五基本極限定理

1、第五章基本極限定理【授課對(duì)象】理工類(lèi)本科二年級(jí)【授課時(shí)數(shù)】2學(xué)時(shí)【授課方法】課堂講授與提問(wèn)相結(jié)合【基本要求】1理解切比雪夫（車(chē)貝曉夫）不等式；2、了解車(chē)貝曉夫大數(shù)定理及Bernoulli大數(shù)定理；3、知道獨(dú)立同分布的中心極限定理，了解德莫佛一拉普拉斯中心極限定理.【本章重點(diǎn)】車(chē)貝曉夫不等式，車(chē)貝曉夫大數(shù)定理及Bernoulli大數(shù)定理.【本章難點(diǎn)】對(duì)車(chē)貝曉夫大數(shù)定理及獨(dú)立同分布的中心極限定理的理解【授課內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配】§5.0前言在第一章中我們?cè)岢觯罅恐貜?fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的無(wú)限增大，事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)之比土（即頻n率）穩(wěn)定在某個(gè)確

2、定的常數(shù)附近（頻率的穩(wěn)定性），以此常數(shù)來(lái)近似作為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，并在實(shí)際中，當(dāng)n充分大時(shí)，用頻率值作為概率值的近似估計(jì).對(duì)于這些，我們需要給出理論上的說(shuō)明，而這些理論正是概率論的理論基礎(chǔ).§5.1切比雪夫不等式及大數(shù)定律、切比雪夫不等式定理1設(shè)隨機(jī)變量具有有限的期望與方差，則對(duì)-；弋，有P(©-E®口蘭嚀或P（匕_E（）c可蘭1D()亠2證明：僅對(duì)連續(xù)的情形給予證明，設(shè)的分布函數(shù)為F（x），則P(-E()一"二dF(x)乞IE)dF(x)x_E(3|為x_E(®為*1 -：.2D()一(xE()2dF(x)2zz該不等式表明：當(dāng)D

3、(©很小時(shí)，P(U-E(©)啟硏也很小，即©的取值偏離E&)的可能性很小.這再次說(shuō)明方差是描述取值分散程度的一個(gè)量在理論上切比雪夫不等式常作為其它定理證明的工具.、大數(shù)定律(包括強(qiáng)大數(shù)定律和弱大數(shù)定律，本書(shū)主要講弱大數(shù)定律)定義：設(shè);'；是隨機(jī)變量序列，它們都具有有限的數(shù)學(xué)期望EJ,E2),，若對(duì)1/-limP*送-jE乞-ii®-|nyn:=0,則稱(chēng)n服從弱大數(shù)定律.定理2(車(chē)貝曉夫大數(shù)定律)設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量I/',；分別具有數(shù)學(xué)期望E(1),E(n)及方差D(1),D(n)，若存在常數(shù)C使D(J<C,12(方差一致有

4、界)，則n服從大數(shù)定律既對(duì)任意的；0，有l(wèi)imPn-pci證明：由車(chē)貝曉夫不等式知：-；0,有:n0即丄£E(：j)汩蘭12D(勺)=鳥(niǎo)2蘭;C2=C2T0(nT00)nj土ny名nynwnwnw注：切比雪夫大數(shù)定律是最基本的大數(shù)定理，作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情形有Bernoulli大數(shù)定理和Poisson大數(shù)定律.定理3(Bernoulli大數(shù)定理)設(shè)Jn是n重Bernoulli試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，已p(0：p:1)，則對(duì)一；0，知在每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為jlimP-p3呂>=0nn第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)第i次試驗(yàn)中A不出現(xiàn)第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)第i次試驗(yàn)中A不出現(xiàn)i=1,2

