結(jié)構(gòu)力學(xué)第10章-結(jié)構(gòu)動力計算基礎(chǔ)

1、第十章 結(jié)構(gòu)動力計算基礎(chǔ)主要內(nèi)容10-1 概述10-2 單自由度體系無阻尼自由振動10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動10-4 單自由度體系有阻尼自由振動10-7 多自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動10-5 單自由度體系有阻尼受迫振動10-6 多自由度體系的自由振動10-1 概述1 1）結(jié)構(gòu)動力計算的特點和內(nèi)容動力荷載動力荷載：指大小、方向和作用位置等隨時間變化，并且使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不可忽視的慣性力的荷載。區(qū)分靜力荷載和動力荷載，主要看其對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響。動力動力特性：特性：指結(jié)構(gòu)自由振動時，結(jié)構(gòu)的自振頻率、振型和阻尼參數(shù)等指標(biāo)。研究結(jié)構(gòu)的動力計算方法，需要分析結(jié)構(gòu)的自由振動和動力荷載作用下的受

2、迫振動兩種情況，前者計算結(jié)構(gòu)的動力特性，后者進(jìn)一步計算結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。10-1 概述2 2）動力荷載的分類周期周期荷載荷載：隨時間呈周期變化的荷載。沖擊沖擊荷載荷載：短時間內(nèi)作用在結(jié)構(gòu)上的一種幅值較大的荷載。(3)突加突加荷載荷載：在瞬間突然施加在結(jié)構(gòu)上且保持一段較長時間的荷載。(4)隨機(jī)隨機(jī)荷載荷載：在任一時刻其數(shù)值是隨機(jī)量，其變化規(guī)律不能用確定的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行表示。 前三種荷載都屬于確定性荷載，本章只涉及確定性荷載的作用。10-1 概述3 3）結(jié)構(gòu)的振動自由度）結(jié)構(gòu)的振動自由度概念概念：結(jié)構(gòu)振動時，確定某一時刻全部質(zhì)量的位置所需要的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目，稱為結(jié)構(gòu)的振動自由度。集中質(zhì)量法：集中質(zhì)

3、量法：這種方法是將連續(xù)分布的質(zhì)量集中到結(jié)構(gòu)的若干點上，即結(jié)構(gòu)動力計算簡圖為有限質(zhì)點體系。(a)(b)(a) 一個質(zhì)量點 (b) 若干質(zhì)量點10-1 概述3 3）結(jié)構(gòu)的振動自由度）結(jié)構(gòu)的振動自由度 通常對于桿系結(jié)構(gòu)，質(zhì)點慣性力矩對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響很小，因此可忽略不計，即質(zhì)點的角位移不作為基本未知量。對于受彎桿件通常還忽略軸向變形的影響，即假定變形后桿上任意兩點之間距離保持不變。(a) 自由度示意 (b) 附加鏈桿10-1 概述3 3）結(jié)構(gòu)的振動自由度）結(jié)構(gòu)的振動自由度 確定結(jié)構(gòu)的振動自由度可采用附加鏈桿的方法：加入最少的鏈桿使結(jié)構(gòu)上全部質(zhì)點均不能運動，則結(jié)構(gòu)振動的自由度為所加鏈桿的數(shù)目。(a)

4、二質(zhì)點三自由度結(jié)構(gòu) (b)三質(zhì)點二自由度結(jié)構(gòu)10-1 概述3 3）結(jié)構(gòu)的振動自由度）結(jié)構(gòu)的振動自由度 由以上幾個例子可以看出： 結(jié)構(gòu)振動自由度的數(shù)目不一定等于體系集中質(zhì)量的數(shù)目； 結(jié)構(gòu)振動自由度的數(shù)目與體系是靜定或超靜定無關(guān)； 結(jié)構(gòu)振動自由度的數(shù)目與計算精度有關(guān)。10-2 單自由度體系無阻尼自由振動1 1）運動微分方程的建立利用動靜法建立運動微分方程有兩種方法：剛度法和柔度法。y(t)lEIFIFSFIlEI(a)(b)(c)(a) 簡支梁振動 (b) 力系平衡條件 (c) 變形協(xié)調(diào)條件10-2 單自由度體系無阻尼自由振動1 1）運動微分方程的建立剛度法剛度法： 設(shè)質(zhì)點m在振動中任一時刻的位移

5、為y(t)。取質(zhì)點m為隔離體(圖b)，其受力情況為：彈性恢復(fù)力 ，其中k11為結(jié)構(gòu)剛度系數(shù)，F(xiàn)S與質(zhì)點位移y(t)的方向相反；慣性力 ，它與質(zhì)點加速度 的方向相反。若將質(zhì)點位移的計算始點取在質(zhì)點靜力平衡位置上，則質(zhì)點重量的影響不必考慮。 對于無阻尼自由振動，質(zhì)點在慣性力FI和彈性恢復(fù)力FS作用下處于動力平衡狀態(tài)，則有 ,即 ，此式可改寫為 此式為單自由度體系無阻尼自由振動的運動方程，這種由力系平衡條件建立運動微分方程的方法稱為剛度法。I+= 0sFF11( )sFk y t IFmy t-=( )y t11( )( )0my tk y t+=11( )( )0ky ty tm+=10-2 單自

