動能定理0511

1、附錄二附錄二第三節(jié)第三節(jié) 動能定理動能定理功是代數(shù)量功是代數(shù)量一、一、 功與功率功與功率（1）常力在直線運動中的功）常力在直線運動中的功單位單位 J（焦耳）（焦耳） 1 J = 1 Nm 1、功的概念、功的概念即即（2）元功）元功力力 在在 路程上的路程上的功功為為記記則則（3）變力在曲線運動中的功）變力在曲線運動中的功（1）重力的功）重力的功質(zhì)點系質(zhì)點系由由重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。得得2、幾種常見力的功、幾種常見力的功（2）彈性力的功）彈性力的功彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù)k(N/m)彈性力彈性力彈性力的彈性力的功功為為因因式中式中得得即即

2、彈性力的彈性力的功功也與也與路徑路徑無無關(guān)關(guān)（3） 定軸轉(zhuǎn)動剛體上的功定軸轉(zhuǎn)動剛體上的功則則若若 常量常量由由得得從角從角 轉(zhuǎn)動到角轉(zhuǎn)動到角 過程中力過程中力 的功的功為為作用在作用在 點的力點的力 的元功為的元功為力系全部力的元功之和為力系全部力的元功之和為（4）平面運動剛體上力系的功）平面運動剛體上力系的功其中其中其中其中: 為力系主失，為力系主失， 為力系對質(zhì)心的主矩。為力系對質(zhì)心的主矩。 當質(zhì)心由當質(zhì)心由 ，轉(zhuǎn)角由，轉(zhuǎn)角由 時，力系的功為時，力系的功為 即：平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所即：平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得受各力作功

3、的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。的力和力偶作功之和。說明：說明：1、對任何運動的剛體，上述結(jié)論都適用；、對任何運動的剛體，上述結(jié)論都適用； 2、C點不是質(zhì)心，而是剛體上任意一點時，點不是質(zhì)心，而是剛體上任意一點時，上述結(jié)論也成立；上述結(jié)論也成立； 3、計算力系的主矢、主矩時，可以不包、計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不作功的力。含不作功的力。 3、 功率、功率方程、機械效率功率、功率方程、機械效率由由 ，得，得(1)功率：單位時間力所作的功稱功率功率：單位時間力所作的功稱功率即：功率等于切向力與力作用點速度的乘積。即：功率等于切向力與力作用點速度的乘積。 單位單位W（瓦

4、特），（瓦特），1W=1J/S作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為(2)功率方程功率方程稱功率方程，即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等稱功率方程，即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和?；蚧?3)機械效率機械效率機械效率機械效率有效功率有效功率多級轉(zhuǎn)動系統(tǒng)多級轉(zhuǎn)動系統(tǒng)解解:當當時時例例1 已知：已知：求：切削力求：切削力F的最大值的最大值若若 ，求，求F的最大值。的最大值。二、二、 動能定理動能定理（2）質(zhì)點系的動能）質(zhì)點系的動能（1）質(zhì)點的動能）質(zhì)點的動能 單位：單位：J（焦耳）（焦耳）1、動能平移剛體的動

5、能平移剛體的動能定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 即即 即即 （3）幾種常見運動剛體的動能）幾種常見運動剛體的動能即：平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移的動能即：平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。得得速度瞬心為速度瞬心為P平面運動剛體的動能平面運動剛體的動能上面結(jié)論也適用于剛體的任意運動。上面結(jié)論也適用于剛體的任意運動。將將 兩端點乘兩端點乘 ，由于由于2、 動能定理動能定理（1）質(zhì)點的動能定理）質(zhì)點的動能定理因此因此得得 上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式，即質(zhì)點上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式，即質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。動能的

6、增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。 稱質(zhì)點動能定理的積分形式：在質(zhì)點運動的某稱質(zhì)點動能定理的積分形式：在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功。作的功。積分之，有積分之，有（2）質(zhì)點系的動能定理）質(zhì)點系的動能定理 稱質(zhì)點系動能定理的微分形式：質(zhì)點系動能的增稱質(zhì)點系動能定理的微分形式：質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和。量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和。 由由求和求和得得 稱質(zhì)點系動能定理的積分形式：質(zhì)點系在某一稱質(zhì)點系動能定理的積分形式：質(zhì)點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能改變量，等于作段運動過程

