《高等數(shù)學基礎》作業(yè)

1、高等數(shù)學基礎成性考核冊專業(yè)：建邕學號：姓名：生萱河北廣播電視大學開放教育學院（請按照順序打印，并左側(cè)裝訂）17高等數(shù)學基礎形考作業(yè)1:函數(shù)極限與連續(xù)（一）單項選擇題L下列各函數(shù)對中，（C ）中的兩個函數(shù)相等.A. f (x) (Vx)2 , g(x)B. f(x)g(x)3,、C. f (x) ln x , g (x)3ln x D. f (x)g(x)x2 1x 12.設函數(shù)f（x）的定義域為（),則函數(shù)f (x) f(x）的圖形關(guān)于（C對稱.A.坐標原點c. y軸3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B.D.B ) .,，2、A. y ln(1 x )B.xcosxx xa aC.yD.ln(1x)4

2、.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（CA. y x 1B.C. y xD.1,1,5.下列極限存計算不正確的是（A.limx2x-2-1x2B.lim ln(1 x) x 0C.limxsinx 八 0D.limxsin-xo時，變量（c ）是無窮小量.A.sin xC.x1xsin 一 x1B. xD. ln(x 2)7.若函數(shù)f （x）在點x0滿足（）,則f （x）在點xo連續(xù)。A. lim f (x) f (x0)X xoB. f （x）在點xo的某個鄰域內(nèi)有定義C. lim f (x)f (x0)x xoD. lim f (x) lim f (x)x xox xo（二）填空題x 9L函數(shù)f

3、(x) ln(1 x)的定義域是 X > 3.x 32.已知函數(shù) f (x 1) x2 x,則 f(x) '.11 x3. lim (1 ). x 2xi4.若函數(shù)f(x)(1 x)x， x °,在x 0處連續(xù)，則k ex k, x 0 x 1 , x 0、一 c5 .函數(shù)y的間斷點是x 0.sin x, x 06 .若lim f(x) A,則當x x0時，f(x) A稱為 無窮小量。x x0(三)計算題L設函數(shù)f(x)求：f( 2), f(0), f(1).解.y(-2)= -2 "0) = 0 f。)=m=c2x 12.求函數(shù) y |g的定義域.x2v -

4、 1解，欲使的數(shù)有意義，必使旭三>0, x7 v _ 1即 : >1 亦即, -1 > xX解得函數(shù)的定義域是.底邊的兩個端點在半圓上,3.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另 試將梯形的面積表示成其高的函數(shù).解：設梯形的高CMf,則QA/=曲- -梯形的上底DC二2,7;二/ ,下底公=2尺則梯形的面積(“R，- - +2R)ts = 7二(VA* - x2 + 我)工 (0 < x < R)sin3x4.求 limx 0sin2x解二一 sin 3xli in原式=乂 J3M2 一 siii2x lim工一 c 2x5.求 limx

5、一1x 1 sin(x 1)解:原式二 lim =工-i §in(g L)x +1lim(.r -1)jr->i. sin(x +1)li m t+i x + 1tan3xsin 3 1鈿 rc。53 T3r 敏力尤1 3r sin 3.x1, 1,I? ： hm = 311111x= 3 limx lim 3 xl x- = 3J。 x jg 3x cos3r x-*c 3工cos3.x17.求 lim x 0 sin x解：原式二十工 十 D_lim _匚乂 lim J =0x1 = 03(4 + Y +l)5i口工3 J1 +1 +1 = smxx 3&求 lim

6、( xx + 3 I 工-工x + 3 J彳 + 3,2 x6x 85x 49 .求 limx 4解：原式二lim > 一“心一工)=Hm 土2 =三J4 G -4)(x -1) x - 1310 .設函數(shù)(x 2)2 , x 1f (x) x ,1 x 1x 1 , x 1討論f(x)的連續(xù)性。解：先看函數(shù)在分段點工=-1處的情況， lim F(x)= Hm &- D = -1 十 i = °r-4-l-工一lim/Cv) = limv = -lTT-L+X-r-lin /G)f11nl /Gr)，故山h /不存在,XT一廠x-f-Tr-l，苒=1為函數(shù)/(r)的間斷

