2020-2021中考數(shù)學(xué)平行四邊形綜合練習(xí)題含詳細(xì)答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)平行四邊形綜合練習(xí)題含詳細(xì)答案一、平行四邊形1 .已知，在矩形 ABCD中，AB=a, BC=b,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).圖1部圖3(1)如圖1,當(dāng)b=2a,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請證明 / BMC=90 ;(2)如圖2,當(dāng)b>2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在 / BMC=90 ,若存在，請給與 證明；若不存在，請說明理由；(3)如圖3,當(dāng)bv 2a時(shí)，(2)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.【答案】(1)見解析；(2)存在，理由見解析；(3)不成立.理由如下見解析 .【解析】試題分析：(1)由b=2a,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，可得 AB=AM=M

2、D=DC=a,又由四邊形 ABCD是矩形，即可求得 ZAMB=Z DMC=45 ,則可求得/ BMC=90 ;(2)由Z BMC=90 ,易證得ABMsDMC,設(shè)AM=x,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得方程：x2-bx+a2=0,由b>2a, a> 0, b>0,即可判定即可確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意；(3)由(2),當(dāng)bv2a, a>0, b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情況，即可求得答 案.試題解析：(1) .b=2a,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，.AB=AM=MD=DC=a,又在矩形 ABCD 中，/ A=Z D=90 ,/

3、 AMB=Z DMC=45 ；/ BMC=90 :(2)存在，理由：若Z BMC=90 ,則 / AMB+/ DMC=90 ,又 Z AMB+Z ABM=90 ,/ ABM=Z DMC,又 : / A=/ D=90 ,.ABMADMC, am AB"CD DM 'x a設(shè) AM=x,則 ，a b x整理得：x2-bx+a2=0,. b>2a, a>0, b>0, =b2 - 4a2>0,，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，.當(dāng) b>2a 時(shí)，存在 /BMC=90； (3)不成立.理由：若/BMC=90 ,由(2)可知 x2-bx

4、+a2=0,. b<2a, a>0, b>0, =b2 - 4a2 v 0,.方程沒有實(shí)數(shù)根，當(dāng)bv 2a時(shí)，不存在/BMC=90 ；即(2)中的結(jié)論不成立.考點(diǎn)：1、相似三角形的判定與性質(zhì)；2、根的判別式；3、矩形的性質(zhì)2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為(4, 0),(4, 3),動(dòng)點(diǎn)M, N分別從O, B同時(shí)出發(fā).以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).其中，點(diǎn) M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過點(diǎn) M作MPLOA,交AC于P,連接 NP,已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了 x秒.(1) P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少(用含 x的代數(shù)式表示)；(2)試求4NPC面積S

5、的表達(dá)式，并求出面積 S的最大值及相應(yīng)的x值；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，4NPC是一個(gè)等腰三角形？簡要說明理由.3【答案】(1) P點(diǎn)坐標(biāo)為(x, 3-x).4(2) S的最大值為-,此時(shí)x=2.c 416128(3) x=,或 x=,或 x=-.395【解析】試題分析：(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是求 OM和PM的長，已知了 OM的長為x,關(guān)鍵是 求出PM的長，方法不唯一， 可通過PM/ OC得出的對應(yīng)成比例線段來求； 也可延長 MP交BC于Q,先在直角三角形 CPQ中根據(jù)CQ的長和/ACB的正切值求出 PQ的長，然后根據(jù) PM=AB-PQ來求出PM的長.得出 OM和PM的長，即可求出 P點(diǎn)的坐標(biāo).(

6、2)可按(1) 中的方法經(jīng)求出 PQ的長，而CN的長可根據(jù)CN=BC- BN來求得，因此 根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可得出S, x的函數(shù)關(guān)系式.(3)本題要分類討論： 當(dāng)CP=CN時(shí)，可在直角三角形 CPQ中，用CQ的長即x和/ABC的余弦值求出 CP的表 達(dá)式，然后聯(lián)立 CN的表達(dá)式即可求出 x的值；當(dāng)CP=PN時(shí)，那么CQ=QN,先在直角三角形 CPQ中求出CQ的長，然后根據(jù) QN=CN-CQ求出QN的表達(dá)式，根據(jù)題設(shè)的等量條件即可得出x的值.當(dāng)CN=PN時(shí)，先求出QP和QN的長，然后在直角三角形 PNQ中，用勾股定理求出 PN 的長，聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出 x的值.試題解析：(1)過點(diǎn)