6、由度體系無阻尼自由振動1 1）運動微分方程的建立(2)柔度法柔度法： 將慣性力FI作為靜力荷載加于體系的質(zhì)點上(圖c)，則慣性力FI引起的位移等于質(zhì)點的位移y(t)，即運動方程為,此式可改寫為 這種由變形協(xié)調(diào)條件建立運動微分方程的方法稱為柔度法。對單自由度體系，有 ，令 ，得到統(tǒng)一的運動方程為 其通解為 ，式中的c1和c2為積分常數(shù)，由初始條件確定。 I 1111yFmy t = -111( )( )0y ty tm11111k211111kmm= 20y t y t+= 12=cos+siny tctct10-2 單自由度體系無阻尼自由振動1 1）運動微分方程的建立 若當(dāng)t=0時， ， ，則

7、有上式可改寫為如下形式其中 ， 無阻尼的自由振動是以靜平衡位置為中心的簡諧振動。式中A表示體系振動時質(zhì)點m的最大動位移，稱為振幅。 稱為初始相位角， 稱為相位角。 0y ty= 0y ty=00( )cossinyy tytt=+( )siny tAt=+22002yAy=+00tany y=)(t10-2 單自由度體系無阻尼自由振動2 2）運動分析 簡諧振動是周期運動，質(zhì)點m的位移是周期性的，其周期為 ，T稱為結(jié)構(gòu)的自振周期，自振周期的倒數(shù)f稱為工程頻率 ，體系自由振動的圓頻率或角頻率為 結(jié)構(gòu)自振頻率 的計算公式為式中，W表示重力， 是由重力產(chǎn)生的靜力位移。相應(yīng)地，結(jié)構(gòu)的自振周期T的計算公式

8、為： 2TTf1Tf22stygWgmmk1111111stygymkmTst222111110-2 單自由度體系無阻尼自由振動 【例【例1 1】簡支梁承受靜荷載F=12kN，梁EI為常數(shù)。設(shè)在t=0 時刻把這個靜荷載突然撤除，不計梁的阻力，試求系統(tǒng)的自振頻率和質(zhì)點m的位移。解：解：自振頻率是系統(tǒng)的固有特性，與荷載無關(guān)?？上惹蟪鋈岫认禂?shù) ，再求固有頻率 。由結(jié)構(gòu)的 圖, ，則 當(dāng)靜荷載撤除后，梁的運動為單自由度體系的無阻尼自由振動。初始時刻質(zhì)點速度為零，即 ， 可由圖乘法計算得到， ，則質(zhì)點m的位移111M211114d3MxEIEI11134EImm00y 0y01111dPyM MxEIE

9、I0113coscos4EIyyttEIm10-2 單自由度體系無阻尼自由振動 【例【例2 2】門式剛架。兩個立柱的截面抗彎剛度分別為E1I1和E2I2，橫梁的截面抗彎剛度EI= ，橫梁的總質(zhì)量為m，立柱的質(zhì)量不計。求剛架作水平振動時的頻率。解：解：當(dāng)橫梁產(chǎn)生單位位移時，由位移法知，左右兩柱的桿端剪力分別為 ， 。因而，使剛架產(chǎn)生單位水平位移所施加的力 為： 剛架水平振動時的自振頻率為： 311112hIEQ 222312E IQh11k)(12221132111IEIEhQQk3221111)(12mhIEIEmk10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動1 1）運動微分方程的建立體系在動力荷載作

10、用下所產(chǎn)生的振動稱為受迫振動。(a)單自由度體系無阻尼振動模型 (b)受力分析圖10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動1 1）運動微分方程的建立 在荷載F(t)作用下，其位移為y(t)。用剛度法建立其運動微分方程，對質(zhì)量塊m進(jìn)行受力分析，在荷載F(t)、彈性恢復(fù)力 和慣性力 的共同作用下，質(zhì)量塊保持平衡。即：整理得改寫為此式即為單自由度體系無阻尼受迫振動的微分方程。式中 , 下面分別討論幾種常見動力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力性能。 11( )sF tk y t IF tmy t-=( )( )( )0SIF tF tF t 11( )my tk y tF t 2( )F ty ty tmmk1110-

11、3 單自由度體系無阻尼受迫振動2 2）簡諧荷載）簡諧荷載 設(shè)荷載的表達(dá)式為 ，則微分方程 ，其通解為 。 設(shè)齊次方程的通解為 ，設(shè)特解 ，將特解代入微分方程可得待定系數(shù) ，則方程通解為：其中c1,c2為積分常數(shù)，由初始條件而定。 前兩項是按固有頻率自由振動，在阻尼作用下，其為衰減函數(shù)，將會在一段時間內(nèi)逐漸消失。第三項是按動荷載的頻率振動，稱為純受迫振動或穩(wěn)態(tài)受迫振動。一般把振動剛開始階段幾種振動同時存在的階段稱為過渡階段，而把后面只存在純受迫振動的階段稱為平穩(wěn)階段。通常過渡階段比較短，因此在實際問題中分析平穩(wěn)階段的動力特性更為重要。( )sinF tFt 2sinFy ty ttm( )( )

