備戰(zhàn)年高考數(shù)學(xué)一輪熱點(diǎn)難點(diǎn)一網(wǎng)打盡：專題22平面向量中地兩個(gè)定理.doc

1、實(shí)用文案【備戰(zhàn) 2017 年高考高三數(shù)學(xué)一輪熱點(diǎn)、難點(diǎn)一網(wǎng)打盡】第 22 講平面向量中的兩個(gè)定理考綱要求 :1了解平面向量的基本定理及其意義掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件基礎(chǔ)知識(shí)回顧 :1. 向量的數(shù)乘運(yùn)算：求實(shí)數(shù) 與向量的積的運(yùn)算，運(yùn)算法則： (1)| a| | | a| ；(2) 當(dāng) 0 時(shí)， 與的方向相同；當(dāng)0 時(shí)， 的與的方向相反；當(dāng) 0時(shí)， 0運(yùn)算律： ( ) ( ) ； ( ) ；( ) 2. 共線向量定理向量 ( 0) 與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1) 平面

2、向量基本定理： 如果 e ,e 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面12內(nèi)的任意向量， 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1，2，使 a1 e12 e2 . 其中，不共線的向量 e1 ,e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.(2) 平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(3) 平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x 軸、 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量i ，j 作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x， y，使 axiy j ，把有序數(shù)對(duì)( x, y) 叫做向量的坐標(biāo)，記作(x, y) ，其中叫在x 軸上的坐標(biāo)，y 叫在 y 軸上的坐標(biāo)設(shè)

3、 OAxiy j ，則向量 OA 的坐標(biāo) ( x, y) 就是終點(diǎn)A 的坐標(biāo)，即若OA( x, y) ，則 A 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( x, y) ，反之亦成立( O是坐標(biāo)原點(diǎn) )應(yīng)用舉例 :類型一、共線向量定理的應(yīng)用【例 1】【 2017 山東省棗莊八中高三月考】設(shè)兩個(gè)非零向量與b 不共線，(1) 若 AB ， BC 2 8， CD 3( ) ，求證： A， B， D三點(diǎn)共線；(2) 試確定實(shí)數(shù) k，使 k和 k 同向標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案【答案】見解析；k 1.【例 2】【 2017 河北正定一中高三月考】如圖，在 ABC中，D，F(xiàn) 分別是 BC，AC的中點(diǎn)， AE2AD ， AB， AC3(1) 用， b

4、表示向量 AD ， AE ， AF ， BE ， BF ；(2) 求證： B， E， F 三點(diǎn)共線【答案】見解析【解析】 (1) 延長(zhǎng) AD到 G，使 AD 1 AG ，連接 BG， CG，得到 ? ABGC，所以 AG ，2則有 AD1 AG1()， AE 2 AD1()，22331111AF 2 AC 2， BE AE AB 3( ) 3( b2) ，BF AFAB112 ( b 2) 22(2) 證明：由 (1) 可知 BE 3 BF ，又因?yàn)?BE ， BF 有公共點(diǎn) B，所以 B， E， F 三點(diǎn)共線點(diǎn)評(píng)：共線向量定理的3 個(gè)應(yīng)用(1) 證明向量共線：對(duì)于向量， ，若存在實(shí)數(shù) ，使

5、，則與共線(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)，使AB AC，則A BC三點(diǎn)共線， ，(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程( 組 ) 求參數(shù)的值提醒 證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案類型二、平面向量基本定理的應(yīng)用【例 3】【 2017湖南衡陽(yáng)八中月考】如果e ， e 是平面 內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四12組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A e1 與 e1 e2B e1 2e2 與 e1 2e2C12與1 2D 132與 62 21eeeeeeee【答案】 D1，【解析】選項(xiàng) A 中，設(shè) e1e2 e1，則無(wú)解；選項(xiàng) B 中，設(shè) e1 2

6、e2 (e11 0 1，無(wú)解；選項(xiàng) C 中，設(shè) e1 e2 (e1 e2) ，則 1，2e2) ，則無(wú)解； 2 211選項(xiàng) D 中， e1 3e2(6e2 2e1) ，所以兩向量是共線向量2【例 4】【 2017 山西省懷仁縣第一中學(xué)高三月考】如圖，以向量OA ， OB 為鄰邊作 ?OADB， BM 1BC ，CN 1CD ，用，表示 OM ， ON ， MN .33【答案】見解析【例 5】【 2017 湖北省襄陽(yáng)市第四中學(xué)高三月考】如圖，是的重心，Q分別是邊GOABPOA， OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P， G，Q三點(diǎn)共線標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案(1) 設(shè) PG PQ ，將 OG 用 ， OP ， OQ 表示；1

