數(shù)學(xué)中的運(yùn)動(dòng)哲學(xué).

1、數(shù)學(xué)中的運(yùn)動(dòng)哲學(xué) 函數(shù)的故事 永恒運(yùn)動(dòng)著的世界 天地之間的萬物都在時(shí)間長河中流淌著，變化著。從過去變化到現(xiàn)在， 又從現(xiàn)在變化到將來。靜止是暫時(shí)的，運(yùn)動(dòng)卻是永恒！ 大概再?zèng)]有什么能比閃爍在天空中的星星，更能引起遠(yuǎn)古人的遐想。他 們想象在天庭上有一個(gè)如同人世間繁華的街市，那些本身發(fā)著亮光的星宿一 直忠誠地守護(hù)在天宮的特定位置，永恒不動(dòng)的。后來，這些星星便區(qū)別于月 亮和行星，稱之為恒星。其實(shí)，恒星的稱呼是不確切的，只是由于它離我們 太遠(yuǎn)了，以至于它們之間的任何運(yùn)動(dòng)，都慢得使人一輩子感覺不出來！ 北斗七星，是北天最為明顯的星座之一。在北天的夜空是很容易辨認(rèn)的。 大概所有的人一輩子見到的北斗七星，總是如

2、同上頁圖那般形狀。人的 生命太短暫了！幾十年的時(shí)光，對(duì)于天文數(shù)字般的歲月，是幾乎可以忽略不 計(jì)的！然而有幸的是：現(xiàn)代科學(xué)的進(jìn)展，使我們有可能從容地追溯過去和精 確地預(yù)測(cè)將來。左圖的 （1）、（2）、（3）是經(jīng)過測(cè)算，人類在十萬年前、 現(xiàn)在和十萬年后應(yīng)該看到和可以看到的北斗七星，它們的形狀是大不一樣 的！ 不僅天在動(dòng)，而且地也在動(dòng)?；鹕降膰姲l(fā)，地層的斷裂，冰川的推移， 泥石的奔流，這一切都還只是局部的現(xiàn)象。更令人不可思議的是；我們腳下 站立著的大地，也像水面上的船只那樣，在地幔上緩慢地漂移著！ 由此可見，這個(gè)世界的一切量，都跟隨著時(shí)間的變化而變化。時(shí)間是最 原始的自行變化的量，其他量則是因變量。

3、一般地說，如果在某一變化過程 中有兩個(gè)變量X，y，對(duì)于變量X在研究范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，變量y都 有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么變量X就稱為自變量，而變量y則稱為因變 量，或變量X的函數(shù)，記為： yf（x） 函數(shù)一語，起用于公元1692年，最早見自德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲的著作。 記號(hào)f（x）則是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于公元1724年首次使用的。上面我們所 講的函數(shù)定義，屬于德國數(shù)學(xué)家黎曼（Riemann，18261866）。我國引進(jìn)函 數(shù)概念，始于1859年，首見于清代數(shù)學(xué)家李善蘭 （18111882）的譯作。 一個(gè)量如果在所研究的問題中保持同一確定的數(shù)值，這樣的量我們稱為 常量。常量并不是絕對(duì)的。如果

4、某一變量在局部時(shí)空中，其變化是那樣地微 不足道，那么這樣的量，在這一時(shí)空中便可以看成常量。例如讀者所熟知的 “三角形內(nèi)角和為180°”的定理，那只是在平面上才成立的。但絕對(duì)平的 面是不存在的。即使是水平面，由于地心引力的關(guān)系，也是呈球面彎曲的。 然而，這絲毫沒有影響廣大讀者，去掌握和應(yīng)用平幾的這條定理！又如北斗 七星，它前十萬年與后十萬年的位置是大不相同的。但在近幾個(gè)世紀(jì)內(nèi)，我 們完全可以把它看成是恒定的，甚至可以利用它來精確判定其他星體的位 置！ 談“守株待兔” 守株待兔這則寓言，出自先秦著作韓非子。家喻戶曉，至今已 經(jīng)流傳了二千二百多年。 兩千年來，人們一直認(rèn)為“待兔”不得，罪在

5、“守株”！其實(shí)，抱怨“守 株”是沒有道理的。問題的關(guān)鍵在于兔子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。如果通往大樹的路是 兔子所必經(jīng)的，那么 守株”又將何妨？ 然而世界是一個(gè)不斷運(yùn)動(dòng)的世界。兔子的活動(dòng)，在時(shí)空的長河中，劃出 一條千奇百怪的軌跡，希望這條軌跡能與樹木在時(shí)空中的軌線再次相交，無 疑是極為渺茫的，因此，這正是這位農(nóng)人悲劇之所在！ 下面一則更為精妙的例子，可以使人們生動(dòng)地看到問題的癥結(jié)。 意大利文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)大師列奧納多·達(dá)·芬奇 （Le- onardo da Vinci， 14521519）曾提出過一個(gè)饒有趣味的“餓狼撲兔”問題： 一只兔子正在洞穴（C）南面60碼的地方（o）覓食，一只餓

