2011新課標(biāo)全國卷數(shù)學(xué)理科含答案

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(新課標(biāo))一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。復(fù)數(shù)一的共鈍復(fù)數(shù)是二；1 -2i：(A) -3i(B) 3i(C) -i(/55t(2)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)哦、又在(0,)單調(diào)遞增的函皿f(A) y=x2(B) y = x+1(C) y = x2 + 1(D) y=2(3)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的 N是6,那么輸出的(A) 120/ 、/ 出P(B) 720.1(贏(C) 1440(D) 5040(4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同

2、，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為(A) 1(B) 1(C) 2(D)-3234(5)已知角日的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上,貝 U cos2 -=(B) -35(C) 354(A) -45(6)在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為(A)(B)CO<D)(7)設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A,B兩點，AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為(A)拒(B)百(C) 2(D) 3(8)/x+a'Lx-1'5的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項為 I x 人 x；

3、(A) -40(B) -20(C) 20(D) 40(9)由曲線y=4，直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為(A) 10(B) 4(C) 16(D) 633(10)已知a與b均為單位向量，其夾角為日，有下列四個命題P2: a +b a 1uP : a +b >1 u 0 0 J0,2 I13 )P3: a -b >1 u 日 win0IL 3P4: a -b >1 =日w也13，其中的真命題是(A) P,P4(B) P1,P3(C) P2,P3(D) P2,P4(11)設(shè)函數(shù)f(x) =sin(cox +中)+cos(®x +中)(® >0,(

4、<；)的最小正周期為冗，且(A) f(x)在0： |單調(diào)遞減2(C) f(x)在，0:|單調(diào)遞增2f(-x尸 f(x)則(B) f (x)在1 , |單調(diào)遞減4 4(D) f(x)在"，史|單調(diào)遞增4 4(12)函數(shù)y =- 的圖像與函數(shù)y =2sin nx(-2 Mx =4)的圖像所有焦點的橫坐標(biāo)之和 x -1等于(A) 2(B) 4(C) 6(D)8二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。(13)若變量x,y滿足約束條件戶”'廠9,則z = x + 2y的最小值為。6 < x - y < 9,(14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點Fi

5、,F2在 x軸上，離心率為正。過l的直線交于A,B兩點，且AABF2的周長為16,那么C的方程 2為。(15)已知矩形ABCD的頂點都在半徑為 4的球。的球面上，且AB=6,BC=2a/3, 則棱錐O-ABCD的體積為。(16)在 MBC 中，B=60,AC=5/3,貝U AB + 2BC 的最大值為 。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分12分)等比數(shù)列 降的各項均為正數(shù)，且2a1+3a2 =1a2 =9a2a6.求數(shù)列電的通項公式.51 1設(shè) bn =log 3 a1 +log3 a2 + +log 3 an,求數(shù)歹卜一 的前項和.(18)3小題滿分12

6、分)如圖，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為平行四邊形，/ DAB=60 ,AB=2AD,PD，底面 ABCD.(I)證明:PAXBD;(H )若PD=AD ,求二面角A-PB-C的余弦值（19）（本小題滿分12分）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為 A配方和B配方）做試驗，各生產(chǎn)了 100件這種產(chǎn)品，并測試了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得 到下面試驗結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組90, 94)94, 98)98, 102)102, 106)106, 110頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表

7、指標(biāo)值分組90, 94)94, 98)98, 102)102, 106)106, 110頻數(shù)412423210（I）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（II）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為-2,t :二 94y = 2,94 < t 二 102I4,t -102從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為 X （單位：元），求X的分布 列及數(shù)學(xué)期望.（以實驗結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指 標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）20) (本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,-1), B點在直線丫 = -3上，M點

8、滿足 MB/OA ， MA ?AB = MB ?BA， M 點的軌跡為曲線C。(I )求C的方程；(II) P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求。點到l距離的最小值。(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=an+B,曲線y = f (x)在點(1, f)處的切線方程為x+2y-3=0 x 1 x(I )求a、 b的值；(H)如果當(dāng)x>0,且x#1時，f(x) >-ln+k ,求k的取值范圍。x -1 x請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時請寫清題號。(22)(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖，D, E分別為AAB

9、C的邊AB , AC上的點，且不與AABC的頂點重合。已知AE 的長為n , AD, AB的長是關(guān)于x的方程x2-14x+mn = 0的兩個根。(I )證明：C , B , D , E四點共圓；(H)若/A=90口，且m=4,n=6,求C , B, D, E所在圓的半徑。(23)體:小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為!x = 2cos(支為參數(shù))y = 2 2sin ;M是C1上的動點，P點滿足OP = 2端,P點的軌跡為曲線C2(I )求C2的方程(n)在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線日與C1的異于極 點的交點為A,與C2的

10、異于極點的交點為B,求|AB.(24)體:小題滿分10分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù) f (x) = x -a +3x,其中 a >0。(I)當(dāng)a=1時，求不等式”*)之3*+2的解集(H)若不等式f(x) W0的解集為x|xW-l ,求a的值2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題(1)CB(3)B(7)B(8)D(9)C、填空題(13) -6(14)16 1(4) A B(6) D(10) A(11) A(12) D(15) 873(16) 2萬三、解答題(17)解:(I )設(shè)數(shù)列an的公比為q,由右9a2a6得aa2所以q2 j有條件可知1a>0