7、中，起點和終點的動能改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功的和。用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功的和。積分之，有積分之，有理想約束理想約束 光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、柔索光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、柔索類等約束的約束力作功等于零。類等約束的約束力作功等于零。稱約束力作功等于零的約束為理想約束。稱約束力作功等于零的約束為理想約束。 對理想約束，在動能定理中只計入主動力的對理想約束，在動能定理中只計入主動力的功即可。功即可。內(nèi)力作功之和不一定等于零。內(nèi)力作功之和不一定等于零。 例例1 已知：已知：m, h, k, 其它質(zhì)量不計。其它質(zhì)量不計。求：求：解：解：max2(

8、11)2(11) , stststmgkhkmghmgk 例例 2 已知：輪已知：輪O的的R1、m1, 質(zhì)量分布在輪緣上質(zhì)量分布在輪緣上; 均均質(zhì)輪質(zhì)輪C的的R2、m2純滾動純滾動, 初始靜止初始靜止 ;, M為常力偶。為常力偶。求：輪心求：輪心C走過路程走過路程S時的速度和加速度時的速度和加速度解：輪解：輪C與輪與輪O共同作為一個質(zhì)點系共同作為一個質(zhì)點系式式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對是函數(shù)關(guān)系式，兩端對t求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得求：沖斷試件需用的能量求：沖斷試件需用的能量 例例 3 沖擊試驗機沖擊試驗機m=18kg, l=840mm, 桿重不計，桿重不計，在在 時靜止釋放，沖斷試件后擺至?xí)r靜止釋放，

9、沖斷試件后擺至得沖斷試件需要的能量為得沖斷試件需要的能量為解：解：圓盤速度瞬心為圓盤速度瞬心為C, 解：解：均不作功。均不作功。P將式將式(a)兩端對兩端對t求導(dǎo)，并利用求導(dǎo)，并利用得得不作功的力可不考慮，因此亦可如下計算：不作功的力可不考慮，因此亦可如下計算： 2、亦可將力系向點、亦可將力系向點O簡化，即簡化，即注意：注意：1、摩擦力、摩擦力Fd 的功的功 S 是力在空間的位移，是力在空間的位移，不是不是 受力作用點的位移。受力作用點的位移。例例 5：均質(zhì)桿：均質(zhì)桿OB=AB=l, m在鉛垂面內(nèi)；在鉛垂面內(nèi)；M=常量，初始靜止，不計摩擦。常量，初始靜止，不計摩擦。解：解： 求：當求：當A運動

10、到運動到O點時，點時， 例：已知：重物例：已知：重物m=250kg, 以以v=0.5m/s勻速勻速下降，鋼索下降，鋼索 k=3.35 N/m 求求: 輪輪D突然卡住時，鋼索的最大張力突然卡住時，鋼索的最大張力卡住前卡住前 卡住時：卡住時：解：解：得得即即由由 有有 例：已知例：已知 均質(zhì)園輪均質(zhì)園輪m,r,R ，純滾動，純滾動求：輪心求：輪心的運動微分方程的運動微分方程解解:重力的功率重力的功率（ 很小）很?。┍绢}也可用機械能守恒定律求解。本題也可用機械能守恒定律求解。得得 例：已知兩均質(zhì)輪例：已知兩均質(zhì)輪m,R;物塊物塊m, ，純滾動，于純滾動，于彈簧原長處無初速釋放。彈簧原長處無初速釋放。求：重物下降求：重物下降h時時 ，v、a及滾輪與地面的摩擦力。及滾輪與地面的摩擦力。解：解：將式（將式（a）對）對t 求導(dǎo)求導(dǎo)（a）得得其中其中例：已知例：已知 l, m求：桿由鉛直倒下，剛到達地面時的角速度和地面求：桿由鉛直倒下，剛到達地面時的角速度和地面約束力。約束力。解：解：成成 角時角時（ a ）（ b）時時由（由（ a ）,（ b ）,（ c ） 得得由由其中：其中： 鉛直鉛直 水平水平(c) 例：已知例：已知 輪輪I ：r, m1; 輪輪III