2021屆高三數(shù)學之函數(shù)與導數(shù)(文理通用)專題06切比雪夫函數(shù)

1、專題06切比雪夫函數(shù)-考情分析縱觀近幾年的高考真題，出現(xiàn)了一類題目?？此剖且坏烙嘘P二次函數(shù)的題目；二次函數(shù)的定 義域和值域相同。大多數(shù)學生或老師，第一眼看過去，以為是定軸動區(qū)間或定區(qū)間動軸的問 題，然后就進入討論的誤區(qū)。深入討論，就會發(fā)現(xiàn)，計算復:雜，討論紛擾。最后就是不了了 之。然后，再次審視題目，就會發(fā)現(xiàn)我們陷入誤區(qū)。切比雪夫函數(shù)或切比雪夫不等式，在此 時的應用，就可以讓我們秒解這類題目。數(shù)學的學習，就是要學習數(shù)學，領悟數(shù)學，秒殺數(shù) 學。二.經驗分享L切比雪夫不等式馬爾科夫不等式：P(Xa)0)；切比雪夫不等式是馬爾科夫不等式的特殊情況：P(|X-kb) (其中0,4是期望，b是標準差).

2、2.切比雪夫函數(shù)與切比雪夫不等式的意義馬爾科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等數(shù)學中學習的內容，是概率與統(tǒng)計學中的一個定 理。主要意思：小情的大多會集中在平:均值附近或者事情的發(fā)生大多在平:均值上的概率最大。 也就說，馬爾科夫不等式或者切比雪夫不等式只是對概率的一個估計，既然是估計，就有可 能正確，也有可能不正確。但是按照這兩個不等式來看，在概率學的角度上。發(fā)生的概率是 最大。但在高中數(shù)學學習初等函數(shù)，用這個兩個不等式解題，就會有出奇制勝，秒殺的快感。三、題型分析()切比雪夫函數(shù)的巧解例 1.己知函數(shù)若時，|/(x)歸 1,則;4 + 6 的最大值是.【傳統(tǒng)解法】解析：先找必要條件|/(-l)H

3、-| + l|+6 + l|l=-k+l|+6i(r+l)+60=ia + &- 22222取= -L 令4 = 0,5 =f(K)=f +-|x| -36-11易知/(力為偶函數(shù)在0內增,驗證1/(0)區(qū)LI/(D|W1=M切W1滿足題意?！厩斜妊┓虿坏仁浇夥ā俊窘馕觥扛鶕?jù)切比雪夫不等式：/(l)=/+1-。|+及786/?),若e-Ll時，|/(x)| 0) , xe-1,1時，|/(x)歸1恒成立，則 |)=【切比雪夫不等式解法】【解析】根據(jù)切比雪夫不等式:若xe時，|到41恒成立，也就是對稱軸應該是X = 0 ：工=上=0，解之得：m=2, f(x) = 2x?+，故此|/(l)|=|

4、2 + n區(qū) 1 恒成立：-2m故此麓=一1,所以/(x) = 2x?l1_9(-)其他類型函數(shù)的 例2. 2019年高考浙江】已知。R,函數(shù)/(x) = o？-x,若存在fwR,使得2 |/(f + 2)-/(0|-則實數(shù)。的最大值是4【答案】-322【解析】存在f R，使得|/(f+ 2) /(f)區(qū) ,即有| (f + 2)3 (f + 2)+f區(qū) , 化為|2(3產+6/ + 4)-2區(qū);,可得一;K2Q(3 + 6f + 4)2：, 即,產+ 6f + 4)g,由3 + 6f + 4 = 3(f + l + l2 1,可得0ag.4 則實數(shù)的最大值是.【名師點睛】本題考查函數(shù)的解析式

5、及二次函數(shù)，結合函數(shù)的解析式可得2|n(r+2)3-(r+2)-ar3 + r|-,去絕對值化簡，結合二次函數(shù)的最值及不等式的性質可求解.【變式訓練1】【廣東省汕頭市2019屆高三第二次模擬考試(B卷)數(shù)學】已知函數(shù)x +1./(1) = ,X 0 g(x) = x2_x_2,設6為實數(shù)，若存在實數(shù)。，使得g(b)+/(a) = 2成立，則b的取值范圍為A. -1,2B.3 7 252C.3 72,2D.-r4【答案】A【解析】因為/(1) = 0所以當xNO時，f(x) = 2單調遞增，故f(x) = 2加之2；當 X(T)+ (一J 之2,當且僅當一4 = 一1,即工二一1時，取等號， X

