)-(4 ,=f(X) 21Tnxfxfxf梯度法新點的迭代公式如下： Xk+1=Xk+kSk 4-31 Sk=-f(Xk) 4-32其中k為搜索步長，可利用解析求解或數值求解或直接給定一個比較小的步長 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511282、計算步驟計算步驟1給定精度，初始點X0，置k=0。2計算梯度 f(Xk)，令Sk=-f(Xk)。3判斷： 33)

43、-(4 )(kXf假設上式成立，那么停止計算，否那么轉下一步假設上式成立，那么停止計算，否那么轉下一步4一維搜索k，f(XK+kSk)=Minf(XK+Sk)，令XK+1=XK+kSk，k=k+1轉第2步圖4-29 梯度法計算過程示意圖制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284、實例計算【例4-3】請用梯度法計算f(X)=(x1-2)2+(x1-x2)2-2x2的最小值， X0=(0,0)T 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話：先計算函數的梯度表達式： f(X)=(4x1-2x2-4, 2x2-2x1-2)T 第一輪： f0=4，S0=-(-4,-2)T=(

44、4,2)T, X1=X0+0S0=(0,0)T+0(4,2)T =(40,20)T 將x1=40，x2=20代入目標函數，得： min f1=2002-200+4，對0進行一維搜索可得： 0=0.5, X1=(2,1)T, f1=-1, x11=2, x21=1 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話二輪：第二輪： S1=-f(X1)=-(2,-4)T=(-2,4) X2=X1+1S1=(2-21,1+41) , 將將X2代入目標函數，代入目標函數， 并對并對1進行一維優(yōu)化搜索，得進行一維優(yōu)化搜索，得1，那么：，那么： X2=(1.5,2)T,f2=-3.5, f(U2)=(

45、-2,-1)T,S2=(2,1)T 經過兩輪計算，目標函數值從最初的4快速下降到，自變量也從(0,0)T,變成(1.5,2)T,假設計算計算下去，目標函數將向-6靠近，最優(yōu)的自變量也向3,4)T接近，但要真正到達需要無窮多輪計算。實際計算時，只要到達一定精度要求即可制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511285、matlab 編程計算某三級串聯換熱過程，示意圖見圖4-30，根據條件推導得到在滿足出口溫度為500C時，3個換熱面積之和為最下的目標函數如下T0=100換熱器1換熱器 2換熱器3t1=300t2=400t3=600t10t20T1T2T3=500t30圖4-30 三級串聯換

46、熱示意圖34)-(4 )40050083200123600100(10000min221211TTTTTTJ制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話atlab編程計算的主要程序如下：function gengradmethodclear all；clc；tick=1;x0=200 300;n=length(x0);while k=100000 k=k+1;f0=J(x0);for i=1:n x(i,:)=x0; for j=1: n if i=j x(i,j)=x0(j)+0.00001*x0(j); else end end xx=x(i,:); f(i)=J(xx); d

47、f(i)=(f(i)-f0)/(0.00001*x0(i);end ddff=(sum(df(:).*df(:)0.5; if ddff0.001; break; else x0(:)=x0(:)-0.001*df(:); end end optimx=x0optimobj=J(x0)disp(k=),ktoc% -function minf=J(x)minf=105*(x(1)-100)/(3600-12*x(1)+(x(2)-x(1)/(3200-8*x(2)+(500-x(2)/400); 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284、共軛梯度法(1)根本原理共軛梯度法是基于

48、當函數到達最優(yōu)值附近時，函數的等高線近似于同心橢圓族，而由數學知識可知，兩條平行于同心橢圓族的切線必定通過同心橢圓族的中心，這個中心就是最優(yōu)解，見圖4-31圖4-31 共軛梯度搜索方向示意圖制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話例4-4】請用共軛梯度法計算f(X)=(x1-2)2+(x1-x2)2-2x2的最小值， X0=(0,0)T 解：第一步和梯度法相同： g0=f(X0)=(4x1-2x2-4, 2x2-2x1-2)T =(-4,-2)T S0=- g0 =(4,2)T, 0=0.5, X1=(2,1)T, g1=-(2,-4)T 第二次搜索：TT0011011(2,6

