第四部分隨機(jī)變量的數(shù)字特征ppt課件

1、第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征u數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望u方差方差u* * 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)u大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)學(xué)期望的引例數(shù)學(xué)期望的引例Mathematical ExpectationMathematical Expectation例如：某例如：某7人的高數(shù)成果為人的高數(shù)成果為90，85，85，80，80， 75，60，那么他們的平均成果為，那么他們的平均成果為9085 280 2756071221190858075607777779.3以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(X)1 12 2( ) kkkkk

2、E Xpxp xp xp x () 1,2,kkP XxpkMathematical ExpectationMathematical Expectation定義定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為 u離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量kkkp x 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂， 則則稱稱此此級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作的數(shù)學(xué)期望，記作EX，即，即 XP41/451/261/4數(shù)學(xué)期望的計(jì)算數(shù)學(xué)期望的計(jì)算知隨機(jī)變量知隨機(jī)變量X的分布律：的分布律：1 1223 3 ) (E Xp xp xp x例例 求數(shù)學(xué)期望求數(shù)學(xué)期望EX 解解 111()4565424E

3、X 延續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望延續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)E(X)() ( )E Xx f x dxu延續(xù)型隨機(jī)變量延續(xù)型隨機(jī)變量定義定義設(shè)延續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)延續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 f (x), 那么那么( ) 若廣義積分絕對(duì)收斂, 則稱此積分為 若廣義積分絕對(duì)收斂, 則稱此積分為的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望xf x dxX 即即 數(shù)學(xué)期望的計(jì)算數(shù)學(xué)期望的計(jì)算知隨機(jī)變量知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為例例 211( )101xf xxx()( )E Xxf x dx求數(shù)學(xué)期望。求數(shù)學(xué)期望。 解解 1121110010 xdxxdxxdxx 數(shù)學(xué)期望的意義 實(shí)驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)

4、較大時(shí)，X的觀測(cè)值的算術(shù)平均值的觀測(cè)值的算術(shù)平均值 在在E(X)附近擺動(dòng)附近擺動(dòng)x()xE X數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值(Expected Value)，均值均值(Mean)E(X)反映了隨機(jī)變量反映了隨機(jī)變量X取值的取值的“概率平均概率平均,是是X的的能夠值以其相應(yīng)概率的加權(quán)平均。能夠值以其相應(yīng)概率的加權(quán)平均。二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(X,Y)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量為二維離散型隨機(jī)變量(, )( (), ( )E X YE XE Y.()iiiiiijiiijE Xx P Xxx px p.( )jjj

5、jjijjjjiE Yy P Yyy py p() ( ) ( ,),XE Xx fx dxx f x y dxdy() ( ) ( ,).YE Yy fy dyy f x y dxdy(X,Y)(X,Y)為二維延續(xù)型隨機(jī)變量為二維延續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)的結(jié)合密度為的結(jié)合密度為例例0,1,1,3( , )0kxyxyf x y 其其它它(1) 求求k(2) 求求X和和Y的邊緣密度的邊緣密度(3) 求求E(X), E(Y).14212kk 12k ( )( , )Xfxf x y dy 31122xydyx 20,1( )0Xxxfx 其它其它( , )1f x y dxdy (

6、1)由由解解3110kydyxdx 所以所以所以所以得得1 11 13 30,1x (2)(2)( )( , )Yfyf x y dx 101124xydxy 1,3( )40其它yyyfy ()( )XE Xxfx dx ()( )YE Yyfy dy 10223xxdx 311346yydy 1,3y 1131 11 13 3()( ,)E Xxf x y dxdy 另解另解10223xxdx 311346yydy 130112dxxxydy ()( , )E Yyf x y dxdy 311012dyyxydx 無(wú)需求無(wú)需求邊緣分布密度函數(shù)邊緣分布密度函數(shù) 隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變

7、量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理定理 1：一維情形：一維情形()Yg X 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 X的函數(shù)的函數(shù),1( ) ()()kkkE YE g Xg xp , 1,2,kkP Xxpk( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx ( )f x概率密度為概率密度為X服從服從2 , 0sinYX上的均勻分布，求上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。 ( )sinsin E YEXx fx dx 1,0220,xf x；其它。 2 01sinsin02EXxdx由于由于 所以所以 例例 解解隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 (,)(,)ijijijE g X Yg x

8、yp 定理定理 2：二維情形：二維情形1 2, , ,ijijP Xx Yypi j (, )( , ) ( , )E g X Yg x y f x y dxdy ( , )f x y結(jié)合概率密度為結(jié)合概率密度為(,)Zg X Y 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 X， Y的函數(shù)的函數(shù),離散型離散型 1 15 5)( , )E XYxyf x y dxdy 例例 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y的密度函數(shù)分別為的密度函數(shù)分別為 12 , (01)( )0, xxf x其它(5)2, (5)( ) 0, yeyfy其它求求EXY解解 12( )( )xyf x fy dxdy 1(5)052y