6、綜上可得，/E 2,+8)一又因為存在實數(shù)力使得9(b)+a)=2成立，所以只需訓2 磯附，即g(b)=/匕2 o,解得一1 b2.故選A.【名師點睛】本題主要考查分段函數(shù)的值域,將存在實數(shù)即使得ffW +/(a) = 2成立，轉化為g(b) 0；22 22121構造函數(shù) H(x) = ln(),(x 0), / (x) = xf - - in (x 0) 222 22)故當工0,2五卜/(x) = x1-ln |0, 3) = 3-311吟)是單調遞增; 當工2后,40), ” (x) = x(g-ln) 0)的最大值”(2 JZ) = e ：從而得到ab的最大值為e四.遷移應用，/ 、 f

7、log,(l-x),x0/(-c. (-,+oo)D. (4,”)【答案】A【解析】函數(shù)/(工)=1082(/一3X一4),則 x? - 3工一4 0=*(x-4)(x + l) 0=x4或14或工一1,由y = log?x是單調遞增函數(shù)，可知函數(shù)“X)的單調減區(qū)間即y = V -3x4的單調減區(qū)間，)+/(1023)=A. 9B. 11C. 13D. 15【答案】B【解析】,函數(shù) /(力=吃(3)+ f (log, 3)= log2 4+”3 =2+9=11.故選B.【名師點睛】本題考杳分段函數(shù)、函數(shù)值的求法，考查對數(shù)函數(shù)的運算性質，是基礎題.2.【黑龍江省哈爾濱市第三中學2019屆高三第二

8、次模擬數(shù)學】函數(shù)/(工)=108式丁-31-4)的單調減區(qū)間為3A. (-,-1)B. (-O0,-)3當時，函數(shù)y = / 3%一4單調遞減，結合“X)的定義域，可得函數(shù)/(力=1唯(/一31一4)的單調減區(qū)間為(-8,1).故選A.【名師點睛】本題考查了復合函數(shù)的單調性，要注意的是必須在定義域的前提下，去找單調 區(qū)間.3.【山東省煙臺市2019屆高三3月診斷性測試(一模)數(shù)學】若函數(shù)/(X)是定義在R上 的奇函數(shù)，/0)= 1，當X0時，/W = log2(-x) + w,則實數(shù)陽=A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(；) = 1，且x /

9、(4),而選項c在Xo時是遞增的，故排除c.故選D.【名師點睛】本題考查了函數(shù)的圖象和性質，利用函數(shù)的奇偶性和取特值判斷函數(shù)的圖象是 解題的關鍵，屬于基礎題.5 .【四川省百校2019屆高三模擬沖刺卷】若函數(shù)y = /(x)的大致圖象如圖所示，則/(x) 的解析式可以是A. = e +eex + e-xc. =B. /=- e ee* _ eD.=【答案】C【解析】當XT。時，f (x) Tioo,而A中的0,排除A； 當 xVO 時，/(x) 0,0,排除 B, D,選項 D 中，f(x)=e e故選C.【名師點睛】本題考查了函數(shù)的單調性、函數(shù)值的符號，考查數(shù)形結合思想，利用函數(shù)值的 取值范

10、圍可快速解決這類問題.6.【北京市朝陽區(qū)2019屆高三第二次(5月)綜合練習(二模)數(shù)學】已知函數(shù)/(1) = ，若函數(shù)/(X)存在零點，則實數(shù)。的取值范圍是-x, xaA. (-oo,0)B. (-oo, 1)C. (l,4-oo)D.(0,+s)【答案】D2* x a【解析】函數(shù)/() = ，Xa的圖象如圖：-x,xa-I3 4 5公函數(shù)/(X)存在零點，則實數(shù)。的取值范圍是(0, -KX).故選D.【名師點睛】本題考查分段函數(shù)，函數(shù)的零點，考查數(shù)形結合思想以及計算能力.7.【山東省煙臺市2019屆高三5月適應性練習(二)數(shù)學】已知函數(shù)丁 = /。)的定義域為R,f(x+1)為偶函數(shù)，且對

11、/周居41,滿足J- ”0.若/(3) = 1,則不等式 X2X1/(log2 X)V1的解集為A. 8)B. (1,8)C. O,；)U(8,”)D. (f4)U(8,K)【答案】Af(x )_ f(x 【解析】因為對l時，是單調遞增函數(shù)，又因為/(3) = 1,所以有/(-1)= 1,當logxKl,即當0vx2時，/(log?x)/(log2x)log2x-l=xi,.；l,即當x2時，/(log2 x) f (log2 x) log2 jvx8,/.2x8,綜上所述：不等式/(1。氏工) 0)，則 y = f(x)是。上的增函數(shù)；X2-Xl若(7(公) 一 %) (9 8) 0(/區(qū))

