2017-2018北京西城35中高二上期中【理】數(shù)學真題卷

1、2017-2018北京西城35中高二上期中【理】數(shù)學真題卷北京市第三十五中學2017-2018年度第一學期期中試卷高二數(shù)學I卷（必修二模塊考試）共40分.每小題只有一個正確選項，請選擇正確答案填在機一、選擇題（共10個小題，每題 4分, 讀卡相應的題號處）1 .圓（x 1）2 +y2 =1的圓心和半徑分別為A. （0,1）, 1【答案】D 【解析】B. （0,），C.(1,0), 1D.(1,0), 113 / 122.棱長都是1的三棱錐的表面積為（B. 2聚C.3. 3D.433 .平行線x2y =0與x2y 5=0之間的距離為A. 5【答案】C 【解析】)C.而D.4 .已知直線l，平面a

2、 ,直線m匚平面P ,下列四個命題中正確的是（(1) a/ P =l，m (2) o(，P=l/m).(4 ) l X mn a / PA. （1）與（2）【答案】D 【解析】B. (3)與(4)C. ( 2)與(4)D.5,圓 C1 : x2 +y2 +4x -4y +7 =0與圓 C2 ：x2 +y24x70 y+13=0的位置關(guān)系是（A.外離【答案】C【解析】B.相交C.外切D.內(nèi)切6 . 一個三棱錐的三視圖如圖所示，則三棱錐的體積為（B.10c 20C.3D.257 .已知線段 AB的中垂線方程為 xy1=0且A(1,1),則B點坐標為().A . (2,-2)B. (-2,2)C.

3、(-2,-2)D. (2,2)【答案】A【解析】8 .若過點(3,1)總可以作兩條直線和圓(x2k)2 +(yk)2=k(k >0)相切，則k的取值范圍是().A. (0,2)B. (1,2)C. (2*)D. (0,1)U(2*)【答案】D【解析】9 .正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為().A. 73:1B,石：2C. 2:J3D, J3：3【答案】D【解析】10 .如圖，設(shè)P為正四面體 A-BCD表面(含棱)上與頂點不重合的一點，由點 P到四個頂點的距離 組成的集合記為 M ,如果集合M中有且只有2個元素，那么符合條件的點P有().A. 4個B, 6個C. 10個D. 14個【答案

4、】C【解析】二、填空題(共6個小題，每題4分，共24分.請將正確答案填在答題紙)11 .在y軸上的截距為-1且傾斜角為135口的直線方程為 .【答案】x y 1 =0【解析】12 .已知直線l :2x+y 11 =0 ,若直線ax+yb=0與l垂直，過點A(2,m)和B(m,4)的直線與l平行, 貝U實數(shù)a =; m=.【答案】-0.5 , -8【解析】13 .如果一個圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為18汽，那么此圓錐的體積等于 【答案】9 3?！窘馕觥?4 .長方體 AG, AB=5, BC=3, BB1 =4 , P為上底面 AB1CQ1上一個動點，則三棱錐 PABC的 正視圖與左視圖的面積比

5、為 .5【答案】5:3【解析】15 .過點(1,1)的直線與圓(x2)2 +(y-3)2 =9相交于A, B兩點，則|AB|的最小值為 【答案】4【解析】16.如圖，正方體 ABCD A1B1C1D中，點P在BC1上運動，給出下列四個命題:三棱錐A-DiPC的體積不變;AP/平面ACDi ；其中正確的命題是 DP，BCi ；平面PDBi ±平面ACDi ；【答案】【解析】 三、解答題：(共3個小題，每題12分，共36分.請寫明必要的解題過程)17 .已知 AABC 的頂點 A(0,5) , B(1,- 2) , C(3, Y).(1 )求AB邊上的高線所在的直線方程.(2)求4ABC

6、的外接圓的方程.【答案】見解析.【解析】解一：(1 ) kAB =5-(口 =：, 0 -11AB邊上的局線斜率 k , kAB k=_1,則k=1.AB邊上的高線過點 C(4,4).AB邊上的高線所在的直線方程為1y-(4)=5(x-。),整理得 x _7y _25=0 .(2)設(shè)AB中垂線為由(1)知 kAB =:，li , BC中垂線為% . kl1 71又11過AB中點M -，2 j,li 的方程為 x7y +10 =0 ,-4-(-2)1,12kl2 = -2，又l2過BC中點N(1，1 l2 的方程為 2x +v +5=0 ,x -7y 10=0聯(lián)立方程組y2x y 5=0x -

