淺談逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、淺談逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用祁禮斌（靜寧縣靳寺職業(yè)中學(xué)）摘 要： 本文談?wù)摿烁拍罱虒W(xué)、公式教學(xué)、反證法教學(xué)、反例教學(xué)等幾個(gè)方面中逆向思維的培養(yǎng)與應(yīng)用。關(guān)鍵詞： 逆向思維；概念；反證法。逆向思維是指背離原來(lái)的認(rèn)識(shí)并在相對(duì)立的意義上去探索新的發(fā)展可能性.由于思維與原來(lái)認(rèn)識(shí)相反,在與原來(lái)習(xí)慣思維相反方向上進(jìn)行的,我們稱它為逆向思維逆向思維從反面觀察問(wèn)題,打破心理學(xué)上的心理定勢(shì)現(xiàn)象,沖破習(xí)慣思維的束縛,在與原來(lái)認(rèn)識(shí)方向相反的方向上尋求解決問(wèn)題的新方法,有時(shí)會(huì)產(chǎn)生意想不到的良好效果或獲得新的發(fā)明和創(chuàng)造逆向思維作為數(shù)學(xué)中的一種重要的思維方法,它是在習(xí)慣性的思維方向上做完全相反的探索在社會(huì)實(shí)踐和學(xué)習(xí)的過(guò)程

2、中,人們都有這樣一個(gè)經(jīng)驗(yàn):當(dāng)你對(duì)某一問(wèn)題冥思苦想而不得其解時(shí),不妨從它的反面去想一想,這樣常使人茅塞頓開(kāi),獲得意外的成功在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中,也有很多例證說(shuō)明了:用逆向思維方法從問(wèn)題的反面出發(fā)來(lái)考慮問(wèn)題不僅是解決問(wèn)題的有力手段,而且推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,開(kāi)辟了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的新天地例如人們認(rèn)識(shí)數(shù)、讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)都是從數(shù)的高位開(kāi)始的,而算術(shù)則是從低位算起,為什么不能從高位算起呢?正是從這一奇特的逆向思維出發(fā),終于創(chuàng)造出一種前所未有的獨(dú)特的快速的計(jì)算方法畢達(dá)哥拉斯學(xué)派自以為整數(shù)與整數(shù)之比已無(wú)窮盡世界之?dāng)?shù),但希臘數(shù)學(xué)家海帕修斯關(guān)于無(wú)理性的發(fā)現(xiàn),就是反證法對(duì)數(shù)學(xué)所建樹(shù)的不可磨滅的功勛,使人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)從有理數(shù)域

3、擴(kuò)大到實(shí)數(shù)域再比如,歐幾里得的幾何原本問(wèn)世后,人們?cè)噲D證明歐氏的第五公設(shè),大膽地引進(jìn)一條與歐氏第五公設(shè)完全相反的命題:過(guò)平面上直線外一點(diǎn)至少可以作兩條直線與原直線平行.在此基礎(chǔ)上展開(kāi)了一系列的推理,終于發(fā)現(xiàn)了幾何學(xué)的新天地非歐幾何.逆向思維的培養(yǎng)也是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程.按照思維過(guò)程的指向性來(lái)劃分,一個(gè)人的思維可以分為正向思維和逆向思維兩種形式一般認(rèn)為正向思維是沿著人們的習(xí)慣性思路的思維方式,雖比較有序、高效,但容易受思維定勢(shì)的束縛,影響人們的創(chuàng)造性.比如我國(guó)古代的司馬光,小時(shí)侯在與同伴玩耍時(shí)見(jiàn)一同伴掉入大水缸中,常規(guī)辦法是拉人出水,但缸對(duì)于孩子來(lái)說(shuō)又高又大,無(wú)法實(shí)施.在其他孩子一籌莫展的時(shí)候,

4、司馬光卻想到了相反的辦法砸缸放水,救出了同伴這就是逆向思維在實(shí)際生活當(dāng)中的成功應(yīng)用在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中我們會(huì)發(fā)現(xiàn),逆向思維也是可以隨時(shí)利用的,許多數(shù)學(xué)結(jié)論或題目,都可以“反過(guò)來(lái)想一想”,這樣往往有利于理解掌握數(shù)學(xué)知識(shí),甚至還可以發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律正向思維和逆向思維處于矛盾的兩個(gè)方面,沒(méi)有逆向思維也就沒(méi)有正向思維, 沒(méi)有正向思維也就沒(méi)有逆向思維,它們相輔相成因此,它們應(yīng)該具有同等重要的地位然而,在一般的數(shù)學(xué)教材中,運(yùn)用逆向思維來(lái)處理的內(nèi)容很少,由此導(dǎo)致學(xué)生的逆向思維能力很差他們的思維活動(dòng)長(zhǎng)期處于正向思維活動(dòng)之中,因此,給出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題后,他們總想力圖通過(guò)正向思維來(lái)思考去獲得問(wèn)題的解決但是,有很多數(shù)學(xué)