49、) )2, 4()2, 4()4 , 2()4 , 2()2 , 4(-2,4) TTTTTggggSgS那么X2=X1+1S1=(2+21,1+61)T,代入目標函數，進行一維搜索，得:1=0.5, X2=(3,4)T, g2=(0,0)T,f=-6. 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284.4 線性及混合整數規(guī)劃制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511284.4.1 線性規(guī)劃化工生產和管理中常見的線性規(guī)劃問題的實例有:(1)產品生產方案的安排(2)勞動力和設備使用安排(3)生產環(huán)節(jié)各個單元的合理配置(4)投標爭取合同這些問題的數學描述包含眾多變量、大量方程和不等

50、式。問題的解不僅需滿足約束方程,還需使目標函數到達最優(yōu)制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511281 1、線性規(guī)劃模型、線性規(guī)劃模型【例4-5】某化工廠有一生產系統，可以生產A、B、C、D四種產品，每個生產周期所需的原料量、貯存面積、生產速度及利潤由下表4-2給出，每天可用的原料總量為2000噸，貯存間總面積為5000m2，該系統每天最多生產22小時，每天生產結束后，才將產品送到貯存間，假定四種產品占用原料、生產時間、貯存間等資源的時機平等，問A、B、C、D四種產品每天生產的桶數如何安排，才能使該系統每天的利潤最大？制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話定變量(單位

51、均為桶/天):x1=A的產量; x2=B的產量; x3=C的產量; x4=D的產量.假設以利潤J為經濟指，目標函數為： maxJ= f(X)= 10 x1+13x2+9x3+11x4 約束條件：總原料約束 12342000貯存面積約束 12345000生產時間約束 x1/3000+x2/6000+x3/2000+x4/300022變量本身約束： x1、x2、x3、x4 0(原那么上應為大于等于零的整數，但由于數值較大，可作為連續(xù)變量來處理，最后優(yōu)化結果會有微小的不同，不影響最優(yōu)效果，如果數值較小，需采用以后介紹的混合整形規(guī)劃MILP) 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話4

52、-2 生產過程各種數據產品（桶）ABCD 原料（噸/桶）0.2000.1800.1500.250貯存面積（m2/桶）0.40.50.40.3生產速度（桶/小時）3000600020003000利潤（元/桶）1013911制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話例4-6】某煉油廠利用1號原油和2號原油煉制汽油、煤油、燃料油和殘油，煉制過程的得率、加工費用、原料價格、產品價格見表4-3，如何安排，才能使該系統每天的利潤最大？表4-3煉油廠原料和產品數據 產品名稱得率（）最高產量（桶/d）產品價格（美元/桶）1號原油2號原油汽油煤油燃料油殘油8051054410361024,0002

53、,0006,000無35242110加工費（美元/桶）0.501.00原油價格（美元/桶）2415制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話定變量(單位均為桶/天):x1=1號原油耗用量; x2=2號原油耗用量;x3=汽油產量;x4=煤油產量;x5=燃料油產量; x6=殘油產量。 假設以利潤J為經濟指，目標函數為： maxJ f(X)=產值-原料費-加工費 產值=36x 3+24x4+21x5+10 x6 原料費=24x1+15x4 加工費1+x2 物料平衡約束條件:根據每個產品的得率(物料衡算)可列出4個等式約束 汽油 12=x3 煤油 12=x4 燃料油 12=x5 殘油 1

54、2=x6制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話量約束：A:x312 24,000 B:x412 2,000 C:x512 6,000非零約束： x1 0 ； x2 0為減少變量數，可將上述等式約束方程代入目標函數,消去x3,x4,x5,x6, 得：產值12121212)12最后得到： 12制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話么整個優(yōu)化問題可以用下面的數學模型表達： 12 12 2400012 200012 6000制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話合上面的例子，線性規(guī)劃問題的一般形式為或寫成向量形式：min f(X)=cTX . A1