7、P作PQ± BC于點(diǎn)Q,有題意可得：PQ/AB,.CQPCBA,OPABQC BCQP 3- =一x 4解得：QP= x,.PM=3- -x,由題意可知，CP點(diǎn)坐標(biāo)為(x,(0, 3) , M (x, 0) , N (4-x, 3),33 一 x).4(2)設(shè)NPC的面積為S,3NC邊上的高為二工，其中，在 ANPC 中，NC=4-x,0< xW4133s S=-r (4 x)x= 14S(-x2 +4x)3 .，S的取大值為,此時(shí)x=2.(3)延長MP交CB于Q,則有PQ, BC.若NP=CR-. PQ± BC, NQ=CQ=x.1 3x=4,LL:? 若 CP=C

8、N 貝U CN=4 x, PQ=x, CP; x, 4- x=- x,4416x=一;9 若 CN=NP,貝U CN=4-x.,. PQ=：x, NQ=42x,.在 RtPNQ 中，PN2=NQ2+PQ2,(4x)2= (4 - 2x) 2+(1x) 2,128. x=5"1283.操作與證明：如圖1,把一個(gè)含45°角的直角三角板 ECF和一個(gè)正方形 ABCD擺放在一 起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn) C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊 CR CD上, 連接AF.取AF中點(diǎn) M, EF的中點(diǎn)N,連接 MD、MN.(1)連接AE,求證：4AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：(2

9、)在(1)的條件下，請判斷 MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論.結(jié)論1: DM、MN的數(shù)量關(guān)系是二結(jié)論2: DM、MN的位置關(guān)系是拓展與探究：(3)如圖2,將圖1中的直角三角板 ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,其他條件不變，則 (2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.D【答案】（1）證明參見解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由參見解析. 【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識證明出CE=CF繼而證明出 ABE0ADF,得到AE=AF從而證明出 4AEF是等腰三角形；（2） DM、MN的數(shù)量關(guān) 系是相等，利用直角三角形斜

10、邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置關(guān)系是垂直，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個(gè)底角相等性質(zhì)，及全等三角形對應(yīng)角 相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接 AE,交MD于點(diǎn)G,標(biāo)記出各個(gè)角，首先證明出1 1MN/AE, MN=*AE,利用三角形全等證出 AE=AF,而DM=，AF,從而得到 DM, MN數(shù)量相 等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)量關(guān) 系得到/DMN=/DGE=90,從而得到 DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：（1）二.四邊形 ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD / B=/ ADF=90 , = CEF 是等腰直角三

11、角形， /C=90, .-.CE=CF - BC- CE=C> CF,即 BE=DF .ABEAADF,AE=AFAAEF是等腰三角形；（2） DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等， DM、MN的位置關(guān)系是垂直；二,在RtADF中DM是斜邊 AF的中線，AF=2DM, / MN是4AEF的中位線，AE=2MN, -. AE=AF, . . DM=MN ; -/ DMF=/ DAF+/ ADM ,AM=MD , / FMN=Z FAE / DAF=Z BAE,/ ADM= / DAF=Z BAE, . / DMN=/FMN+/DMF=/DAF+/BAE+/FAE之 BAD=90. DM,MN ; （

12、3） （2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立，連接 AE,交MD于點(diǎn)G,二點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，II .MN/AE, MN=r'AE,由已知得， AB=AD=BC=CD / B=/ADF, CE=CF 又. BC+CE=CD+C F 即 BE=DF /. AABEAADF, ，AE=AF,在 RtADF 中，點(diǎn) M 為 AF 的 111中點(diǎn)，DM=AF,DM=MN , / AABE AADF, ，/1 = /2, -. AB/ DF, ，/1 = /3,同理可證：Z2=Z4, .l. Z3=Z4, 1 DM=AM , ，/MAD=/5,Z DGE=Z 5+Z 4=Z MAD+ Z 3=

