如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)靈感

1、1如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)靈感數(shù)學(xué)靈感是人腦對數(shù)學(xué)對象結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種突發(fā)性領(lǐng)悟。在解答數(shù)學(xué)難題時，通常會遇到這樣的情況：盡管從多角度、用各種方法去探 索，還是百思不得其解。如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)靈感呢？本文是整理培養(yǎng)數(shù)學(xué)靈 感的資料，僅供參考。我國著名科學(xué)家錢學(xué)森說：“靈感，也就是人在科學(xué)或藝術(shù)創(chuàng)作 中的高潮，突然出現(xiàn)的、瞬時即逝的短暫思維過程”唯物論者也承認(rèn)靈感，但它不是上帝的恩賜，而是人們在實踐活動中逐步形成或培 養(yǎng)出來的一種不同常人的高效率、大跨度創(chuàng)造性思維的表現(xiàn)靈感是緊張的創(chuàng)造性活動和長期艱苦勞動的結(jié)果.數(shù)學(xué)靈感是人腦對數(shù)學(xué)對象結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種突發(fā)性的領(lǐng)悟在解答數(shù)學(xué)難題時，通常會遇到這樣的情況：盡管從多角度、

2、用各種方法 去進行探索，但百思不得其解可正在“山窮水盡疑無路”之際，靈 感出現(xiàn)了，從而創(chuàng)造了“柳暗花明又一村”的美的境界.靈感與創(chuàng)造思維、靈感與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)究竟有何聯(lián)系？我們可看看下 面幾位數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)靈感與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的情況.法國數(shù)學(xué)家笛卡兒，早就有把相互獨立的代數(shù)與幾何結(jié)合起來的 愿望，經(jīng)過長時期的思考， 但未找到合適的方法.1619年隨軍服務(wù)時 他仍在思考.11月9日，在多瑙河畔的諾伊堡，他幾天來整日沉迷在 思考之中而不得其解，入睡后連作數(shù)夢，夢中迷迷糊糊地想到引入直 角坐標(biāo)系的方法第二天，也即是11月10日清2晨，醒后立即將夢中 所得加以整理，終于創(chuàng)造了解析幾何學(xué)，笛卡爾獲得了成功，但他醞 釀

3、時間為16171619年，約為兩年的時間.法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊在談到他發(fā)現(xiàn)富克斯函數(shù)的變換方法時 回憶說：“1880年有一次我離開當(dāng)時居住的卡昂去作一次由礦業(yè)學(xué)校 主辦的地質(zhì)考察旅行.旅途的奔波使我忘掉了我的數(shù)學(xué)工作，抵達庫 特塞斯后，我們乘公共馬車到各處去轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，正當(dāng)我跨上踏板的瞬間， 腦子里突然出現(xiàn)了一個想法，即我曾用來定義富克斯函數(shù)的諸變換跟 非歐幾何中的諸變換是一致的龐加萊回到住址后，馬上把這一結(jié) 果加以證明這是在長時間緊張工作之后，思想放松時靈感的突然閃 現(xiàn)，是經(jīng)過了約一年時間的苦思之后才獲得成功的.被稱為數(shù)學(xué)王子的高斯為證明某一算術(shù)定理，曾苦思冥想達兩年之久，后來突然得到一個想法，使

4、他獲得成功高斯回憶說：“終于在 兩天前我成功了……像閃電一樣，謎一下解開了我自己 也說不清楚是什么導(dǎo)線把原先的知識和我成功的東西連接起來”盡管解開這個謎的想法是突然來的，但高斯本人經(jīng)過兩年的艱苦努力才 為這個成功的到來做好了準(zhǔn)備.由以上對三位數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)靈感的出現(xiàn)而導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的描述， 可 以看出這種在長時期持續(xù)勞動后的某時刻出現(xiàn)的 “突然領(lǐng)悟”是一種 非邏輯的高層次的創(chuàng)造活動，亦即靈感思維活動.靈感是不能靠偶然的機遇、守株待兔式的消極等待可以得到的.必須是執(zhí)著追求、 鍥而不舍、 百折不撓， 才能有成功的一天所謂“觸 景生情” “靈機一動” “眉頭一皺

