五基本極限定理

1、第五章基本極限定理【授課對象】理工類本科二年級【授課時數(shù)】2學時【授課方法】課堂講授與提問相結(jié)合【基本要求】1理解切比雪夫（車貝曉夫）不等式；2、了解車貝曉夫大數(shù)定理及Bernoulli大數(shù)定理；3、知道獨立同分布的中心極限定理，了解德莫佛一拉普拉斯中心極限定理.【本章重點】車貝曉夫不等式，車貝曉夫大數(shù)定理及Bernoulli大數(shù)定理.【本章難點】對車貝曉夫大數(shù)定理及獨立同分布的中心極限定理的理解【授課內(nèi)容及學時分配】§5.0前言在第一章中我們曾提出，大量重復試驗中事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，隨著試驗次數(shù)n的無限增大，事件A在n次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)與試驗次數(shù)之比土（即頻n率）穩(wěn)定在某個確

2、定的常數(shù)附近（頻率的穩(wěn)定性），以此常數(shù)來近似作為事件A在一次試驗中發(fā)生的概率，并在實際中，當n充分大時，用頻率值作為概率值的近似估計.對于這些，我們需要給出理論上的說明，而這些理論正是概率論的理論基礎.§5.1切比雪夫不等式及大數(shù)定律、切比雪夫不等式定理1設隨機變量具有有限的期望與方差，則對-；弋，有P(©-E®口蘭嚀或P（匕_E（）c可蘭1D()亠2證明：僅對連續(xù)的情形給予證明，設的分布函數(shù)為F（x），則P(-E()一"二dF(x)乞IE)dF(x)x_E(3|為x_E(®為*1 -：.2D()一(xE()2dF(x)2zz該不等式表明：當D

3、(©很小時，P(U-E(©)啟硏也很小，即©的取值偏離E&)的可能性很小.這再次說明方差是描述取值分散程度的一個量在理論上切比雪夫不等式常作為其它定理證明的工具.、大數(shù)定律(包括強大數(shù)定律和弱大數(shù)定律，本書主要講弱大數(shù)定律)定義：設;'；是隨機變量序列，它們都具有有限的數(shù)學期望EJ,E2),，若對1/-limP*送-jE乞-ii®-|nyn:=0,則稱n服從弱大數(shù)定律.定理2(車貝曉夫大數(shù)定律)設相互獨立的隨機變量I/',；分別具有數(shù)學期望E(1),E(n)及方差D(1),D(n)，若存在常數(shù)C使D(J<C,12(方差一致有

4、界)，則n服從大數(shù)定律既對任意的；0，有l(wèi)imPn-pci證明：由車貝曉夫不等式知：-；0,有:n0即丄£E(：j)汩蘭12D(勺)=鳥2蘭;C2=C2T0(nT00)nj土ny名nynwnwnw注：切比雪夫大數(shù)定律是最基本的大數(shù)定理，作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情形有Bernoulli大數(shù)定理和Poisson大數(shù)定律.定理3(Bernoulli大數(shù)定理)設Jn是n重Bernoulli試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，已p(0：p:1)，則對一；0，知在每次試驗中A出現(xiàn)的概率為jlimP-p3呂>=0nn第i次試驗中A出現(xiàn)第i次試驗中A不出現(xiàn)第i次試驗中A出現(xiàn)第i次試驗中A不出現(xiàn)i=1,2

5、,nE(i)=P,E(i)=P,D(二P(1P)乞1,i=1,2,n4于是由切比雪夫不等式，對-；0，有p丿吃_pr丄p11n-送匕i-E-z©/丄p丄，-Ei)*n1|nyinyni41J蘭D1送點一E(©)卜曇瓦陰0(nT«)ziny丿nEynw可見，只要把可見，只要把即土>P（n：）.故服從大數(shù)定律.n看作服從（0-1）分布的隨機變量即可.Bernoulli大數(shù)定律在理論上說明了在大量重復獨立實驗中，事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，正是因為這種穩(wěn)定性，概率才有客觀意義.而Poisson大數(shù)定律則為切比雪夫大數(shù)定律的另一特例定理4（Poissor大數(shù)定律）設Jn是

6、n次獨立試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，已知在第i次試驗中A出現(xiàn)的概率為pi（0：pi：1）,i=1,2，則對-；0nm|:-：Pinm|:-：Pi-；=0證：（略）顯然，Poisson大數(shù)定律是作為Bernoulli大數(shù)定律的推廣，它表明隨著n；二，n次獨立試驗中事件A出現(xiàn)的概率穩(wěn)定于各次試驗中事件A出現(xiàn)的概率的算術平均值.推論：設1/',；是相互獨立的隨機變量，且服從相同的分布,E(J",D(Jy2i=1,2,，則一；0,有:nmPn1n1墜卩_送£_卩蘭科=1ni三1n即丄7i以概率1收斂這個結(jié)論有很實際的意義：人們在進行精密測量時，為了減少隨機誤差，往往重復測量多次

7、，測得若干實測值測量多次，測得若干實測值然后用其平均值來代替歲.§5.2中心極限定理設n是相互獨立的隨機變量序列，E1-山D<=c2ii=1,2/,nnnnn令Sn=vi-Ei則Bn2=DSn=DVi-E<二、Di-2i，i壬i絲i£iS設n=-Sn（標準化）n=1,2，下面研究；的分布：BnDf1:設n為相互獨立的隨機變量序列，若P<X以概率1收斂于標準正態(tài)分1X丄2布N（0,1）的分布函數(shù)：:（x）,即limPn沁=1e2dt，則稱n服從中心極限定理.Df2:（不講）設隨機變量1,2,的分布函數(shù)為h（X）,F2（X）,，若Fn（X）弱收斂于正態(tài)分布N（

8、；2）的分布函數(shù)，則稱n漸近于正態(tài)分布N（2）中心極限定理有多種不同的形式，下面我主要講兩種形式：一、獨立同分布的中心極限定理定理1:（萊維一林德伯格定理）設n是獨立同分布的隨機變量序列，Ei=，Di二廠2（有限），若-R，n二（i一”）隨機變量；的分布函數(shù)Fn（X）二乞收斂于標準正態(tài)分布N0,1Jnb的分布函數(shù)，即lim._Fn（x）-：（x），則n服從中心極限定理.n證：（略）更進一步的有：對飛：b，lim_Pa：n乞b="（b）門（a）二、德莫佛一拉普拉斯中心極限定理定理2:設n(n=1,2,)是n重Bernoulli試驗中成功的次數(shù)，已知每次試驗成功的概率為p0：p",q=1-p，則對-x：R,有2np1xtlimP_nx：adt二xnJ、npq2，或一a:：:b，有l(wèi)imPa：n_np豈b=b_an護npE證明:第i次試驗成功反之-1,為獨立同分布的隨機變量序列，且EpDj二p(1-p)乞4nnpnnpn顯然：n=71，此時打iT該定理為上定理的一個特殊情形，故由上定理該定理得證作為以上二定理的應用，我們給出下面例子：Ex1:(關于二項分布的近似計算式)設'B(n,p)，試求Pg：-m?m?解Pg:：_m2='Cnkpk(1-p)n'k尹m?解Pg:：_m2='Cnkpk(