13、90 ,° / MN / AE, . . / DMN= / DGE=90 . DM，MN .所 以（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立.考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.三角形中位線定理；4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).4.如圖，在菱形 ABCD中，AB=4, ZBAD=120°, AAEF為正三角形，E、F在菱形的邊 BC, CD 上.(1)證明：BE=CF(2)當(dāng)點(diǎn)E, F分別在邊BC, CD上移動(dòng)時(shí)(4AEF保持為正三角形)，請?zhí)骄克倪呅?AECF的面積是否發(fā)生變化？若不變,求出這個(gè)定值；如果變化，求出其最大值.(3)在(2)的情況下，請?zhí)骄?CEF的面積是否發(fā)生變化？若不

14、變，求出這個(gè)定值；如試題分析：(1)先求證AB=AC,進(jìn)而求證 ABC ACD為等邊三角形，得 / 4=60°,AC=AB進(jìn)而求證 ABEACF,即可求得 BE=CF(2)根據(jù)AB®4ACF可得Saabe=Sacf,故卞|據(jù)S四邊形AECf=SkX AEC+Sa ACF=Sa AEC+Sa ABE=Sa ABC 即可解題；(3)當(dāng)正三角形 AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊 AE最短.4AEF的面積會(huì)隨著 AE的變化 而變化，且當(dāng) AE最短時(shí)，正三角形 AEF的面積會(huì)最小，又根據(jù) Sace尸S四邊形aecfSxaef,則 CEF的面積就會(huì)最大.試題解析：(1)證明：連接AC,

15、/ 1 + / 2=60 ； Z3+Z 2=60 ；：. / 1 = 7 3, / BAD=120 ,°/ ABC=Z ADC=60 ° 四邊形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD .ABG 4ACD為等邊三角形/ 4=60 ； AC=AB, 在 4ABE和 4ACF 中，rzi=Z3AB=AC ,ZABC=Z 4 .ABEMCF. (ASA) .BE=CF(2)解：由(1)得ABEACF,則 Sa abe=Sa acf.故 S 四邊形 aecf=Saec+Sa ac尸Sa aec+Sa abe=Saabc, 是定值.作AHBC于H點(diǎn)，貝U BH=2,S 四邊形 AECF

16、=S ABC=，=.=46；(3)解：由 垂線段最短”可知，當(dāng)正三角形 AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊 AE最短.故4AEF的面積會(huì)隨著 AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí),正三角形AEF的面積會(huì)最小，又Sacef=S四邊形aecf- Saaef,則ZCEF的面積就會(huì)最大.由(2)得，Sacef=S四邊形 AECF SaAEF點(diǎn)睛：本題考查了菱形每一條對角線平分一組對角的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中求證ABEACF是解題的關(guān)鍵.5.如圖，正方形 ABCD的邊長為8, E為BC上一定點(diǎn)，BE= 6, F為AB上一動(dòng)點(diǎn)，把【分析】B'

17、;處，當(dāng)4AFB恰好為直角三角形時(shí)，B'D的長為？分兩種情況分析：如圖 1,當(dāng)/AB' F=9時(shí)，此時(shí)A、B'、E三點(diǎn)共線，過點(diǎn) B'作B 肚AB, B' CAD,由三角形的面積法則可求得B' M=2.4再由勾股定理可求得 B' N=3.2在 RtCB N中，由勾股定理得，B' D=b N2+DN 2 = J3.22 5.62 ；如圖 2,當(dāng)/AFB =90。 時(shí)，由題意可知此時(shí)四邊形EBFB是正方形，AF=2,過點(diǎn)B作B'皿AD,則四邊形 AFB N為矩形，在RtACBf N中，由勾股定理得，B' D=B N2+

18、DN2=J22 22 ； 【詳解】如圖1,當(dāng)/ AB' F=90寸，此時(shí) A、B'、E三點(diǎn)共線，/ B=90 ； -AE=v/aB2_BE2 = /8262=10,. B' E=BE=6 . AB' =4. B' F=BFAF+BF=AB=8在 RtAAB 沖，/AB' F=90 由勾股定理得，AF2=FB2+AB2, .AF=5, BF=3,過點(diǎn)B作B'mAB, B' CAD,由三角形的面積法則可求得B' M=2.4再由勾股定理可求得B' N=3.2AN=B ' M=2.4/. DN=AD-AN=8-2.