5、，計上心來”，都是經(jīng)過長期堅持不 懈地創(chuàng)造性勞動而“偶然得之”的巴斯加說：“機遇只偏愛有準(zhǔn)備的 頭腦”恰恰道出了此中的真諦.3怎么培養(yǎng)數(shù)學(xué)靈感教學(xué)過程中，經(jīng)常有學(xué)生會問這么一個問題：老師，當(dāng)你拿到一道題目的時候，為什么你能夠想到用這個方法？其實，這是關(guān)于數(shù)學(xué)靈感的一個話題。寫作，搞藝術(shù)經(jīng)常講到靈 感;同樣在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，靈感也非常重要，是分析和解決實際問 題能力的一個重要手段，對于開發(fā)學(xué)生的智力是一個不可忽視的因 素。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視靈感能力的培養(yǎng)，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新 精神和創(chuàng)造能力是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)是一門思維學(xué)科，在我們目前的數(shù)學(xué)教育中，如何設(shè)計、滲 透數(shù)學(xué)的靈感教育是一項重要的改革

6、，我們要以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思 維為主，把傳授知識和訓(xùn)練思維能力統(tǒng)一起來， 培養(yǎng)適應(yīng)社會需求的 創(chuàng)造性人才。通過一段時間的數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)， 針對”數(shù)學(xué)靈感的培養(yǎng)”這 一課題進行資料的查找與探討總結(jié)。 我們發(fā)現(xiàn)，靈感真的是學(xué)習(xí)的關(guān) 鍵元素，只有以靈感作為學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)與前提， 才能更好地開拓自己的 思維，挖掘出自己內(nèi)在所具有的天賦。因此，我們在課堂內(nèi)外應(yīng)注重 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)靈感的培養(yǎng)。我們可以從下列各個方面入手來培養(yǎng)數(shù)學(xué)靈 感：1、重視數(shù)學(xué)基本問題和基本方法的牢固掌握和應(yīng)用，以形成并 豐富數(shù)學(xué)知識組塊。靈感不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然是有偶然性，但決不是無 緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎(chǔ)。若沒

7、有深厚的功底， 是不會迸發(fā)出思維的火花。所以對數(shù)學(xué)基本問題和基本方法的牢固掌 握和應(yīng)用是很重要的。所謂知識組塊又稱知識反應(yīng)塊。它們由數(shù)學(xué)中 的定義、定理、公式、法則等組成，并集中地反映在一些基本問題， 典型題型或方法模式。許多其他問題的解決往往可以歸結(jié)4成一個或幾 個基本問題，化為某類典型題型，或者運用某種方式模式。這些知識組塊由于不一定以定理、性質(zhì)、法則等形式出現(xiàn)，而是分布于例題或 問題之中，因此不容易引起師生的特別重視，往往被淹沒在題海之中， 如何將它們篩選出來加以精練是數(shù)學(xué)中值得研究的一個重要課題。在解數(shù)學(xué)題時，主體在明了題意并抓住題目條件或結(jié)論的特征之 后，往往一個念頭閃現(xiàn)就描繪出了解

8、題的大致思路。這是尖子學(xué)生經(jīng) 常會碰到的事情，在他們大腦中貯存著比一般學(xué)生更多的知識組塊和 形象直感，因此快速反應(yīng)的數(shù)學(xué)靈感就應(yīng)運而生。2、 強調(diào)數(shù)形結(jié)合，發(fā)展幾何思維與類幾何思維。數(shù)學(xué)形象直感 是數(shù)學(xué)靈感思維的源泉之一，而數(shù)學(xué)形象直感是一種幾何直覺或空間 觀念的表現(xiàn)，對于幾何問題要培養(yǎng)幾何自身的變換、 變形的直觀感受 能力。對于非幾何問題則要用幾何眼光去審視分析就能逐步過渡到類 幾何思維。3、 重視整體分析，提倡塊狀思維。在解決數(shù)學(xué)問題時要教會學(xué)習(xí)從宏觀上進行整體分析， 抓住問題 的框架結(jié)構(gòu)和本質(zhì)關(guān)系，從思維策略的角度確定解題的入手方向和思路。在整體分析的基礎(chǔ)上進行大步驟思維， 使學(xué)生在具有

