第2節(jié)：函數(shù)解析的充要條件

1、第第二二章章 解析函數(shù)解析函數(shù)第第2節(jié)節(jié) 函數(shù)解析的充要條件函數(shù)解析的充要條件復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件復(fù)變函數(shù)解析的充要條件復(fù)變函數(shù)解析的充要條件定理一定理一: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)有定內(nèi)有定義義, 則則 f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z=x+iyD可導(dǎo)的充要條件是可導(dǎo)的充要條件是: (1) u(x,y)與與v(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)可微可微, 且且(2) 在該點(diǎn)滿足在該點(diǎn)滿足柯柯西西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程 (簡稱為簡稱為C-R方程方程) :, uvuvxyyx 定理二定理二: 函數(shù)函數(shù) f(z)=u(x,

2、y)+iv(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析(可導(dǎo)可導(dǎo))的充要條件是的充要條件是: (1) u(x,y)與與v(x,y)在在D內(nèi)可微內(nèi)可微, 并且并且(2) 在在D內(nèi)滿足柯西內(nèi)滿足柯西-黎曼方程黎曼方程(*)式式.1( )uvuvfzixxiyy 這這時(shí)時(shí)(*)注注: (1) 如如函數(shù)函數(shù) f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)不滿足不滿足C-R方程方程, 則則 f(z) 在在D內(nèi)不解析；內(nèi)不解析；11, uvvurrrr (2) 如如u(x,y)與與v(x,y)中至少有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在中至少有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)不內(nèi)不 存在存在, 則則 f(z)在在D內(nèi)不解析；內(nèi)不解析；(3) 如如函數(shù)函數(shù) f(z)在在D內(nèi)

3、內(nèi)滿足滿足C-R方程方程, 且且u(x,y)與與v(x,y) 在在D內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則則 f(z)在在D內(nèi)解析內(nèi)解析.(4) C-R方程方程在極坐標(biāo)下的形式為在極坐標(biāo)下的形式為書書P67:9:例例1. 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo)判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析在何處解析:1) ( )2 ;f zxiy1,0,uuxy解解. 1) 因?yàn)橐驗(yàn)?u=x, v=2y, 不滿足不滿足C-R方程方程, 所以所以 f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo), 處處不解析。處處不解析。22) ;wz 2223) ( )(2).f zxyxixyy0,2vvxy4) ( )e

4、(cossin ).xf zyiy 2) 由由 f(z)= |z|2 =x2+y2, 得得 易知這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)易知這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù), 但僅當(dāng)?shù)珒H當(dāng)x=y=0時(shí)時(shí), 它它們才滿足們才滿足C-R方程方程, 因而因而u=x2+y2, v=0, 所以所以2 ,2 ,uuxyxy0,0vvxy函數(shù)僅在函數(shù)僅在z=0處可導(dǎo)處可導(dǎo), 且且但在復(fù)平面內(nèi)處處不解析但在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.(0)0.f 3) 由由 f(z)= x2-y2-x+i(2xy-y2), 得得 易知這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)易知這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù), 但僅當(dāng)?shù)珒H當(dāng)y=1/2時(shí)時(shí), 它它們才滿足們才滿足C-R方程方程, 因而因而u=x2

5、-y2-x , v=2xy-y2, 所以所以21,2 ,uuxyxy 2 ,22vvyxyxy 函數(shù)僅在函數(shù)僅在y=1/2處可導(dǎo)處可導(dǎo), 但在復(fù)平面內(nèi)處處不解析但在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.因?yàn)橐驗(yàn)?u=excos y, v=exsin y,4) ( )e (cossin ).xf zyiy e cos ,xuyxe sin ,xuyy e sin ,xvyxe cos ,xvyy 上面四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)上面四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù), 且滿足且滿足C-R方程方程, 所以所以 f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo), 處處解析。處處解析。 = ex(cos y+isin y)= f(z)( )uvfzix

6、x 且且今后將知道這個(gè)函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)今后將知道這個(gè)函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)ez.例例2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2), 問常問常數(shù)數(shù)a,b,c,d 取何值時(shí)取何值時(shí), f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析?由于由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,解解. vx=2cx+dy, vy=dx+2y則由則由ux=vy, uyvx, 得得=(1 i)(x+iy)2=(1 i)z22x+ay=dx+2y, 2cx+dyax 2by故此時(shí)函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析故此時(shí)函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析, 且且a=2, b1, c1, d=2f(z)=x2+2xy

7、y2+i( x2+2xy+y2)例例3. 求證求證 f (z)0, zD f(z)C, zD0uuvvxyxy故所以所以u=常數(shù)常數(shù), v=常數(shù)常數(shù), 因而因而 f(z)在在D內(nèi)是常數(shù)內(nèi)是常數(shù).證證)顯然顯然)( )uvfzixx0vuiyy例例4. 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, 并并滿足下列條件之一，那么滿足下列條件之一，那么 f(z)是常數(shù)是常數(shù): 書書P67: 101) u是實(shí)常數(shù)；是實(shí)常數(shù)；0,.wzDz3)2) v是實(shí)常數(shù)；是實(shí)常數(shù)；例例5. 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,