靜態(tài)電磁場分析

1、1第第 3 3 章章 靜態(tài)電磁場分析靜態(tài)電磁場分析 以矢量分析和亥姆霍茲定理為基礎(chǔ)，討論靜態(tài)電磁場的特性和求解方法。以矢量分析和亥姆霍茲定理為基礎(chǔ)，討論靜態(tài)電磁場的特性和求解方法。 建立真空、電介質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)中電場的基本方程；引入電位函數(shù)建立真空、電介質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)中電場的基本方程；引入電位函數(shù); ; 導(dǎo)出電位滿足的泊松方程和拉普拉斯方程。導(dǎo)出電位滿足的泊松方程和拉普拉斯方程。 討論電容的計算，電場能量的計算。討論電容的計算，電場能量的計算。 建立真空與磁介質(zhì)內(nèi)恒定磁場的基本方程；引入矢量位建立真空與磁介質(zhì)內(nèi)恒定磁場的基本方程；引入矢量位A A；在特定條件下引入標(biāo)量位在特定條件下引入標(biāo)量位 。

2、討論自感和互感的計算、磁場能量和磁場力。討論自感和互感的計算、磁場能量和磁場力。 靜態(tài)場邊值問題的解法靜態(tài)場邊值問題的解法-分離變量法、鏡像法分離變量法、鏡像法23.23.2 恒定電場恒定電場分析分析3.1 3.1 靜電場分析靜電場分析3.4 3.4 靜態(tài)場的邊值問題靜態(tài)場的邊值問題3.33.3 恒定磁場恒定磁場分析分析33.1 3.1 靜電場分析靜電場分析 關(guān)系式關(guān)系式 稱為真空的電特性方程或本構(gòu)關(guān)系稱為真空的電特性方程或本構(gòu)關(guān)系 00DE 靜電場的源變量是電荷靜電場的源變量是電荷 q r 第第2 2章中已由庫侖定律引入了電荷章中已由庫侖定律引入了電荷 產(chǎn)生的電場強(qiáng)度產(chǎn)生的電場強(qiáng)度3014q

3、RRE q r 任意電荷分布產(chǎn)生的電場強(qiáng)度任意電荷分布產(chǎn)生的電場強(qiáng)度 301d 4rRRE r 定義任意電荷分布產(chǎn)生的電位移矢量定義任意電荷分布產(chǎn)生的電位移矢量 0031d 4Rr RD rE r41 1、基本方程、基本方程dsqDS0Dd0lEl0E.1靜電場的基本方程靜電場的基本方程2 2、邊界條件、邊界條件本構(gòu)方程本構(gòu)方程DE012nEEttEE1212nnDD12nDD5xyzxyzEeee直角坐標(biāo)系E3.1.2 3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù)1 1、由、由0E ， 稱為靜電場的標(biāo)量位函數(shù)，又稱電位函數(shù)稱為靜電場的標(biāo)量位函數(shù)，又稱電位函數(shù)xyzExEyEzlEl 由此可求

4、得電位的微分由此可求得電位的微分dddlE lEl在任意方向上的分量在任意方向上的分量E 空間空間A、B 兩點(diǎn)的電位差兩點(diǎn)的電位差dBBAlA El 若選取若選取 為電位參考（即為電位參考（即 ），）， 則任意點(diǎn)則任意點(diǎn) 的電位為的電位為(,)PPPP xyz0P( , , )A x y z, ,dPPPxyzAPlx y zEl 1 1）電位函數(shù)為電場函數(shù)的輔助函數(shù)，是一標(biāo)量函數(shù)）電位函數(shù)為電場函數(shù)的輔助函數(shù)，是一標(biāo)量函數(shù)2 2）“-”-”號表示電場指向電位減小最快的方向號表示電場指向電位減小最快的方向62、選擇電位參考點(diǎn)的原則、選擇電位參考點(diǎn)的原則：4.4.電位參考點(diǎn)的電位值一般為零電位參

5、考點(diǎn)的電位值一般為零 1.1.應(yīng)使電位表達(dá)式有意義；應(yīng)使電位表達(dá)式有意義；2.2.應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單；應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單；3.3.同一個問題只能有一個參考點(diǎn)；同一個問題只能有一個參考點(diǎn)；7 點(diǎn)電荷的電位點(diǎn)電荷的電位200001dd441144RRRRRpqqRRRqqCRRRPPel 體電荷體電荷 、面電荷、面電荷 、線電荷、線電荷d dSdll 產(chǎn)生的電位分別為產(chǎn)生的電位分別為000ddd111,444lsllSCCCRRRPR 若取若取 處的電位為零，則處的電位為零，則04qR3 3、電位函數(shù)的求解、電位函數(shù)的求解點(diǎn)電荷在空間產(chǎn)生的電位點(diǎn)電荷在空間產(chǎn)生的電位8無限長線電荷的電位無限長線