7、-3解得I .y =1圓心為(31).由兩點間距離公式可知半徑AABC的外接圓的方程為r =q(T0)2 +(1-5)2 =5, (x+3)2 +(y1)2=25 ,x2 十y2 +Dx +Ey +F =0 ,即 x2 +y2 +6x -2y -15=0 . 解二：設(shè)AABC的外接圓為25 5E - F =04 +4 +D -2E +F =0 ,9 16 -3D -4E F =0解得 D=6, E=2, F=T5,所以AABC的外接圓的方程為x2+y2 +6x2y15=0 .PB的中點.18 .如圖，在三棱錐 PABC中，PB=PC, AB = AC. D, E分別是BC , (1 )求證：D

8、E/平面PAC .(2)求證：平面 ABC，平面PAD .【答案】見解析.【解析】(1)證明：因為D, E分別是BC, PB的中點， 所以 DE / PC ,因為DE值平面PAC , PCu平面PAC ,所以DE II平面PAC .(2)證明：因為 PB=PC, AB = AC, D是BC的中點,所以 PD ± BC , AD ± BC ,因為 PDI AD=D ,所以BC ±平面PAD .因為BC U平面ABC ,所以平面 ABC ±平面PAD .19 .如圖，在三棱柱 ABCAiBiCi中，CCi,底面ABC, AC，CB ,點D是AB的中點.(1

9、)求證：AC ± BC1,(2)求證：AC"/ 平面 CDB1 .(3)設(shè)AB =2AA1 , AC =BC ,在線段AB1上是否存在點 M ,使得BM，CB ?若存在，確定點 位置；若不存在，說明理由.【答案】見解析.【解析】(1 )在三棱柱ABC A1B1cl中，因為CC1 1底面ABC , AC仁底面ABC , 所以 CC1 ± AC .又 AC, BC , BCI CC1 =C ,所以AC,平面BCC1B1 .而 BC1 仁平面 BCC1B1，則 AC，BC1 .(2)設(shè)CB1與C1B的交點為E ,連結(jié)DE , 因為D是AB的中點，E是BC1的中點，所以

10、DE / AC1 .因為DE U平面CDB1 , AC1之平面CDB1 , 所以AC1 /平面CDB1 .A(3)在線段AiBi上存在點M ,使得BM，CBi ,且M為線段AR的中點. 證明如下：因為 AA，底面ABC, CD u底面ABC, 所以AA，CD .由已知AC =BC , D為線段AB的中點，所以CD ± AB .又 AA1 I AB =A,所以CD ±平面AA1B1B ,取線段ABi的中點M ,連接BM ,因為BM u平面AA1B1B , 所以CD，BM .由已知AB =2AA ,由平面幾何知識可得 BM ± BQ ,又 CD I 0D =D ,所以

11、BM ±平面BCD ,又BiCU平面BiCD ,所以 BM ± CB1 ,II卷一、填空題(共5個小題，每小題4分，共20分，請將正確答案填寫在橫線上.)20 .直線l過點A(1,2),且不過第四象限，則l的斜率的取值范圍是 .【答案】0,2【解析】21 .圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為 12cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同) 后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是 cm.I I22 . P(x,y)是(x4)2+y2 =4上的點，則 ？的范圍是 x【解析】23 .已知。M ：x2 4x+y2 =0 .(1 )。M的半徑r =.(2)設(shè)點A(

12、0,3) , B(2,5),若。M上存在兩點C , D ,使得四邊形ABCD為平行四邊形，則直線CD 的方程為.【答案】2 , xy=0, xy4=0【解析】24 .在如圖所示的棱長為 2的正方體ABCD - AB1CQ1中，作與平面 AC)平行的截面，則截得的三角 形中，面積最大的值是 ;截得的平面圖形中，面積最大的值是 .【答案】2百,3百【解析】二、解答題(共 3個小題，共30分.請寫明必要的解題過程)25 . ( 8 分)已知曲線方程 x2 +my22x4y+n =0 , (m, n£ R).(1 )若此方程表示圓，求 m的值及以的范圍.(2)在(1)的條件下，若 n=Y,直

13、線l過A(2,0)且與圓相交于 B, C兩點，且| BC |=42 ,求直 線l方程.【答案】見解析.2【解析】解：(1)曲線方程可化為(x -1)2 +my =：_n +1 , ( m , nw R ), m m若此方程表示圓，則 m =1且 g _n+1 >0 ,m即 m =1 且 n <5 .(2)如圖，O為圓心，M為BC中點，由(1)知 m =1 ,當n=N時，圓的方程為(x1)2+(y 2)2 =9 ,其中圓心為(1,2),半徑r =3.M為BC中點，且|BC|=4E,|BM |=2",且 OM，BC ,在直角三角形OMB中，OB=r=3,OM =1 .當過點A