19、4=5.6,在 RtACB N中，由勾股定理得，B' d=/bn2+DN2 = J3.22 5.62 =2 屈；5如圖2,當(dāng)/ AFB =9叫，由題意可知此時(shí)四邊形EBFB是正方形，AF=2,過點(diǎn) B作 B'NAD,則四邊形 AFB N為矩形，. . AN=B F=6 B' N=AF=2 . . DN=AD-AN=2, 在 RtCB N中，由勾股定理得，B' D=b N2+DN 2 = y2 2"2 =2J2 ；4 綜上，可得B' D的長為點(diǎn)5或2a5 1【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)與判定，矩形有性質(zhì)判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)等，能正確 地

20、畫出圖形并能分類討論是解題的關(guān)鍵.6 .閱讀下列材料：我們定義：若一個(gè)四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則這條對角線叫這 個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形.如正方形就是和諧四邊形.結(jié)合閱讀材A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形(2)命題： 和諧四邊形一定是軸對稱圖形”是 命題(填 真”或 假”).ABCD(3)如圖，等腰 RtABD中，/BAD= 90°.若點(diǎn)C為平面上一點(diǎn)，AC為凸四邊形 的和諧線，且 AB=BC,請求出/ ABC的度數(shù).【答案】(1) C ; (2) /ABC的度數(shù)為60°或90°或150°.【解析】

21、試題分析：(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)和和諧四邊形定義，直接得出結(jié)論 (2)根據(jù)和諧四邊形定義，分 AD=CD, AD=AC, AC=DC討論即可.(1)根據(jù)和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對角線不能把四邊形分成兩個(gè) 等腰三角形，菱形的一條對角線能把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形夠.故選 C.(2) .等腰 RtABD 中，/BAD=90, .AB=AD.AC為凸四邊形 ABCD的和諧線，且 AB=BC分三種情況討論：若AD=CD,如圖1,則凸四邊形 ABCD是正方形，/ ABC=90 ;若AD=AC,如圖2,貝U AB=AC=BC ABC是等邊三角形， / ABC=60 ；若AC=DQ如圖3,

22、則可求Z ABC=150.圖1圖2C03考點(diǎn)：1.新定義；2.菱形的性質(zhì)；3.正方形的判定和性質(zhì)； 4.等邊三角形的判定和性 質(zhì)；5.分類思想的應(yīng)用.7.已知 AOB 90，點(diǎn)C是 AOB的角平分線OP上的任意一點(diǎn)，現(xiàn)有一個(gè)直角 MCN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，兩直角邊CM , CN分別與直線OA, OB相交于點(diǎn)D ,點(diǎn)E.即圖2周3(1)如圖1,若CD OA,猜想線段OD , OE, OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(2)如圖2,若點(diǎn)D在射線OA上，且CD與OA不垂直，則(1)中的數(shù)量關(guān)系是否仍 成立？如成立，請說明理由；如不成立，請寫出線段 OD , OE , OC之間的數(shù)量關(guān)系， 并加以證明.(3)如

23、圖3,若點(diǎn)D在射線OA的反向延長線上，且 OD 2, OE 8 ,請直接寫出線段 CE的長度.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3） 734 【解析】 【分析】（1）先證四邊形 ODCE為矩形，再證矩形 ODCE為正方形，由正方形性質(zhì)可得；（2）過點(diǎn)C作CG OA于點(diǎn)G , CH OB于點(diǎn)H ,證四邊形OGCH為正方形,再證CGD CHE（ASA）,可得；（3）根據(jù) CGD CHE （ASA）,可得 OE OD OH OG .2OC.【詳解】 解：（1） AOB 90 , MCN 90 , CD OA,四邊形ODCE為矩形. .OP是 AOB的角平分線， DOC EOC 45 , :.