12、-/0的解集是22A. (- 2)2 222C. , )D. (-O0,-)U(-, + oo)【答案】D 【解析】因為/(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x)的圖象關于直線x = 2對稱，因此，由0) = 0得*4) = 0,又f(X)在(F，2上單調遞減，則/(X)在2,內)上單調遞增，所以，當23x22即xKO時，由23勸0得”2_3冷/(4),所以23%4,解得X -y:當23x0時，由/(2 3勸0得f(2 3x)/(0),所以23x - 9322因此，/(2-3刈0的解集是(_8, ：)U(, + 8).故選D.【名師點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性，不等式的求解，先根據(jù)函數(shù)的奇偶性得

13、到函 數(shù)在定義域上的單調性，從而分類討論求解不等式.9.【山東省德州市2019屆高三第二次練習數(shù)學】已知定義在R上的函數(shù)/(X)在區(qū)間0,+8) 上單調遞增，且y = x-l)的圖象關于x=l對稱，若實數(shù)滿足log24)v/(2),則 。的取值范圍是A.B.D. （4,-Kx）【答案】C 【解析】根據(jù)題意，y = f(xl)的圖象關于直線x=l對稱，則函數(shù)f(x)的圖象關于丁軸對稱，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，又由函數(shù)“X)在區(qū)間0,+8)上單調遞增，可得 /(| log26f |)/(2),則 I log?” | 2,即一2log,a2,解得4即的取值范用為(,4).故選C.【名師點睛】本題考查

14、函數(shù)的單調性與奇偶性的應用，考查對數(shù)不等式的解法.10.【廣東省汕頭市2019屆高三第二次模擬考試(B卷)數(shù)學】已知函數(shù)一+1 x 0g(b) + f(a) = 2成立，則6的取值范圍為A.B. -37f 3 /22(2【答案】AX2 4-1_Z X，X 0所以當xNO時，f(x) = 2單調遞增，故/(力=26之2；當x2 ,當且僅當一4 = -1,即x = 1時，取等號， X綜上可得，f(x)e 2,+00).又因為存在實數(shù)Q,使得g(b) +/(a)=2成立，所以只需9(b)工2 - f(a)mjn,即9(b)=從一5一 2二0,解得一1 b2.故選A.【名師點睛】本題主要考查分段函數(shù)的

15、值域，將存在實數(shù)q,使得9g)+/切=2成立，轉1JlogJ2x+l)化為9(b) 0log1 (2x+l) 0，解得一 Lx0.2則f(x)的定義域為(一,0).【名師點睛】本題考查函數(shù)的定義域，屬于基礎題.12.【湖南省長沙市第一中學2019屆高三下學期高考模擬卷(一)數(shù)學】若函數(shù)稱為“準奇函數(shù)”，則必存在常數(shù)，b,使得對定義域的任意x值，均有/(冷+ /(2。一#=26,已X知/W =為準奇函數(shù)“，則a-rb=.X-1【答案】2 【解析】由/(勸+/(2。一口=26知”準奇函數(shù)叮關于點Q6)對稱.X1因為/(勸= =1+關于(L1)對稱，所以。=1，b = l， x-1x-l則a+b=2

16、.故答案為2.【名師點睛】本題考查新定義的理解和應用，考查了函數(shù)圖象的對稱性，屬于基礎題.13.【廣東省深圳市深圳外國語學校2019屆高三第二學期第一次熱身考試數(shù)學】函數(shù)/(x) =4+ log、生竺為奇函數(shù)，則實數(shù)。=.X 1-X【答案】1【解析】.函數(shù)/(X)= L + Iog?生絲為奇函數(shù)，.J(T)= f(x)，即 f (-x)+/(x) = 0,nil 1 . 1-ax 1 .1 + ajc _ nnl(1 + ax 1-arA則+ log,+ + log,= 0 ,即 log J=0 ,x 1 + x x- 1-x 1-x 1 + x)1 + ax 1-ax l-a2x2 . mi

17、.,.,1-X1+X1-X-a2 = 1,則。= 1.11 Y當 4 = -1 時，/(X)= - + 10g2p,則f(x)的定義域為：卜卜。0且XW1，此時定義域不關于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；11 + X當 a=i 時，y(x)=-+iog,-,滿足題意，X - 1-X.a -1 -【名師點睛】本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)解析式，根據(jù)條件建立方程關系是解 決本題的關鍵，易錯點是忽略定義域關于原點對稱的前提，造成求解錯誤.14.【河南省濮陽市2019屆高三5月模擬考試數(shù)學】已知直線/與曲線y = x5-x + l有三個不同的交點4(士,弘)，B(x2,y2), c(x3,y3),且|A8|=|AC|,則(4 + 乂)=1=1【答案】3【解析】由題意，函數(shù)y = 是奇函數(shù)，則函數(shù)y = d x的圖象關于原點