5、問(wèn)題利用正向思維很難獲得問(wèn)題的解決如果改變一下思維方式,采用逆向思維去思考,則可以使問(wèn)題很快得到解決,甚至可以得出一些創(chuàng)新的解法 由此可見(jiàn),在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,教師應(yīng)注意學(xué)生逆向思維的培養(yǎng),這樣就會(huì)使得學(xué)生能夠更加靈活地去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題同時(shí),在大力倡導(dǎo)素質(zhì)教育的今天, 逆向思維能力的培養(yǎng)對(duì)于提高學(xué)生的思維能力,培養(yǎng)高素質(zhì)人才也有著十分重要的意義那么,在數(shù)學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力呢?一、 在概念的教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維能力我們知道概念是客觀事物的本質(zhì)屬性在人們頭腦里的反映.由于數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)數(shù)學(xué)中的一切概念都是現(xiàn)實(shí)世界形式或數(shù)量關(guān)系這類本質(zhì)屬性在人們頭腦里的反映.有不

6、少教師在講解概念時(shí),總是直接把內(nèi)容寫(xiě)在黑板上,然后讓學(xué)生理解去記憶.這種形式有時(shí)需要,有時(shí)卻很不好,不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng).那么,就不妨從“逆向”的角度去認(rèn)識(shí)概念,去挖掘一下概念所包含的一切性質(zhì)及隱含條件,這樣能夠加深對(duì)概念的理解.如我們學(xué)習(xí)“映射”的概念之后,教師可以引導(dǎo)學(xué)生做這樣的思考:設(shè)：AB是集合A到集合B的映射.那么集合A、B中的元素對(duì)應(yīng)情況將如何?通過(guò)老師的引導(dǎo),學(xué)生可以得出結(jié)論,即:集合A中的元素不會(huì)有剩余了,而且每一個(gè)元素在B中都有唯一一個(gè)象；集合B中的元素可能有剩余.也就是說(shuō)B中的元素有的可能沒(méi)有原象；對(duì)應(yīng)的形式可能是“一對(duì)一”,也可能是“多對(duì)一”,“一對(duì)多”的是不可能的等

7、等.如在我們學(xué)習(xí)完“等比數(shù)列”的概念之后,我們還要反過(guò)來(lái)想一想,如果一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,據(jù)定義,可知這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)及其后項(xiàng)都不能是零.再比如,平面幾何中直線與直線垂直的定義：“當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中,有一個(gè)角是直角時(shí),就說(shuō)這兩條直線互相垂直.”講清這個(gè)定義后,應(yīng)啟發(fā)學(xué)生從不同角度理解這個(gè)定義,并考慮這個(gè)定義在什么情況想應(yīng)用,怎樣應(yīng)用.使學(xué)生明確它既可以作為直線與直線垂直的判定,也可以作為直線與直線垂直的性質(zhì).這樣,既注意了由此及彼,也注意到了由彼及此,使學(xué)生對(duì)概念辨析更清楚,理解得更透徹,使學(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的習(xí)慣.二、 在公式的教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維能力數(shù)學(xué)中的公式很多,熟練掌握公式

8、并能靈活地應(yīng)用,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所必須的,其中靈活地逆用公式是不可缺的.由左向右,余弦變正弦、倍角變單角、升冪等；由由向左,正弦變余弦、單角變倍角、降冪等.只有了解這些特點(diǎn)及功能,運(yùn)用起來(lái)才能得心應(yīng)手.另外,在公式的應(yīng)用中,不但要做一些公式的正用練習(xí),也要作一些公式的逆用練習(xí).舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子:化簡(jiǎn) 逆用公式不難得到,原式=.求值 逆用兩角和的正切公式=.同時(shí)，教師在講授公式時(shí)，應(yīng)將公式適當(dāng)變形，公式的逆用范例緊接著原來(lái)公式后出現(xiàn)，這樣可以加深學(xué)生的理解，給學(xué)生以完整的印象.如 ，講完這個(gè)公式后,適當(dāng)變形得,這樣學(xué)生就能認(rèn)清與和的關(guān)系,就會(huì)順利解答下面類型的習(xí)題.已知 ，求下列各式的值 對(duì)于一個(gè)

9、公式從左至右的使用比較熟練,運(yùn)用自如.但反過(guò)來(lái)從右至左的使用或變形使用,往往比較生疏、困難.這是許多學(xué)生都存在的問(wèn)題,這也從反面說(shuō)明了培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的重要性.三、 加強(qiáng)反證法的教學(xué)下面舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明:例1 如何證明正弦函數(shù)的最小正周期是?分析 是正弦函數(shù)的一個(gè)周期,要證明是正弦函數(shù)的最小正周期,只需證明任何小于的正數(shù)都不是它的周期.這可用反證法證明如下：設(shè)存在某一個(gè)小于的正數(shù)T是正弦函數(shù)的周期,根據(jù)周期函數(shù)的定義,當(dāng)x取定義域內(nèi)某一個(gè)值時(shí),都有,取,得,即.另外,根據(jù)余弦函數(shù)的定義,當(dāng)時(shí)等式成立,無(wú)論k取任何整數(shù),都有,這與矛盾,這個(gè)矛盾是由于假設(shè)存在小于的正數(shù)T,能夠成為正弦函數(shù)的周期造