24、OD CD , ，矩形ODCE為正方形， oc T2Od, oc V2oe. OD OE 2OC.（2）如圖，過點(diǎn) C作CG OA于點(diǎn)G, CH OB于點(diǎn)H , OP平分 AOB, AOB 90 , ，四邊形OGCH為正方形, 由（1）得：OG OH V2OC， 在CGD和CHE中，CGD CHE 90 CG CH,DCG ECHCGD CHE （ASA）,GD HE , OD OE . 2OC . （3）OG OH V2OC， CGD CHE （ASA）, . GD HE . . OD GD OG, OE OH EH ,OE OD OH OG 癡C，OC 3.2，CE 、34, ce的長度為

25、J34.8.現(xiàn)有一張矩形紙片 ABCD (如圖)，其中 AB=4cm, BC= 6cm,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).將紙 片沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在四邊形 AECD內(nèi)，記為點(diǎn)B；過E作EF垂直B'C,交BC于F.(1)求AE、EF的位置關(guān)系；25【解析】【分析】(1)由折線法及點(diǎn) E是BC的中點(diǎn)，可證得 ABEC是等腰三角形，再有條件證明/AEF=90即可得到AE± EF;(2)連接 BB',通過折疊，可知 / EBB JEB' B由E是BC的中點(diǎn)，可得 EB' =E C/ECB'上EB',C從而可證 ABB'的直角三角形，在 RtA A

26、OB和RtBOE中，可將 OB, BB ' 的長求出，在 RtBB' C中，根據(jù)勾股定理可將 B'的勺值求出.【詳解】(1)由折線法及點(diǎn) E是BC的中點(diǎn)，.EB=EB = EC, /AEB-/AEB；.B'EC是等腰三角形，又 ; EF± B C.EF為/ B'EC的角平分線，即 /B'EF=/FEC/ AEF= 180 - ( /AEB+/CEF = 90 ；即/ AEF= 90 °,即 AE± EF；(2)連接BB交AE于點(diǎn)O,由折線法及點(diǎn) E是BC的中點(diǎn)，.EB=EB'= EC, / EBB'=

27、 / EBB, / ECB= / EB'C；又 BBC三內(nèi)角之和為180°,/ BBC= 90 - 點(diǎn)B是點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)， AE垂直平分BB'在 RtAOB 和 RtBOE中，BO2= AB2 - AO2= BE? - ( AE AO) 2將 AB=4cm, be= 3cm , ae= 5cm,16 " AO = cm5.BO= ab2AO2 =12一 cm,5一一 24 BB = 2BO= cm,5在 RtBBC 中,BC= BC2BB由題意可知四邊形 OEFB是矩形,. LL E 121 EF= OB =, 5.1 71 18 122 .SAB

28、EC= - B C EF22 5510825【點(diǎn)睛】考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理勾股定理的和矩形的性質(zhì)綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大 小不變，只是位置變化.9.點(diǎn)P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) P不與點(diǎn)A, C重合)，分別 過點(diǎn)A, C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn) E, F,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).C DC 75C(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請你判斷 OE與OF的數(shù)量關(guān)系;(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到如圖2所示位置時(shí)，請你在圖 2中補(bǔ)全圖形并通過證明判斷(1)中的 結(jié)論是否仍然成立；(3)若點(diǎn)P在射線OA上

29、運(yùn)動(dòng)，恰好使得 /OEF= 30°時(shí)，猜想此時(shí)線段 CF, AE, OE之間 有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論不必證明.【答案】(1) OE= OF.理由見解析；(2)補(bǔ)全圖形如圖所示見解析，OE= OF仍然成立；(3) CF= OE+AE或 CF= OE- AE.【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂線，即可判定AOE COF(AAS),得出OE=OF；(2)先延長EO交CF于點(diǎn)G,通過判定 AOE COG(ASA),得出OG=OE,再根據(jù)1 一Rt EFG 中，OF EG,即可得到 OE=OF； 2(3)根據(jù)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，當(dāng)

30、點(diǎn)P在線段OA延長線上時(shí)，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì) 算即可.【詳解】(1) OE=OF.理由如下： 如圖1.四邊形ABCD是矩形，OA=OC.AE BP, CF BP , AEO CFO 90 .AEO CFO.在 AOE 和 COF 中， AOE COF , AOE COF (AAS) , . . oe=of； OA OC(2)補(bǔ)全圖形如圖2, OE=OF仍然成立.證明如下： 延長EO交CF于點(diǎn)G. AE BP, CF BP , AE/CF, EAO GCO.又點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，AO=CO.EAO GCO在 AOE 和 COG 中， AO CO ,， AOE CO