6、狼此刻正在 兔子正東100碼的地方 （A）游蕩。兔子回首間猛然遇見了餓狼貪婪的目光， 預(yù)感大難臨頭，于是急忙向自己的洞穴奔去。說時(shí)遲，那時(shí)快，惡狼見即將 到口的美食就要失落，立即以一倍于兔于的速度緊盯著兔子追去。于是，狼 與兔之間，展開了一場(chǎng)生與死的驚心動(dòng)魄的追逐。 問：兔子能否逃脫厄運(yùn)？ 有人作過以下一番計(jì)算： 以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OC分別為X，Y軸，以1碼為單位長。則 OA100， OC60。根據(jù)勾股定理，在RtAOC中 AC = OA2 + CO2 = 1002 + 602 = 116.6 這意味著；倘若餓狼沿AC方向直奔兔子洞穴，那么由于兔子速度只有狼 速度的一半，當(dāng)餓狼到達(dá)兔穴洞口時(shí)，

7、兔子只跑了 116. 6 2 58. 3碼 距離，離洞口尚差 1. 7碼。這時(shí)先行到達(dá)洞口的餓狼，完全可以守在洞口， “坐等”美餐的到來！ 以上計(jì)算似乎天衣無縫，結(jié)論只能是兔子厄運(yùn)難逃?？蓪?shí)際上這是錯(cuò)誤 的！餓狼不可能未卜先知地直奔兔穴洞口去“坐守”，它的策略只能是死死 盯住運(yùn)動(dòng)中的兔子，這樣它本身也就運(yùn)動(dòng)成一條曲線，這條曲線可以用解析 的方法推導(dǎo)出來： 1 3 1 200 y = x2 - 10x2 + 30 3 2 當(dāng)x = 0時(shí)，代入上式得y 66 3 2 這意味著，如若北邊沒有兔子洞，那么當(dāng)兔子跑到離原點(diǎn)66 碼的B點(diǎn)時(shí)， 3 恰被餓狼逮住。然而有幸的是，兔子洞離原點(diǎn)僅有60碼，此時(shí)此

8、刻兔子早已 安然進(jìn)洞了！ 隨著“餓狼撲兔”謎底的解開，“守株待兔”問題似乎明朗了。不料， 后來又有人提出異議，對(duì)守株待兔故事的真實(shí)性表示懷疑，機(jī)靈的兔子 怎么會(huì)自己撞到偌大的樹樁上去？它那兩只精靈的大眼睛干什么去了？！ 說得不無道理！不過，要說清這一點(diǎn)，還得從眼睛的功能談起。 眼睛的視覺功能是有趣的：一只眼睛能夠看清周圍的物體，但卻無法準(zhǔn) 確判斷眼睛與物體之間的距離。下面的實(shí)驗(yàn)可以證實(shí)這一點(diǎn)。 兩只手各拿一支削尖了的鉛筆，然后，閉上一只眼睛，讓兩支筆的筆尖 從遠(yuǎn)到近，對(duì)準(zhǔn)靠擾。這時(shí)，你令發(fā)現(xiàn)一種奇怪的現(xiàn)象：任你怎么集中注意 力，兩支筆尖總是交錯(cuò)而過！然而，如若你睜著雙眼，要想對(duì)準(zhǔn)筆尖，那是 很

9、容易做到的。 由此可見：用兩只眼看，能準(zhǔn)確判斷物體的位置，而用一只眼看卻不能！ 那么，為什么用兩只眼睛便能判定物體的準(zhǔn)確位置呢？ 原來，同一物體在人的兩眼中看出來的圖象是不一樣的！左圖是一個(gè)隧 道分別在兩眼中的圖象，它們之間的不同是很明顯的。為了證明這兩側(cè)圖形 確是由你左右兩眼分別看出的，你可以把圖a擺在你的面前，然后兩眼凝視 圖中央空隙的地方，如此集中精力幾秒鐘，并全神貫注于一種要看清圖后更 遠(yuǎn)的意念。這樣，無須很久，你的眼前便會(huì)出現(xiàn)一種神奇的景象：圖中左右 兩側(cè)的形象逐漸靠近，并最終融合在一起，變成了一幅壯觀的立體隧道圖形！ 現(xiàn)在我們回到“守株待兔”這個(gè)問題上來。 仔細(xì)觀察一下便會(huì)發(fā)現(xiàn)，人

10、眼與兔眼的位置是不相同的：人的兩眼長在 前方，相距很近，而兔的兩眼卻長在頭的兩側(cè)。又根據(jù)測(cè)定，兔子每只眼睛 可見視野為189°30，而人的每只眼睛可見視野約166°。不過，由于人的 兩眼長在前面，因此兩眼同時(shí)能看到的視野有 124°左右。在這一區(qū)域內(nèi)的 物體，人眼能精確判定其位置。而兔眼雖說能看到周圍的任何東西但兩眼重 合視野只有19°，其中前方10°，后方9°。因此兔子只有在很小的視區(qū)內(nèi) 才能準(zhǔn)確判斷物體的遠(yuǎn)近！ 由圖b還能看出；縱然兔子對(duì)來自四方的威脅都能敏銳地感覺，但對(duì)鼻 子底下的東西 （圖中“？”號(hào)區(qū)域），卻完全看不到！況且在