10、成的,所以任何小于的正數(shù)都不是正弦函數(shù)的周期,即正弦函數(shù)的最小正周期是.例2 已知且,求證中至少有一個(gè)小于2.分析 結(jié)論若是“都是”,“都不是”, “至少”, “至多”形式的不等式或直接從正面入手難以尋覓解題的突破口的問(wèn)題,宜考慮用反證法.證明 假設(shè)都不小于2,則.因?yàn)樗杂刹坏仁降男再|(zhì)有,所以,即,這與已知條件矛盾,故假設(shè)不成立.反證法在數(shù)學(xué)中的例子很多,但是提醒每一位學(xué)生應(yīng)該注意的是:反證法是由逆向思維導(dǎo)致的一種有效的證明方法.在學(xué)習(xí)的過(guò)程中,一定要加以靈活應(yīng)用.四、 注重反例的逆用反例在數(shù)學(xué)發(fā)展中和證明一樣占著同樣重要的地位,這是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)問(wèn)題的探中,猜想的結(jié)論未必正確,正確的要求給予嚴(yán)

11、格證明,謬誤的則靠反例來(lái)否定.重要的反例往往會(huì)成為數(shù)學(xué)殿堂的基石,微積分剛建立的時(shí)候,數(shù)學(xué)界曾長(zhǎng)期錯(cuò)誤的認(rèn)為:連續(xù)函數(shù)除了個(gè)別點(diǎn)處總是處處不可導(dǎo)的.但是,1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家繼爾斯特拉斯構(gòu)造出了一個(gè)“處處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)”.這個(gè)反例震驚了數(shù)學(xué)界,促成了影響深遠(yuǎn)的“分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化”的數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng).從上面的例子可以看出, 反例不僅在培養(yǎng)逆向思維的能力中占重要地位,同時(shí)在糾正錯(cuò)誤結(jié)論、澄清概念、開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)領(lǐng)域中也起到了非常重要的作用.因此,可以得到這樣一個(gè)啟示:證明一個(gè)命題為真,固然要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格而周密的證明,然而要推翻一個(gè)命題卻只需舉出一個(gè)反例就可達(dá)到目的.例 命題“若、為無(wú)理數(shù)，則也為無(wú)理數(shù)”是否成立？

12、答 不成立,可構(gòu)造反例如下：當(dāng)=，此時(shí)=2為有理數(shù).有時(shí)候?yàn)榱烁闱宄粋€(gè)似是而非的數(shù)學(xué)命題,構(gòu)造反例是常用的一種有效的推理方法.例 一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形嗎?為什么?解 不一定是平行四邊形,可構(gòu)造反例如下: ABC是等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)E在BC上,BEEC,當(dāng)AED=EAC,DE=AC時(shí),ADE ECA.這時(shí),在四邊形ABED中,AB=DE, D=B,而四邊形ABED不是平行四邊形.此外,當(dāng)我們做完一個(gè)數(shù)學(xué)題目后,也可想到有時(shí)可舉一個(gè)數(shù)字簡(jiǎn)單的例子再驗(yàn)證一下思路是否正確,如果出現(xiàn)了矛盾,就表明思路有毛病.五、 在分析和解決問(wèn)題中培養(yǎng)逆向思維能力我們?cè)诜治龊徒鉀Q問(wèn)題

13、的時(shí)候,無(wú)論是探索思路還是尋找解題方法,大量的需要用常規(guī)的直接的方法去考慮解決問(wèn)題,但也常常需要采取一些非常規(guī)的間接的方法去解決問(wèn)題.反中求正例 設(shè)全集為R,集合,那么集合等于(A ；(B；(C ；(D直接求的集合比較麻煩,可先考慮的集合,即滿足且的x的集合,恰是.即= =,所以答案為(D.有的同學(xué)可能會(huì)問(wèn),此題中給出的正弦、余弦是不是多余的條件?其實(shí)不是.我們知道正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是R(這是題目中的隱含條件,而全集為R,才有=,否則不一定成立.間接思路例 方程的解是( (A2或-1；(B -2或1；(C1；(D2.解 注意到x-1時(shí)無(wú)對(duì)數(shù),立即排除(A、(B,將1代替x計(jì)算方程的左邊得,因而選(C.此題在選定(C之后已不必在驗(yàn)證(D給出的答案是錯(cuò)的,這是由條件決定的,本題如用直接方法求解需解一個(gè)二次方程,要復(fù)雜得多.避重就輕例 已知且,求的最大值.分析 由知,欲求的最大值,可先求的最小值.解 由已知可得,又,所以,故,所以.當(dāng),即時(shí), 最大為,此時(shí).參考文獻(xiàn)：1