第1.10講 二元一次方程的方案問題-備戰(zhàn)中考數學熱點難點突破（教師版）

1、【備戰(zhàn)2019年中考數學熱點、難點突破】考綱要求:1. 掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程。來源:Z*xx*k.Com2. 能用二元一次方程解決實際基礎知識回顧: 1應用題中常見的等量關系(1)增長率等量關系：增長率增長量÷基礎量×100%.一般類型：設原來量為a，平均增長(下降)率為x，則一次增長(下降)后的值為a(1±x)，兩次增長(下降)后的值為a(1±x)2.(2)利潤等量關系：利潤售價成本(進價)，利潤率 ×100%. (3)利息等量關系：利息本金×利率×期數；本息和本金利息；利息稅利息×稅率(

2、4)行程等量關系：路程速度×時間 招數一、與方程不等式相關的方案設計，據題意得出正確的等量關系，找準等量關系，列出二元一次不等式組，據題意寫出正確的方案?！纠?】“綠水青山就是金山銀山”，為保護生態(tài)環(huán)境，A，B兩村準備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚網箱和捕魚網箱，每村參加清理人數及總開支如下表：村莊清理養(yǎng)魚網箱人數/人清理捕魚網箱人數/人總支出/元A159來源:Zxxk.Com57000B101668000（1）若兩村清理同類漁具的人均支出費用一樣，求清理養(yǎng)魚網箱和捕魚網箱的人均支出費用各是多少元；（2）在人均支出費用不變的情況下，為節(jié)約開支，兩村準備抽調40人共同清理養(yǎng)魚網箱和捕魚網箱，要使

3、總支出不超過102000元，且清理養(yǎng)魚網箱人數小于清理捕魚網箱人數，則有哪幾種分配清理人員方案？【答案】（1）清理養(yǎng)魚網箱的人均費用為2000元，清理捕魚網箱的人均費用為3000元；（2）分配清理人員方案有兩種：方案一：18人清理養(yǎng)魚網箱，22人清理捕魚網箱；方案二：19人清理養(yǎng)魚網箱，21人清理捕魚網箱【解析】（1）設清理養(yǎng)魚網箱的人均費用為x元，清理捕魚網箱的人均費用為y元，根據題意，得：，解得：，答：清理養(yǎng)魚網箱的人均費用為2000元，清理捕魚網箱的人均費用為3000元；【例2】某中學為打造書香校園，計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進的圖書，調查發(fā)現，若購買甲種書柜3個、乙種書柜2個

4、，共需資金1020元；若購買甲種書柜4個，乙種書柜3個，共需資金1440元（1）甲、乙兩種書柜每個的價格分別是多少元？（2）若該校計劃購進這兩種規(guī)格的書柜共20個，其中乙種書柜的數量不少于甲種書柜的數量，學校至多能夠提供資金4320元，請設計幾種購買方案供這個學校選擇【答案】（1）設甲種書柜單價為180元，乙種書柜的單價為240元（2）學校的購買方案有以下三種：方案一：甲種書柜8個，乙種書柜12個方案二：甲種書柜9個，乙種書柜11個，方案三：甲種書柜10個，乙種書柜10個【解析】（1）解：設甲種書柜單價為x元，乙種書柜的單價為y元，由題意得：， 解得： ，答：設甲種書柜單價為180元，乙種書柜

5、的單價為240元（2）解：設甲種書柜購買m個，則乙種書柜購買（20-m）個；由題意得： 解得：8m10因為m取整數，所以m可以取的值為：8，9，10即：學校的購買方案有以下三種：方案一：甲種書柜8個，乙種書柜12個，方案二：甲種書柜9個，乙種書柜11個，方案三：甲種書柜10個，乙種書柜10個招數二、二元一次方程組的應用以及一元一次方程的應用等知識，根據題意得出正確的等量關系是解題關鍵，根據數量關系，找出w與m之間的函數關系式【例3】 學校準備購進一批節(jié)能燈，已知1只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需26元；3只A型節(jié)能燈和2只B型節(jié)能燈共需29元（1）求一只A型節(jié)能燈和一只B型節(jié)能燈的售價各是多少

