數(shù)學(xué)建模_SIR數(shù)學(xué)模型的建立

1、傳染病模型醫(yī)學(xué)科學(xué)的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發(fā) 或流行，危害人們的健康和生命。社會、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素都會影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳 染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等。一般把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：S類，易感者(Susceptible),指未得病者, 但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染； I 類，感病者 (Infective) ，指染上傳染 病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者(Removal)，指被隔離或因病愈而具有免疫 力的人。問題提出? 請建立傳染病模型，描述傳染病

2、的傳播過程 , 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律以及被傳染的人數(shù)與哪些因素有關(guān)？如何預(yù)報傳染病高潮的到來?為什么同一地區(qū)一種傳染病每次流行時，被傳染的人數(shù)大致不變？按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方 法建立模型問題分析：關(guān)鍵字 : 社會、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素摘要： 隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等 曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒 卻悄悄向人類襲來。 20 世紀(jì) 80 年代十分險惡的愛滋病毒開始肆虐全球，至今帶來極大的 危害。長期以來，建立制止傳染病蔓延的手段等， 一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題 不同類

3、型傳染病的傳播過程有其各自不同的特點(diǎn)，弄清這些特點(diǎn)需要相當(dāng)多的病理知識， 這里不可能從醫(yī)學(xué)的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播模型機(jī)理建 立幾種模型。數(shù)學(xué)建模1數(shù)學(xué)建模模型1在這個最簡單的模型中，設(shè)時刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù), 并且每天每個病人有效接觸(足使人致病) 的人數(shù)為常數(shù)考察t到tt病人人數(shù)的增加，就有x(t ： _t) -x(t) = x(t). ：t再設(shè)t=0時有xo有個病人，即得微分方 程方程(1)的解為(1)dx dtx(t) =xoe盤結(jié)果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)x(t)無限增長，這顯然是不符合實(shí)際的。建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群

4、中，有健康人也有病人，而其中只有健康人 才可以被傳染為病人，所以在改進(jìn)的模型中必須區(qū)別這兩種人。模型2 SI模型假設(shè)條件為1. 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )兩類(取兩個詞的第一個字母，稱之 為SI模型)，以下簡稱健康者和病人。時刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作s(t)和 i(t)。2. 每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者接觸時，使健康者受感染變?yōu)椴∪?。根?jù)假設(shè)，每個病人每 天可使s(t)個健康者變?yōu)椴∪耍驗(yàn)椴∪藬?shù) 為Ni(t),所以每天共

5、有Ns(t )i (t)個健康者被感染，于是 Nsi就是病人數(shù)Ni的增加率，即有s(t) i(t)=1i(0)=i(5)(4):N Nsi(3)dt再記初始時刻(t = 0)病人的比例為i0，則3 = i(1 一“,dt11 + - -1 e 迪J0丿方程(5)是Logistic模型。它的解為(6) i(t) tft 2i的圖形如圖1和圖2所示 dt由(5), (6)式及圖1可知，第一，當(dāng)i =1/2時di到dt達(dá)最大值 S i，這個時刻為1,即所有 人終將被傳染，全變?yōu)?病人，這顯然不符合 實(shí)際情況。殊莫a其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會再變 成健康

6、者。模型3 SIR模型大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人 即非健康者(易感染者)，也非病人(已感染者)，他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。這種情況比較 復(fù)雜，下面將詳細(xì)分析建模過程。模型假設(shè)1.總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者( Removed三類，稱 SIR模型。三類人在總數(shù) N中占的比例分別記作s(t),i(t) 和r(t)。病人的日接觸率為，日治愈率為J (與SI模型相同)，傳染期接觸為 二=/。模型構(gòu)成由假設(shè)1顯然有s(t)+i(t)+r(t)=1(12)根據(jù)條件2方程(8)仍然成立。對于病愈免疫的移出者而言有 d rNNi(13)dt再

7、記初始時刻的健康者和病人的比例分別是So(So0)和io(io0)(不妨設(shè)移出者的初始值r。=0)，則由(8),(12),(13)式,SIR模型的方程(14)可以寫作d=Asi - Pidtd s,si,idti(0) 7s(0) =s。方程(14)無法求出s(t)和i(t)的解析解，我們先作數(shù)值計(jì)算。模型4 SIR 模型SIR模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀?，感病者可以被治愈，并會產(chǎn)生免疫力， 變?yōu)橐瞥?。人員流動圖為：S-I-R。大多數(shù)傳染者如天花流感肝炎麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以冰域的人即非 易感者，也非感病者，因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為R類假設(shè)：1總?cè)藬?shù)

