微積分自考復(fù)習(xí)資料

1、微積分自考復(fù)習(xí)資料常微分方程常微分方程O(píng)rdinary differential equation 第一章 緒 論 第二章第二章 一階微分方程的初等積分法一階微分方程的初等積分法 第三章第三章 一階微分方程的解的存在定理一階微分方程的解的存在定理 第四章第四章 高階微分方程高階微分方程 第五章第五章 線性微分方程組線性微分方程組 第六章第六章 定性理論初步定性理論初步1 1 2 2 第七章第七章 一階線性偏微分方程一階線性偏微分方程課程目的課程目的/Major Subjection of Course/Major Subjection of Course/ 學(xué)習(xí)各類(lèi)可求解的常微分方程和方程組的

2、類(lèi)型及其求解方法。 熟悉常微分方程解的基本性質(zhì)，如解的存在性，唯一性等內(nèi)容，了解研究常微分方程的基本方法，如穩(wěn)定性分析、定性分析等。參考書(shū)目參考書(shū)目/Reference Books/Reference Books/ 葉彥謙，常微分方程講義，高等教育出版社。王柔懷，伍卓群，常微分方程講義，人民教育出版社。第一章第一章 緒緒 論論 Introduction 微分方程概述微分方程概述 /Sketch of ODE/ 基本概念基本概念 /Basic Conception/ 練習(xí)題練習(xí)題/Exercise/本章要求本章要求/Requirements/ 能快速判斷微分方程的類(lèi)型；能快速判斷微分方程的類(lèi)型；

3、 掌握高階微分方程及其初值問(wèn)題的一般形式；掌握高階微分方程及其初值問(wèn)題的一般形式； 理解微分方程解的意義。理解微分方程解的意義。CH.1 Introduction 微分方程理論起始于十七世紀(jì)末，是研究自然現(xiàn)象強(qiáng)有微分方程理論起始于十七世紀(jì)末，是研究自然現(xiàn)象強(qiáng)有力的工具，是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一。力的工具，是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一。 16761676年，萊布尼茲在給年，萊布尼茲在給NewtonNewton（牛頓）的信中首次提到（牛頓）的信中首次提到Differential EquationsDifferential Equations（微分方程）這個(gè)名詞。（微分方程）這個(gè)名詞。

4、微分方程研究領(lǐng)域的代表人物：微分方程研究領(lǐng)域的代表人物：BernoulliBernoulli、CauchyCauchy、 Euler Euler 、Taylor Taylor 、LeibnizLeibniz、PoincarePoincare、LiyapunovLiyapunov等。等。 微分方程理論發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)過(guò)程：求微分方程的解；微分方程理論發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)過(guò)程：求微分方程的解； 定性理論與穩(wěn)定性理論；微分方程的現(xiàn)代分支理論。定性理論與穩(wěn)定性理論；微分方程的現(xiàn)代分支理論。 1.11.1 微分方程概述微分方程概述/ Sketch of ODE/1.1 Sketch of ODE 含有未知量(數(shù)

5、)的等式(或關(guān)系式)。例如:1 1 代數(shù)方程代數(shù)方程( (組組) )，其未知量為數(shù) 一元n次代數(shù)方程： 0111 nnnnaxaxax無(wú)理方程：652x方程組：17yxyx2 2 超越方程（組）超越方程（組），其含有超越函數(shù)三角方程：xxcos)5sin(指數(shù)方程：52 xxe其特點(diǎn)：方程的解為實(shí)數(shù)（有限個(gè)或者無(wú)限個(gè)）方程方程/Equation/Equation/1.1 Sketch of ODE1sin)(22ttttcos)(1)( t2122)(ctctt例例2 . 1xy )(xfy 0) 1( . 22222urdrdurdrudr)()( . 3xyxpdxdy3 函數(shù)方程（或泛函

6、方程），其未知量為函數(shù)其特點(diǎn)：方程的解為有限個(gè)或無(wú)窮多個(gè)函數(shù)。定義：定義：一個(gè)或幾個(gè)包含自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些階導(dǎo)數(shù)（或微商）的關(guān)系式，稱(chēng)之為微分方程微分方程 。 1.1 Sketch of ODE0),( . 4)( nyyyxF),( . 5) 1()( nnyyyxfyyxdtdyyxdtdx . 60 . 72yxu4 . 822222uyuyxuxxsin)(f . 92n階隱式方程n階顯式方程方程組 偏微分方程偏微分方程不是微分方程1.1 Sketch of ODE 1.2 1.2 基本概念基本概念/Basic Conception/Basic Conception/