12、*( )y ty tyt12( )cossiny tctct*( )sinytAt22()FAm1222( )cossinsin()Fy tctcttm10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動2 2）簡諧荷載）簡諧荷載 第三項是純受迫振動的質(zhì)點位移，其最大動位移(即振幅)為由于 ，代入上式，有式中 ，表示將動荷載的幅值F作為靜荷載作用于結(jié)構(gòu)時所引起的位移。令則222221()1FFAmm1121m1122221111FstAFy11FstyF2211FstAy10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動2 2）簡諧荷載）簡諧荷載 稱為動力系數(shù)，它表示質(zhì)點的最大動位移與靜位移的比值?？上惹蟪龊喼C荷載的幅值作

13、為靜荷載所產(chǎn)生的靜位移 ，然后再乘以動力系數(shù)，即可得到在動荷載作用下的最大動位移A，這一方法稱為動力系數(shù)法。 對于單自由度體系，若荷載作用在質(zhì)點上，并且其作用線與質(zhì)點的位移一致時，結(jié)構(gòu)的動內(nèi)力與動位移成正比，因此動內(nèi)力和動位移有相同的動力系數(shù)，最大動內(nèi)力按與最大動位移相同方法進(jìn)行計算。例如，結(jié)構(gòu)的最大動彎矩其中， 為荷載幅值作為靜荷載時所產(chǎn)生的彎矩。FstyFdstMMFstM10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動2 2）簡諧荷載）簡諧荷載 動力系數(shù)的變化規(guī)律，令 ，稱為頻率比，則 以為橫坐標(biāo)，的絕對值為縱坐標(biāo)，繪出動力系數(shù)隨頻率比變化的圖形2221111無阻尼情況下動力系數(shù)隨頻率比變化圖10-

14、3 單自由度體系無阻尼受迫振動2 2）簡諧荷載）簡諧荷載討論： 當(dāng) 時， 。此時動荷載的頻率比結(jié)構(gòu)固有頻率小得多，動荷載隨時間變化緩慢，其引起的動位移幅值與靜位移 趨于一致，故可將動荷載作為靜荷載處理； 當(dāng) 時， 。這說明當(dāng)簡諧荷載的頻率與結(jié)構(gòu)自振頻率接近時，振幅將趨于無窮，較小的荷載即可產(chǎn)生很大的位移和內(nèi)力，這種情況稱為共振。在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計時，常常需要避免發(fā)生共振現(xiàn)象； 當(dāng) 時，動力系數(shù) ，且隨值的增大而增大； 當(dāng) 時，為負(fù)值，說明振動過程中動位移與動荷載反向，并且 隨增大而逐漸減小趨于零，說明當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)固有頻率時，動位移幅值反而比靜位移 要小。01Fsty1 0111Fsty10

15、-3 單自由度體系無阻尼受迫振動 【例【例3 3】簡支梁跨中安裝一臺電動機(jī)。已知電動機(jī)重Q=35kN，轉(zhuǎn)速為n=400r/min。轉(zhuǎn)動時由于偏心產(chǎn)生的離心力F=10kN，離心力的豎向分量為Fsint 。梁的截面抗彎剛度EI=1.848 104kN.m2。忽略梁的自重，求梁的最大彎矩和最大撓度。解：解：最大彎矩和最大撓度發(fā)生在梁的中點，它們是在電機(jī)重力Q和動荷載Fsint共同作用下引起的。梁在電機(jī)重力作用下跨中的彎矩和撓度為：1135435kN m44QMQl333311735 1042.53 10 m4848 1.848 10QlyQQEI 10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動將荷載幅值F作用

16、在結(jié)構(gòu)上，其跨中彎矩和位移為 結(jié)構(gòu)的自振頻率為動荷載的頻率為動力系數(shù)為梁跨中截面動彎矩幅值和動位移幅值為梁截面的最大彎矩和最大位移為： 1110410kN m44FstMFl33311710 1040.722 10 m48 1.848 10FstyF 11111gggQmmy139.862.2S2.53 101223.1440041.9S6060n2222111.8341.91162.21.83 1018.3kN mFdstMM331.830.722 101.32 10 mstFAy max3518.353.3kN mQdMMM333max2.53 101.32 103.85 10 mQyyA

17、 10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動 【例【例4 4】試求所示結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的質(zhì)點動位移幅值，并畫出動彎矩幅值圖。已知： 。解：解：質(zhì)點位移是由慣性力和動荷載共同引起的，用柔度法建立位移幅值方程整理得 36EIml22121111FstAFmAymA 22112111FFFstststyAyym 10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動由 圖和 圖，利用圖乘法求得體系的自振頻率為位移的動力系數(shù)為則質(zhì)點動位移幅值為質(zhì)點慣性力幅值為將慣性力幅值FI和荷載幅值F共同作用在結(jié)構(gòu)上，即可作出動彎矩幅值圖，如圖d所示。 1MPM312548FstFlyFEI311124EImml22143133455