11、驚慌失措的奔 命中，說不定早已昏了頭腦，撞樹的事情也就難保不會(huì)發(fā)生。 對(duì)閉眼打轉(zhuǎn)問題的探討 公元1896年，挪威生理學(xué)家古德貝爾對(duì)閉眼打轉(zhuǎn)的問題進(jìn)行了深入的研 究。他收集了大量事例后分析說：這一切都是由于人自身兩條腿在作怪！長 年累月養(yǎng)成的習(xí)慣，使每個(gè)人一只腳伸出的步子，要比另一只腳伸出的步子 長一段微不足道的距離。而正是這一段很小的步差X，導(dǎo)致了這個(gè)人走出一 個(gè)半徑為y的大圈子！ 現(xiàn)在我們來研究一下x與y之間的函數(shù)關(guān)系： 假定某個(gè)兩腳踏線間相隔為d。很明顯，當(dāng)人在打圈子時(shí)，兩只腳實(shí)際 上走出了兩個(gè)半徑相差為d的同心圓。設(shè)該人平均步長為1。那么，一方面 這個(gè)人外腳比內(nèi)腳多走路程 d d 2 （

12、y + ）- 2 （y - ）= 2 d 2 2 另一方面，這段路程又等于這個(gè)人走一圈的步數(shù)與步差的乘積，即： 2 y 2 d = （ ）·x 21 2dl 化簡得 y = x 對(duì)一般的人，d0.1米，10.7米，代入得（單位米） 0.14 y = x 這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式。今設(shè)迷路人兩腳差為 0.1毫 米，僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的范圍內(nèi)繞圈子！ 上述公式中變量x，y之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)上稱為反比例函數(shù)關(guān)系。所 k 謂反比例函數(shù)，就是形如y = ，（k為常量）這樣的函數(shù)。它的圖象是兩條 x 彎曲的曲線，數(shù)學(xué)上稱為等邊雙曲線，在工業(yè)、國防、科技等領(lǐng)域都很有用

13、 場(chǎng)。 下面我們看一個(gè)有趣的游戲： 在世界著名的水都威厄斯，有個(gè)馬爾克廣場(chǎng)。廣場(chǎng)的一端有一座寬 82 米的雄偉教堂。教堂的前面是一片開闊地。這片開闊地經(jīng)常吸引著四方游人 到這里做一種奇特的游戲：把眼睛蒙上，然后從廣場(chǎng)的一端向另一端教堂走 去，看誰能到達(dá)教堂的正前面！ 奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒有一名游客能幸運(yùn)地做到 這一點(diǎn)！全都走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊！ 為什么是這樣呢？我們就先來計(jì)算一下，當(dāng)人們閉起眼睛，從廣場(chǎng)一端 中央的M點(diǎn)抵達(dá)教堂CD的最小的弧半徑是多少。如下圖，注意到矩形ABCD 邊BC=175（米），AMMB= 41（米）。那么上述問題，無疑相當(dāng)于幾何中 2

14、 2 2 BC=R-（R-MB）=MB（2R-MB） 2 175=41×（2R-41） R=394這就是說，游人要想成功，他所走的弧線半徑必須不小于 394 米。那么就讓我們?cè)儆?jì)算一下，要達(dá)到上述要求，游人的兩腳的步差需要什 么限制。根據(jù)公式： 0.14 y = x y = R1 394 0.14 x = 0.00035 （米） 394 這表明游人的兩只腳的步差必須小于0.35毫米，否則是不可能成功的！ 然而，在閉上眼睛的前提下，使兩腳的步差這么小一般人是辦不到的，這便 是在游戲中為什么沒有人能被蒙上眼睛走到教堂前面的道理。 “鐘表定向”的科學(xué)原理 對(duì)于在沙漠，草原或雪野上迷了路的人

15、，識(shí)別方向無疑是至關(guān)重要的。 我們?cè)O(shè)想一位迷失了方向的人，面臨著一種艱難的境地，他在旅行中賴 以辨認(rèn)方向的羅盤，不幸丟失了！我們?cè)噲D幫助他從這一困境中解脫出來。 倘若故事發(fā)生在睛天的夜晚，那是不用愁的，因?yàn)楸碧斓哪穷w極星，可 以準(zhǔn)確地為你指示方向。 倘若故事發(fā)生在陰天，情況似乎比較棘手！不過，只要細(xì)心觀察周圍， 還是有希望找到一些辨別方向的標(biāo)志。如北半球樹木的年輪一般是偏心的， 靠北方向（N）年輪較密，而靠南方向（S）年輪較疏，這是由于樹木向陽一 面生長較快的緣故。又如，有時(shí)在荒野中我們會(huì)看到一些殘?jiān)珨啾凇⑵扑聰?廟，按中國的習(xí)俗，這些建筑物一般是座北朝南的。 假如我們的主人公在一望無際的沙漠

