第1講數(shù)列的概念及簡單表示法

1、第第1講數(shù)列的概念及簡單表講數(shù)列的概念及簡單表示法示法NoImage1數(shù)列的定義數(shù)列的定義 按照按照 排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的2數(shù)列的分類數(shù)列的分類一定順序一定順序分類原則類型按項數(shù)分類 ,無窮數(shù)列 ,按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1an其中nN遞減數(shù)列an1anan1an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類存在正數(shù)M，使|an|M擺動數(shù)列an的符號正負相間，如1，1,1，1，無限3. 數(shù)列的表示法數(shù)列的表示法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是數(shù)列有三種表示法，它們分別是 、 和和 4.數(shù)列的通項公式數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列如果數(shù)列a

2、n的第的第n項項an與與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子 來來 表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式列表法列表法圖象法圖象法解析法解析法anf(n)聯(lián)動思考聯(lián)動思考想一想：數(shù)列可以看成一個以想一想：數(shù)列可以看成一個以n為自變量的函數(shù)，則其定義域是什么？為自變量的函數(shù)，則其定義域是什么？答案：其定義域為正整數(shù)答案：其定義域為正整數(shù)N*或其有限子集或其有限子集1,2，n議一議：數(shù)列的通項公式唯一嗎？舉例說明議一議：數(shù)列的通項公式唯一嗎？舉例說明答案：不唯一，如數(shù)列答案：不唯一，如數(shù)列1,1，1,1，的通項公式可以為的通項公式可以

3、為an(1)n或或an .答案：答案：C答案：答案：A3在數(shù)列在數(shù)列an中，中，an1an2an，a12，a25，則，則a6的值是的值是 () A3 B11 C5 D19 解析：解析：a3a2a1523 a4a3a2352 a5a4a3235 a6a5a4523. 答案：答案：A4(2010安徽卷安徽卷)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項和項和Snn2，則，則a8的值為的值為 () A15 B16 C49 D64 解析：解析：a8S8S78272(87)(87)15. 答案：答案：A5若數(shù)列若數(shù)列an的前的前n項和項和Snn210n(n1,2,3，)，則此數(shù)列的通項公式為，則此數(shù)列的通項公式為an

4、_；數(shù)列；數(shù)列nan中數(shù)值最小的項是第中數(shù)值最小的項是第_項項 解析：當(dāng)解析：當(dāng)n2時，時，SnSn12n11，n1時也符合，則時也符合，則an2n11，nan 2n211n2 且且nN*，故，故n3時，時，nan最小最小 答案：答案：2n113NoImage考向一考向一由數(shù)列的前幾項寫數(shù)列的由數(shù)列的前幾項寫數(shù)列的通項公式通項公式【例例1】 寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：(3)奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因子奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因子(1)n；各項絕對值的分母；各項絕對值的分母組成數(shù)列組成數(shù)列1,2,3,4，；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列

5、中，奇數(shù)項為；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為1，偶數(shù)，偶數(shù)項為項為3，即奇數(shù)項為，即奇數(shù)項為21，偶數(shù)項為，偶數(shù)項為21，反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣 根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，可使用根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，可使用 添項、還原、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求添項、還原、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求答案：答案：D考向二考向二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式【例例2】 根據(jù)下列條件，確定數(shù)列根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項公式的通項公式 (1

6、)a11，an13an2； (2)a11，an1(n1)an.累乘可得：累乘可得：ann(n1)(n2)321.反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解當(dāng)已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解當(dāng) 出現(xiàn)出現(xiàn)anan1m時，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)時，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時，構(gòu)造等比數(shù)列；時，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)時，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn) f(n)時，用累乘法求解時，用累乘法求解遷移發(fā)散遷移發(fā)散2根據(jù)下列條件，確定數(shù)列根據(jù)下列條件，確定數(shù)

7、列an的通項公式的通項公式 (1)在數(shù)列在數(shù)列an中，中，an13a，a13； (2)在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a11，an1 ； (3)在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a12，an14an3n1； (4)在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a18，a22，且滿足，且滿足an24an13an0. 解：解：(1)由已知由已知an0，在遞推關(guān)系式兩邊取對數(shù)，在遞推關(guān)系式兩邊取對數(shù) 有有l(wèi)g an12lg anlg 3， 令令bnlg an，則，則bn12bnlg 3， bn1lg 32(bnlg 3)， bnlg 3是等比數(shù)列，是等比數(shù)列， bnlg 32n12lg 32nlg 3， bn2nlg 3lg 3(2n1)

8、lg 3lg an an32n1. (3)由由an14an3n1，得，得an1(n1)4(ann)，又又a111，所以數(shù)列，所以數(shù)列ann是首項為是首項為1，且公比為，且公比為4的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，ann(a11)4n1，an4n1n.(4)將將an24an13an0變形為變形為an2an13(an1an)，則數(shù)列則數(shù)列an1an是以是以a2a16為首項，為首項，3為公比的等比數(shù)列，為公比的等比數(shù)列，則則an1an63n1，利用累加法可得，利用累加法可得an113n.考向三考向三由數(shù)列的由數(shù)列的S Sn n與與a an n的關(guān)系求通項公式的關(guān)系求通項公式【例例3】 (2010臨沂調(diào)研臨沂調(diào)