6、電荷的電位)ln(ln2200pQlQprlrrerE電位參考點(diǎn)不能位于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，否則表達(dá)式無意義，根據(jù)表達(dá)式最簡原則，電位參考點(diǎn)不能位于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，否則表達(dá)式無意義，根據(jù)表達(dá)式最簡原則， 選取選取 柱面為電位參考點(diǎn)，即柱面為電位參考點(diǎn)，即 ，得，得 1r1Qrplprln20-無限長線電流在空間產(chǎn)生的電位無限長線電流在空間產(chǎn)生的電位引入電位函數(shù)的意義：引入電位函數(shù)的意義： 在某些情況下，直接求解電場強(qiáng)度很困難，但求解電位函數(shù)則相對簡單，在某些情況下，直接求解電場強(qiáng)度很困難，但求解電位函數(shù)則相對簡單， 簡化電場的求解簡化電場的求解間接求解法間接求解法因此可以通過先求解電位函數(shù)，再由關(guān)系因此可以通

7、過先求解電位函數(shù)，再由關(guān)系 得到電場解。得到電場解。 E9qqdlrrr, ,P r z 解：取如圖所示坐標(biāo)系，場點(diǎn)解：取如圖所示坐標(biāo)系，場點(diǎn) 的電位等于兩個點(diǎn)電荷電位的疊加的電位等于兩個點(diǎn)電荷電位的疊加 , ,P r 0114qrr而而22d2 d cosrrlr l2211d2 d cosrrlr l當(dāng)當(dāng)drl2111d coslrrr因此因此22001111dd cos4cos4lrrrqlrd cosdrrq lql ep e由于由于得電偶極子的電位得電偶極子的電位23001144rrrp ep r電偶極子的電場強(qiáng)度電偶極子的電場強(qiáng)度530314rrp rpEr例例 求電偶極子求電偶極

8、子 的電位的電位dqpl r( (教材例教材例3.1.1)3.1.1)。104 4、電位的微分方程、電位的微分方程E由由00 DED0 020 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中22222220 xyz電電位位的的泊泊松松方方程程若空間電荷分布為零，則有若空間電荷分布為零，則有20電位滿足的拉普拉斯方程電位滿足的拉普拉斯方程電位的邊界條件電位的邊界條件120Edl10l 212nnsDDDE 而1212snn 有 若0s 有2121120nn11 例例 半徑為半徑為a 的帶電導(dǎo)體球，其電位為的帶電導(dǎo)體球，其電位為U（無窮遠(yuǎn)處電位為零），試計算球外（無窮遠(yuǎn)處電位為零），試計算球外空間的電位?？臻g的電位

9、。解：解： 球外空間的電位滿足拉氏方程球外空間的電位滿足拉氏方程20 電位滿足的邊界條件電位滿足的邊界條件0r arU由題意可知電位及電場具有球?qū)ΨQ性由題意可知電位及電場具有球?qū)ΨQ性 r在球坐標(biāo)系下在球坐標(biāo)系下2221 ddddrrrr直接積分12CCr因此因此aUr20C 1CaU 2rraUrrrEee12一、電容一、電容3.1.3 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容1 1、孤立導(dǎo)體的電容、孤立導(dǎo)體的電容 定義：孤立導(dǎo)體所帶電量與其電位之比，即定義：孤立導(dǎo)體所帶電量與其電位之比，即 QCU電容電容C C 只與導(dǎo)體幾何性質(zhì)和周圍介質(zhì)有關(guān)，與只與導(dǎo)體幾何性質(zhì)和周圍介質(zhì)有關(guān)，與 q q 和