18、34836FstFlFlAyEIEI32I3565366FlEIFFmAmEIml10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動3 3）一般動力荷載）一般動力荷載 在一般動力荷載作用下，特解可用如下方法推導(dǎo)。 若t=0時，作用在質(zhì)點的荷載大小為F，作用時間為t ，則瞬時沖量為Q=Ft。 設(shè)靜止的單自由度體系在t=0時刻受沖量Q的作用，根據(jù)動量定理 ，則 ，因此在荷載F作用的終了時刻，質(zhì)點將獲得初始速度 ，而由于作用時間很短，質(zhì)點的初位移 ，因此瞬時沖量作用過后，質(zhì)點將產(chǎn)生自由振動。則質(zhì)點m的位移方程為0myF t0QF tymm0y 00y ( )sinsinF tQy tttmm10-3 單自由度體系

19、無阻尼受迫振動3 3）一般動力荷載）一般動力荷載 若瞬時沖量在 時作用在質(zhì)點上，則質(zhì)點位移在 時為零，在 時有 其中，瞬時沖量 ，上式即為在 時瞬時沖量Q引起的無阻尼單自由度系統(tǒng)的動力響應(yīng)。 一般荷載F(t)可看成一系列瞬時沖量的集合，若把每個瞬時沖量所引起的位移疊加，即可得到F(t)作用下質(zhì)點的位移，根據(jù)這一思路，在一般荷載作用下，質(zhì)點的位移可表示為 上式稱為杜哈梅(Duhamel)積分。它是初始時刻處于靜止?fàn)顟B(tài)的無阻尼單自由度系統(tǒng)在任意動力荷載作用下的位移計算公式。如果初位移 和初速度 不為零，則總位移應(yīng)為：ttt( )sin()Qy ttm( )QFt1( )( )sin()toy tF

20、tdm0y0y 0001( )cossin( )sin()tyy tyttFtdm10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動 【例【例5 5】試求無阻尼單自由度體系在突加荷載作用下的動位移幅值，假設(shè)加載前體系靜止。突加荷載F(t)隨時間變化的規(guī)律為。其函數(shù)曲線如圖（a）所示。解：解：加載前結(jié)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此質(zhì)點的位移質(zhì)點位移與時間關(guān)系曲線如圖（b）所示。由上此可知，突加荷載引起質(zhì)點最大動位移 ，因此動力系數(shù)為2。 00(0)( )(0)tF tFt00021( )sin()d(1cos)(1cos)tFsty tFtmFtmyt2Fdstyy10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動 【例【例6 6】

21、爆炸荷載可近似用如下圖所示規(guī)律表示，即若不考慮阻尼，試求單自由度結(jié)構(gòu)在此動荷載作用下的位移表達(dá)式。設(shè)結(jié)構(gòu)原處于靜止?fàn)顟B(tài)。解：解：當(dāng) 時，結(jié)構(gòu)的運動為初始條件均為零的強(qiáng)迫振動。積分得即 0111(1)()( )0()tFtttF ttt1tt001( )(1)sin()dtFy ttmt02111( )(1cossin)Fty tttmtt111( )(1cossin)Fstty tytttt10-3 單自由度體系無阻尼受迫振動解：解：當(dāng) 時，結(jié)構(gòu)的運動是初始條件為 ， 的自由振動將 、 代入無阻尼自由振動位移公式，并將時間變量改為 ，即得 時結(jié)構(gòu)的位移整理得 1tt01( )yy t01( )

22、yy t011111( )(sincos)Fstyy tyttt01111111( )( sincos)Fstyy tytttt0y0y 1tt1tt1111( )( )cos()sin()y tyy ttttt1tt11sinsin()cosFsttttyytt1tt10-4 單自由度體系有阻尼自由振動1 1）阻尼）阻尼 阻尼是結(jié)構(gòu)在振動時來自外部和內(nèi)部使其能量損耗的作用。對阻尼力的描述有多種不同的理論，在結(jié)構(gòu)動力分析中通常采用粘滯阻尼理論，即認(rèn)為振動中物體所受的阻尼力與其運動速度成正比，方向與速度方向相反。若用FR表示粘滯阻尼力，則式中，c為阻尼系數(shù)，可由實驗確定。( )( )RF tcy

23、 t 10-4 單自由度體系有阻尼自由振動2 2）運動微分方程的建立 當(dāng)考慮阻尼時，質(zhì)點m的受力分析如下圖所示。采用剛度法，列動力平衡方程即或令 ， ，其中，稱為阻尼比，則有I0RSFFF11( )( )( )0my tcy tk y t11( )( )( )0kcy ty ty tmm211km2cm2( )2( )0y ty ty10-4 單自由度體系有阻尼自由振動2 2）運動微分方程的建立上式為線性常系數(shù)齊次微分方程，其解的形式為可得特征方程特征方程的根為根據(jù)的取值不同，方程的解有三種不同的形式： 當(dāng) ，即阻尼系數(shù) 時，特征方程的根為兩個虛根，令 為有阻尼時系統(tǒng)的自振頻率。方程的通解為由