9、研)已知數(shù)列的前已知數(shù)列的前n項和為項和為Sn，滿足，滿足log2(1Sn)n1， 求數(shù)列的通項公式求數(shù)列的通項公式解：解：log2(1Sn)n1，1Sn2n1，Sn2n11，anSnSn1(2n11)(2n1)2n(n2)又又n1時，時，a13不符合上式，不符合上式，an反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣數(shù)列的通項數(shù)列的通項an與前與前n項和項和Sn的關(guān)系是的關(guān)系是an ，此公式經(jīng)常使用，應(yīng)，此公式經(jīng)常使用，應(yīng)引起足夠的重視已知引起足夠的重視已知an求求Sn時方法千差萬別，但已知時方法千差萬別，但已知Sn求求an時方法卻是高度統(tǒng)時方法卻是高度統(tǒng)一當(dāng)一當(dāng)n2時求出時求出a

10、n也適合也適合n1時的情形，可直接寫成時的情形，可直接寫成anSnSn1，否則分段，否則分段表示表示遷移發(fā)散遷移發(fā)散3已知下列數(shù)列已知下列數(shù)列an的前的前n項和項和Sn，求，求an的通項公式：的通項公式： (1)Sn2n23n；(2)Sn3nb. 解：解：(1)a1S1231， 當(dāng)當(dāng)n2時，時，anSnSn1 (2n23n)2(n1)23(n1)4n5， 由于由于a1也適合此等式，也適合此等式，an4n5. (2)a1S13b， 當(dāng)當(dāng)n2時，時，anSnSn1 (3nb)(3n1b)23n1. 當(dāng)當(dāng)b1時，時，a1適合此等式；適合此等式； 當(dāng)當(dāng)b1時，時，a1不適合此等式不適合此等式 當(dāng)當(dāng)b1

11、時，時，an23n1；考向四數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例例4】 已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，并且滿足，并且滿足a12，nan1Snn(n1) (1)求求an的通項公式；的通項公式； (2)令令Tn nSn，問是否存在正整數(shù)，問是否存在正整數(shù)m，對一切正整數(shù)，對一切正整數(shù)n，總有，總有TnTm，若存，若存 在，求在，求m的值；若不存在，說明理由的值；若不存在，說明理由 解：解：(1)令令n1，由，由a12，及，及nan1Snn(n1) 得得a24，故，故a2a12 當(dāng)當(dāng)n2時，有時，有(n1)anSn1n(n1) 得得nan1(n1)anan2n. 整理得整理得an1an2(n2) 當(dāng)

12、當(dāng)n1時，時，a2a12，數(shù)列數(shù)列an是以是以2為首項，以為首項，以2為公差的等差數(shù)列，為公差的等差數(shù)列， an2(n1)22n. (2)由由(1)得得Snn(n1)，反思感悟：反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣 1數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，解題時注意函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，以及轉(zhuǎn)化思想數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，解題時注意函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，以及轉(zhuǎn)化思想 也是解題的常用方法也是解題的常用方法 2數(shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項、最小項、數(shù)列有界性數(shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項、最小項、數(shù)列有界性 問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性時常用問題均可借助數(shù)列

13、的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性時常用作差法，作差法，作商作商 法，法，結(jié)合函數(shù)圖象等方法結(jié)合函數(shù)圖象等方法遷移發(fā)散遷移發(fā)散4已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和項和Snn224n(nN*) (1)求求an的通項公式；的通項公式； (2)當(dāng)當(dāng)n為何值時，為何值時，Sn達到最大？最大值是多少？達到最大？最大值是多少？ 解：解：(1)n1時，時，a1S123. n2時，時，anSnSn1 n224n(n1)224(n1)2n25. 經(jīng)驗證，經(jīng)驗證，a123符合符合an2n25， an2n25(nN*) (2)Snn224n， n12時，時，Sn最大且最大且Sn144.課堂總結(jié)課堂總結(jié) 感悟提升感悟提升1用

14、歸納法據(jù)前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維用歸納法據(jù)前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維 方法，需要我們有一定的數(shù)學(xué)觀察能力和分析能力，并熟知一些常見的數(shù)方法，需要我們有一定的數(shù)學(xué)觀察能力和分析能力，并熟知一些常見的數(shù) 列的通項公式，如：數(shù)列列的通項公式，如：數(shù)列n2，2n，(1)n，2n，2n12對于符號對于符號(數(shù)字、字母、運算符號、關(guān)系符號數(shù)字、字母、運算符號、關(guān)系符號)、圖形、文字所表示的數(shù)學(xué)問、圖形、文字所表示的數(shù)學(xué)問 題，要有目的的觀察并得出結(jié)論，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)重視的能力，應(yīng)多進行對題，要有目的的觀察并得出結(jié)論，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)重視的能力，應(yīng)多進行對 比，分析，從整體到局部多角度進行觀察，觀察的結(jié)果要求要準(zhǔn)確、完比，分析，從整體到局部多角度進行觀察，觀察的結(jié)果要求要準(zhǔn)確、完