靜電勢的Laplace方程和Poisson方程

1、1回回顧顧1 1、靜電勢的、靜電勢的LaplaceLaplace方程和方程和PoissonPoisson方程方程2 2、弦的微小橫振動和均勻桿的縱振動、弦的微小橫振動和均勻桿的縱振動3 3、SchrSchrdingerdinger方程方程4 4、定解問題、定解問題- -初始條件和邊界條件初始條件和邊界條件2邊界條件邊界條件 體系的邊界會影響體系的物理狀態(tài), 體系的邊界情況由邊界條件確定. 邊界條件反應(yīng)體系和外界的界面上的情況.常見的邊界條件可以分為三類, , ,|,|,|,r Br Bnr Bu x y z tf r tuf r tnucuf r t第一類邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第

2、二類邊界條件第三類邊界條件第三類邊界條件3第一類邊界條件第一類邊界條件(Dirichlet條件條件)第一類邊界條件給出未知函數(shù)在邊界上的取值，即, , ,|,r Bu x y z tf r t4第二類邊界條件第二類邊界條件(Neumann條件條件) 第二類邊界條件給出未知函數(shù)在邊界上的法線方向的取值，即, , ,|,r Bu x y z tf r tn5第三類邊界條件第三類邊界條件(混合邊界條件混合邊界條件) 第三類邊界條件給出未知函數(shù)和在邊界上的法線方向的導(dǎo)數(shù)的線性組合在邊界上的取值，即|,nr Bucuf r t6第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成 (

3、 , )uutn 其中是邊界上的變點； unu表示物理量沿邊界外法線方向的方向?qū)?shù)； , 為常數(shù)，它們不同時為零 7 除了初始條件和邊界條件，有一些物理問題還需要附加一些其他才能確定其解。如教材中所介紹的銜接條件和自然邊界銜接條件和自然邊界條件條件等。（P159）8三類定解問題三類定解問題 定解問題有微分方程(泛定方程)和定解條件組成.定解條件主要是由初始條件和邊界條件組成.根據(jù)定解條件的情況,可以把定解問題分成三類:u 只有初始條件只有初始條件, ,沒有邊界條件沒有邊界條件初值初值(Cauchy)問題問題u 只有邊界條件只有邊界條件, ,沒有初始條件沒有初始條件邊值問題u 既有初始條件既有初

4、始條件, ,又有邊界條件又有邊界條件混合問題9定解問題的適定性定解問題的適定性 定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，統(tǒng)稱為定解問題的適定性。存在性：定解問題是否有解存在性：定解問題是否有解唯一性：解是否唯一唯一性：解是否唯一穩(wěn)定性：定解問題的解是否穩(wěn)定穩(wěn)定性：定解問題的解是否穩(wěn)定 只要對實際物理問題的抽象是合理的，初始條件只要對實際物理問題的抽象是合理的，初始條件完全地、確定地描寫了初始時刻體系內(nèi)部和邊界上的完全地、確定地描寫了初始時刻體系內(nèi)部和邊界上的狀況；邊界條件完全而確定地描寫了邊界上任意一點狀況；邊界條件完全而確定地描寫了邊界上任意一點的狀況，那么這樣構(gòu)成的定解問題就一定是適定的，的狀

5、況，那么這樣構(gòu)成的定解問題就一定是適定的，也就是說，解一定是存在的、唯一的和穩(wěn)定的。也就是說，解一定是存在的、唯一的和穩(wěn)定的。10二階線性偏微分方程二階線性偏微分方程,0ijinnijx xixi jia ubucuf11(1)方程的階 偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱 為方程的階(2)方程的次數(shù) 偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱為偏 微分方程的次數(shù)(3)線性方程 一個偏微分方程對未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有 （組合）偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，高 于一次以上的方程稱為非線性方程(4)準(zhǔn)線性方程 一個偏微分方程，如果僅對方程中所有最 高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱方程為準(zhǔn)線性方程(5)自由項 在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的 項稱為自由項12線性（偏微分）方程的性質(zhì)線性（偏微分）方程的性質(zhì)引入線性算符引入線性算符 L，則線性（偏微分）方程總可以表示為：，則線性（偏微分）方程總可以表示為： L uf其中其中 u 是未知函數(shù)；是未知函數(shù)；f 是已知函數(shù)，稱為方程的非齊次項。是已知