9、相應(yīng)的知識 基礎(chǔ)和已達到一定熟練程度的情況下能變更和化歸問題，分析和辨認(rèn)組成問題的知識集成塊，培養(yǎng)思維跳躍的能力。在練習(xí)中注意方法的 探求，思路的尋找和類型的識別，養(yǎng)成簡縮邏輯推理過程，迅速作出 直覺判斷的洞察能力4、鼓勵大膽猜測，養(yǎng)成善于猜想的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。5數(shù)學(xué)猜想是在數(shù)學(xué)證明之前構(gòu)想數(shù)學(xué)命題思維過程?！皵?shù)學(xué)事實首先是被猜想，然后才被證實。”猜想是一種合情推理，它與論證所 用的邏輯推理相輔相成。對于未給出結(jié)論的數(shù)學(xué)問題，猜想的形成有 利于解題思路的正確誘導(dǎo)；對于已有結(jié)論的問題，猜想也是尋求解題 思維策略的重要手段。數(shù)學(xué)猜想是有一定規(guī)律的，并且要以數(shù)學(xué)知識 的經(jīng)驗為支柱。但是培養(yǎng)敢于猜想、善

10、于探索的思維習(xí)慣是形成數(shù)學(xué) 靈感，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué) 中，既要強調(diào)思維的嚴(yán)密性，結(jié)果的正確性，也不應(yīng)忽視思維的探索性和發(fā)現(xiàn)性，即應(yīng)重視數(shù)學(xué)直覺猜想的合理性和必要性。以上為數(shù)學(xué)靈感培養(yǎng)的一部分。其實，我認(rèn)為沒有萬能的教學(xué)法， 任何有益的方法都只對那些有學(xué)習(xí)積極性而苦于學(xué)習(xí)方法不好，特別缺乏思維方法的學(xué)生才起作用。數(shù)學(xué)是一門思維學(xué)科，在我們目前的 數(shù)學(xué)教育中，如何設(shè)計、滲透數(shù)學(xué)的靈感教育是一項重要的改革，我 們要以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維為主，把傳授知識和訓(xùn)練思維能力統(tǒng)一 起來，培養(yǎng)適應(yīng)社會需求的創(chuàng)造性人才。怎樣培養(yǎng)數(shù)學(xué)靈感數(shù)學(xué)就是要培養(yǎng)我們的邏輯思維，想在數(shù)學(xué)上

11、找感覺，除了上課認(rèn)真聽老師講重點外，每天必須有計劃地練習(xí)，多做 數(shù)學(xué)題目，先從筆上找靈感，你要想著，數(shù)學(xué)的題目雖然多，但不過就那 么幾個題型，只要搞定題型，就能以不變應(yīng)萬變！我以前上高中的時候，有一段時間數(shù)學(xué)成績奇差無比，而且我又是那種不起眼的"角落學(xué)生",眼看老師都不愛搭理我了，但 是我沒有去在意老師怎么看我什么的，我那時每天下課課間都拿出數(shù) 學(xué)筆記本和錯題集（將每次考完的試卷上的錯題整理下來，多做一做,6會很有用）在那狂K我一直堅持著，后來的期末考，我數(shù)學(xué)考了120幾 分（總分150,最差時期總考80,90）還有就是有搞不懂的，別干耗著浪費時間，你該問老

12、師或同學(xué)（我 基本上都是問同學(xué)，座位四周的人只要數(shù)學(xué)比我好的，我就去請教他/她呵呵）數(shù)學(xué)靈感的培養(yǎng)三十年前，人們曾經(jīng)把數(shù)學(xué)教育置于“現(xiàn)代化”的旗幟之下，把大學(xué)的一些內(nèi)容放到中學(xué)，又把高中的一些內(nèi)容下放 到初中，后來，人們發(fā)現(xiàn)這樣遇到了麻煩和困難。知識內(nèi)容確實需要更新，例如在中學(xué)增加電腦和具體的集合運算，無疑是正確的，然而，如果忽視思維教育，忽視把數(shù)學(xué)思維的一 般方法盡早傳授給中學(xué)生，甚至通過砍平面幾何，削弱初中早就實行 的邏輯思維訓(xùn)練，貽誤青少年的發(fā)展時機，是非常錯誤的。中學(xué)階段是培養(yǎng)人才的重要時期，一般在此階段可以分辨出優(yōu)秀生和差生。根據(jù)多年的考察和研究，發(fā)現(xiàn)優(yōu)秀的思維方式，方法主要 有六項