24、初始條件： ， ， ，可確定積分常數(shù)c1、c2的值為( )ety tA222021,21ri 12cm21dd12( )e(sincos)tddy tctct0 t = 0y ty= 0y ty= 10-4 單自由度體系有阻尼自由振動2 2）運動微分方程的建立代入通解，得方程的解為或其中 00120,dyyccy000( )e(sincos)tdddyyy ttyt( )esin()tddy tAt22000dyyAy000tanddyyy10-4 單自由度體系有阻尼自由振動2 2）運動微分方程的建立 當(dāng) ，即 時，特征方程有兩個相等的實根，即 。方程的通解為 這是一個衰減的非周期函數(shù)，故結(jié)構(gòu)

25、不會出現(xiàn)振動。結(jié)構(gòu)處于此種情況是由振動過渡到非振動之間的臨界狀態(tài)，將此時的阻尼系數(shù)定義為臨界阻尼系數(shù) ，顯然 當(dāng) ，即 時，特征方程有兩個不相等的實根。方程的通解為此時質(zhì)點位移為衰減的非周期函數(shù)，也不產(chǎn)生振動。 12cm1,2r 12e()tycc tcrccr2cm2crccmc12cm2212e(ch1sh1 )tyctct 10-4 單自由度體系有阻尼自由振動3 3）阻尼比的確定）阻尼比的確定 小阻尼自由振動的振幅 是不斷衰減的，其衰減的速度與阻尼大小有關(guān)。利用這個特點，可通過如下方法確定結(jié)構(gòu)的阻尼比。 若在t=t0時刻質(zhì)點位移(或振幅)為yn，經(jīng)過一個周期后位移(或振幅)為yn+1，則

26、有上式兩邊取對數(shù)，得令 ，稱為振幅的對數(shù)衰減率，則 tAe000000()()100sin()sin()sin()sin(2 )dddttTnddddtTtTndddddyAetAeteyAetTAet常數(shù)+12ln2ndndyTy1lnnnyy210-4 單自由度體系有阻尼自由振動 【例【例7 7】圖所示剛架，橫梁 ，質(zhì)量m集中于橫梁。在橫梁處施加一水平力F=9.8kN，測得剛架柱頂產(chǎn)生側(cè)移y0=0.5cm，然后突然卸載使剛架產(chǎn)生水平自由振動。測得周期Td=1.5s及一個周期后剛架的側(cè)移y1=0.4cm 。試求剛架的阻尼系數(shù)和振動5周后柱頂?shù)恼穹鵼5。解：解：求阻尼系數(shù)c因為阻尼對頻率和周期

27、的影響很小，所以取 ，于是而 EA mFEA=1.5sdTT22211221.5kmT3611209.8 101.96 10 N / m0.5 10Fky10-4 單自由度體系有阻尼自由振動則阻尼比阻尼系數(shù)為求振動5周后柱頂?shù)恼穹鵼5由柱頂?shù)倪\動方程得所以 261121.51.96 10111707kg2km0+111110.5lnlnln0.03622220.4nnyyyy222 1117070.03633690kg / s1.5cm( )esin()tddy tAtd55100,edTTyyeyy5515000 40 50 16cm0 5y.yy.y.10-5 單自由度體系有阻尼受迫振動1

28、 1）簡諧荷載）簡諧荷載 在簡諧荷載作用下有阻尼的質(zhì)點運動方程為或 此方程為二階非齊次常微分方程，其解由齊次方程的通解和特解兩部分組成。設(shè)方程的特解為式中，c1、c2為待定系數(shù)。上式代入方程，利用比較系數(shù)法，則有此特解也是平穩(wěn)階段純受迫振動的解，令 11sinmy tcy tk y tFt 22sinFy ty ty ttm 12cossiny tctct122222224Fcm 2222222224Fcm 22222222cos4FAm 2222222sin4FAm 10-5 單自由度體系有阻尼受迫振動1 1）簡諧荷載）簡諧荷載則純受迫振動的解可以表示為式中，振幅為相位角為可進(jìn)一步改寫為式中

29、 sinyAt22222214FAm 222tan222222222222114141FstFFAymm 2222114 10-5 單自由度體系有阻尼受迫振動1 1）簡諧荷載）簡諧荷載 有阻尼時位移幅值的計算與無阻尼時相同，只是動力系數(shù)不僅與頻率比有關(guān)，而且還與阻尼比有關(guān)。 對于不同的阻尼比，可繪出與的關(guān)系曲線。 10-5 單自由度體系有阻尼受迫振動1 1）簡諧荷載）簡諧荷載 時， 。表明體系振動很慢，可以近似的將Fsint作為靜力荷載F計算； 時， 。表明體系接近于不動或作極微小的振動。 時，增加很快。此時，阻尼比對的影響極大。當(dāng) (稱此區(qū)域為共振區(qū))時，阻尼力大大減小了受迫振動的位移。在此