16、中迷失了方向。周圍當(dāng)然不可能奇 跡般地出現(xiàn)廟宇和樹樁。當(dāng)空的烈日，正使他陷入一種茫然和絕望！此時(shí)， 如果誰能告訴他，他手上戴著的手表，就是一只標(biāo)準(zhǔn)的“指北針”，那么他 一定會(huì)為此而欣喜若狂！ 也許你會(huì)疑慮重重，然而事實(shí)確是這樣！鐘表定向的方法是：把手表放 平，以時(shí)針的時(shí)數(shù)（一天以24小時(shí)計(jì)）一半的位置對(duì)向太陽，則表面上“12 時(shí)”指的方向便是北方。例如表面上指的時(shí)間若是早上8時(shí)零5分，其時(shí)數(shù) 一半的位置大約是“4.04時(shí)”，以這個(gè)位置對(duì)向太陽，則“12時(shí)”所指的方 向即為北方。應(yīng)當(dāng)注意的是，對(duì)向必須準(zhǔn)確。為了提高精度，我們可以用一 根火柴立在“時(shí)數(shù)一半”的地方，讓它的影子通過表面中心，這表明我

17、們已 經(jīng)對(duì)準(zhǔn)了太陽的方向！ 我想你一定很想知道用鐘表定向的科學(xué)道理，這是不難的！不過要徹底 弄清它，還得先了解地球的自轉(zhuǎn)。 眾所周知，白天的出現(xiàn)和黑夜的降臨，是由于地球的自轉(zhuǎn)。然而，歷史 上有很長一段時(shí)間，人們對(duì)此半信半疑。遲至公元1805年，一位相當(dāng)聰明的 法蘭西科學(xué)院院士梅西爾還這樣寫過：“天文學(xué)家要使我相信，我像一只燒 雞穿在鐵棍上那樣旋轉(zhuǎn)，那真是用心枉然！”不過，這位學(xué)者的偏見，并沒 能阻止地球的旋轉(zhuǎn)，從那時(shí)起地球又一如即往地轉(zhuǎn)動(dòng)了六萬七千轉(zhuǎn)！ 公元1851年，法國科學(xué)家傅科在著名的巴黎國葬院，作了一個(gè)直接證明 地球旋轉(zhuǎn)的驚人表演：讓一個(gè)大鐘擺在地面的沙盤上不斷劃出紋道（左圖）。 雖說

18、這個(gè)擺同其他自由擺一樣，不停地在同一方向、同一平面上來回?cái)[動(dòng)。 但地球及國葬院的地板，都在它底下極其緩慢地轉(zhuǎn)動(dòng)著，因此沙盤上劃出的 紋道，也一點(diǎn)點(diǎn)一點(diǎn)點(diǎn)由東向西緩慢而均勻地改變了方向。傅科擺的擺面旋 轉(zhuǎn)一周所用的時(shí)間與當(dāng)?shù)氐木暥扔嘘P(guān)：在極點(diǎn)需要24小時(shí)時(shí)；在巴黎需31 時(shí)47分；我國北京天文館的傅科擺，擺面旋轉(zhuǎn)一周約需37時(shí)15分。傅科的 實(shí)驗(yàn)使我們親眼見到了地球的均勻自轉(zhuǎn)。地球自轉(zhuǎn)一周，在人們的視覺假象 中，太陽好像繞地球旋轉(zhuǎn)了360°。與此同時(shí)，手表面上的時(shí)針走了24小時(shí)， 繞表心旋轉(zhuǎn)了 720°。由于以上兩者的轉(zhuǎn)動(dòng)都是均勻的，從而視覺中太陽繞 地球旋轉(zhuǎn)的角度y，與表面

19、上時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度x的一半，應(yīng)當(dāng)是同步的。這 表明，當(dāng)選定各自計(jì)算的起始角后，應(yīng)當(dāng)有 1 y = x + b 2 1 這是一個(gè)一次函數(shù)，它的圖象是一條直線。上式右端x的系數(shù)k = 稱 2 為直線的斜率；b稱為截距，恰等于直線截y軸的有向距離。 將上述一次函數(shù)式變形得： 1 y - x = b （常量） 2 這意味著，視覺中太陽旋轉(zhuǎn)的角與時(shí)針旋轉(zhuǎn)的半角之間，相差是一個(gè)常 量。這一變量中的常量說明，將“時(shí)數(shù)的一半”對(duì)向太陽時(shí)，手表面的位置 是恒定的，不因時(shí)間的推移和太陽的升落而變化。當(dāng)早晨6點(diǎn)太陽升起在東 方時(shí)，我們用“6”的一半“3”去對(duì)準(zhǔn)東方，那么“12時(shí)”所指的方向自然 就是北方了！而這一方向