10、和 無關(guān)無關(guān) 例：例： 空氣中半徑為空氣中半徑為a a的孤立導(dǎo)體球的孤立導(dǎo)體球 0044QQCaa2 2、兩個帶等量異號電荷導(dǎo)體的電容（雙導(dǎo)體電容）、兩個帶等量異號電荷導(dǎo)體的電容（雙導(dǎo)體電容）12QCC C只與導(dǎo)體幾何性質(zhì)、導(dǎo)體間距和導(dǎo)體周圍介質(zhì)有關(guān)只與導(dǎo)體幾何性質(zhì)、導(dǎo)體間距和導(dǎo)體周圍介質(zhì)有關(guān)13例：例： 平行板電容器電容（導(dǎo)體球、圓柱等）平行板電容器電容（導(dǎo)體球、圓柱等）0012sssssQsCEddd二、部分電容二、部分電容若電容器由多個導(dǎo)體構(gòu)成，則電容器之間、導(dǎo)體與地之間均存在電容若電容器由多個導(dǎo)體構(gòu)成，則電容器之間、導(dǎo)體與地之間均存在電容單個導(dǎo)體上的電量單個導(dǎo)體上的電量 qC2.兩個導(dǎo)

11、體兩個導(dǎo)體，且考慮大地的影響，相當(dāng)三個導(dǎo)體，其中一個導(dǎo)體上的電量為且考慮大地的影響，相當(dāng)三個導(dǎo)體，其中一個導(dǎo)體上的電量為 11212111()qCC3 3、 N N個導(dǎo)體個導(dǎo)體 導(dǎo)體間的電容 導(dǎo)體與大地間的電容14 N 個導(dǎo)體組成的導(dǎo)體系統(tǒng)，其中第個導(dǎo)體組成的導(dǎo)體系統(tǒng)，其中第i個導(dǎo)體的電位與自身的電荷和其他導(dǎo)體的個導(dǎo)體的電位與自身的電荷和其他導(dǎo)體的電荷關(guān)系為電荷關(guān)系為 其中其中 為常數(shù)，稱為為常數(shù)，稱為電位系數(shù)電位系數(shù)，與系統(tǒng)中所有導(dǎo)體的形狀、位置及周圍介質(zhì)，與系統(tǒng)中所有導(dǎo)體的形狀、位置及周圍介質(zhì)有關(guān)。有關(guān)。ijp1Niijjjp q1,2.iN（共有（共有 N 個方程）個方程） 由以上由以上

12、N 個方程可解出個方程可解出1Niijjjq 1,2.iN（共有（共有 N 個方程）個方程） 當(dāng)當(dāng) 時時 稱為稱為電容系數(shù)電容系數(shù)， 時時 稱為稱為感應(yīng)系數(shù)感應(yīng)系數(shù)，且，且jjij，ijij，ijjiij 引入引入1,NijijiiijjCC，方程，方程 可寫為可寫為1Niijjjq 10Niiiiijijjj iqCCiiq與導(dǎo)體i的電位成正比ijq與導(dǎo)體i、j的電位差成正比其比值其比值0iiiiiqCijijijqC1211C1221CC22C153.1.4 3.1.4 電場能量電場能量 電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)過程中外界提供的能量。電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)過程中外界提供的能量。 設(shè)系

13、統(tǒng)完全建立時，最終的電荷分布為設(shè)系統(tǒng)完全建立時，最終的電荷分布為 ，電位為，電位為 。 設(shè)充電過程中，各點(diǎn)的電荷密度按其終值的同一比例因子設(shè)充電過程中，各點(diǎn)的電荷密度按其終值的同一比例因子 增加，則各點(diǎn)的電增加，則各點(diǎn)的電位也將按同一因子增加。即在某一時刻電荷分布為位也將按同一因子增加。即在某一時刻電荷分布為 時，其電位分布為時，其電位分布為 。 的變化為的變化為 。01 dddeW 整個充電過程外界對整個系統(tǒng)提供的總能量整個充電過程外界對整個系統(tǒng)提供的總能量101d dd2eW 對某一體積元對某一體積元 ， 變?yōu)樽優(yōu)?時（此時電位為時（此時電位為 電荷增加電荷增加 ）外界提供的能量外界提供的

14、能量dddddq,分布電荷總能量分布電荷總能量161 1）此公式只適用于靜電場能量求解；）此公式只適用于靜電場能量求解；21 2) 2) 不表示能量密度；不表示能量密度； 3 3） 為空間中自由電荷分布；為空間中自由電荷分布； )(r4 4）積分范圍為整個空間，但可退化到電荷分布區(qū)域。）積分范圍為整個空間，但可退化到電荷分布區(qū)域。 2 2、帶電導(dǎo)體系統(tǒng)總能量、帶電導(dǎo)體系統(tǒng)總能量若電量為若電量為q的電荷分布在導(dǎo)體上的電荷分布在導(dǎo)體上, ,導(dǎo)體電位為導(dǎo)體電位為 ，空間總靜電場能量為，空間總靜電場能量為 )(r12eWqN N個導(dǎo)體，個導(dǎo)體， iiieqW21導(dǎo)體所帶電量i導(dǎo)體電位i說明：說明：17