55、X=b1 A2Xb2 X0 min f(X)=cTX . A1X=b1 A2Xb2 X0 (4-37) 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511282 2、線性規(guī)劃的標準化、線性規(guī)劃的標準化為了方便求解，對于線性規(guī)劃問題一般都化成標準型，以便統一求解方法。對于線性規(guī)劃的一般模型化成標準型一般有以下幾個方面：1目標函數的轉化 求最大值一律轉化為求最小值2對于有“號的不等式引入松弛變量，使其變成等式約束3 對于有“號的不等式引入剩余變量，使其變成等式約束4對于“bj0那么化為：5對于變量無非負限制者，那么令： xi=xi*-xi*, xi*0, xi*0a xba xxbjiinijji

56、inisj11a xba xxbjiinijjiinisj11 a xbjiinij10制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話例4-7】：把下面線性規(guī)劃的一般模型化成標準型max f=x1-x2 . 2x1-x2-2 x1-3x22 x1+x24 x10,x2無限制 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話：對照標準型，對上面的線性規(guī)劃模型進行第一輪初步轉化：min f1=-f=-x1+x2 . 2x1-x2-x3=-2 x1-3x2+x4=2 x1+x2+x5=4 x10,x2=x6-x7 最終標準化： min f 1=-x1+x6-x7 . -2x1+x3

57、+x6-x7 =2 x1+x4-3x6+3x7 =2 x1 +x5+ x6-x7=4 xi0, i=17 , i2 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511283 3、線性規(guī)劃的單純形求法、線性規(guī)劃的單純形求法J=x1+x2x1+x29x1+4x218J=x1+x2（6，3）x1+x29x1+4x218J=x1+2x2（6，3）圖4-32-a 最優(yōu)解在邊界上圖4-32-b 最優(yōu)解在交點上圖4-32-c 無最優(yōu)解制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話例4-8】：求下面線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解 min f=-7x1-12x2 . 3x1+10 x2+x3 =30 4x1+5

58、x2 +x4 =20 9x1+4x2 +x5 =36 xi0 ， i=15制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話：首先對目標函數進行改寫： f+7x1+12x2=0 (1) 1 1取初始可行端點為取初始可行端點為X=(0,0,30,20,36)T, X=(0,0,30,20,36)T, 即即x1=0 x1=0，x2=0 x2=0，x3=30 x3=30，x4=20 x4=20，x5=36x5=36，此端點是一個可行端點，其中，此端點是一個可行端點，其中x1x1、x2x2是非基變量非基變量均為零，是非基變量非基變量均為零，x3x3、x4x4、x5x5是基變量基變是基變量基變量一

59、般不等于零，但也有等于零的情況出現，此時目標函數值量一般不等于零，但也有等于零的情況出現，此時目標函數值f=0f=0制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511282 2考慮端點的轉移考慮端點的轉移 ， 在在x1x1、x2x2兩個非基兩個非基變量中選其中一個作為基變量，同時在變量中選其中一個作為基變量，同時在x3x3、x4x4、x5x5三個基變量選其中一個為非基變量三個基變量選其中一個為非基變量x3=30-10 x20 x23 x4=20-5x20 x24 x5=36-4x20 x29 x2=3， x3=0， x4=5， x5=24 ， f=-36 1+x23 =34x113) +x4

60、=209x113)+x5 =36 f+7x113)=0 化簡上面4個式子可得：1+x23 =313 + x4 =513 + x5 =2413 =-36 制作人：方利國，蘇嘉俊聯系電話 136222511283 3在新的端點的根底上再進行端點轉移，和在新的端點的根底上再進行端點轉移，和上面的端點轉移一樣，選目標函數中系數大者上面的端點轉移一樣，選目標函數中系數大者的變量為調入的基變量，選的變量為調入的基變量，選x1x1為調入基變量，為調入基變量，調出基變量那么要通過不等式計算而得：調出基變量那么要通過不等式計算而得： x210 x110 x410 x12 x510 x1 x1=2， x3=0 ，