20、，在太陽與時(shí)針同時(shí)運(yùn)動(dòng)中，保持恒定。這就是“鐘 表定向”的科學(xué)原理。 揭示星期幾的奧秘 公元321年3月7日，古羅馬皇帝君士坦丁，正式宣布采用“星期制”， 規(guī)定每一星期為七天，第一天為星期日，爾后星期一、星期二直至星期六， 爾后再回到星期日，如此永遠(yuǎn)循環(huán)下去！君士坦丁大帝還規(guī)定，宣布的那天 日子為星期一。 一星期為什么定為七天？這大約是出自月相變化的緣故。天空中再?zèng)]有 別的天象變化得如此明顯，每隔七天便一改舊貌！另外，“七”這個(gè)數(shù)，恰 與古代人已經(jīng)知道的日、月、金、木、水、火、土七星的數(shù)目巧合，因此在 古代神話中就用一顆星作為一日的保護(hù)神，“星期”的名稱也因之而起。 我想讀者一定很想知道歷史上

21、的某一天究竟是星期幾的奧秘！為了揭開 這個(gè)奧秘，我們先從閏年的設(shè)置講起。 我們知道：一個(gè)回歸年不是恰好365日，而是365日5小時(shí)48分46秒， 或365.2422日。為了防止這多出的0.2422日積累起來，造成新年逐漸往后 推移。因此我們每隔4年時(shí)間便設(shè)置一個(gè)閏年，這一年的二月從普通的28 天改為29天。這樣，閏年便有366天。不過，這樣補(bǔ)來也不剛好，每百年差 不多又多補(bǔ)了一天。因此又規(guī)定，遇到年數(shù)為“百年”的不設(shè)閏，扣它回來！ 這就是常說的“百年24閏”。但是，百年扣一天閏還是不剛好，又需要每四 百年再補(bǔ)回來一天。因此又規(guī)定，公元年數(shù)為400倍數(shù)者設(shè)閏。就這么補(bǔ)來 扣去，終于補(bǔ)得差不多剛好

22、了！例如，1976、1988這些年數(shù)被4整除的年份 為閏年；而1900、2100這些年則不設(shè)閏；2000年的年數(shù)恰能被400整除， 又要設(shè)閏，如此等等。 閏年的設(shè)置，無疑增加了我們對(duì)星期幾推算的難度。為了揭示關(guān)于星期 幾的奧秘，我們還要用到一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)工具高斯函數(shù)。 公元1800年，德國數(shù)學(xué)家高斯 （Gauss，17771855）在研究圓內(nèi)整點(diǎn) 問題時(shí)，引進(jìn)了一個(gè)函數(shù) yx 后人稱之為高斯函數(shù)。 x是表示數(shù)X的整數(shù)部分，如： =3 -4.75=-5 5 - 1 = 0 2 1988=1988 高斯函數(shù)的圖象如左圖，像臺(tái)階般，不連續(xù)！ 利用高斯函數(shù)，我們可以根據(jù)設(shè)閏的規(guī)律，推算出在公元X年第y

23、天是 星期幾。這里變量X是公元的年數(shù)；變量y是從這一年的元旦，算到這一天 為止 （包含這一天）的天數(shù)。歷法家已經(jīng)為我們找到了這樣的公式： x - 1 x - 1 x - 1 s = x - 1+ - + + y 4 100 400 按上式求出S后，除以7，如果恰能除盡，則這一天為星期天；否則余 數(shù)為幾，則為星期幾！ 例如，君士坦丁大帝宣布星期制開始的第一天為公元321年3月7日。 容易算得： 320 320 320 s = 320 + - + + 66 4 100 400 = 320 + 80 - 3 + 0 + 66 = 4631(mod 7) 最后一個(gè)式子的符號(hào)表示463除以7余1。也就是

24、說，這一天為星期一。 這是可以預(yù)料到的，因?yàn)楫?dāng)初就是這么規(guī)定的！ 又如，我們共和國成立于1949年10月1日： 1948 1948 1948 s = 1948+ - + + 274 4 100 400 = 1948+ 487 - 19 + 4 + 274 = 2694 6(mod 7) 原來，這一普天同慶的日子為星期六。 公元2000年1月1日，人類跨進(jìn)了高度文明的21世紀(jì)，那么這一天是 星期幾呢？ 1999 1999 1999 s = 1999+ - + + 1 4 100 400 = 1999+ 499 - 19+ 4 + 1 = 2484 6(mod 7) 計(jì)算表明：這一天也是星期六！

25、指數(shù)函數(shù)的威力 美國著名的科學(xué)家，避雷針的發(fā)明人，本杰明·富蘭克林（Franklin·B， 17061790）。一生為科學(xué)和民主革命而工作，他死后留下的財(cái)產(chǎn)只有一千 英鎊。令人驚訝的是，他竟留下了一份分配幾百萬英鎊財(cái)產(chǎn)的遺囑！這份有 趣的遺囑是這樣寫的： “一千英鎊贈(zèng)給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊，那么 這筆錢應(yīng)該托付給一些挑選出來的公民，他們得把這錢按每年 5的利率借 給一些年輕的手工業(yè)者去生息。這款子過了100年增加到131000英鎊。我希 望，那時(shí)候用100000英鎊來建立一所公共建筑物，剩下的31000英鎊拿去繼 續(xù)生息100年。在第二個(gè)100年末了，這筆