6、元；（2）學校準備購進這兩種型號的節(jié)能燈共50只，并且A型節(jié)能燈的數量不多于B型節(jié)能燈數量的3倍，請設計出最省錢的購買方案，并說明理由（2）設購進A型節(jié)能燈m只，總費用為W元，根據題意，得：W=5m+7（50m）=2m+350，20，W隨x的增大而減小，又m3（50m），解得：m37.5，而m為正整數，當m=37時，W最小=2×37+350=276，此時5037=13，答：當購買A型燈37只，B型燈13只時，最省錢招數三、 二元一次方程組的應用以及一次函數的圖像應用等知識，根據題意得出正確的等量關系是解題關鍵，根據一次函數的增減性得出費用最省方案是解決問題 【例4】有大小兩種貨車，3

7、輛大貨車與4輛小貨車一次可以運貨18噸，2輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨17噸. （1）請問1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨多少噸？ （2）目前有33噸貨物需要運輸，貨運公司擬安排大小貨車共計10輛，全部貨物一次運完，其中每輛大貨車一次運費花費130元，每輛小貨車一次運貨花費100元，請問貨運公司應如何安排車輛最節(jié)省費用？【答案】（1）1輛大貨車一次可以運貨4噸，1輛小貨車一次可以運貨噸；（2）貨運公司應安排大貨車8輛時，小貨車2輛時最節(jié)省費用.【解析】【詳解】（1）解：設1輛大貨車一次可以運貨x噸，1輛小貨車一次可以運貨y噸，依題可得： ,解得： .答：1輛大貨車一次可以運貨4噸，1

8、輛小貨車一次可以運貨噸.（2）解：設大貨車有m輛，則小貨車10-m輛，依題可得：4m+（10-m）33 m0, 10-m0解得：m10，【例5】黃石市在創(chuàng)建國家級文明衛(wèi)生城市中，綠化檔次不斷提升某校計劃購進A，B兩種樹木共100棵進行校園綠化升級，經市場調查：購買A種樹木2棵，B種樹木5棵，共需600元；購買A種樹木3棵，B種樹木1棵，共需380元（1）求A種，B種樹木每棵各多少元？ （2）因布局需要，購買A種樹木的數量不少于B種樹木數量的3倍學校與中標公司簽訂的合同中規(guī)定：在市場價格不變的情況下（不考慮其他因素），實際付款總金額按市場價九折優(yōu)惠，請設計一種購買樹木的方案，使實際所花費用最省，

9、并求出最省的費用【答案】(1) A種樹每棵100元，B種樹每棵80元；(2) 當購買A種樹木75棵，B種樹木25棵時，所需費用最少，最少為8550元【解析】試題分析：（1）設A種樹每棵x元，B種樹每棵y元，根據“購買A種樹木2棵，B種樹木5棵，共需600元；購買A種樹木3棵，B種樹木1棵，共需380元”列出方程組并解答；（2）設購買A種樹木為x棵，則購買B種樹木為（100-x）棵，根據“購買A種樹木的數量不少于B種樹木數量的3倍”列出不等式并求得x的取值范圍，結合實際付款總金額=0.9（A種樹的金額+B種樹的金額）進行解答試題解析：（1）設A種樹木每棵x元，B種樹木每棵y元，根據題意，得 ，解

10、得 ，答：A種樹木每棵100元，B種樹木每棵80元（2）設購買A種樹木x棵，則B種樹木（100x）棵，則x3（100x）解得x75又100x0，解得x10075x100設實際付款總額是y元，則y0.9100x80（100x）即y18x7 200180，y隨x增大而增大，當x75時，y最小為18×757 2008 550（元）答：當購買A種樹木75棵，B種樹木25棵時，所需費用最少，為8 550元【例6】益馬高速通車后，將桃江馬跡塘的農產品運往益陽的運輸成本大大降低。馬跡塘一農戶需要將A，B兩種農產品定期運往益陽某加工廠，每次運輸A，B產品的件數不變，原來每運一次的運費是1200元，現

11、在每運一次的運費比原來減少了300元，A，B兩種產品原來的運費和現在的運費（單位：元件）如下表所示：品種AB原來的運費4525現在的運費3020（1）求每次運輸的農產品中A，B產品各有多少件？（2）由于該農戶誠實守信，產品質量好，加工廠決定提高該農戶的供貨量，每次運送的總件數增加8件，但總件數中B產品的件數不得超過A產品件數的2倍，問產品件數增加后，每次運費最少需要多少元？來源:【答案】（1）每次運輸的農產品中A產品有10件，每次運輸的農產品中B產品有30件，（2）產品件數增加后，每次運費最少需要850元（2）設增加m件A產品，則增加了（8-m）件B產品，設增加供貨量后得運費為W元，增加供貨量