15、3 3、電場能量密度、電場能量密度vsvvvedvEDsdDdvDDdvrDdvrrW212121)(21)()(21第一項：第一項： 22111,DdsrDdsrrr,0srDds1( )( )2eevvWD rE r dVw dV21122ewDEE- - 電場能量密度電場能量密度例 3.1.6 P102183.1.5 3.1.5 靜電力靜電力( (虛位移法虛位移法)()(重做重做) )A FlleW虛功原理如下：設(shè)空間一定位形結(jié)構(gòu)的帶電體系，靜電能為 。假想該電荷體系的空間位形結(jié)構(gòu)在靜電力作用下發(fā)生小的虛位移 ，靜電力作的虛功為： (力為廣義力) 該虛功等于電荷體系能量的減少eeeWWW

16、eeeAWWW 若系統(tǒng)與外界電源相連，外界電源供給的能量為 sdW則該系統(tǒng)的能量關(guān)系為 siiedWFdgdWleW例3.1.719 例例 如例如例 3.9.2 3.9.2 中部分填充介質(zhì)的同軸線，求介質(zhì)與空氣中單位長度內(nèi)的電場中部分填充介質(zhì)的同軸線，求介質(zhì)與空氣中單位長度內(nèi)的電場能量。（教材例能量。（教材例3.12.1) 3.12.1) ab0121 解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體電位解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體電位 外導(dǎo)體電位外導(dǎo)體電位 ，則同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度的能量則同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度的能量 1U201 1221111222eWqqqU由例由例 3.9.2 3.9.2 可知，內(nèi)導(dǎo)體表面單位長度的電荷

17、可知，內(nèi)導(dǎo)體表面單位長度的電荷11012/lnlbqUa所以所以221010112/ln22ebWUCUa121/lnrbUa rEEe 由例由例 3.9.2 3.9.2 可知，介質(zhì)和空氣可知，介質(zhì)和空氣中的電場強(qiáng)度相等中的電場強(qiáng)度相等于是介質(zhì)中的能量密度、能量于是介質(zhì)中的能量密度、能量2112111/ln22ebwEUa r220102111/ln22ebwEUa r12110211/12d d2lnbaebWE r rUa空氣中的能量密度空氣中的能量密度、能量、能量122022210012/ln1d22dbaeEbWar rU 203.2 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電

18、場分析 恒定電流空間存在的電場，稱為恒定電場。恒定電流空間存在的電場，稱為恒定電場。 恒定電場中的二個基本變量為電流密度恒定電場中的二個基本變量為電流密度 和電場強(qiáng)度和電場強(qiáng)度 。 J r E r 描述恒定電場基本特性的第一個方程是電流連續(xù)性方程，即描述恒定電場基本特性的第一個方程是電流連續(xù)性方程，即d0SJS0J或或 電流恒定時，電荷分布不隨時間變化，恒定電場同靜電場具有相同的性質(zhì)。因電流恒定時，電荷分布不隨時間變化，恒定電場同靜電場具有相同的性質(zhì)。因此描述恒定電場基本特性的第二個方程為此描述恒定電場基本特性的第二個方程為d0lEl0E或或 實(shí)驗證明，導(dǎo)電媒質(zhì)中電流密度與電場強(qiáng)度成正比，即實(shí)

19、驗證明，導(dǎo)電媒質(zhì)中電流密度與電場強(qiáng)度成正比，即JE 稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率。稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率。21 要想在導(dǎo)電媒質(zhì)中維持恒定電流，必須依靠要想在導(dǎo)電媒質(zhì)中維持恒定電流，必須依靠非靜電力非靜電力將將B極板的正電荷極板的正電荷q抵抗電抵抗電場力搬到場力搬到A極板。極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。因此因此0EElElEl() dddeelll Ee 是非保守場。是非保守場。()eJEE 設(shè)局外場強(qiáng)為設(shè)局外場強(qiáng)為eE設(shè)局外場強(qiáng)為設(shè)局外場強(qiáng)為 ，則電源電動勢為，則電源電動勢為d(V)elElqefEe電源電動勢與有無外電