26、款增加到4061000英鎊，其中 1061000英鎊還是由波士頓的居民來支配，而其余的3000000英鎊讓馬薩諸 州的公眾來管理。過此之后，我可不敢多作主張了！” 富蘭克林，留下區(qū)區(qū)的1000英鎊，竟立了百萬富翁般的遺囑，莫非昏了 頭腦？！讓我們按照富蘭克林非凡的設(shè)想實(shí)際計(jì)算一下。請(qǐng)看下表： A 從而 b = n = (1+ 5%)n n A 0 上式顯然是函數(shù)yax 當(dāng)a1.05時(shí)的特例。在數(shù)學(xué)上形如y = ax 的函 數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其中a約定為大于0且不等于1的常量。 1 下圖畫出了指數(shù)函數(shù)y = 2x ，y = 10x ，y = ( )x 的圖象。從圖象容易看出： 2 當(dāng)?shù)譨大于1時(shí)，

27、指數(shù)函數(shù)是遞增的，而且越增越快；反之，當(dāng)?shù)譨小于1 n 時(shí)，指數(shù)函數(shù)遞減。讓我們觀察故事中b=1.05值的變化，不難算得： n 當(dāng)x = 1時(shí)，b 1 = 1.05； 當(dāng)x = 2 時(shí)，b2 = 1.103； 當(dāng)x = 3時(shí)，b3 = 1.158； 當(dāng)x = 100時(shí)，b 100 = 131.501。 這意味著，上面的故事中，在頭一個(gè)100年末富蘭克林的財(cái)產(chǎn)應(yīng)當(dāng)增加 到 100 A 100 = 1000×1.05 = 131501 （英鎊） 這比富蘭克林遺囑中寫的還多出501英鎊哩！在第二個(gè)100年末，他擁 有的財(cái)產(chǎn)就更多了 A = 131501×1.05100 = 414

28、2421 （英鎊） 100 可見富蘭克林的遺囑在科學(xué)上是站得住腳的！ 由此可見，指數(shù)函數(shù)的威力。 歷史上因此而吃了虧的，也不乏其人，大名鼎鼎的拿破侖就是其中的一 位。 公元1797年，當(dāng)拿破侖參觀國立盧森堡小學(xué)的時(shí)候，贈(zèng)送了一束價(jià)值三 個(gè)金路易的玫瑰花，并許諾說，只要法蘭西共和國存在一天，他將每年送一 束價(jià)值相等的玫瑰花，以作兩國友誼的象征。此后，由于火與劍的征戰(zhàn)，拿 破侖忘卻了這一諾言！當(dāng)時(shí)間的長河向前推進(jìn)了近一個(gè)世紀(jì)之后，公元1894 年，盧森堡王國鄭重向法蘭西共和國提出了“玫瑰花懸案”要求法國政府在 拿破侖的聲譽(yù)和1375596法郎的債款中，二者選取其一。這筆高達(dá)百萬法郎 的巨款，就是三

29、個(gè)金路易的本金，以5的年利率，在97年的指數(shù)效應(yīng)下的 產(chǎn)物。這一歷史公案使法國政府陷入極為難堪的局面，因?yàn)橹灰ㄌm西共和 國繼續(xù)存在，此案將永無了結(jié)的一天！ 不過，指數(shù)效應(yīng)更多是積極的方面。 指數(shù)函數(shù)不僅在數(shù)學(xué)、物理、天文上應(yīng)用極廣，而且在其他自然科學(xué)甚 至社會(huì)科學(xué)上也大有用場(chǎng)！以指數(shù)規(guī)律變化的自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，有一種 極為重要的特性：即量A的變化量A，總是與量A本身及其變化時(shí)間t成 正比 A At t 事實(shí)上，令 （A=ft）=a，則 t+t t t t A=a-a=a（a-1） at - 1 = At ( ) t 數(shù)學(xué)上可以證明，上式右端括號(hào)內(nèi)的量，當(dāng)變化時(shí)間很短時(shí)，趨向一個(gè) 極限K（實(shí)

30、際上等于Ina），從而證得： AKAt 反過來，數(shù)學(xué)家也已經(jīng)證明：如果量A的變化量與它本身及變化時(shí)間成 正比 （比例系數(shù)為K），那么此時(shí)必有 kt A=Ae 0 這里A0 是變量 A的初始值（t 0 ），數(shù) e 2.718則是一個(gè)與 圓周率一樣重要的數(shù)學(xué)常量。 對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程 16世紀(jì)的歐洲隨著資本主義的迅速發(fā)展，科學(xué)和技術(shù)也一改中世紀(jì)停滯 不前的局面。天文、航海、測(cè)繪、造船等行業(yè)不斷向數(shù)學(xué)提出新的課題。有 一個(gè)集中暴露出來令人頭痛的問題是：在星體的軌道計(jì)算，船只的位置確定， 大地的形貌測(cè)繪，船舶的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等一系列課題中，人們所遇的數(shù)據(jù)越來越 寵雜，所需的計(jì)算越來越繁難！無數(shù)的乘除、乘方、開方