5、,nE(i)=P,E(i)=P,D(二P(1P)乞1,i=1,2,n4于是由切比雪夫不等式，對(duì)-；0，有p丿吃_pr丄p11n-送匕i-E-z©/丄p丄，-Ei)*n1|nyinyni41J蘭D1送點(diǎn)一E(©)卜曇瓦陰0(nT«)ziny丿nEynw可見(jiàn)，只要把可見(jiàn)，只要把即土>P（n：）.故服從大數(shù)定律.n看作服從（0-1）分布的隨機(jī)變量即可.Bernoulli大數(shù)定律在理論上說(shuō)明了在大量重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，正是因?yàn)檫@種穩(wěn)定性，概率才有客觀意義.而Poisson大數(shù)定律則為切比雪夫大數(shù)定律的另一特例定理4（Poissor大數(shù)定律）設(shè)Jn是

6、n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，已知在第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為pi（0：pi：1）,i=1,2，則對(duì)-；0nm|:-：Pinm|:-：Pi-；=0證：（略）顯然，Poisson大數(shù)定律是作為Bernoulli大數(shù)定律的推廣，它表明隨著n；二，n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率穩(wěn)定于各次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率的算術(shù)平均值.推論：設(shè)1/',；是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且服從相同的分布,E(J",D(Jy2i=1,2,，則一；0,有:nmPn1n1墜卩_送£_卩蘭科=1ni三1n即丄7i以概率1收斂這個(gè)結(jié)論有很實(shí)際的意義：人們?cè)谶M(jìn)行精密測(cè)量時(shí)，為了減少隨機(jī)誤差，往往重復(fù)測(cè)量多次

7、，測(cè)得若干實(shí)測(cè)值測(cè)量多次，測(cè)得若干實(shí)測(cè)值然后用其平均值來(lái)代替歲.§5.2中心極限定理設(shè)n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，E1-山D<=c2ii=1,2/,nnnnn令Sn=vi-Ei則Bn2=DSn=DVi-E<二、Di-2i，i壬i絲i£iS設(shè)n=-Sn（標(biāo)準(zhǔn)化）n=1,2，下面研究；的分布：BnDf1:設(shè)n為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，若P<X以概率1收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分1X丄2布N（0,1）的分布函數(shù)：:（x）,即limPn沁=1e2dt，則稱(chēng)n服從中心極限定理.Df2:（不講）設(shè)隨機(jī)變量1,2,的分布函數(shù)為h（X）,F2（X）,，若Fn（X）弱收斂于正態(tài)分布N（

8、；2）的分布函數(shù)，則稱(chēng)n漸近于正態(tài)分布N（2）中心極限定理有多種不同的形式，下面我主要講兩種形式：一、獨(dú)立同分布的中心極限定理定理1:（萊維一林德伯格定理）設(shè)n是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，Ei=，Di二廠2（有限），若-R，n二（i一”）隨機(jī)變量；的分布函數(shù)Fn（X）二乞收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N0,1Jnb的分布函數(shù)，即lim._Fn（x）-：（x），則n服從中心極限定理.n證：（略）更進(jìn)一步的有：對(duì)飛：b，lim_Pa：n乞b="（b）門(mén)（a）二、德莫佛一拉普拉斯中心極限定理定理2:設(shè)n(n=1,2,)是n重Bernoulli試驗(yàn)中成功的次數(shù)，已知每次試驗(yàn)成功的概率為p0：p",q=1-p，則對(duì)-x：R,有2np1xtlimP_nx：adt二xnJ、npq2，或一a:：:b，有l(wèi)imPa：n_np豈b=b_an護(hù)npE證明:第i次試驗(yàn)成功反之-1,為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且EpDj二p(1-p)乞4nnpnnpn顯然：n=71，此時(shí)打iT該定理為上定理的一個(gè)特殊情形，故由上定理該定理得證作為以上二定理的應(yīng)用，我們給出下面例子：Ex1:(關(guān)于二項(xiàng)分布的近似計(jì)算式)設(shè)'B(n,p)，試求Pg：-m?m?解Pg:：_m2='Cnkpk(1-p)n'k尹m?解Pg:：_m2='Cnkpk(