11、,故q 3由2al +3a2 =1得2a1十3a2q =1 ,所以a1=1。故數(shù)歹U an的通項式為斗二4 33n(H ) bn =log 1a1 +log1al+ log1al= -(12 . n)_ n(n 1) 2故1 =bn2n(n - 1)1n 11111、11、1一二一 2(1)().(b1b2bn223nn1) =2nn 1所以數(shù)列的前n項和為2nn 1(18懈:(I )因為，DAB =60： AB =2AD ,由余弦定理得 BD=V3AD從而 BD2+AD 2= AB2,故 BD_lAD又PD，底面ABCD,可得BDiPD所以BD_l平面PAD. 故PA_lBD(H)如圖，以D

12、為坐標(biāo)原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則a（i,0,o）,b（0,73,0）,c（-iJ3,0）,p（0,o,i）。AB =（-1, ./3,0）, PB =（0, <3, -1）,bC =10,0）設(shè)平面PAB的法向量為n= (x,y,z),則即-x-，3y=0I -3 y - z = 0因此可取n=(3,i3)設(shè)平面PBC的法向量為則可取 m= (0, -1, -V3)m P B0m B C02.78smm =27=1故二面角A-PB-C的余弦值為一當(dāng)(19)解由實驗結(jié)果知，fflAsmrew« 簫=0.3,所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品

13、的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為03由實驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為321"=0.42,所以用 100B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為 0.42(n )用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間190,94 , 94,102 ,102,110的頻率分別為0.04, ,054,0.42因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即X的分布列為X 的數(shù)學(xué)期望值 EX=2 X 0.04+2X 0.54+4X 0.42=2.68 (20)解：(I)設(shè) M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1)W以 MA = (-x,-1-y) ,

14、 MB =(0,-3-y),T . 一一， T T、 T 一 一、. 一、 一AB =(x,-2).再由愿息得知(MA + MB ) ?AB=0,即(-x,-4-2y) ? (x,-2)=0.所以曲線C的方程式為y=lx2-2.4(H )設(shè)P(x0,y。)為曲線C:y=lx2-2上一點,因為y' = 3x,所以i的斜率為1x04221因此直線 l 的方程為 y-y0 =2%(x-%),即 x°x-2y+2y0 -x =0。2則O點到l的距離d =學(xué)二£ .又y° =1 x2 -2 ,所以.x2 4412.42 x01 六4d = : ( .% 4 )- 2

15、, ,Xo 4 2Xo 4當(dāng)x2=0時取等號，所以。點到l距離的最小值為2.(21)解：zx 1：(ln x)(I) f,(x)二一x一(x 1)2x2f(1)=1, 由于直線x+2y-3=0的斜率為二，且過點(1,1),故1即2f'(1)=-,b = 1,a-b2_ 1 ,2"+L所以解得 a=1, b=1。x 1 x工，、/ ln x k、1f(x) -()2x -1 x 1 -x(2lnx + (k-1)(x2-1)ox2考慮函數(shù) h(x) =2ln x + ( 一 )(x -1)(x >0),貝Uh'(x) = x(k -1)(x2 1) 2x(i)設(shè)

16、kwo,由 h'(x)=22k(x 1) -(x -1)知，當(dāng)x#1時,h'(x) <0。而 h(1) = 0 ,故當(dāng)x亡(0,1)時，h(x) >0 ,可得當(dāng) xw ( 1,1h(x)>0;1 -x(x) <0,可得1 -x2h (x) >0從而當(dāng)x>0,且x聲1時,f (x)-(-ln + k) >0,即 f (x) x -1x>小+Kx -1 x(ii)設(shè)0<k<1.由于當(dāng)x三(1,11 -k)時，(k-1) (x2+1) +2x>0,故 h'(x) >0,而 h (1) =0,故當(dāng) xe (

17、1,)時，h (x) >0,可得h (x) <0,與題設(shè)矛1 -k1 - x盾。(iii)設(shè) k至 1.此日t h(x) >0,而 h (1) =0,故當(dāng) x= (1, +°°)時，h (x) >0,可得當(dāng)h (x) <0,與題設(shè)矛盾。BDAD XAB=mn=AE x AC,綜合得，k的取值范圍為(-8, 0(22)解：(I)連接DE,根據(jù)題意在 ADE和4即”=AE 又/DAE= /CAB,從而 ADEsACB AC AB因此ADE= / ACB所以C,B,D,E四點共圓。(C ) m=4, n=6 時，方程 x2-14x+mn=0 的兩根為

18、 x1=2,x2=12.故 AD=2 , AB=12.取CE的中點G,DB的中點F,分別過G,F作AC, AB的垂線，兩垂線相交 于H點，連接DH.因為C, B, D, E四點共圓，所以C, B, D, E四點所在圓的圓心為H,半徑為DH.由于/ A=900,故 GH / AB, HF / AC. HF=AG=5 , DF= 1 (12-2)=5.故C,B,D,E四點所在圓的半徑為5<2(23)解:(I)設(shè)P(x,y)則由條件知M(X,Y).由于M點在G上，所以一 =2cos。2=2 +2sin2 2x =4c o &y = 4 + 4s i n從而C2的參數(shù)方程為X=4COS"(口為參數(shù))y = 4 4sin ;(H)曲線Ci的極坐標(biāo)方程為P=4sin%曲線C2的極坐標(biāo)方程為P=8sin日JTTC射線日=一與Ci的交點A的極徑為Pi =4sin 33'