31、和其他運(yùn)算，耗費(fèi) 了科學(xué)家們大量的極為寶貴的時(shí)間和精力。 面對(duì)這種局面，數(shù)學(xué)家們終于出來急其所難，各種門類的表格：平方表、 立方表、平方根表、圓面積表等等，便應(yīng)運(yùn)而生，人類就這么在表格的海洋 中茫然地行駛了半個(gè)多世紀(jì)，直至16世紀(jì)40年代，才迎來了希望的曙光。 公元 1544年，著名的哥尼斯堡大學(xué)教授，德國數(shù)學(xué)家斯蒂費(fèi)爾 （Stiefel，14871567），在簡化大數(shù)計(jì)算方面邁出了重要的一步。在普 通算術(shù)一書中，斯蒂費(fèi)爾宣布自己發(fā)現(xiàn)了一種有關(guān)整數(shù)的奇妙性質(zhì)，他認(rèn) 為：“為此，人們甚至可以寫出整本整本的書” 那么，斯蒂費(fèi)爾究竟發(fā)現(xiàn)了什么呢？原來他如同下表比較了兩種數(shù)列： 等比數(shù)列和等差數(shù)列。

32、斯蒂費(fèi)爾把等比數(shù)列的各數(shù)稱為“原數(shù)”，而把等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)數(shù)稱為 “代表者”（即后來的“指數(shù)”）。他驚奇地發(fā)現(xiàn)：等比數(shù)列中的兩數(shù)相乘， 其乘積的“代表者”，剛好等于等差數(shù)列中相應(yīng)兩個(gè)“代表者”之和；而等 比數(shù)列中的兩數(shù)相除，其商的“代表者”，也恰等于等差數(shù)列中兩個(gè)“代表 者”之差。斯蒂費(fèi)得出的結(jié)論是：可以通過如同上面那樣的比較，把乘除運(yùn) 算化為加減運(yùn)算！ 可以說斯蒂費(fèi)爾已經(jīng)走到了一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)的邊緣。因?yàn)樗v的“代表 者”y，實(shí)際上就是現(xiàn)在以2為底x的對(duì)數(shù) v=logx 2 而使斯蒂費(fèi)爾驚喜萬分的整數(shù)性質(zhì)就是： log （M ·N ）= log M + log N 2 2 2 M lo

33、g （ ）= log M - log N 2 N 2 2 歷史常常驚人地重復(fù)著這樣的人和事：當(dāng)發(fā)現(xiàn)已經(jīng)降臨到眼皮底下，只 緣一念之差，卻被輕輕錯(cuò)過！斯蒂費(fèi)爾大約就是其中令人惋惜的一個(gè)。他困 惑于自己的表格為什么可以算出 16×2564096，卻算不出更簡單的 16× 250=4000。他終于沒能看出在離散中隱含著的連續(xù)，而是感嘆于自己研究問 題的“狹窄”。從而在偉大的發(fā)現(xiàn)面前，把腳縮了回去！ 正當(dāng)斯蒂費(fèi)爾感慨于自己智窮力竭之際，在蘇格蘭的愛丁堡誕生了一位 杰出人物，此人就是對(duì)數(shù)的發(fā)明人納白爾（Napier， 15501617）。 納白爾出身于貴族家庭，天資聰慧，才思敏捷，從

34、小又受家庭的良好熏 陶，十三歲便進(jìn)入了圣安德魯斯大學(xué)的一個(gè)學(xué)院學(xué)習(xí)。十六歲出國留學(xué)，學(xué) 識(shí)因之大進(jìn)。公元1571年，納白爾抱志回國。先是從事于天文、機(jī)械和數(shù)學(xué) 的研究，并深為復(fù)雜的計(jì)算所苦惱。公元1590年，納白爾改弦更張，潛心于 簡化計(jì)算的工作。他匠心獨(dú)運(yùn)，終于在斯蒂費(fèi)爾的足跡上，向前邁出了具有 劃時(shí)代意義的一步！ 說來也算簡單！納白爾只不過是讓任何數(shù)都找到了與它對(duì)應(yīng)的“代表 者”。這相當(dāng)于在斯蒂費(fèi)爾離散的表中，密麻麻地插進(jìn)了許多的中間值，使 人看去宛如無數(shù)的緯線穿行于經(jīng)線之中，顯示出布匹般的連續(xù)！ 公元1594年，納白爾開始精心編制可供實(shí)用的對(duì)數(shù)表。在經(jīng)歷了7300 個(gè)日日夜夜之后，一本厚

35、達(dá)200頁的八位對(duì)數(shù)表終于誕生了！公元1614年， 納白爾發(fā)表了關(guān)于奇妙的對(duì)數(shù)法則的說明一書，書中論述了對(duì)數(shù)的性質(zhì)， 給出了有關(guān)對(duì)數(shù)表的使用規(guī)則和實(shí)例。納白爾終于用自己20年的計(jì)算，換來 了人世間無數(shù)壽命的延續(xù)！法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯說得好：“如果一個(gè)人的 生命是拿他一生中的工作多少來衡量，那么對(duì)數(shù)的發(fā)明，等于延長了人類的 壽命！” 不幸的是，納白爾的工作雖然延長了他人的壽命，卻沒能使自己的生命 得以延長。就在納白爾著作發(fā)表后的第三個(gè)年頭，公元1617年，這位永受后 人緬懷的杰出數(shù)學(xué)家，終因勞累過度，不幸謝世。 納白爾的對(duì)數(shù)發(fā)明頗具傳奇性。當(dāng)時(shí)的歐洲，代數(shù)學(xué)仍處于十分落后的 狀態(tài)，甚至連指數(shù)概念