8、為常數(shù)，且i (t)+s(t)+r (t)=n；2單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k (傳染強(qiáng)度)O3單位時間內(nèi)病愈免疫的人數(shù)與但是的病人人數(shù)成正比，比例系數(shù)I。稱為恢復(fù)系數(shù)?？傻梅匠蹋? ksi Ti ,Jt竺十, dti(0) J。0s(0) = s - 0初值 r(0) = r0 = 0模型分析:由以上方程組的：Q=p/s-1 p=l/k, 所以i=p Ins)-s+n.容易看出當(dāng)t無限大時d si(t)=0;而當(dāng)s p時，i(t)單調(diào)下將趨于零；上批示，i(t)先單調(diào)上升的最高峰，然后再 單調(diào)下降趨于零。所以這里仍然出現(xiàn)了門檻現(xiàn)象：p是一個門檻。從p的意

9、義可知，應(yīng)該降低傳染率，提高回復(fù)率，即提高衛(wèi)生醫(yī)療水平。令 t 可得：s0 s：=2*s0 ( s0p)/p所以：S：p s0=p+ 當(dāng)時，s - 23 ,這也就解釋了本文開頭的問題，即統(tǒng)一地區(qū)一種傳染病每次流行時，被傳染的人數(shù)大致不變。模型的應(yīng)用與推廣：根據(jù)傳染病的模型建立研究進(jìn)而推廣產(chǎn)生了傳染病動力學(xué)模型。傳染病動力學(xué)1是對進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法，是根據(jù)種群生長的特性，疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播,發(fā)展規(guī)律，以及與之有關(guān)的社會等因素，建立能反映傳染病動力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型, 通過對模型動力學(xué)性態(tài)的定性，定量分析和數(shù)值模擬，來分析疾病的發(fā)展過程，揭示流行規(guī) 律,預(yù)測變化趨勢,分析疾病流

10、行的原因和關(guān)鍵。對于2003年發(fā)生的SARS疫情,國內(nèi)外學(xué)者建立了大量的動力學(xué)模型研究其傳播規(guī)律和趨勢，研究各種隔離預(yù)防措施的強(qiáng)度對控制 流行的作用,為決策部門提供參考有關(guān)SARS專播動力學(xué)研究多數(shù)采用的是 SIR或SEIR模 型.評價措施效果或擬合實(shí)際流行數(shù)據(jù)時，往往通過改變接觸率和感染效率兩個參數(shù)的值來實(shí)現(xiàn)石耀霖2建了 SARS傳播的系統(tǒng)動力學(xué)模型,以越南的數(shù)據(jù)為參考,進(jìn)行了 Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，初步結(jié)果表明，感染率及其隨時間的變化是影響SARS專播的最重要因素.蔡全才3建立了可定量評價SARS干預(yù)措施效果的傳播動力學(xué)模型,并對北京的數(shù)據(jù)進(jìn)行了較 好的擬合 參考文獻(xiàn)：1 姜啟源編輔

11、導(dǎo)課程（九）主講教師：鄧?yán)? 西北工業(yè)大學(xué)（數(shù)學(xué)建模） 精品課程3 耀霖.SARS傳染擴(kuò)散的動力學(xué)隨機(jī)模型 J.科學(xué)通報，2003,48（13）1373-1377附錄：1 數(shù)學(xué)建模就是用 數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程。這里的實(shí)際現(xiàn)象既包涵具體的自然現(xiàn)象比如自由 落體現(xiàn)象，也包涵 抽象的現(xiàn)象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這里的描述不但包括外在形態(tài)，內(nèi)在機(jī)制 的描述，也包括 預(yù)測，試驗(yàn)和解釋實(shí)際現(xiàn)象等內(nèi)容2 數(shù)學(xué)建模的幾個過程：模型準(zhǔn)備：了解問題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對象的各種信息。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。 模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的簡化， 并用精確的語言提岀一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（盡 量用簡單的數(shù)學(xué)工具）模型求解