12、后A產品的數量為（10+m）件，B產品的數量為30+（8-m）=（38-m）件，根據題意得：W=30（10+m）+20（38-m）=10m+790，答：產品件數增加后，每次運費最少需要850元方法、規(guī)律歸納:1、 在解決實際問題時，需合理安排，從幾種方案中，選擇最佳方案。方案選擇的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案。2、方案設計型問題涉及生產生活的方方面面，如：測量、購物、生產配料、汽車調配、圖形拼接等。所用到的數學知識有方程、不等式、函數、解直角三角形、概率和統計等知識。這類問題的應用性非常突出，題目一般較長，做題之前要認真讀題，理解題意，選擇和構造合適的

13、數學模型，通過數學求解，最終解決問題。解答此類問題必須具有扎實的基礎知識和靈活運用知識的能力，另外，解題時還要注重綜合運用轉化思想、數形結合的思想、方程函數思想及分類討論等各種數學思想。實戰(zhàn)演練:1、學校捐資購買了一批物資120噸打算支援山區(qū)，現有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示(假設每輛車均滿載)：車型甲乙丙汽車運載量(噸/輛)5810汽車運費(元/輛)400500600(1)若全部物資都用甲、乙兩種車來運送，需運費8200元，則分別需甲、乙兩種車各幾輛？(2)為了節(jié)省運費，該公司打算用甲、乙、丙三種車同時參與運送，已知它們的總輛數為14輛，請你分別求出三種車的輛數

14、，并求出此時的運費【答案】（1）需甲種車8輛，乙種車10輛；（2）甲種車有2輛，乙種車有5輛，丙種車有7輛，此時的運費是7500元【解析】【分析】（1）設需甲車x輛，乙車y輛列出方程組即可；（2）設甲車有a輛，乙車有b輛，則丙車有（14-a-b）輛，列出等式【詳解】答：甲種車有2輛，乙種車有5輛，丙種車有7輛，此時的運費是7500元2、某班為滿足同學們課外活動的需求，要求購排球和足球若干個已知足球的單價比排球的單價多30元，用500元購得的排球數量與用800元購得的足球數量相等（1）排球和足球的單價各是多少元？（2）若恰好用去1200元，有哪幾種購買方案？（2）設設恰好用完1200元，可購買排

15、球m個和購買足球n個，由題意得：50m+80n=1200，整理得：m=24n，m、n都是正整數，n=5時，m=16，n=10時，m=8；有兩種方案：購買排球5個，購買足球16個；來源:ZXXK購買排球10個，購買足球8個3為了更好治理城市污水，保護環(huán)境，縣治污公司決定購買臺污水處理設備.現有兩種型號的設備，其中每臺的價格、日處理污水量如下表：價格（萬元/臺）處理污水量（噸/天）經調查：購買一臺設備比購買一臺設備多萬元，購買臺設備比購買臺設備少萬元.（1）求；（2）現治污公司購買的設備每天共能處理污水噸，求治污公司購買設備的資金.來源:【答案】（1）a=12,b=10；（2）108萬元.【解析】

16、【分析】(1)根據購買一臺A設備比購買一臺B設備多2萬元,購買2臺A設備比購買3臺B設備少6萬元,可得出方程組,解出即可得出a、b的值;(2)購買A設備x臺,B設備y臺,建立方程組求出x、y的值,繼而求出治污公司購買設備的資金.答：現治污公司購買的設備每天能處理污水2160噸，治污公司購買設備的資金為108萬元.4、 在“五一”期間，小明、小亮等同學隨家長一同到某地公園游玩，下面是購買門票時，小明與他爸爸的對話（如圖3），試依據圖中的信息，解答下列問題：(1)小明他們一共去了幾個成人，幾個學生？(2)請你幫忙小明算一算，用那種方式購票更省錢？說明理由來源:ZXXK來 解析： (1)設成人人數為