31、G(ASA) , . . OG=OE, AOE COG1 Rt EFG 中，OF EG, . OE=OF； 2(3) CF=OE+AE或 CF=OE-AE.證明如下： 如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí). OEF 30 , EFG 90，.一 OGF 60 ,由(2)可得：OF=OG,OGF 是 等邊三角形，F(xiàn)G=OF=OE,由(2)可得： AOE COG ,CG=AE.又 CF=GF+CG, CF=OE+AE;如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長線上時(shí).OEF 30 , EFG 90，.二 OGF 60 ,同理可得：OGF是等邊三角形,FG=OF=OE,同理可得：AOE COG ,CG=AE.又 CF=G

32、F-CG,CF=OE-AE.本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角 形的性質(zhì)和判定，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對角 線互相平分得全等的邊相等的條件，根據(jù)線段的和差關(guān)系使問題得以解決.10.如圖，點(diǎn)E是正方形 ABCD的邊AB上一點(diǎn)，連結(jié) CE,過頂點(diǎn)C作CF, CE,交AD延 長線于F.求證：BE=DF.【答案】證明見解析.【解析】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，證出 BC=CD/B=/ CDF, /BCD=90,再由垂直的性質(zhì)得到/ BCE=/ DCF,然后根據(jù) “ ASA明 BC珞 BCE即可得到BE=DF詳解：證明：CF&#

33、177;CE,/ ECF=90, °又 / BCG=90, / BCE-+Z ECD =/ DCF-+Z ECD / BCE玄 DCF, 在 BCE與4DCF中， / BCE玄 DCF, BC=CD / CDF=/ EBC.,.BCEABCE (ASA), .BE=DF.點(diǎn)睛：本題考查的是正方形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答 此題的關(guān)鍵.11.如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)(P與B、D不重合)，/APE=90,°且點(diǎn)E在BC邊上，AE交BD于點(diǎn)F.(1)求證： PA®4PCB；PE=PC；(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中， 衰

34、的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，請說明理 由；(3)設(shè)DP=x,當(dāng)x為何值時(shí)，AE/ PC,并判斷此時(shí)四邊形 PAFC的形狀.【答案】(1)見解析；竺=理血打工；(3) x=、2-1;四邊形PAFC是菱形.【解析】試題分析：(1)根據(jù)四邊形 ABCD是正方形，得出 AB=BC /ABP=/ CBP ,再根據(jù)PB=PB 即可證出PA®4PCB, 根據(jù) / PAB+/ PEB=180°, / PEC吆 PEB=180；得出 / PECh PCB 從而證出 PE=PC (2)根據(jù) PA=PC PE=PC 得出 PA=PE 再根據(jù) /APE=90,得出 / PAE4 PE

35、A=45 ,即可求AP出"；(3)先求出/CPE4 PEA=45 ,從而得出 /PCE，再求出/ BPC即可得出/ BPC=/ PCE從 而證出 BP=BC=1 x=2 1,再根據(jù) AE/ PC,得出 /AFP=Z BPC=67.5,由PAg4PCB 得出Z BPA=/ BPC=67.5, PA=PC從而證出 AF=AP=PC得出答案.11試題解析：(1)二.四邊形 ABCD是正方形，AB=BC, / ABP=/ CBP= / ABC=45 . PB=PB,APABAPCB ( SAS .由 PAg PCB可知，Z PAB=Z PCB, / ABE=/ APE=90°, .

36、 . / PAB+Z PEB=180°,又 / PEC吆 PEB=180 ,/ PECh PAB=Z PCB,. PE=PCAP(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值不改變.由 PA® PCB可知，PA=PC ,.PE=PCPA=PE又 / APE=90 ,竺修.PAE 是等腰直角三角形，/PAE土 PEA=45, ° .,.''= .1(3) AE/ PC,Z CPE=/ PEA=45 , 在 APEC 中，Z PCE=Z PEC= (180 45°) =67.5 : 在4PBC中，/BPC= (180° / CBP / PC日=(1