7、1(2) 設(shè) OP x OA ， OQ y OB ，證明： x y是定值【答案】見解析【解析】 (1)OG OP PG OP PQ OP ( OQ OP ) (1 )OP OQ .(2)證明：一方面，由 (1) ，得 OG (1 )OP OQ (1 ) x OA y OB ；另一方面， G是 OAB的重心，而 OA ，OB 不共線， 由， 得1 1 x y 3( 定值 ) OG 2OM 2×1( OA OB)1OA 1OB .332331113 3，x ，x3解得11 y 3.y3 .方法、規(guī)律歸納:1. 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加

8、、減或數(shù)乘運(yùn)算2. 用向量基本定理解決問題的一般思路是： 先選擇一組基底， 并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來(lái)解決3. 解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程( 組 ) 來(lái)進(jìn)行求解實(shí)戰(zhàn)演練 :1【 2017 江西吉安一中高三月考】如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，且ABABCDDCa， AD b，則 BE ()標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案A b1aB b1aC a1bD a1b2222【答案】 A2【 2017 浙江省溫州市高三月考試題】已知O，A， B， C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若 2 AC CB 0，則向量 OC 等于 ()2112A. 3OA 3 OBB

9、3OA 3OBC 2OA OBD OA 2OB【答案】 C設(shè) M是 ABC所在平面上的一點(diǎn)，33【 2017 貴州省貴陽(yáng)市一中高三月考】且MB2MA 3| MD2 MC 0， D是 AC的中點(diǎn)，則| BM|的值為()|11A. 3B.2C 1D 2【答案】 A【解析】 D是 AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng) MD至 E，使得 DEMD，四邊形 MAEC為平行四邊形， MD1ME 1(MA MC )MB 3MA 3MC 0， MB 3(MAMC)22222|MD|MD|13MD ，| BM | 3MD| 3，故選 A.4【 2017 江西吉安一中高三月考】設(shè) D，E，F(xiàn) 分別是 ABC的三邊 BC，CA，AB上

10、的點(diǎn)，且 DC2BD，CE2EA，AF 2FB，則 ADBE CF 與BC ()A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直【答案】 A【解析】由題意得ADAB BDAB1BC，BE BAAE BA1AC ，33標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案CF CB BF CB1BA，因此 AD BE CF CB1( BCACAB)33 CB2 BC1 BC，故 AD BE CF 與 BC反向平行335. 【 2017江蘇省南通市如東縣一中高三月考】如圖，在中，P為線段上的一點(diǎn)，OABABOP x OA y OB ，且 BP 2 PA ，則 ()2112A x 3， y 3B x 3， y 313D31C x ， y4

11、x ， y444【答案】 A【解析】由題意知OP OB BP ，又 BP 2PA，所以 OP OB2BA OB233(2OA 121OAOB)3OB ，所以 x， y .3336【 2017 湖南省永州市高三月考】設(shè)O在 ABC的內(nèi)部， D為 AB的中點(diǎn)，且 OA OB 2OC 0，則 ABC的面積與 AOC的面積的比值為 ()A 3B 4C 5D 6【答案】 B7【 2017 河北省定州中學(xué)高三月考】在直角梯形ABCD中， A 90°， B30°，AB 23，BC 2，點(diǎn) E 在線段 CD上，若 AE AD AB ，則 的取值范圍是 _1【答案】0， 2 .【解析】由題意

12、可求得AD 1，CD3，所以 AB 2 DC . 點(diǎn) E 在線段 CD上， DE DC (0 1) 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案 AE AD DE ，又 AE AD AB AD 2 DC AD 2 DE ， 2 111，即2. 0 1， 02. 即的取值范圍是0，2 .8【 2017 河北省滄州市高三月考】如圖，在梯形中， ，且1， ，F(xiàn)分別ABCDAD BCAD3BC E為線段ADBCBAa，BCba bEF，DF，CD.與的中點(diǎn) 設(shè)，試用 ， 為基底表示向量【答案】見解析【解析】 EF EAABBF 1b a 1b 1b a ， DF DE EF 1b623611112b a b a， CD CF FD

13、bb a a b.362639【 2017 西藏林芝市高三月考】設(shè)e1，e2 是兩個(gè)不共線的向量，已知AB 2e1 8e2， CB e1 3e2， CD 2e1 e2.(1) 求證： A， B， D三點(diǎn)共線；(2) 若 BF 3e1 ke2，且 B， D， F 三點(diǎn)共線，求k 的值【答案】見解析10【 2017 江蘇泰興中學(xué)高三月考】已知 O，A，B是不共線的三點(diǎn)， 且 OP mOA nOB ( m，n R)(1) 若 m n 1，求證： A， P， B 三點(diǎn)共線；(2) 若 A， P， B三點(diǎn)共線，求證： m n 1.【答案】見解析【解析】證明：(1) 若 m n1，則 OP mOA (1 m) OB OB m(OA OB ) ， OP OB m(OA OB )