17、x人，學生人數為y人據題意，有，解得故學生人數4人，成人數為8人 (2)如果買團體票，按16人計算，共需要費用35×0.6×16336，336<350，故購買團體票更省錢5、為營造濃厚的創(chuàng)建全國文明城市氛圍，東營市某中學委托制衣廠制作“最美東營人”和“最美志愿者”兩款文化衫若制作“最美東營人”文化衫2件，“最美志愿者”文化衫3件，共需90元；制作“最美東營人”文化衫3件，“最美志愿者”5件，共需145元（1）求“最美東營人”和“最美志愿者”兩款文化衫每件各多少元？（2）若該中學要購進“最美東營人”和“最美志愿者”兩款文化衫共90件，總費用少于1595元，并且“最美東營

18、人”文化衫的數量少于“最美志愿者”文化衫的數量，那么該中學有哪幾種購買方案？【答案】（1）“最美東營人”文化衫每件15元，“最美志愿者”文化衫每件20元；（2）有三種方案，具體見解析.（2）設購買“最美東營人”文化衫m(xù)件，則購買“最美志愿者”文化衫（90-m）件，由題意，得，解得：41m45m是整數，m=42，43，44則90-m=48，47，46答：方案一：購買“最美東營人”文化衫42件，“最美志愿者”文化衫48件；方案二：購買“最美東營人”文化衫43件，“最美志愿者”文化衫47件；方案三：購買“最美東營人”文化衫44件，“最美志愿者”文化衫46件6、 學校組織初一同學春游,原計劃租用45座

19、客車若干輛,但有15人沒有座位;如果租用同樣數量的60座大客車,則多出一輛,且其余客車恰好坐滿.已知45座客車日租金為每輛220元,60座大客車日租金為每輛300元. 求：（1）初一年級學生有多少人? 原計劃租用45座客車多少輛?（2）要使每個學生都有座位,怎樣租用更合算?最低租金是多少?（2）設租用45座客車m輛,租用60座客車n輛.根據題意可得:45m + 60n = 240, 即3m + 4n = 16,方程的整數解為: ,300×4=1200,220×4+300=1180,租用45座客車4輛,租用60座客車1輛合算，最低租金為1180元.7、2018年在中央“房子是

20、用來住的，不是用來炒”的精神作用下，房子價格持續(xù)下跌玲玲家買了一套新房準備裝修，若甲、乙兩個裝飾公司合作，需6周完成，共需裝修費為5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，共需裝修費為4.8萬元玲玲的爸爸媽媽商量后決定只選一個公司單獨完成(1)如果從節(jié)約時間的角度考慮應選哪家公司？(2)如果從節(jié)約開支的角度考慮應選哪家公司？【答案】（1）從節(jié)約時間的角度考慮應選擇甲公司（2）從節(jié)約開支的角度考慮應選擇乙公司【解析】 (1)設甲公司單獨完成需要m周，乙公司單獨完成需要n周依題意得： ，解得 .故從節(jié)約時間的角度考慮應選擇甲公司 8、 某校七年級400名學生到郊外參加

21、植樹活動，已知用3輛小客車和1輛大客車每次可運送學生105人，用1輛小客車和2輛大客車每次可運送學生110人（1）每輛小客車和每輛大客車各能坐多少名學生？（2）若計劃租小客車m輛，大客車n輛，一次送完，且恰好每輛車都坐滿：來源:Z,xx,k.Com請你設計出所有的租車方案；若小客車每輛租金150元，大客車每輛租金250元，請選出最省線的租車方案，并求出最少租金解析：（1）設每輛小客車能坐x人，每輛大客車能坐y人，據題意： ，解得： ，答：每輛小客車能坐20人，每輛大客車能坐45人；（2）由題意得：20m+45n=400，n=，m、n為非負整數，或或 ，租車方案有三種：方案一：小客車20車、大客車0輛，方案二：小客車11輛，大客車4輛，方案三：小客車2輛，大客車8輛；方案一租金：150×20=3000（元），方案二租金：150×11+250×4=2650（元），方案三租金：150×2+250×8=2300（元），9、如果第一次租用2輛A型車和1輛B型車裝運水果，一次運貨10噸；第二次租用1輛A型車和2輛B型車裝水果，一次運貨11噸（兩次運貨都是滿載）求每輛A型車和B型車滿載時各裝水果多少噸？現有31噸水果需運出，計劃同時租用A型車和B型車一次運完，且每輛車都恰好裝滿，請設計