轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題的一把金鑰匙.

1、“五四杯 ”論文 B 類轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題的一把金鑰匙建湖縣顏單中學(xué)陳國(guó)華關(guān)鍵詞： 轉(zhuǎn)化思想、解決問(wèn)題、培養(yǎng)能力論點(diǎn)摘要： 一、未知轉(zhuǎn)化為已知二、一般轉(zhuǎn)化為特殊三、特殊轉(zhuǎn)化為一般四、數(shù)轉(zhuǎn)化為形五、形轉(zhuǎn)化為數(shù)六、分散轉(zhuǎn)化為集中七、局部轉(zhuǎn)化為整體八、運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為靜止九、靜止轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)十、空間轉(zhuǎn)化為平面數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)使學(xué)生“形成解決問(wèn)題的一些策略，體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神”。因此，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容， 滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想， 有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用“轉(zhuǎn)化”思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。 即在解題過(guò)程中根據(jù)解題的目標(biāo)， 不斷探索和調(diào)整解題方向，從不同的角度、

2、不同的側(cè)面將問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的。掌握轉(zhuǎn)化思想有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。下面舉例說(shuō)明常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。一、未知轉(zhuǎn)化為已知數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條件有的比較復(fù)雜。需要通過(guò)挖掘其隱含的因素把未知條件變?yōu)橐阎獥l件從而使問(wèn)題得到解決。例 1：如圖 (1) ，已知在ABC 中 BD AC,CE AB ，M 為BC 的中點(diǎn)， N 為 ED 的中點(diǎn)。求證： MN ED 。分析：要證 MN ED ，很難找到直接方法。A但如果把要證的結(jié)論“ MN ED ”看成已知，EN并聯(lián)系“N 為 ED 的中點(diǎn)”，就不難

3、想到等腰三角形的性質(zhì)，從而想到連結(jié)BEM 、DM ，M先證 EM=DM 。再由等腰三角形的三線合一可得 MN ED 。DC1二、一般轉(zhuǎn)化為特殊哲學(xué)原理告訴我們，一般性和特殊性可以互相轉(zhuǎn)化，一般性寓于特殊性之中，我們可以從問(wèn)題的特殊性入手，在一般情況下難以發(fā)現(xiàn)的規(guī)律， 在特殊條件下比較容易暴露 .如構(gòu)建特殊點(diǎn)、線、角、等，去探索研究問(wèn)題的一般性。例 2：在矩形 ABCD 中，已知兩鄰邊 AD=12 ， AB=5 ， P 是 AD 邊上的任意一點(diǎn)， PE BD ， PF AC ， E、 F 分別是垂足，求 PE+PF 的值。分析：如圖 (2) ，由于 P 是 AD 上任一點(diǎn)，故直接求 PE+PF

4、較困難。我們可以作特殊化APFO處理 ,讓點(diǎn) P 與點(diǎn) A 重合，這時(shí) PF=0 ，PE 就E是圖中 AM ，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求 AM 的長(zhǎng)了 ,即有BMPE+PF=AM 。三、特殊轉(zhuǎn)化為一般當(dāng)我們遇到某些特殊問(wèn)題感到很難解決時(shí)，也可適當(dāng)放寬條件或改變一些條件的限制，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的問(wèn)題加以研究，先解決一般問(wèn)題再把解決一般問(wèn)題的技巧、方法或結(jié)果應(yīng)用到特殊問(wèn)題上，最終獲得問(wèn)題的解決。DC例 3：若 ab 1，且 5a 2 +2100a+9=0 ，9b 2 +2100b+5=0 ，則 a 的值是（）b（A） 9 （B） 5（ C） 2001（D） 20015959解析：若由題設(shè)條件分別求出a，b 代