20、路無關(guān)，它是表示電源本身的特征量電源電動勢與有無外電路無關(guān)，它是表示電源本身的特征量。則則22與靜電場的討論類似，由與靜電場的討論類似，由 可引入恒定電場的電位函數(shù)可引入恒定電場的電位函數(shù) 0E一、恒定電場的電位一、恒定電場的電位20E0JJE由由二、恒定電場的邊界條件二、恒定電場的邊界條件12120nnJJ或n JJ12120ttEE或nEE若用電位表示若用電位表示121212nn1J2J12n12 將恒定電場的基本方程將恒定電場的基本方程 、 分別用于二種不同導(dǎo)電媒分別用于二種不同導(dǎo)電媒 質(zhì)的分界面上，與推導(dǎo)靜電場邊界條件方法類似，可導(dǎo)出恒定電場的邊界條件。質(zhì)的分界面上，與推導(dǎo)靜電場邊界條

21、件方法類似，可導(dǎo)出恒定電場的邊界條件。d0SJSd0lEl1122tantan23Uzrab 解：設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體是解：設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體是理想導(dǎo)體，則導(dǎo)體內(nèi)理想導(dǎo)體，則導(dǎo)體內(nèi) ，導(dǎo)體表面是導(dǎo)體表面是等位面等位面，于是漏電，于是漏電介質(zhì)中的介質(zhì)中的電位只是徑向電位只是徑向r 的函數(shù)的函數(shù)，柱坐標(biāo)系下拉普拉斯方程為柱坐標(biāo)系下拉普拉斯方程為0zE 1 dd0ddrr rr其通解其通解lnArB邊界條件為邊界條件為0r ar bU得得 /lnlnbbrUar 導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場強(qiáng)度導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場強(qiáng)度 d/ lndrrbrU rraEee電流密度電流密度/ lnrbU raJEe單位長度上的漏電流單位長

22、度上的漏電流022/lnbIrJUa 單位長度上的漏電導(dǎo)單位長度上的漏電導(dǎo)002/lnIbGUa 例例 同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和和b，填充的介質(zhì)填充的介質(zhì) ，具有漏電，具有漏電現(xiàn)象。同軸線外加電源電壓為現(xiàn)象。同軸線外加電源電壓為U，求漏電介質(zhì)內(nèi)的，求漏電介質(zhì)內(nèi)的 和單位長度的漏電電和單位長度的漏電電導(dǎo)導(dǎo). .0、 、EJ24 例例 0.2 一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為 和和 外外加電壓加電壓U，介質(zhì)分界面上的自由電荷密度。，介質(zhì)分界面上的自由電荷密度。( (教材例教材例3.10.2)3.10.

23、2)11、22、 解：設(shè)電容器極板為理想導(dǎo)體，故解：設(shè)電容器極板為理想導(dǎo)體，故極板是等位面，電流沿極板是等位面，電流沿z方向。方向。由邊界條件由邊界條件12nnJJ得得12JJJ相應(yīng)的電場相應(yīng)的電場11112222JJEJJE外加電壓外加電壓U 等于等于12121 12212ddUUUEdE dJ得得11212ddJU于是于是11111DEJ22222DEJU1d2d11, 22, zo由邊界條件由邊界條件12nnDD1111DJ上極板上極板 的自由電荷面密度的自由電荷面密度0z 下極板下極板 的自由電荷面密度的自由電荷面密度12zdd2222JD介質(zhì)分界面介質(zhì)分界面 上的自由電荷上的自由電荷

24、 1zd211 22 121212 112DDUdJd 253.3 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析 實(shí)驗表明，導(dǎo)體中有恒定電流通過時，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒實(shí)驗表明，導(dǎo)體中有恒定電流通過時，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中質(zhì)中 ，不僅有，不僅有恒定電場恒定電場 ，同時還有不隨時間變化的磁場，同時還有不隨時間變化的磁場 ，簡稱，簡稱 恒恒定磁場定磁場。263.3.1 3.3.1 恒定磁場分析的基本變量及方程恒定磁場分析的基本變量及方程 第第2 2章中已由安培力定律引入了恒定電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度章中已由安培力定律引入了恒定電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度03dd4IRlRB 任意電流閉合回路任意電流閉合回路c