13、：一、模塊狀思維和復(fù)合思維。優(yōu)秀生腦海里不僅儲存有定理及其 證明，而且儲存有另外的許多基本問題及其解法。一拿到數(shù)學(xué)問題， 通過聯(lián)想（或通過其他思維方法誘導(dǎo)），可以迅速認(rèn)出問題中包含一個 個基本問題（稱反映塊），從而把難題迅速降低難度。換言之，反映塊 引起的塊狀思維往往可以在知識與難題之間架橋， 往往可以解決由知 識向復(fù)雜思維過渡的問題。反映塊兼有知識和思維的雙重性， 是非常 重要的。由于平日訓(xùn)練使用反映塊達到了十分成熟的程度，所以聯(lián)想 很快。例如：求 的值。一見到兩角的正切和與積，就聯(lián)想到兩角和的 正切公式的逆運用，很快便可以求解。解答如下：7=二、搞彎曲型思維。優(yōu)秀生反映快的另一原因，是非常

14、善于搞 彎曲型思維。一時聯(lián)想不到合適的定理或反應(yīng)塊，沒法把難題分解， 就搞分析轉(zhuǎn)化，覓取解題信息，搞數(shù)學(xué)猜想，引出下步該如何思維的 端倪和思維的動力，把問題由陌生轉(zhuǎn)化為熟悉。結(jié)果，不僅可以找到 問題的解法，而且可以識破編者的用心良苦。利用定理或反映塊初編 出來的問題，其形態(tài)相當(dāng)熟悉，容易實現(xiàn)聯(lián)想，于是，編題者把它的 假設(shè)或結(jié)論加以變形，或在圖形中拆掉一些線段，弄得面目全非，不 易實現(xiàn)聯(lián)想，使難度大大培加，相應(yīng)的，優(yōu)秀生搞的彎曲型思維，實 際上是“反拐彎”的本領(lǐng)，是取得靈感的源泉。例如：兩角和與差公式把 的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成了 的三角函數(shù)式。如果反過來，從左使用 公式，我們就能得到，如三、最經(jīng)濟地

15、思維。一見新問題，就立即 回憶以前解過的老問題，企圖從老問題的解法得到啟發(fā)，而能否找到合適的老問題，常常取決于是否具有“見微知著”的本領(lǐng)：在新問題中尋找熟悉的成分，一旦在假設(shè)中或結(jié)論中發(fā)現(xiàn)熟悉的任何一款， 就 立即回想有關(guān)的老問題，特別是回憶其解法，利用它擬出全局或局部 解題方案，哪怕僅僅引出關(guān)于解題方向的猜測也好。換言之，試圖把解過的問題都變成以后解決問題的跳板， 即在知 識與難題之間架設(shè)第三種橋梁，順便訓(xùn)練自己的記憶和聯(lián)想力。四、最大效益地思維。從不就事論事，決不放過解題過程中的任 何“副產(chǎn)品”；或把此題升華為定理形式，訓(xùn)練自己的由表及里，去 粗取精，抽象概括和文字表達等能力；或?qū)ふ沂菇鉀Q

16、了的問題、公式 和數(shù)據(jù);或?qū)ふ乙院笥杏玫乃季S方法；或“減弱”假設(shè)，或“加強”結(jié) 論，看能否得到更“精”的命題；或探討逆命題的真假。8換言之，解一道題可以往往引出幾道新題，解決了就一并存入腦 海，使知識體系不斷膨脹，使思維向各方延伸，使自己善于識別改頭 換面的問題。五、超前思維。老師才引導(dǎo)學(xué)生邁出第一步，就已經(jīng)能走第二、 第三步，甚至已經(jīng)走完了老師的思維全路，正在尋找別的解法，實現(xiàn) 超前思維。究其原因，主要靠思維方法精良，也靠素有積極思維的習(xí) 慣和毅力。一般學(xué)生都無此習(xí)慣和毅力，自學(xué)或預(yù)習(xí)到“半桶水”就 沾沾自喜，滿足于知識，不愿超前思維，最終責(zé)則不能超前思維。六、搞擬真推理和反面思維。搞擬真推