9、dxxyx edy12(5)052yx dxyedy4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),X Y相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí)u當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量 ()() ( )E XYE X E Y( )E CCu.C C 為常數(shù)為常數(shù) ()()E CXCE Xu.()()( )E XYE XE Yu.設(shè)設(shè)X,YX,Y在由在由4 4個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)0 0，0 03 3，0 0，3 3，2),2),(0,2)(0,2)決議的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求決議的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求E(X+Y),E(X2)E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).E(Y2),E(XY).3 30 02 26面積答案：答案：25(); ()3;2

10、E XYE X243(); ()32E YE XY0-1分布的數(shù)學(xué)期望分布的數(shù)學(xué)期望X服從服從0-1分布，其概率分布為分布，其概率分布為P(X=1)=pP(X=0)=1- pXP0 11-p p假設(shè)假設(shè)X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的的0-1分布，分布， 那么那么E(X) = p()0 (1)1E Xppp 分布律分布律數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望If XB( n, p ), then E(X)= np(1)kknknP XkCpp 二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望分布律分布律X X服從二項(xiàng)分布，其概率分布為服從二項(xiàng)分布，其概率分布為數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望n二項(xiàng)分布可表示為二項(xiàng)分布可表示為個(gè)分布的和個(gè)分布的

11、和1niiXX0, 1iAiXAi在第 次試驗(yàn)中不發(fā)生， 在第 次試驗(yàn)中發(fā)生11()()()nniiiiE XEXE Xnp 其中其中 那么那么 泊松分布的數(shù)學(xué)期望泊松分布的數(shù)學(xué)期望If , then ( )XP()E X()!kP Xkek分布律分布律數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望101()!(1)!kkkkE Xkeekk(1)kt 0!ttee et1()0axbfxba 其其 它它均勻分布的期望均勻分布的期望分布密度分布密度數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 ()2( )baxxf x dxdxE Xbbaa X N (，2正態(tài)分布的期望正態(tài)分布的期望分布密度分布密度222)(21)(xexf數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望22()

12、2()12xxedxE X221()2ttedtxt0( )00 xexfxx指數(shù)分布的期望指數(shù)分布的期望分布密度分布密度數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望0()xxf x dExx edxX 00 01|xxxxeedxe 1數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)運(yùn)用數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)運(yùn)用An application of Expected Value in Medicine 思索用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每思索用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每1010個(gè)人一組，把這個(gè)人一組，把這1010個(gè)人的血液樣本混合起來(lái)進(jìn)展化驗(yàn)。假設(shè)個(gè)人的血液樣本混合起來(lái)進(jìn)展化驗(yàn)。假設(shè)結(jié)果為陰性，那么結(jié)果為陰性，那么

13、1010個(gè)人只需化驗(yàn)個(gè)人只需化驗(yàn)1 1次；假設(shè)結(jié)果為陽(yáng)性，那次；假設(shè)結(jié)果為陽(yáng)性，那么需對(duì)么需對(duì)1010個(gè)人在逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)個(gè)人在逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)1111次。假定人群中這種病次。假定人群中這種病的患病率是的患病率是10%10%，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問(wèn)：這種，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問(wèn)：這種分組化驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比，能否能減少化驗(yàn)分組化驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比，能否能減少化驗(yàn)次數(shù)？次數(shù)？分析：分析：設(shè)隨機(jī)抽取的設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為X我們需求計(jì)算我們需求計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，然后與的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較比較 化驗(yàn)次數(shù)化驗(yàn)

14、次數(shù)X的能夠取值為的能夠取值為1，11先求出化驗(yàn)次數(shù)先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律。的分布律。(X=1)=“10人都是陰性人都是陰性X=11)=“至少至少1人陽(yáng)性人陽(yáng)性結(jié)論：結(jié)論：分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)留意求留意求 X期望值的期望值的步驟！步驟！10101(1 0.1)0.9P X 10111 0.9P X 1010() 0.91(1 0.9 ) 117.51310E X 1、概率、概率p對(duì)能否分組的影響對(duì)能否分組的影響問(wèn)題的進(jìn)一步討論問(wèn)題的進(jìn)一步討論假設(shè)假設(shè)p=0.2，那么，那么當(dāng)當(dāng)p0.2057時(shí)，時(shí)，E(X)10() 0.91 (1 0.9 ) 11 10nnE X 1010() 0.81 (1 0.8 ) 119.9262E X 2、概率、概率p對(duì)每組人數(shù)對(duì)每組人數(shù)n的影響的影響 21.86n 當(dāng)當(dāng)p=0.2時(shí)，可得出時(shí)，可得出n10.32，才干保證，才干保證EX10.當(dāng)當(dāng)p=0.1時(shí)，為使時(shí)，為使 例例 獨(dú)立地操作兩臺(tái)儀器，他們發(fā)生缺點(diǎn)的概率分別獨(dú)立地操作兩臺(tái)儀器，他們發(fā)生