37、80 45 67.5 ) =67.5 °.Z BPC=Z PCE=67.5, °，BP=BC=1, ，x=BD BPa'2 1. AE/ PC,/ AFP=Z BPC=67.5 ,由 PA® PCB可知，/ BPA=Z BPC=67.5, PA=PQ ，/AFP=/ BPA, .-.AF=AP=PC . .四邊形 PAFC是菱形.考點(diǎn)：四邊形綜合題.12.如圖，在菱形 ABCD中，AB=6, /ABC=60°, AHBC于點(diǎn)H.動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿 線段BC向點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng).過點(diǎn) E作EF± AB,垂足為點(diǎn)F.點(diǎn)E出

38、發(fā)后，以EF為邊向上作等邊三角形 EFG設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，4EFG和4AHC的重 合部分面積為S.(1) CE= (含t的代數(shù)式表示).(2)求點(diǎn)G落在線段AC上時(shí)t的值.(3)當(dāng)S>0時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.(4)點(diǎn)P在點(diǎn)E出發(fā)的同時(shí)從點(diǎn) A出發(fā)沿A-H-A以每秒2<3個(gè)單位長度的速度作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P隨之停止運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)P在4EFG內(nèi)部時(shí)t的取值范32v3【答案】(1) 6-2t; (2) t=2; (3)當(dāng)彳vtw時(shí)，S= " t2k®t-3*；當(dāng) 2vtw時(shí)，S=-6533y/3312 t2+ ? t- ? ；(4)?&

39、lt;t< 5.【解析】試題分析：(1)由菱形的性質(zhì)得出 BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2即可；(2)由菱形的性質(zhì)和已知條件得出4ABC是等邊三角形，得出 /ACB=60,由等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出 /GEF=60, GE=EF=BE?sin6 0、入，證出/ GEC=9 0,由三角函數(shù)求 I GE出CE=an6T=t,由be+ce=bC導(dǎo)出方程，解方程即可；31(3)分兩種情況： 當(dāng)，vtw對，S=AEFG的面積-4NFN的面積，即可得出結(jié)果；當(dāng)2vtw的，由的結(jié)果容易得出結(jié)論；3(4)由題意得出t=N時(shí)，點(diǎn)p與h重合，E與H重合，得出點(diǎn)P在4EFG內(nèi)部時(shí)，t的不 等式

40、，解不等式即可.試題解析：(1)根據(jù)題意得：BE=2t,四邊形ABCD是菱形，BC=AB=6,.CE=BC-BE=6-21(2)點(diǎn)G落在線段AC上時(shí)，如圖1所示： .四邊形ABCD是菱形， .AB=BC, Z ABC=60 ,.ABC是等邊三角形，Z ACB=60 , EFG是等邊三角形，Z GEF=60, GE=EF=BE?sin60爐t,=.EFXAB,Z BEF=90-60 =30 ,Z GEB=90,Z GEC=90, GE y3t.c匚 tan60° - 7T . . CE= =t, BE+CE=BC .-2t+t=6 ,解得：t=2；3(3)分兩種情況：當(dāng)2tw汨寸，如圖

41、2所示:SEFG的面積-A NFN的面積 ？ 戶 x (，)2, X? x (- 3 +2' ) 2= ： t2+ t-31 ,2yp即 S= 3 t2+'t-3Xp;當(dāng)2vt w時(shí)，如圖3所示:65%必 29*同 33Vm即 S=- 4 t2+ " t- 士 ；(4) . AH=AB?sin603=67=3P , 3c.#=,3+2=,，t=2時(shí)，點(diǎn)P與H重合，E與H重合,.點(diǎn)P在4EFG內(nèi)部時(shí),(2t-3)-%< (昌 X(2t-3),12解得：r<t<即點(diǎn)P在4EFG內(nèi)部時(shí)t的取值范圍為:vtv12T考點(diǎn)：四邊形綜合題.,，3-、一,、，一13

