高等數(shù)學(xué)上第數(shù)列的極限ppt課件

1、 第一章 二二 、收斂數(shù)列的性質(zhì)、收斂數(shù)列的性質(zhì) 三三 、極限存在準(zhǔn)則、極限存在準(zhǔn)則 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義 第二節(jié)第二節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述:r一一 、數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的定義引例引例. 設(shè)有半徑為 r 的圓 ,nA逼近圓面積 S .n如下圖 , 可知nAnnnrcossin2),5,4,3(n當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí), nA無(wú)限逼近 S (劉徽割圓術(shù)) , ,0,N正整數(shù)當(dāng) n N 時(shí),SAn用其內(nèi)接正 n 邊形的面積總有劉徽 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 定義定義: 自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作)(nfxn或.nxnx稱

2、為通項(xiàng)(一般項(xiàng)) .若數(shù)列nx及常數(shù) a 有下列關(guān)系 :,0,N正數(shù)當(dāng) n N 時(shí), 總有記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .幾何解釋 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn則稱該數(shù)列nx的極限為 a ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢(shì)不定收 斂發(fā) 散機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例1. 知知,) 1(nnxnn證明

3、數(shù)列nx的極限為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因而 , 取, 1N則當(dāng)Nn 時(shí), 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例2. 知知,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N則當(dāng)Nn 時(shí), 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 與 有關(guān), 但不唯一.不一定取最小的 N .說(shuō)明說(shuō)明: 取11N

4、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例3. 設(shè)設(shè),1q證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因而 , 取qNlnln1, 則當(dāng) n N 時(shí), 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的極限為 0 . 1nq機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 23baab22abnabax二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證證: 用反證法用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當(dāng) n N2

5、時(shí), 有2banx1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng) n N1 時(shí), 2ba2ab2ab假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng) n N 時(shí), ,max21NNN 取故假設(shè)不真 !nx滿足的不等式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例4. 證明數(shù)列證明數(shù)列),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的. 證證: 用反證法用反證法.假設(shè)數(shù)列nx收斂 , 則有唯一極限 a 存在 .取,21則存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 與1 , ),(2121aa內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在21a21aa長(zhǎng)度為 1 的開(kāi)區(qū)

6、間 使當(dāng) n N 時(shí) , 有因此該數(shù)列發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界.證證: 設(shè)設(shè),limaxnn取,1,N那么當(dāng)Nn 時(shí), 從而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1則有. ),2,1(nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界.說(shuō)明說(shuō)明: 此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立 . 例如,1)1(n雖有界但不收斂 .aaxn)(, 1axn有數(shù)列機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 3. 收斂數(shù)列的保號(hào)性收斂數(shù)列的保號(hào)性.假設(shè),limaxnn且0a,NN則Nn 當(dāng)時(shí), 有0nx, )0(. )0(證證: 對(duì) a 0 , 取,2a,NN則

7、,時(shí)當(dāng)Nn axn2anx02aaax2a2a推論推論: 若數(shù)列從某項(xiàng)起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 *,axkn4. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .證證: 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列knx是數(shù)列nx的任一子數(shù)列 .假設(shè),limaxnn那么,0,N當(dāng) Nn 時(shí), 有axn現(xiàn)取正整數(shù) K , 使,NnK于是當(dāng)Kk 時(shí), 有knKnN從而有由此證明 .limaxknk*NKnNxKnx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 三、極限存在準(zhǔn)則三、極限存在準(zhǔn)則由此性質(zhì)可知 , 若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限

8、,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx發(fā)散 !夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則; 柯西審斂準(zhǔn)則 .則原數(shù)列一定發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 說(shuō)明說(shuō)明: azynnnnlimlim)2(1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 (準(zhǔn)則準(zhǔn)則1) (P49),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件 (2) ,0,1N當(dāng)1Nn 時(shí),ayn當(dāng)2Nn 時(shí),azn令,max21NNN 則當(dāng)Nn 時(shí), 有,ayan,azan由條件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例5. 證明證明11211l

9、im222nnnnnn證證: 利用夾逼準(zhǔn)則利用夾逼準(zhǔn)則 .nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準(zhǔn)則準(zhǔn)則2 ) ( P52 ) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例6. 設(shè)設(shè), ),2, 1()1 (1nxnnn證明數(shù)列nx極限存在 . (P52P54)證

10、證: 利用二項(xiàng)式公式利用二項(xiàng)式公式 , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比較可知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

11、 下頁(yè) 返回 完畢 根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列nx記此極限為 e ,ennn)1 (lim1 e 為無(wú)理數(shù) , 其值為590457182818284. 2e即有極限 .原題 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n*3. 柯西極限存在準(zhǔn)則柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理柯西審斂原理) (P55)數(shù)列nx極限存在的充要條件是:,0存在正整數(shù) N ,使當(dāng)NnNm,時(shí),mnxx證證: “必要性必要性”.設(shè),limaxnn那么,0NnNm,時(shí), 有 使當(dāng),2axn2axm因而mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性”

12、證明從略 .,N有柯西 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性 ; 有界性 ; 保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3. 極限存在準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則 ; 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ; 柯西準(zhǔn)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個(gè)趨于的子數(shù)列;方法2. 找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim時(shí), 下述作法是否正確? 說(shuō)明理由.設(shè),limaxnn由遞推式兩邊取極限得aa211a不對(duì)不對(duì)!此處nnxlim機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

13、返回 完畢 作業(yè)作業(yè)P30 3 (2) , (3) , 4 , 6P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示:222nx12nx可用數(shù)學(xué)歸納法證 2nx第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 故極限存在，備用題備用題 1.1.設(shè)設(shè) )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：設(shè)Axnnlim則由遞推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故axnnlim利用極限存在準(zhǔn)則,0nx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2. 設(shè)設(shè),

14、),2, 1(0iai證證: 顯然,1nnxx證明下述數(shù)列有極限 .)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nnaaaaaaaaanx),2, 1(n即nx單調(diào)增, 又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1)nkkaa211)1 ()1 (1)1 ()1 (11kaa )1 ()1 (111naa1nnx lim存在“拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 法法劉徽劉徽(約約225 295年年)我國(guó)古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家. 他撰寫(xiě)的對(duì)中的方法和公式作了全面的評(píng) 注, 指出并糾正了其中的錯(cuò)誤 , 在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué) 理論上作出了杰出的貢獻(xiàn) . 他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率 “ 割之彌細(xì)割之彌細(xì) , 所失彌小所失彌小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,則與圓合體而無(wú)所失矣則與圓合體而無(wú)所失矣 ”它包含了