30、范圍以外，阻尼對的影響很小，可以按照無阻尼計算。 的最大值不發(fā)生在=1時。當(dāng) 時，得到最大值。在弱阻尼時， 通常很小，故可以近似的將=1時的值作為最大值，稱此時的振動為共振，其動力系數(shù) 1025. 175. 0212110-5 單自由度體系有阻尼受迫振動 【例【例8 8】如圖所示梁承受簡諧荷載Fsint作用。已知：F=30kN,=80S-1，m=300kg，EI=90105Nm2，支座B的彈簧剛度 。試求當(dāng)阻尼比=0.05時，梁中點的位移幅值及最大動彎矩。解：解：此梁運動為有阻尼單自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動。梁的柔度系數(shù) ，如圖b所示。其中故自振頻率為 ，頻率比 348EIKl111

31、11131111122 2192lKEI 31148lEI 31111115192lEI513111192 90 10134.16300 54Sm 800.596134.1610-5 單自由度體系有阻尼受迫振動動力系數(shù)為跨中位移幅值為由于動荷載作用在質(zhì)點上，故內(nèi)力動力系數(shù)與位移動力系數(shù)相同。最大動彎矩發(fā)生在跨中 22222222111.5441410.59640.050.596 333115541.544 30 108.6 10 m =8.6mm192 90 10FstAyF max11.54430446.32kN m44dFlM10-6 多自由度體系的自由振動1 1）體系運動方程的建立）體系

32、運動方程的建立 二自由度體系如圖a所示，集中質(zhì)量分別為m1和m2，不計梁的重量。在振動的任一時刻各質(zhì)點位移分別為y1(t)和y2(t) 。與單自由度體系類似，可采用柔度法或剛度法建立運動方程。 (a)二自由度體系； (b)慣性力加在質(zhì)點上；(c)柔度系數(shù)11、21；(d)柔度系數(shù)12、2210-6 多自由度體系的自由振動1 1）體系運動方程的建立）體系運動方程的建立 柔度法(列位移方程) 將慣性力 和 作為靜荷載分別作用在質(zhì)點1、2處。在各慣性力作用下，各質(zhì)點的位移為或同樣，對于n自由度體系，由柔度法建立的運動方程為 11m y22m y111111222221112222()()()()ym

33、 ym yym ym y11111122222111222200ym ym yym ym y11111122212211122222111222000nnnnnnnnnnnnnym ym ym yym ym ym yym ym ym y10-6 多自由度體系的自由振動1 1）體系運動方程的建立）體系運動方程的建立寫成矩陣形式，則有或簡寫為其中， 為結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，為對稱方陣； 為質(zhì)量矩陣， 為對矩陣； 為質(zhì)點位移向量； 為質(zhì)點加速度向量。 nnnnnnnnnymyymyymy 11121111221222221200000 0yMy M y y 10-6 多自由度體系的自由振動1 1）體系運動

34、方程的建立）體系運動方程的建立 剛度法(列動力平衡方程)分別對質(zhì)點m1和m2進(jìn)行受力分析，如上圖所示。 每個質(zhì)點都受到慣性力和彈性恢復(fù)力作用，其中 ； ；Fs1由兩部分組成，一部分是由于質(zhì)點m1發(fā)生位移而施加在質(zhì)點m1上的彈性恢復(fù)力 ，另一部分是由于質(zhì)點m2發(fā)生位移而施加在質(zhì)點m1上的彈性恢復(fù)力 ，因此 ；類似的，F(xiàn)s2也由兩部分組成，一部分是由于質(zhì)點m2發(fā)生位移而施加在質(zhì)點m2上的彈性恢復(fù)力 ，另一部分是由于質(zhì)點m1發(fā)生位移而施加在質(zhì)點m2上的彈性恢復(fù)力 ，因此 。 m1FI1FS1m2FI2FS2 I111Fm y t-= I222Fm yt-=111( )k y t122( )k y t

35、1111122( )( )sFk y tk y t 222( )k y t211( )k y t2222211( )( )sFk y tk y t 10-6 多自由度體系的自由振動1 1）體系運動方程的建立）體系運動方程的建立 各質(zhì)點在慣性力和彈性恢復(fù)力作用下處于動力平衡狀態(tài)，由力系平衡條件有即同樣，對于n自由度體系按剛度法建立運動方程為 112200IsIsFFFF111111222221122200m yk yk ym yk yk y1111112212221122221122000nnnnnnnnnnnm yk yk yk ym yk yk ykym yk ykyk y10-6 多自由度

36、體系的自由振動1 1）體系運動方程的建立）體系運動方程的建立寫成矩陣形式為或簡寫為式中，K為體系的剛度矩陣，是對稱方陣。 由于柔度矩陣與剛度矩陣K互為逆矩陣，即 ，則用柔度法或用剛度法建立的體系運動方程是等價的，只是表現(xiàn)形式不同而已。 11121111222122221200000nnnnnnnnnkkkmyymykkkymyykkk 0MyKy 1K10-6 多自由度體系的自由振動2 2）頻率和主振型）頻率和主振型上式為位移幅值 的齊次方程。由于體系發(fā)生振動， 不全為零，則方程有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式為零，即其展開式為上式即為n自由度體系的頻率方程。將行列式展開可以得到一個關(guān)于