25、 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 03d4cIRlRB 定義任意電流閉合回路定義任意電流閉合回路c 產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度 301d4cIRBlRH 關(guān)系式關(guān)系式 稱為真空的磁特性方程或本構(gòu)關(guān)系。稱為真空的磁特性方程或本構(gòu)關(guān)系。 0BH 恒定磁場的源變量是電流密度矢量恒定磁場的源變量是電流密度矢量 J r真空中磁場的基本方程真空中磁場的基本方程d0SBS0Bd lIHlHJ27a a 例例 半徑為半徑為a 的無限長直導(dǎo)體通有電流的無限長直導(dǎo)體通有電流I，計算導(dǎo)體內(nèi)外的基本場變量，計算導(dǎo)體內(nèi)外的基本場變量 H r 解：很顯然，場變量與座標(biāo)解：很顯然，場變量與座標(biāo) 無關(guān)，磁感應(yīng)線是圓心在導(dǎo)

26、線軸上的一簇同無關(guān)，磁感應(yīng)線是圓心在導(dǎo)線軸上的一簇同心圓。由基本方程心圓。由基本方程,z dcIH rl而而 dd2ccH rHrH rlI是回路是回路c c所包圍電流的代數(shù)和所包圍電流的代數(shù)和當(dāng)當(dāng)ra故有故有222rHrIa 得得22IHra當(dāng)當(dāng)ra得得2IHrHaror r1c回路回路 所包圍的電流所包圍的電流2222IIrrIaa1cr r2c回路回路 所包圍的電流所包圍的電流II2c設(shè)電流設(shè)電流 均勻分布于導(dǎo)體橫截面均勻分布于導(dǎo)體橫截面I28HJ代入矢量磁位矢量磁位BA3.3.2 3.3.2 矢量磁位矢量磁位 為了簡化磁場的求解，通常采用間接方法。為了簡化磁場的求解，通常采用間接方法。

27、 由磁場的散度為零，引入矢量磁位。由磁場的散度為零，引入矢量磁位。 利用磁場的旋度方程導(dǎo)出矢量磁位滿足的微分方程。利用磁場的旋度方程導(dǎo)出矢量磁位滿足的微分方程。0B由由0 A其單位為其單位為Tm（特（特米）或米）或Wb/m（韋（韋/ /米）米）得得01AJ即即20AAJ得得20AJ矢量位的泊松方程矢量位的泊松方程規(guī)定其散度規(guī)定其散度0A（庫侖規(guī)范）（庫侖規(guī)范）29在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中20AJ可分解為三個標(biāo)量泊松方程可分解為三個標(biāo)量泊松方程202020 xxyyzzAJAJAJ其解其解000d4d4d4xxxyyyzzzJACRJACRJACR于是，矢量位滿足的泊松方程的解為于是，矢量位

28、滿足的泊松方程的解為0d4JACR體電流體電流 、面電流、面電流 、線電流、線電流dJdsSJdI l產(chǎn)生的矢量位分別為產(chǎn)生的矢量位分別為000d,d,d44ddd4sISJAARRlAJR30例例 求無限長直線電流的矢量位求無限長直線電流的矢量位A 磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度B。2l2ld z,0,P rzArzxo解：首先計算一根長度為解：首先計算一根長度為 的長直線電流的長直線電流I產(chǎn)生的矢量位。產(chǎn)生的矢量位。l04ddIlAR由線電流的矢位計算公式由線電流的矢位計算公式01/222d d4zIzrzzAeR積分可得積分可得2220021/222221/22201/222d ln4422ln4

29、22llzzllzIIzzzzzrrzzllzzrIllzzrAeee311/222001/2222022ln422lnn24lzzzIlllrIllrIlrr eAee當(dāng)當(dāng) 時時l 若若 ，則，則 l A這時可在這時可在A 的表達(dá)式中附加一個常矢量的表達(dá)式中附加一個常矢量00ln2xIrlCe則則000002lnl2ln2nzzzIIrlrlIrrAeCee磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度B 等于等于02zIArrBAee磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度H H 等于等于02IrBHe與直接積分所得的結(jié)果相同與直接積分所得的結(jié)果相同32例例 磁偶極子的矢量位和標(biāo)量位磁偶極子的矢量位和標(biāo)量位 一面積為一面積為S, ,通以電

30、流通以電流I 的小圓電流環(huán)稱為磁偶極子，定義矢量的小圓電流環(huán)稱為磁偶極子，定義矢量 為磁偶極子的為磁偶極子的磁偶極矩磁偶極矩。mIPSRrdIdlaxyz, ,0P r202sin4a IArAee考慮考慮mIPS2za Ie得得002144mrmrrpepA磁偶極子磁偶極子 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度mp0003144mmmrrBAPP r產(chǎn)生的合成矢位只有產(chǎn)生的合成矢位只有 分量分量 如圖建立坐標(biāo)系，與如圖建立坐標(biāo)系，與x 軸對稱的兩個電流元軸對稱的兩個電流元 在考在考察點(diǎn)察點(diǎn), ,0P rdI l2dA1dAey式中式中34mmrpr稱為磁偶極子的標(biāo)量位稱為磁偶極子的標(biāo)量位0mBH