5、入 a 求值，則相當(dāng)b麻 煩 。 現(xiàn) 將 其 中 一 個(gè) 等 式 9b22001b 5 0 進(jìn) 行 變 形 得 ：11，5·22100 ·+9=0bb結(jié)合已知等式5a2 +2100a+9=0可 以 看 出 a 、 1 是 方 程b25x2 +2100x+9=0 的根。又 a1，即 a 與 1是此方程的相異實(shí)bb根，故由韋達(dá)定理可知19，故選 A。a·=5b四、數(shù)轉(zhuǎn)化為形有些代數(shù)問(wèn)題條件中的數(shù)量關(guān)系以某種方式與幾何圖形相關(guān)聯(lián)則可以通過(guò)作出與其相關(guān)聯(lián)的圖形背景，借助圖形的直觀性將代數(shù)問(wèn)題的條件及數(shù)量關(guān)系直接在圖形中表現(xiàn)出來(lái)，從而利用幾何關(guān)系來(lái)求解。例 4：已知 a、b

6、、c、d 為正數(shù)，且 a2+b 2 =c2+d 2 ，ac=bd ，求證 a=d ， b=c 。分析：由于題設(shè)條件很象勾定理的形式，因而可通過(guò)構(gòu)造有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形來(lái)研究。證明：如圖 (3) 由題設(shè)可作 Rt ABC 和 Rt ADC ，使B= D=90 °，Bc=a ， AB=b ， AD=c ， CD=d 。ac=bd ，即 BC ·AD=AB ·CD ，BCAB ，故 Rt ABC Rt ADC ，CDADBabCA而 AC 為公共邊，Rt ABC Rt ADCBC=CD ，AB=AD即 a=d ， b=c五、形轉(zhuǎn)化為數(shù)dcD把幾何圖形問(wèn)題中的變量用

7、字母來(lái)表示，用代數(shù)中的方程思想將幾何圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題 ,這是解決幾何問(wèn)題的一種常用行之有效的方法。例 5：如圖 (4) 已知 a、 b、 c 為 Rt ABC 的三邊之長(zhǎng)， c為斜邊， Rt ABC 的內(nèi)切圓半徑為r,求證： r= 1 （ a+b c）。2證明：設(shè) CE=x ，EA=y ，F(xiàn)B=z ，易得 OECD 是正方形，A3則 r=x 。依題意得：xyb,yzc,zxa.+ +得，x+y+z=1 （a+b+c）2代入得x= 1 （a+b c），2即 r= 1 （ a+b c）。2六、分散轉(zhuǎn)化為集中有些題目中的條件或者需解決的對(duì)象比較分散，難以進(jìn)行研究，因而轉(zhuǎn)化為研究問(wèn)題的整體形式或

8、結(jié)構(gòu)，往往可以達(dá)到事半功倍之效。例 6：如圖 (5) ，在高 2 米坡角為 30 ° 樓梯表面鋪上地毯，地毯的長(zhǎng)至少需要多少米？解析：若先求鋪在各級(jí)臺(tái)階的地毯的長(zhǎng)度，再求和，非明智之舉?，F(xiàn)用平移的方法，從整體上考慮，各級(jí)臺(tái)階的高度之和等于 BC 長(zhǎng)，寬度之和等于AC 長(zhǎng)，所以只需求 AC+BC 的長(zhǎng)度就確定了地毯的最小長(zhǎng)度。七、局部轉(zhuǎn)化為整體在解幾何題有時(shí)根據(jù)原圖形的特點(diǎn)通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造成我們熟知的圖形，再利用這些熟知的圖形性質(zhì) ,溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，就可以將問(wèn)題化難為易。如圖 (6) ，凸五邊形 ABCDE 中，有A= B=120 °，EA=AB=BC=2