37、或 的n次代數(shù)方程。解此方程，可得到 或 的n個非負(fù)實根，即得由小到大排列的n個自振頻率 。其中最小的頻率1稱為基本頻率，簡稱基頻。 12n , ,12,n 21I0M1111221221122222112221()1()01()nnnnnnnnnmmmmmmmmm22122112,n 10-6 多自由度體系的自由振動2 2）頻率和主振型）頻率和主振型 利用柔度法建立的運動方程，討論體系的頻率和主振型計算問題。設(shè)運動方程的特解為式中， 稱為質(zhì)點位移幅值向量。它是體系按某一頻率 作簡諧振動時，各質(zhì)點的位移幅值依次排列的一個列向量。由于A 不隨時間而變化，體現(xiàn)了體系按頻率作簡諧振動時的振動形態(tài)，故

38、稱為主振型或簡稱振型。 將上式代入運動方程，并消去公因子 ，整理后得到振型方程其展開式為 sinyAt 12nTAAAsin()t 21IA0M111112221221112222221112222101()01()0nnnnnnnnnnnnmAm Am Am AmAm Am Am AmA10-6 多自由度體系的自由振動2 2）頻率和主振型）頻率和主振型 將求得的頻率K分別代入振型方程，即 由上式可確定與K對應(yīng)的主振型 。由于振型方程的系數(shù)行列式為零，因而不能唯一確定 的值，但可確定它們之間的相對值，即確定了振型。要想主振型 中各元素的大小能夠全部確定，還需要補充條件。常用辦法是：任取 中的一

39、個元素(通常取第一個或最后一個元素)作為標(biāo)準(zhǔn)，取其值為1，根據(jù)振型方程即可求出其余元素的數(shù)值。 對于兩個自由度體系，其振型方程為 ()21(I)0KKA ()()()()12TKKKKnAAAA()()()12,KKKnAAA ()KA ()KA1111122222111222221()01()0mAm Am AmA10-6 多自由度體系的自由振動2 2）頻率和主振型）頻率和主振型頻率方程為將上式展開，并令 ，得解方程，求得的兩個根為兩個自振頻率為 11112222112222101mmmm212211122211221212()()0mmm m 221,2111222111222112212

40、121()()4()2mmmmm m 111221 10-6 多自由度體系的自由振動2 2）頻率和主振型）頻率和主振型將1和2分別代入振型方程中的第一個方程，即可求出兩個振型： 111(1)221(1)11221mAAm111(2)222(2)12211mAmA10-6 多自由度體系的自由振動2 2）頻率和主振型）頻率和主振型 對于剛度法建立的運動方程，與上述分析過程類似，此時振型方程為其展開形式為頻率方程為其展開形式為 2021111122122112222221122()0()0()0nnnnnnnnnnkm Ak Ak Ak AkmAk Ak Ak AkmA2010-6 多自由度體系的自

41、由振動2 2）頻率和主振型）頻率和主振型其展開形式為對于兩個自由度體系，頻率方程為或 21111212212222212()()0()nnnnnnnkmkkkkmkkkkm2111122212220kmkkkm222211221122121212()()0kkk kkmmmm10-6 多自由度體系的自由振動2 2）頻率和主振型）頻率和主振型由此可得自振頻率1和2為兩個主振型為 由上面導(dǎo)出的頻率和主振型方程可知：頻率和主振型只與體系的質(zhì)量和柔度(或剛度)有關(guān)，而與外部干擾無關(guān)，因此它們是體系本身所固有的特性。由于多自由度體系的受迫振動分析經(jīng)常涉及體系的動力特性，因此計算體系的自振頻率和主振型是十

42、分重要的。 222112211221122121,21212124()1()()2kkkkk kkmmmmm m(1)221111(1)112(2)222111(2)112AAAAmkkmkk10-6 多自由度體系的自由振動 【例【例9 9】試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型。已知：m1=m2=m，抗彎剛度為EI。解：解：求自振頻率由圖b、c，用圖乘法求出柔度系數(shù)為將柔度系數(shù)和質(zhì)量代入,得 311224243lEI312217486lEI13115.692EIml232122.045EIml 10-6 多自由度體系的自由振動則自振頻率為求主振型當(dāng)=1時，主振型為則第一階振型(圖d)為當(dāng)=2時，主振型

43、為則第二階振型(圖e)為 13115.692EIml232122.045EIml 111(1)221(1)112211mAAm (1)11 111(2)222(2)112211mAAm 211A10-6 多自由度體系的自由振動 【例【例1010】試求圖示剛架的運動方程、自振頻率和振型。已知：橫梁剛度EI=；質(zhì)量m1=m2=m；層間側(cè)移剛度為K1=K2=K 。解：解：用剛度法求剛架的運動方程整理得即 222211111212m yKyym yK yKyy 111212222212200m yKKyK ym yK yK y112212200myKyKymyKyKy10-6 多自由度體系的自由振動求

44、剛架自振頻率由剛度法運動方程可知，剛架的剛度系數(shù)為將剛度系數(shù)和質(zhì)量代入，則有解頻率方程，則得兩個自振頻率為求振型當(dāng)=1時，主振型為 11122kKKK122kKK 212kKK 222kKK222(2)()0Km KmK211(35)0.381972KKmm221(35)2.618032KKmm10.618Km21.618Km (1)221111(1)1120.3819721.618AmKKKAKK10-6 多自由度體系的自由振動則第一振型(圖b)為當(dāng)=2時，主振型為則第一振型(圖c)為 (1)11.618(2)222111(2)1122.6180320.618AmKKKAKK (2)10.6