31、磁場的另一基本變量磁場的另一基本變量330H在恒定磁場無電流區(qū)域在恒定磁場無電流區(qū)域mHmLdHlm標(biāo)量磁位，單位：標(biāo)量磁位，單位：A（安培）。（安培）。 標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位 僅適合于無自由電流區(qū)域，且無物理意義。僅適合于無自由電流區(qū)域，且無物理意義。m標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位 的特點(diǎn)：的特點(diǎn)：m標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位 標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位 滿足的微分方程滿足的微分方程 m20m 標(biāo)量磁位滿足的邊界條件標(biāo)量磁位滿足的邊界條件 121212,mmmmnn343.3.3 3.3.3 電感電感 在線性介質(zhì)中，一個電流回路在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的在線性介質(zhì)中，一個電流回路在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的 B與電流成正比，因而穿與電流成正

32、比，因而穿過任意回路的磁通過任意回路的磁通 也與電流成正比；若一回路由也與電流成正比；若一回路由N匝導(dǎo)線繞成，則總磁通是各匝匝導(dǎo)線繞成，則總磁通是各匝磁通之和，成為磁鏈，用磁通之和，成為磁鏈，用 表示。且可近似為表示。且可近似為N1c2coR2r1r 當(dāng)磁場由自身回路的電流當(dāng)磁場由自身回路的電流產(chǎn)生則回路磁鏈與電流之比產(chǎn)生則回路磁鏈與電流之比LI稱為稱為自感系數(shù)自感系數(shù)，簡稱，簡稱自感自感，單位為單位為H（亨）（亨） 第第1 1回路電流回路電流 產(chǎn)生的磁場與產(chǎn)生的磁場與第二回路交鏈的磁鏈為第二回路交鏈的磁鏈為 ，則比，則比值值1I1212121MI稱為稱為互感系數(shù)互感系數(shù)，簡稱，簡稱互感互感，

33、單位仍為，單位仍為H H 同樣，第同樣，第2 2回路電流回路電流 產(chǎn)生的磁場與第產(chǎn)生的磁場與第一回路交鏈的磁鏈為一回路交鏈的磁鏈為 ，其比值同樣稱為，其比值同樣稱為互感系數(shù)互感系數(shù)2I2121212MI 自感與互感都僅取決于回路的形狀、尺自感與互感都僅取決于回路的形狀、尺寸、匝數(shù)和介質(zhì)的磁導(dǎo)率?；ジ羞€與兩個回寸、匝數(shù)和介質(zhì)的磁導(dǎo)率?；ジ羞€與兩個回路的相互位置有關(guān)。路的相互位置有關(guān)。35o1c2cR2r1r兩個單匝回路的互感兩個單匝回路的互感設(shè)回路設(shè)回路1 1通過電流通過電流1I21212122dcAl而而10 1112d4cIRlA所以所以210121212dd4ccR ll210121212

34、1dd4ccMIR ll同理同理1202121212dd4ccMIR ll由此可見由此可見1221MM諾伊曼公式諾伊曼公式2c1c單匝回路的自感單匝回路的自感 對于單匝回路，可將電流對于單匝回路，可將電流看作集中于軸線回路看作集中于軸線回路 上，而上，而將計算磁通的回路取作導(dǎo)線邊將計算磁通的回路取作導(dǎo)線邊緣的回路緣的回路 ，應(yīng)用諾伊曼公式，應(yīng)用諾伊曼公式計算自感為計算自感為1c2c21012dd4ccLIR ll36與電流與電流2222IrrIaa交鏈交鏈 以上計算的自感只考慮了以上計算的自感只考慮了導(dǎo)線外部的磁通，故稱為外自導(dǎo)線外部的磁通，故稱為外自感；在導(dǎo)線內(nèi)部的磁力線同樣感；在導(dǎo)線內(nèi)部的