17、理，如猜測、類比、模擬 等，有了似是而非的猜測還不滿足，定要弄個水落石出，不要浪費精 力于假命題，最初總要想法造反例推翻它，不成，才想法證明它，造 反例的能力是理解力、創(chuàng)造力的集中體現(xiàn)和反映，是思維能力強弱的 重要表現(xiàn)。用特殊的手法先檢驗命題的可靠性， 并順著這條思維自我 訓(xùn)練，尋找反例或解法，逐漸形成了一種很獨特的心理基礎(chǔ)，敢于懷 疑，敢于猜測。以上為數(shù)學(xué)靈感培養(yǎng)的一部分，其實，我認(rèn)為沒有萬能的教學(xué)法，任何有益的方法都只對那些有學(xué)習(xí)積極性而苦于學(xué)習(xí)方法不好，特別缺乏思維方法的學(xué)生才起作用。數(shù)學(xué)靈感培養(yǎng)教學(xué)過程中，經(jīng)常有學(xué)生會問這么一個問題：老師, 當(dāng)你拿到一道題目的時候，為什么你能夠想到用這

18、個方法？其實，這是關(guān)于數(shù)學(xué)靈感的一個話題。寫作，搞藝術(shù)經(jīng)常講到靈 感;同樣在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，靈感也非常重要，是分析和解決實際問 題能力的一個重要手段，對于開發(fā)學(xué)生的智力是一個不可忽視的因 素。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視靈感能力的培養(yǎng)，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新 精神和創(chuàng)造能力是至關(guān)重要的。9數(shù)學(xué)是一門思維學(xué)科，在我們目前的數(shù)學(xué)教育中，如何設(shè)計、滲 透數(shù)學(xué)的靈感教育是一項重要的改革，我們要以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思 維為主，把傳授知識和訓(xùn)練思維能力統(tǒng)一起來， 培養(yǎng)適應(yīng)社會需求的 創(chuàng)造性人才。通過一段時間的數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)， 針對”數(shù)學(xué)靈感的培養(yǎng)”這 一課題進行資料的查找與探討總結(jié)。 我們發(fā)現(xiàn)，靈感真的是學(xué)習(xí)的關(guān)

19、鍵元素，只有以靈感作為學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)與前提， 才能更好地開拓自己的 思維，挖掘出自己內(nèi)在所具有的天賦。因此，我們在課堂內(nèi)外應(yīng)注重學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)靈感的培養(yǎng)。我們可以從下列各個方面入手來培養(yǎng)數(shù)學(xué)靈感：1、 重視數(shù)學(xué)基本問題和基本方法的牢固掌握和應(yīng)用， 以形成并 豐富數(shù)學(xué)知識組塊。靈感不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然是有偶然性，但決不是無 緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎(chǔ)。若沒有深厚的功底， 是不會迸發(fā)出思維的火花。所以對數(shù)學(xué)基本問題和基本方法的牢固掌 握和應(yīng)用是很重要的。所謂知識組塊又稱知識反應(yīng)塊。它們由數(shù)學(xué)中 的定義、定理、公式、法則等組成，并集中地反映在一些基本問題， 典型題型或方法模式。許多其他

20、問題的解決往往可以歸結(jié)成一個或幾 個基本問題，化為某類典型題型，或者運用某種方式模式。這些知識組塊由于不一定以定理、性質(zhì)、法則等形式出現(xiàn)，而是分布于例題或 問題之中，因此不容易引起師生的特別重視，往往被淹沒在題海之中， 如何將它們篩選出來加以精練是數(shù)學(xué)中值得研究的一個重要課題。在解數(shù)學(xué)題時，主體在明了題意并抓住題目條件或結(jié)論的特征之 后，往往一個念頭閃現(xiàn)就描繪出了解題的大致思路。這是尖子學(xué)生經(jīng) 常會碰到的事情，在他10們大腦中貯存著比一般學(xué)生更多的知識組塊和 形象直感，因此快速反應(yīng)的數(shù)學(xué)靈感就應(yīng)運而生。2、 強調(diào)數(shù)形結(jié)合，發(fā)展幾何思維與類幾何思維。數(shù)學(xué)形象直感 是數(shù)學(xué)靈感思維的源泉之一，而數(shù)學(xué)形象直感是一種幾何直覺或空間 觀念的表現(xiàn)，對于幾何問題要培養(yǎng)幾何自身的變換、 變形的直觀感受 能力。對于非幾何問題則要用幾何眼光去審視分析就能逐步過渡到類幾何思維