9、，CBFCD=DE=4 求它的面積。解析：延長(zhǎng) EA 、 CB 交于點(diǎn) F，ADE4GEAB= CBA=120 °，可得FAB 為等邊三角形。EA=AB=BC=2， CD=DE=4 ，F(xiàn)E=FC=CD=DE=4，四邊形 PCDE 為菱形。過(guò) C 作 CG DE, 垂足為 G。易得 CG= 2 3 。SABCDE =S菱形2 313 ×22= 7 3FCDE S FAB =4×4八、運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為靜止事物的運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)的，由于參照物的不同，原來(lái)動(dòng)的對(duì)象變?yōu)椴粍?dòng)，而原來(lái)不動(dòng)的對(duì)象變?yōu)檫\(yùn)動(dòng)，在解題時(shí)，有時(shí)可變換角度，運(yùn)動(dòng)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為靜止問(wèn)題來(lái)研究。例 8：某氣象臺(tái)A 正西

10、方向 300 公里有一臺(tái)風(fēng)中心，現(xiàn)正以 40 公里 /小時(shí)的速度向東北方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心 250 公里以內(nèi)的地方均受到其影響，問(wèn)從現(xiàn)在起多長(zhǎng)時(shí)間后，氣象臺(tái)會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響？影響會(huì)持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？分析：直接解題時(shí)，不動(dòng)的是氣象臺(tái) A，移動(dòng)的是臺(tái)風(fēng)中心及其影響區(qū)域，由于影響范圍為一簇圓覆蓋的平面區(qū)域，因而解題時(shí)計(jì)算繁瑣，按動(dòng)靜互換策略，假設(shè)臺(tái)風(fēng)中心不動(dòng)，而氣象臺(tái) A 沿西方向以 40 公里 /小時(shí)的速度移動(dòng)，則問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求氣象臺(tái) A 進(jìn)入臺(tái)風(fēng)區(qū)域的時(shí)刻及 A 穿越這塊區(qū)域所需的時(shí)間。如圖（ 7），設(shè)臺(tái)風(fēng)中心 O 不動(dòng)，影響范圍為半徑 250 公里以內(nèi)的圓面，OA=300 ，OAD=45 °

11、，連OB 、 OC 不難得出： AB=AE BE=150250 7，OABECBC=100 7.t1= AB 2.0 ，t2= BC 6.6 ，4040D即從現(xiàn)在起約 2 個(gè)小時(shí)后氣象臺(tái)遭受臺(tái)風(fēng)影響，持續(xù)時(shí)間約 6.6 小時(shí)。5九、靜止轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)有的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在靜止?fàn)顟B(tài)下往往解題繁難，如果我們把本來(lái)靜止的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 ,變靜態(tài)為動(dòng)態(tài) ,即通過(guò)研究變動(dòng)的一般狀態(tài)來(lái)考慮確定的特殊的情形，有時(shí)會(huì)事半功倍。例 9：如圖（ 8），在 RtABC 中， B=90 °，AD 是 BC 邊上的中線，CAD=，求證： sin1 .3分析：根據(jù)題意， Rt ABC 中，點(diǎn) B 在以 AC 為直徑的

12、半圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) D 保持 BD=DC ，問(wèn)題即為何時(shí) CAD= 最大？此時(shí) sin是否等于 1 ？顯然，當(dāng) B 在以 AC 為直徑的半圓上3運(yùn)動(dòng)時(shí)， BC 的中點(diǎn) D 應(yīng)在以 OC 為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)（圖9），故只有當(dāng) AD 與半圓 O相切時(shí) 最大。此時(shí)，因?yàn)镺 DAD 所以sin = O DO O1 ，故 sin1 .O AO A33十、空間轉(zhuǎn)化平面在立體圖形上有時(shí)求折線段或曲線段的長(zhǎng)度，直接求無(wú)從下手。我們可以把立體圖形通過(guò)展開(kāi)為平面圖形這樣立體圖形上兩點(diǎn)之間的曲線段或折線段問(wèn)題就轉(zhuǎn)化平面上的線段問(wèn)題了。例 10 ：如圖（ 10 ）已知圓錐的母線長(zhǎng)OA=6 ，底面的圓的半徑為2，一小蟲在圓錐底面的點(diǎn)A 處繞圓錐側(cè)面一周又回到點(diǎn) A 處。則小蟲所走的最短距離為（）。（A）12（B）4（C）6 2（D