7、點。再看函數(shù)在分段點工=1處的情況，lin f( Q = lim x =1lin Z(T) = lim。一 獷 t可 丁4工 I，''- lim /(工)=Ijni/，故 lim /(工)=1 cKT 廠JCtTJ-frl又因為/二Ri二1所以lim 苒)=f故* = 1是國數(shù)f (工)的連續(xù)點“函數(shù)/(工)在逑續(xù)區(qū)間是：(匚1)31#工3 高等數(shù)學基礎作業(yè)2:第3章導數(shù)與微分(一)單項選擇題l設f(0) 0且極限limf® 存在，則limf(x) ( B ) x 0 xx 0 xA. f (0)B. f (0)C. f (x)D. 0f(x0 2h) f(x0),、

8、2.設 f(x)在 x0 可導，則 lim 0-LL ( D )h 0 2hB. f (x。)A. 2 f (x0)C. 2f (x°)3.設 f (x)A. eD. f(x0)xf (1 x) f(1)e ,則 lim x 0 xC11B. 2e C. -e d. -e244.設 f(x) x(x 1)(x 2)(x 99),則 f (0)A. 99 B. 99 C. 99!D. 99!5.下列結(jié)論中正確的是(A.若f(x)在點Xo有極限，則在點 Xo可導.B.若f(X)在點Xo連續(xù)，則在點Xo可導.C.若f (x)在點Xo可導，則在點Xo有極限.D.若f (x)在點Xo有極限，則

9、在點Xo連續(xù). (二)填空題21一x sin, x 0L設函數(shù)f(X)X，則f o .0, x 02 lii j + 51 、八 一 X、 2x _ X df (ln x)丫2 .設 f(e ) e 5e ,貝Udx3 .曲線f (x) Jx 1在(1,2)處的切線斜率是1/2。4.曲線f(X)，冗,、sinx在(萬，1)處的切線方程是y=1o5.設yx2x,則 yxi2In l16.設y xln x,則y 工 (三)計算題L求下列函數(shù)的導數(shù) y y (x . x 3)ex&3 ；：解；yf = (H/ + 3/y = -+工建” + 3五 y cot x x2 In x, CO Sk

10、Tr f /解：y =(+.V1HA；)=(-sin x an x - cosx cosy _ , 十 2甯Iny sin r -+ 2rlii -xsin工ln x解:工(2山工一 1)In % ln: xxy3xcosx 2心 ln x x2y sin x1 ,( -2.r) sin x - cosfhir解: 丁 二 .“sin F (1 - 2L)4n x - xcos(lnx - a2)x sin 二(6) y x4 sin xln x，1 sinxv = 4x -(cos r xIiia -fX3sinx=4x - cos x x I iu2 sin x x3x解：丫(cosy +

11、 2x)T - 3X ln3(sin.x + ,v2)cosx + 2x - In 3(sinx f L)3r y ex tan x in x1解：y* = R * tan.r ；)-“cos- x xex (sinx cosx +1) 1-11cos' r x2 .求下列函數(shù)的導數(shù) y :y ex12 y Incosx/八2 y sin x解； 因為 y = 2siu x vos = siu 2x2 y sin x解二)二cosx: -2x = Ixcosr if2一 X(6)y cose解, F=sineJ/= -ex sinJ y sin n xcosnx解；yr = (sin&

12、quot; xycoswx+sin" x*(cosnxy= wsiii .v-casx cos?7x+sinHx(sin?7x)k ?= wsin x(cos.rcos?xsinxsin5sin x解工設J = 5"?/ = sinxi，'= i-' .ur =5L 1115*cos,r = In5 - 55tflT *cosvJ *- v. Xcosxy e解：設y=*= co sxyf = y：以；= 2” .(就 x) = sinx3 .在下列方程中，y yX )是由方程確定的函數(shù)，求 y ycosx e2y解；將方程兩邊對X求導工vFc o sr -