45、1810-7 多自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動 多自由度體系在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動與單自由度體系類似，開始也存在一個過渡階段，由于阻尼的影響其中自由振動部分很快衰減掉，因此，對于多自由度體系的強(qiáng)迫振動只討論平穩(wěn)階段的純受迫振動。 如圖所示一個二自由度體系承受簡諧荷載作用，且各荷載的頻率和相位相同。 (a) 二自由度體系受簡諧荷載作用；(b)1P、2P圖10-7 多自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動 用柔度法建立運動方程，有或 由于在平穩(wěn)階段各質(zhì)點與荷載同頻同步振動，則設(shè)方程純受迫振動的解為由此，質(zhì)點的慣性力為 11111122212211122222sinsinPPym ym yt

46、ym ym yt 11111122212211122222sinsinPPym ym ytym ym yt 1122sinsinyAtyAt2I111112I22222sinsinFm ymAtFm ymAt 10-7 多自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動上兩式代入運動方程，整理得位移幅值方程為令整理得質(zhì)點慣性力幅值方程為 在純受迫振動時，質(zhì)點的位移、慣性力及動荷載將同時達(dá)到最大值，因此，在計算最大動位移和動內(nèi)力時，可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結(jié)構(gòu)，用靜力方法進(jìn)行計算。 11111122222221112222221()+01()+0PPmAm Am AmA02I11102I22

47、2FmAFmA0011I112I21210021I122I22221()01()0PPFFmFFm 10-7 多自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動 n自由度體系承受簡諧荷載的情況, n自由度體系在簡諧荷載作用下運動方程為寫成矩陣形式，則有 為荷載幅值引起的質(zhì)點靜位移列向量。n自由度體系在簡諧荷載作用下質(zhì)點位移幅值方程為 1111112221122111222222111222sinsinsinnnnPnnnPnnnnnnnnPym ym ym ytym ym ym ytym ym ym yt sinPyyt 12Tpppnp 111111222122221112222222111222221

48、()01()01()0PnnnPnnnnPnnnnnnmAm Am Am AmAm Am Am AmA10-7 多自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動寫成矩陣形式，則有利用 ，可得n自由度體系在簡諧荷載作用質(zhì)點慣性力幅值方程為寫成矩陣形式，則有對于n自由度體系，其自振頻率有n個，故有n個共振區(qū)。實際上由于存在阻尼，質(zhì)點的振幅不會無限大，但這對結(jié)構(gòu)仍是不利的。 2211MI0P 00011I112I21I12100021I122I22I2220001I12I2I21()01()01()0nnPnnPnnnnnnPnFFFmFFFmFFFm 02IiiiFmA 10I210PF 10-7 多自由度

49、體系在簡諧荷載作用下的受迫振動 【例【例1111】求如圖10-25a所示體系的振幅和動彎矩幅值圖。已知： ； ； 。解：解：計算結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)計算荷載幅值引起的位移(參見圖b) 12mmm1=0.6135.69EIml311224243lEI312217486lEI31114=243PFlFEI32217=486FlFEI10-7 多自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動計算慣性力幅值解方程，則得繪制動彎矩幅值圖 將慣性力幅值和荷載幅值作用于結(jié)構(gòu)，用靜力法求出彎矩圖，如圖c所示。這個彎矩圖即為動彎矩幅值圖。計算位移幅值求出質(zhì)點的位移幅值為 33300I1I2233300I1I224174()02

50、43486243741()0486243486llFlFFEImEIEIll7FlFFEIEImEI0I10.297FF0I20.271FF0332I11210.2972.55 1011.65FlFlFmEIEI0332I22210.2712.33 1011.65FlFlFmEIEI10-8 結(jié)構(gòu)頻率的近似計算方法 前面研究了計算自振頻率的精確方法，在自由度數(shù)目較多的情況下，計算工作很繁重。但是工程實際中，結(jié)構(gòu)的基本頻率是最重要的，并且往往只需要求出前幾階頻率就足夠了，因此從實用的要求來說，有必要采用近似的計算方法，本節(jié)介紹兩種常用的近似計算方法。 (1)能量法：對體系的振動形式給以簡化假設(shè)，但不改變結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布，然后根據(jù)能量守恒原理求得自振頻率。 (2)集中質(zhì)量法：將體系的質(zhì)量分布加以簡化，以集中質(zhì)量代替分布質(zhì)量，用有限自由度體系代替無限自由度體系求頻率。 10-8 結(jié)構(gòu)頻率的近似計算方法1 1）能量法）能量法 能量法的出發(fā)點是能量守恒原理，即一個無阻尼的彈性體系自由振動時，它在任一時刻的總能量(應(yīng)變能U與動能T之和)保持不變，即 應(yīng)變能(U ) + 動能(T ) = 常數(shù) 以梁的自由