高考數(shù)學知識梳理復習題8第2講二項分布與超幾何分布

1、高考數(shù)學知識梳理復習題8第2講 二項分布與超幾何分布 知 識 梳理 1條件概率：稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。特別提醒： 0P（B|A）1； P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)。2. 相互獨立事件：如果事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。特別提醒：如果事件A、B是相互獨立事件，那么，A與、與B、與都是相互獨立事件兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。我們把兩個事件A、B同時發(fā)生記作A·B，則有P（A·B）= P（A）·P（B）推廣：如果事件A1，A2，An相互獨立，那

2、么這n個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。即：P（A1·A2··An）= P（A1）·P（A2）··P(An)3.獨立重復試驗: 在同樣的條件下，重復地、各次之間_的一種試驗.在這種試驗中，每一次試驗只有_結果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的.答案: 相互獨立地進行, 兩種4.如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率計算公式：_答案:Pn（k）=CPk（1P）nk,其中，k=0,1,2，,n.5.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗

3、中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到隨機變量的概率分布如下：01knP由于恰好是二項展開式中的各項的值，所以稱這樣的隨機變量服從_，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記b(k；n，p)答案:二項分布6. 兩點分布： X 0 1 P 1p p 特別提醒： 若隨機變量X的分布列為兩點分布, 則稱X服從兩點分布,而稱P(X=1)為成功率.7. 超幾何分布：一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則其中，

4、。稱分布列 X 0 1 m P 為超幾何分布列， 稱X服從_答案: 超幾何分布。 重 難 點 突 破 1.重點：理解超幾何分布及其導出過程.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，能理解n次獨立重復實驗的模型及二項分布. 2.難點：能利用超幾何分布, 二項分布及n次獨立重復實驗解決一些簡單的實際問題3.重難點：.(1) “互斥”與“獨立”混同問題1: 甲投籃命中率為O8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少?錯解 設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)： 點撥: 本題錯誤的原因是把相

5、互獨立同時發(fā)生的事件當成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和正確解答：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨立，則兩人都恰好投中兩次為事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= （2）“條件概率P(B / A)”與“積事件的概率P(A·B)”混同問題2:袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃色球的概率錯解 記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B,”第二次才取到黃球”為事件C,所以P(C)=P(B/A)

6、=.點撥：本題錯誤在于P(AB)與P(B/A)的含義沒有弄清, P(AB)表示在樣本空間S中,A與B同時發(fā)生的概率；而P（B/A）表示在縮減的樣本空間SA中，作為條件的A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。正確答案：P（C）= P(AB)=P（A）P（B/A）=。 熱 點 考 點 題 型 探 析考點一： 條件概率,相互獨立事件和獨立重復試驗題型1. 條件概率例1 一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)，每位數(shù)字都可從09中任選，某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：按第一次不對的情況下，第二次按對的概率； 任意按最后一位數(shù)字，按兩次恰好按對的概率；若他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2

7、次就按對的概率解題思路：這是一個一般概率還是條件概率？應選擇哪個概率公式？“按兩次恰好按對”指的是什么事件？為何要按兩次？隱含什么含義？第一次按與第二次按有什么關系？應選擇哪個概率公式？“最后一位是偶數(shù)”的情形有幾種？“不超過2次就按對”包括哪些事件？這些事件相互之間是什么關系？應選擇用哪個概率公式？解析：設事件表示第次按對密碼事件表示恰好按兩次按對密碼，則設事件表示最后一位按偶數(shù)，事件表示不超過2次按對密碼，因為事件與事件為互斥事件，由概率的加法公式得：【名師指引】條件概率相當于隨機試驗及隨機試驗的樣本空間發(fā)生了變化，事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率可以看成在樣本空間為事件A中事件B發(fā)生的

8、概率，從而得出求條件概率的另一種方法縮減樣本空間法將條件概率的計算公式進行變形，可得概率的乘法公式【新題導練】2. 設 100 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，25 件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品從中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率 解: 設B表示取得一等品，A表示取得合格品，則 （1）因為100 件產(chǎn)品中有 70 件一等品， (2)方法一: 因為95 件合格品中有 70 件一等品，所以 方法二:題型2。相互獨立事件和獨立重復試驗例2 (2008四川省成都市一診)某公司是否對某一項目投資，由甲、乙、丙三位決策人投票決定他們?nèi)硕加小巴狻薄?/p>