13、 vsi nt=20"y - vr 產(chǎn)力*移頂 X(cos.r-2：v) = ydn x y cos y In xv sin xcos t 2。"解；將方程兩邊對工求導：yf = (cosv)Un x + c o y(1 u/cq5t-Sill工移項 vf(l + sin r x In x) =所以，/二一至一 .r(l + In .r sin y)2X 2xsin y 一 y解:2sfz?n'4 2 x co sr y-2力町.2xy-2y"simv/ / ，2xvk cosv + 工,F.，(4) y x ln y解：因為: I = 1 -V解得/ =

14、上 V-1 亶 ln x ey y2解；將方程兩邊對K求導;整理得：V,二： if> _廿工x(2y- ) y2 1 ex sin y解；將方程兩邊對K求導；Zv vr = ersin v + 色 cosv -M *z- f 1疝I，整理得；丁二2V - CXCO£V產(chǎn)iZ解：將方程兩邊對X求導,整理得：Vr =-屋一 y 5x 2y解，將方程兩邊對X求導:丁 = 5" 加5 + 22 hi2- V S/整理得j _ 5Jln5J l-2yn2y dx)4.求下列函數(shù)的微分 dy ：（注：dy y cotx cscxiicos xsin2 x解：因為sdn，工 sin

15、x sin" x1 + CCS x = , sdn F41+8SK%所以 小=-：axsin - .rln xsin xsinx - cos.r In.r解：因為 yf -："sin F_ sin x - Kcoe x - In xx sin' .vs、 * sin x - rcos .r Jn.r所以 dv=；dxx sin x2 y sin x解 設 v = ir,訂=sin x * 則承= T：，H；-2u cosx = 2sin.Y cos.r二 sin 2 工所以 本=sin2xdx y tanex解：設：v = tanj/, u = ex JJ則i= r

16、： 可* K X1 r=eCDS U_2 jTcos" e所以dv= ： dxcos' e5.求下列函數(shù)的二階導數(shù)： y xy 3x解；解=3, 3y" = (3x 1113/= 313x1113 y ln x(4)y xsinx解：yr = sin y -i-rcos.Yy" = ( siK + xcosr)" = cos-FCOff-.rsiti:= 2cos-,xsiir(四)證明題設f(x)是可導的奇函數(shù)，試證 f (x)是偶函數(shù).設汽丁)是可導的奇函數(shù)，試證廣00是偶函敷. 證明，因為/(Q是奇函敬，所以 又因為f(Y)可導，函數(shù)了-K

17、)為復合函數(shù)中 時/(-X)= -/(X)兩端對K求導,將I dy一尸即(所以，/根據(jù)偶函數(shù)的定義.是偶圖數(shù)。20高等數(shù)學基礎形考作業(yè)3:第4章導數(shù)的應用24(一)單項選擇題L若函數(shù)f(X)滿足條件(D ),則存在 (a, b),使得f ()f(b) f(a)A.在(a, b)內(nèi)連續(xù)B.在(a , b)內(nèi)可導C.在(a, b)內(nèi)連續(xù)且可導D.在a, b內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導2.函數(shù)f(x)x2 4x 1的單調(diào)增加區(qū)間是( DA.(,2)B. ( 1,1)C. (2,3.函數(shù)4x 5在區(qū)間6, 6)內(nèi)滿足(AA.先單調(diào)下降再單調(diào)上升C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降B.單調(diào)下降D.單調(diào)上升4函數(shù)f(x

18、)滿足f (X)0的點，一定是“*)的(A.間斷點C.駐點B.極值點D.拐點5.設f (x)在(a, b)內(nèi)有連續(xù)的二階導數(shù),xo(a, b),若f (x)滿足( C ),則f(x)在xo取到D. ( 2,)極小值.A. f (xo) 0, f (xo)0B.(xo)0,f (xo)C. f (xo) o, f (xo)oD.(xo )o,f (xo)6.設f(x)在(a, b)內(nèi)有連續(xù)的二階導數(shù),(x)0, f (x) 0,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)是(A )A.單調(diào)減少且是凸的C.單調(diào)增加且是凸的B.單調(diào)減少且是凹的D.單調(diào)增加且是凹的(二)填空題設f (x)在(a, b)內(nèi)可導,xo (a,