14、(2,0)的直線斜率不存在時，直線方程為 x=2,此時圓心到直線的距離為 1 ,符合題意；當過點A(2,0)的直線斜率存在時，設(shè)斜率為k,則直線方程y=k(x2).由點到直線距離公式知 d -|k-2-2k| =1,解得k =4 ,k2 (-1)24所以直線方程為y =-3(x-2),4整理得 3x +4y 6=0 .因此，過A(2,0)且與圓的交線段長度等于 4J2的直線為x = 2或3x+4y 6=0 .26.(10 分)如圖，四邊形 ABCD 是菱形，PDL平面 ABCD, PD/BE, AD=PD=2BE=2，/DAB=601 點F為PA的中點.(1)求證：EF/平面 ABCD.(2)

15、求證：平面 PAEL平面PAD .(3)求三棱錐P -ADE的體積.【答案】見解析.【解析】(1 )取AD中點G ,連接FG , BG , 因為點F為PA的中點，1 所以 FG / PD 且 FG =一 PD ,21又 BE/ PD ,且 BE=1PD ,2所以 BE/ FG , BE=FG ,所以四邊形BGFE為平行四邊形.所以 EF II BG ,又EF0平面ABCD, BGU平面ABCD,所以EF /平面ABCD .8(2)連接BD .因為四邊形 ABCD為菱形，NDAB=60)所以4ABD為等邊三角形.因為G為AD中點，所以BG ± AD ,又因為PDL平面 ABCD, BG

16、C：平面 ABCD,所以PD ± BG ,又 PDI AD =D , PD , AD 仁平面 PAD ,所以BG ±平面PAD .又 EF II BG ,所以EF ±平面PAD ,又EF仁平面PAE ,所以平面 PAE ±平面PAD .法二：因為四邊形 ABCD為菱形，NDAB=60二所以4ABD為等邊三角形，因為G為AD中點，所以BG ± AD ,又因為PD，平面 ABCD, PD仁平面PAD,所以平面 PAD ±平面ABCD ,又平面PADI平面ABCD =AD , BGu平面ABCD, 所以BG ±平面PAD .又 E

17、F / BG ,所以EF ±平面PAD ,又EF u平面PAE ,所以平面 PAE ±平面PAD .1(3)因為 Sapad =PD AD =2 , 2EF =BG =73 ,所以VpDE_1S- SA PAD3EF2 327. (12分)已知：直線l:3x+4y+1=0, 一個圓與x軸正半軸與y軸正半軸都相切，且圓心 C到直線 l的距離為3 .(1 )求圓的方程.(2) P是直線l上的動點，PE , PF是圓的兩條切線，E, F分別為切點，求四邊形 PECF的面積的最小值.(3)圓與x軸交點記作 A,過A作一直線1i與圓交于 A, B兩點，AB中點為M ,求|OM |最大

18、值.【答案】見解析.【解析】(1)解：圓與x, y軸正半軸都相切，圓的方程可設(shè)為 (x -a)2 +(y -a)2 =r2, (a >0),圓心C到直線的距離為3,由點到直線距離公式得 d3a +4a F =3 ,解得a =2 ,、32 42，半徑r =2 .，圓的方程為(x-2)2+(y-2)2 =4 .(2)解：PE, PF是圓的兩條切線，E, F分別為切點， APCE APCF ,一Sapef _2Sa PCE )PE是圓的切線，且E為切點，PE ±CE ,CE =r =2, 2222PE2 =PC2 -CE2 =PC2 -4 ,，當斜邊PC取最小彳1時，PE也最小，即四

19、邊形 PECF的面積最小.|PC |min即為C到l的距離，由(1 )知 | PC |min =3 ,' PE' =3-4=5,即 PEmin =店,SApce =1 EC PE =1M2父忑=后，22，四邊形PECF面積的最小值為2拜. (3)解：依題，點 A坐標(2,0),如圖，取A關(guān)于原點的對稱點坐標 P(二,0),連接PB, OM , 則OM為4APM的中位線，1所以，|OM|二|PB|,2所以，要使|OM |最大，則|PB|應最大，所以，如圖，當B點為PC的延長線與圓C的交點Bi時，|PB|max "PBiRPC | +| CBi |,= J(2 +2)2

20、+(2 0)2 +r =2而 +2 .1| OM |max =2 | PB |max =V5 + 1 ,即|OM |的最大值為：75 +1 .28.選做題：10分(計入總分，但總分不超過 150分)已知點A(0,4),圓O：x2 +y2 =4,點P在圓O上運動.(1 )如果AOAP是等腰三角形，求點 P的坐標.(2)如果直線 AP與圓O的另一個交點為 Q ,且|AP|2 +|AQ|2=36 ,求直線 AP的方程.【答案】見解析.【解析】解：(1)因為圓O:x2+y2=4,所以0(0,0),半徑為2 .設(shè)點 P(x,y),所以 |OP |=2 .又 A(0,4),所以 |OA|=4, |AP|=Jx2_(y4)2 , 因為4OAP是等腰三角形，所以 | APROA|=4 或 | APROP|=2 .,x2 »y2 =4當 |APRAO|=4