7、1. 常微分方程和偏微分方程常微分方程和偏微分方程 2. 一階與高階微分方程一階與高階微分方程 3. 線性和非線性微分方程線性和非線性微分方程 4. 解和隱式解解和隱式解 5. 通解和特解通解和特解 6. 積分曲線和積分曲線族積分曲線和積分曲線族 7. 微分方程的幾何解釋微分方程的幾何解釋-方向場(chǎng)方向場(chǎng)l常微分方程與偏微分方程常微分方程與偏微分方程/ODE and PDE/ODE and PDE/ 常微分方程常微分方程/ODE /ODE / 在微分方程中，自變量自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)的微分方程稱(chēng)為常微分方程常微分方程。 偏微分方程偏微分方程/ PDE/ PDE/ 自變量自變量的個(gè)數(shù)有兩個(gè)或兩個(gè)以

8、上的微分方程稱(chēng)為偏偏微分方程微分方程。)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdtdy0222222ZTyTxTtTxT4221.2 Basic ConceptionBasic Conceptionl一階與高階微分方程一階與高階微分方程/First and Higher ODE/First and Higher ODE/微分方程的階微分方程的階/Order/Order/在一個(gè)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)n稱(chēng)為該方程的階階。當(dāng)n=1時(shí)，稱(chēng)為一階微分方程一階微分方程；當(dāng)n1時(shí)，稱(chēng)為高階微分方程高階微分方程。 例如)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdt

9、dy0222222ZTyTxTtTxT4221.2 Basic ConceptionBasic Conception一階常微分方程的一般隱式形式可表示為：0),( yyxF),(yxfy 一階常微分方程的一般顯式形式可表示為：類(lèi)似的，n階隱方程的一般形式可表示為：0),()( nyyyxFn階顯方程的一般形式為),() 1()( nnyyyxfy其中F及f分別是它所依賴(lài)的變?cè)囊阎瘮?shù)。1.2 Basic ConceptionBasic Conceptionl線性和非線性微分方程線性和非線性微分方程/Linear and Nonlinear /Linear and Nonlinear ODE/

10、ODE/如果方程0),()( nyyyxF的左端為未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的一次有理整式，則稱(chēng)它為線性微分方程，否則，稱(chēng)它為非線性微分方程。例如：)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdtdy0222222ZTyTxTtTxT4221.2 Basic ConceptionBasic Conception)()()()()1(1)(0 xgyxayxayxannn 0)(0 xa)(),(,),(),(10 xgxaxaxan n階線性微分方程的一般形式為：其中均為 的已知函數(shù)x如：2階線性方程的一般形式)()()()(210 xgyxayxayxa xxexyyxy sin21.2

11、 Basic ConceptionBasic Conceptionl解和隱式解和隱式/Solution/Solution/ )(xy0)(,),(),(,)( xxxxFnyxdxdy21xy122 yx對(duì)于方程0,)( nyyyxF若將函數(shù)代入方程后使其有意義且兩端成立即則稱(chēng)函數(shù) 為該方程的一個(gè)解解. .)(xy),() 1()( nnyyyxfy或一階微分方程 有解即關(guān)系式若方程的解是某關(guān)系式的隱函數(shù)，稱(chēng)這個(gè)關(guān)系式為該方程的隱式解隱式解。把方程解和隱式解統(tǒng)稱(chēng)為方程的解方程的解。包含了方程的解，1.2 Basic ConceptionBasic Conceptionl通解和特解通解和特解/General Solution and Special /General Solution and Special Solution/Solution/常微分方程的解的表達(dá)式中，可能包含一個(gè)或者幾意常數(shù)，若其所包含的獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好與該方程的階數(shù)相同，我們稱(chēng)這樣的解為該微分方程的通解通解。 常微分方程滿(mǎn)足某個(gè)初始條件的解稱(chēng)為微分方程的特解特解。 例：二階方程gdtsd2221221)(ctcgtts其通解而221)(gtts是方程滿(mǎn)足初始條件0) 0 ( , 0) 0 (ss解。1.2 Basic ConceptionBasic Conceptionl積分曲線和積分曲