19、b),且當 x xo時 f (x)o ,當 xxo 時 f (x) o ,則 xo 是f (x)的 極小值點.2 .若函數(shù)f (x)在點xo可導，且xo是f(x)的極值點，則f (xo)一23 .函數(shù)y ln(1 x )的單調(diào)減少區(qū)間是一一x2 4 .函數(shù)f(x) ex的單調(diào)增加區(qū)間是5 .若函數(shù)f(x)在a,b內(nèi)恒有f (x) 0,則f(x)在a, b上的最大值是f (a) -_36 .函數(shù)f(x) 2 5x 3x的拐點是(0.2)(三)計算題L求函數(shù)y (x 1) (x 5)2的單調(diào)區(qū)間和極值.解I y = -(x + l)2(x - 5)2 + 2(x + l)2(x- 5)= -(x

20、+ l)I(x -5)(3x -15 +4x + 4)1 1= 5(2>(：+ 5)(7 工-lh = O得駐點：x= -1 x=5x=7在U(5,+K)內(nèi)單調(diào)上升，在j 7)內(nèi)單調(diào)下降°極小值是/(5)=022.求函數(shù)y x 2x 3在區(qū)間0, 3內(nèi)的極值點，并求最大值和最小值.2 /_解；Vr =-x2-2xyx-2)= 0 得駐點 x=又當x=0 x=2時v無意義，但原國數(shù)連續(xù)flo)=of(ih 1的)=在X03)1(U2)2Qj)Y無意義+0無意義+V0/極大值 f二1極小值f二。/，最小值R0X2)=0最大值是貢3上我極大值f(l)=1極，J俏f(2)二03.求曲線

21、y2 2x上的點，使其到點 A(2,0)的距離最短.解1=6+改+6 + 4的圖形過點（2,44）和點，且忑=2是駐點.X = I是拐點，r -8.r + 4&-2f+ d = 44 a + b 4c + d = -10 I2a-4b +c = 0< 6口42b = 0a=l-3c= -24 d164 .圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L,問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大?解：設圓柱體的底面半徑為兀,高為人 則卜二尸一工=蟲7淖=11時，圓柱體的體積最大口5 .一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最小?解：設圓柱體的底面半徑為3高為力，丫=不， 則力二

22、£ = 2m由- 2rT = 2然r +2房圓柱體的表面赧最小口k4-3 。6 .欲做一個底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省?解,設長方體底面正方形的邊長為X米，長方體的高為h米,則容積,62耳7 2.5= A 力二七二 xA表面積5 =廣 + ixh = X250250x=5 （米）s = 2xx = 5,A = 2.5時用料最省,（四）證明題L當x 0時，證明不等式x ln（1 x）.證明利用函數(shù)的單調(diào)性證明設了卜)=工一1口(1+1) f (x) = i0?(x > 0)L IX I is 二/(工)在0-兀)內(nèi)單調(diào)憎加，當片>o時，

23、有fk)>f(。)即 /(x) = x-ln(l -pX)>0 . X > ln(l +M)成立2.當x 0時，證明不等式ex x 1.證明 利用函數(shù)的單調(diào)性證明設 /(x)= ex - x - J/ (x) = ex - I > 0,(工 > 0)/./(J在。*注)內(nèi)單調(diào)增加，當k>o時，有/卜)>/(。)即 /(工 1 =靖-x -1 > 0ex > x + 1 成立高等數(shù)學基礎形考作業(yè)4:第5章不定積分 第6章定積分及其應用(一)單項選擇題.一 .1L若f(x)的一個原函數(shù)是 一，則f (x)( D )xA. ln x1B.2x1C.一 x2D. T x2 .下列等式成立的是(D )B. df (x) f (x) C.dD. f(x)dx f(x) dx(B ) .A f (x)dx f (x)d f (x)dx f (x)f (x)dx3 .若 f (x) COSx ,則326A. sin x cC. sin x c4. xC. -f (x) f (x)dx dxB. COSx CD. COSx CB ) .一 3A. f(x3)D. 1f (x3)2 一 3B. x2f(x3)15.右 f(x)dx F (x) c,則f (v'x)dx ( B )1 . F