35、磁力線同樣套鏈著電流，其磁鏈與電流比套鏈著電流，其磁鏈與電流比值定義為內(nèi)自感。值定義為內(nèi)自感。2Sa 假設(shè)單匝回路，其橫截面積假設(shè)單匝回路，其橫截面積導(dǎo)線內(nèi)的磁場導(dǎo)線內(nèi)的磁場2222d2122cIHrraIHraIra HlHeeBHe穿過圖中面積的磁通為穿過圖中面積的磁通為dddB SBl r穿過圖中面積的磁鏈為穿過圖中面積的磁鏈為2222234ddd2d2rrIlr raaaIlr ra340d28aIllr rIa長度為長度為l一段圓截面導(dǎo)線一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為的內(nèi)自感為8lLarIBdrl370011d2()D aaIxxDx0lnID aa000lnlnD aDLIaa總自感為總

36、自感為00ln4DLa 例例 .1 求雙線傳輸線單位長度的自感。導(dǎo)線半徑為求雙線傳輸線單位長度的自感。導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線間距，導(dǎo)線間距離離 ，如圖所示。（教材例，如圖所示。（教材例.1）DayxxDdx解：由解：由dIHl得二導(dǎo)線在得二導(dǎo)線在x 處產(chǎn)生的磁場分別為處產(chǎn)生的磁場分別為12,22yyIIxDxHeHe總的磁感應(yīng)強(qiáng)度總的磁感應(yīng)強(qiáng)度002112yIxDx1BHHe單位長度的外自感為單位長度的外自感為單位長度的內(nèi)自感為單位長度的內(nèi)自感為000284L穿過面積穿過面積 的磁通的磁通d 1x381Njjk kkM i而回路而回路j 的磁鏈為的磁鏈為111ddN

37、NNmjjjk kjjkWWi M i3.3.4 3.3.4 磁場能量磁場能量 電流回路系統(tǒng)的能量是建立電流過程中由電源供給的。電流回路系統(tǒng)的能量是建立電流過程中由電源供給的。 當(dāng)電流從零增加時回路感應(yīng)電動勢將阻止電流的增加，外加電壓須克服感應(yīng)電動當(dāng)電流從零增加時回路感應(yīng)電動勢將阻止電流的增加，外加電壓須克服感應(yīng)電動勢勢 而作功，使回路能量增加。而作功，使回路能量增加。 若所有回路固定，且忽略焦耳損耗，則電源作功將全部變?yōu)殡娏骰芈废到y(tǒng)的磁場若所有回路固定，且忽略焦耳損耗，則電源作功將全部變?yōu)殡娏骰芈废到y(tǒng)的磁場能量，這時回路上的外加電壓和回路中的感應(yīng)電動勢大小相等方向相反。能量，這時回路上的外加

38、電壓和回路中的感應(yīng)電動勢大小相等方向相反。回路回路j 中的感應(yīng)電動勢為中的感應(yīng)電動勢為jjt外加電壓外加電壓jjjutdt 時間內(nèi)與回路時間內(nèi)與回路j 相連相連的電源所作的功的電源所作的功ddddjjjjjjjWu qi tit若系統(tǒng)包含若系統(tǒng)包含N個回路，增加的磁場能量為個回路，增加的磁場能量為11dddNNmjjjjjWWi互感系數(shù)互感系數(shù),jjjkjkj ML自感系數(shù)自感系數(shù)39假設(shè)所有回路中的電流同時從零開始以百分比假設(shè)所有回路中的電流同時從零開始以百分比 同比例增加，即同比例增加，即 jjit I則則ddkkiI，于是，于是11ddNNmjjkkjjWI M I 充電過程完成后，系統(tǒng)

39、的總磁場能量充電過程完成后，系統(tǒng)的總磁場能量1111101dd2NNNNmmjkj kjkj kjjjjWWM I IM I I 例例21111 1111222221 11 11 2122111:,2112:,22mmNML WLIMLNMLWLILIMI IMMM單回路單回路雙回路雙回路用場量表示該磁場能量用場量表示該磁場能量1d2mWH B單位體積的磁場能量稱為磁場能量密度單位體積的磁場能量稱為磁場能量密度22111222mBwHH B40例例 0.1 求無限長同軸線單位長度內(nèi)的磁場能量，如圖所示。求無限長同軸線單位長度內(nèi)的磁場能量，如圖所示。( (教材例教材例5.10.1)5.10.1)abcII解：解：在在 的區(qū)域的區(qū)域ra222122I rIrara1Hee在在 的區(qū)域的區(qū)域arb 22IrHe在在 的區(qū)域由基本方程的區(qū)域由基本方程brc 3dlIHl2222322222IcrrHIrbIcbcb 2222