42、.已知一次函數(shù)y=7X+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段 AB為直角邊在第二象限內(nèi)左等腰直角三角形ABCBAC=90,如圖1所示.(1)填空：AB=, BC=.(2)將 ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AC與x軸平行時(shí)，則點(diǎn) A的坐標(biāo)是 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，得到BDE,如圖2所示，求過B、D兩點(diǎn)直線的函數(shù)關(guān)系式. 在的條件下，旋轉(zhuǎn)過程中 AC掃過的圖形的面積是多少？(3)將 ABC向右平移到B'配立置，點(diǎn)C為直線AB上的一點(diǎn)，請直接寫出 4ABC掃 過的圖形的面積.4【答案】(1) : 5; 5點(diǎn)；(2)(0, - 2);直線BD的解析式為y=- x+3;2$27耳S

43、= =兀；(3) 4ABC掃過的面積為 .46【解析】試題分析：(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理即可解答；(2)因?yàn)?B (0, 3),所以 OB=3,所以 AB=5,所以 AO=AB-BO=5-3=2,所以 A (0,-2)； 過點(diǎn)C作CF,OA與點(diǎn)F,證明AOBCFA得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線 AC解析 式，根據(jù)AC/ BD,所以直線BD的解析式的k值與直線AC的解析式k值相同，設(shè)出解析 式，即可解答. 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)而得出 A, B, C對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案，再利用以BC為半徑90。圓心角的扇形面積減去以 AB為半徑90。圓心角的

44、扇形面積求出答案；(3)利用平移的性質(zhì)進(jìn)而得出 ABC掃過的圖形是平行四邊形的面積.3試題解析：(1)二一次函數(shù)yx+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，.A (-4, 0) , B (0, 3), .AO=4, BO=3,在 RtA AOB 中，AB=</。” +=苫 + *=5 ,等腰直角三角形 ABC, / BAC=90 ,°.OB=3,.AB=5,.AO=AB-BO=5-3=2, .A (0, -2).當(dāng)在x軸上方時(shí)，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(0, 8),如圖2,過點(diǎn)C作CF, OA與點(diǎn)F, ABC為等腰直角三角形，/ BAC=90 ； AB=AC, / BAO+/ CAF=

45、90 ,° / OBA+Z BAO=90 ；/ CAF=Z OBA, 在4AOB和4CFA中，jLCAF =I " = ah .AOB0CFA (AAS); .OA=CF=4, OB=AF=3,.OF=7, CF=4,.C (-7, 4). A (-4, 0)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,If 4Ar + b = 0 7 k j- jh 4 將A與C坐標(biāo)代入得：',T16解得：，'41 16則直線AC解析式為y= "x, 將ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90時(shí)，得到BDE/ ABD=90 ,° / CAB=90 ；/ ABD=Z C

46、AB=90 ,° .AC/ BD,，設(shè)直線BD的解析式為y= x+bi,把B (0, 3)代入解析式的：bi=3,I 4，直線BD的解析式為y=設(shè)+3; 因?yàn)樾D(zhuǎn)過程中 AC掃過的圖形是以 BC為半徑90。圓心角的扇形面積減去以 AB為半徑 90。圓心角的扇形面積，90 x X (5/2)2 90 x nx 52 25 yj所以可得：S= 3603604(3)將 ABC向右平移到B'他立置, ABC掃過的圖形是一個(gè)平行四邊形和三角形ABC,如圖3:將C點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)3y=4x+3,求得C'的橫坐標(biāo)為4平行四邊CAA C勺面積為(7.)125三角形ABC的面積為

47、X5X5= ABC掃過的面積為:AEG考點(diǎn)：幾何變換綜合題.14.如圖，現(xiàn)有一張邊長為 4的正方形紙片 ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn) A、點(diǎn)D重合)，將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H, 折痕為EF,連接BP、BH.B(1)求證：/APB=/ BPH；(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，求證： 4PDH的周長是定值;(3)當(dāng)BE+CF的長取最小彳直時(shí)，求 AP的長.【答案】(1)證明見解析.(2)證明見解析.(3) 2.【解析】試題分析：(1)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出 /PBC1 BPH,進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出 ZAPB=Z PBC即可得出答案；(2)首先證明 ABPQBP,進(jìn)而得出 BCHBQH,即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3)過 F作 FMXAB,垂足為 M,貝U FM=BC=AB, 證明 EFM BPA,設(shè) AP=x,利用折 疊的性質(zhì)和勾股定理的知識用x表示出BE和CF,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.試題解析：