9、“中立”、“反對”三類票各一張投票時，每人必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，他們的投票相互沒有影響規(guī)定：若投票結果中至少有兩張“同意”票，則決定對該項目投資；否則，放棄對該項目投資 （）求此公司一致決定對該項目投資的概率；（）求此公司決定對該項目投資的概率；解題思路： 注意相互獨立事件和獨立重復試驗恰有次發(fā)生的區(qū)別解析：（）此公司一致決定對該項目投資的概率P= ()3（）此公司決定對該項目投資的概率為PC32()2()C33()3答: （）此公司一致決定對該項目投資的概率為（）此公司決定對該項目投資的概率為.【名師指引】 除注意事件的獨立性外, 還要注意恰有次發(fā)生與指定

10、第次發(fā)生的區(qū)別, 對獨立重復試驗來說,前者的概率為,后者的概率為【新題導練】1. （湖南卷16）.（本小題滿分12分）甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響.求：至少有1人面試合格的概率;解: 用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格.由題意知A，B，C相互獨立，且P（A）P（B）P（C）.至少有1人面試合格的概率是2（山東卷18）甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分。假設甲隊中每人答對的

11、概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為且各人正確與否相互之間沒有影響.用表示甲隊的總得分.（）求隨機變量分布列；()用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB).解: ()由題意知，的可能取值為0，1，2，3,且所以的分布列為0123P（）用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB=CD,且C、D互斥，又由互斥事件的概率公式得 考點二: 兩點分布與超幾何分布題型1: 兩點分布與超幾何分布的應用例3 高二（十）班共50名同學，其中35名男生，15名女生，隨機從中取出5名同學參加學生代表大會，所

12、取出的5名學生代表中，女生人數(shù)X的頻率分布如何？解題思路：5名學生代表中，女生人數(shù)有6種情況.解析：從50名學生中隨機取5人共有種方法，沒有女生的取法是，恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，因此取出的5名學生代表中，女生人數(shù)X的頻率分布為：X012345P例4 若隨機事件A在1次試驗中發(fā)生的概率是，用隨機變量表示A在1次實驗中發(fā)生的次數(shù)。（1）求方差的最大值；（2）求的最大值。 解題思路：（1）由兩點分布，分布列易寫出，而要求方差的最大值需求得的表達式，轉化為二次函數(shù)的最值問題；（2）得到后自然會聯(lián)想均值不等式求最值。解

13、析：（1）的分布列如表：所以， 所以時，有最大值。（2）由，當且僅當即時取等號，所以的最大值是?！久麕熤敢吭诔瑤缀畏植贾?只要知道N,M和n,就可以根據(jù)公式求出X取不同m值時的概率P(X=m).【新題導練】1在一個口袋中裝有30個球，其中有10個紅球，其余為白球，這些球除顏色外完全相同.游戲者一次從中摸出5個球.摸到4個紅球就中一等獎，那么獲一等獎的概率是多少？解：由題意可見此問題歸結為超幾何分布模型由上述公式得 2假定一批產(chǎn)品共100件，其中有4件不合格品，隨機取出的6件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)X的概率分布如何？解: 從100件產(chǎn)品中隨機取6件產(chǎn)品共有種方法，都是合格品的取法是，恰有1件不合格品

14、的取法是，恰有2件不合格品的取法是，恰有3件不合格品的取法是，恰有4件不合格品的取法是。因此取出的6件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)X的概率分布為：X01234P考點三: 獨立重復試驗與二項分布題型1: 獨立重復試驗與二項分布的應用例6 一口袋內(nèi)裝有5個黃球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次取出一個，取出后記下球的顏色，然后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，停止時取球的次數(shù)是一個隨機變量，則=_。（填計算式） 解題思路：這是一個“12次獨立重復試驗恰有10次發(fā)生”的概率問題，同學們很容易由二項分布原理得到，這就忽視了隱含條件“第12次抽取的是紅球”，此種解法的結果包含著第12次抽取到黃球。解析： 例7 某人

15、對一目標進行射擊，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少應射擊幾次？ 解題思路：“至多”，“至少”問題往往考慮逆向思維法解析：解：設要使至少命中1次的概率不小于0.75，應射擊次 記事件“射擊一次，擊中目標”，則射擊次相當于次獨立重復試驗， 事件至少發(fā)生1次的概率為由題意，令，至少取5【名師指引】要熟練掌握二項分布的特征，更要注意挖掘題目信息中的隱含信息。【新題導練】1. 廣東深圳外國語學校20082009學年高三月考理某科研小組進行某項科學實驗的成功率為。那么連續(xù)對該項實驗進行4次試驗恰有3次成功的概率是_。答案:2.廣州市海珠區(qū)2009屆高三上學期綜合測試二(數(shù)

16、學理)某商場準備在國慶節(jié)期間舉行促銷活動,根據(jù)市場調(diào)查,該商場決定從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品進行促銷活動.()試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率;()商場對選出的某商品采用的促銷方案是有獎銷售,即在該商品現(xiàn)價的基礎上將價格提高150元,同時,若顧客購買該商品,則允許有3次抽獎的機會,若中獎,則每次中獎都獲得數(shù)額為的獎金.假設顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是,請問:商場應將每次中獎獎金數(shù)額最高定為多少元,才能使促銷方案對商場有利?解: ()從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品一共有種選法,.選出的3種商品中沒有日用商品的選法有種,

17、 1分.所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為.4分()顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額是一隨機變量,設為X,其所有可能值為0, ,2,3.6分X=0時表示顧客在三次抽獎中都沒有獲獎,所以7分同理可得 于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是.12分要使促銷方案對商場有利,應使顧客獲獎獎金總額的期望值不大于商場的提價數(shù)額,因此應有,所以,13分.故商場應將中獎獎金數(shù)額最高定為100元,才能使促銷方案對商場有利. 14分 搶 分 頻 道 基礎鞏固訓練1. (江蘇省啟東中學高三綜合測試)口袋里放有大小相等的兩個紅球和一個白球，有放回地每次摸取一個球，數(shù)列滿足：如果為數(shù)列的前n項和，那

18、么的概率為 A B C D 答案：B2. (廣東省韶關市2008屆高三第一次調(diào)研考試)一臺機床有的時間加工零件A, 其余時間加工零件B, 加工A時,停機的概率是,加工B時,停機的概率是, 則這臺機床停機的概率為( ) A. B. C. D. 答案：A3(江蘇省啟東中學2008年高三綜合測試)一射手對同一目標獨立地射擊四次，已知至少命中一次的概率為，則此射手每次射擊命中的概率為（ ）A. B. C. D. 答案：B4（2008福建卷5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是( )A.B. C. D. 答案:B5甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，甲隊與乙隊實力之比

19、為，比賽時均能正常發(fā)揮技術水平，則在5局3勝制中，甲打完4局才勝的概率為（ ） 答案:A6一射手對同一目標獨立地進行4次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率為 答案: 綜合拔高訓練7廣東深圳外國語學校20082009學年高三月考理科數(shù)學試題一袋中裝有個白球，個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次取出一個，取出后記下球的顏色，然后放回，直到紅球出現(xiàn)次停止，設停止時,取球次數(shù)為隨機變量,則 _答案:8甲、乙二射擊運動員分別對一目標射擊次，甲射中的概率為，乙射中的概率為，求：8（1）人都射中目標的概率；（2）人中恰有人射中目標的概率；（3）人至少有人射中目標的概率；（4）人至多有人射中目標的概率？解：記“甲射擊次，擊中目標”為事件，“乙射擊次，擊中目標”為事件，則與，與，與，與為相互獨立事件，（1）人都射中的概率為：，人都射中目標的概率是（2）“人各射擊次，恰有人射中目標”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中（事件發(fā)生），另一種是甲未擊中、乙擊中（事件發(fā)生）根據(jù)題意，事件與互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式，所求的概率為：人中恰有人射中目標的概率是（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況，其概率為（法2）：“2人至少有一個擊中”與“2人都未擊中”