36、尚未建立。在這種情況下先提出對(duì)數(shù)概念，不能不說 是一種奇跡！納白爾的對(duì)數(shù)是從一個(gè)物理上的有趣例子引入的：兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、 B有相同的初速度v。質(zhì)點(diǎn)A在線段OR上作變速運(yùn)動(dòng)，其速度與它到R的距 離成正比；質(zhì)點(diǎn) 作勻速直線運(yùn)動(dòng)。今設(shè)B AR X， OBy，試求X，y 之間的關(guān)系？ 納白爾經(jīng)過仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)；質(zhì)點(diǎn)A的瞬時(shí)末速度是一個(gè)無窮遞縮等比 數(shù)列 1 1 1 1 1 2 3 i v，v （1- ），v （1- ），v （1- ），v （1- ）， n n n n 從而量x在變化時(shí)也可以看成是一個(gè)無窮遞縮等比數(shù)列；而Y在變化時(shí)顯然 可以看成是一個(gè)無窮遞增的等差數(shù)列0，v，2v，3v，4v，tv，這樣一

37、 來，在變量y與變量X之間便建立起了函數(shù)關(guān)系。納白爾把y稱為X的對(duì)數(shù)， 用現(xiàn)在的式子來寫就是： ê 1 y = log1 x = lná ? E x e 這里符號(hào)“l(fā)n”表示“自然對(duì)數(shù)”，對(duì)數(shù)的底就是上一節(jié)故事中講的e。 這與今天課本上講的“常用對(duì)數(shù)”有所不同，后者是以10為底的。 在數(shù)學(xué)上，對(duì)數(shù)函數(shù)的一般表示式為 y = loga x 改寫成指數(shù)形式便有 y x=a 在上式中，如果把變量X看成變量y的函數(shù)，并改用常用的函數(shù)和自變 量符號(hào)，則有 x y=a 這樣得到的函數(shù)，我們稱為原函數(shù)的反函數(shù)。兩個(gè)互為反函數(shù)的圖象， 在同一坐標(biāo)系里，關(guān)于第、象限的角平分線為軸對(duì)稱。反函數(shù)

38、圖象的這 一特性，在上圖中可以看得很明顯。 對(duì)數(shù)是十七世紀(jì)人類最重大的發(fā)現(xiàn)之一。在數(shù)學(xué)史上，納白爾的對(duì)數(shù)、 笛卡兒的解析幾何及牛頓萊布尼茲的微積分三者齊名，被譽(yù)為“歷史上最重 要的數(shù)學(xué)方法”！ 對(duì)數(shù)于1653年傳入我國。公元1664年，我國學(xué)者薛風(fēng)祚 （？1680） 編譯了天學(xué)會(huì)通叢書。在國內(nèi)，這是第一部介紹對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)表的著作。 不朽的功績 斯蒂費(fèi)爾的“指數(shù)”思想，實(shí)際上早在2200年前就已有過！公元前3 世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes，公元前287前212），在他名 著計(jì)砂法中，就曾研究過以下兩個(gè)數(shù)列： 2 3 4 5 1， 10， 10， 10，10， 10，； 0，1，

39、 2， 3， 4， 5，。 并發(fā)現(xiàn)了冪的運(yùn)算與指數(shù)之間的聯(lián)系。然而，在阿基米德死后，因后繼 無人而湮滅了！ 在斯蒂費(fèi)爾發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)后不到60年，在英吉利海峽兩邊的不同國度里，卻 幾乎同時(shí)出現(xiàn)兩位新秀：一位是納白爾，另一位是聰明絕頂?shù)娜鹗跨姳斫硺?biāo) 爾格。后者是著名天文學(xué)家開普勒的助手。出于天文計(jì)算的需要，他于公元 1611年，制成了世界上第一張以e為底的四位對(duì)數(shù)表。 不過，納白爾的工作是無與倫比的。他的非凡成果，驚動(dòng)了一位住在倫 敦的天文數(shù)學(xué)家，牛津大學(xué)教授布里格斯 （Briggs，15611631）。布里格 斯幾乎陶醉于納白爾奇特而精妙的對(duì)數(shù)理論，渴望能親睹這位創(chuàng)造者的容 顏！ 公元1616年初夏

40、，布里格斯去信給納白爾，希望能有機(jī)會(huì)親自拜訪他。 納白爾久仰布里格斯大名，立即回信，欣然應(yīng)允，并訂下了相會(huì)的日期。不 久，布里格斯便登上了前往愛丁堡的旅途。 倫敦與愛丁堡之間路遙千里，而當(dāng)時(shí)最快的交通工具只有馬車，雖然日 夜兼程，也需要數(shù)天時(shí)間。而兩位科學(xué)家卻早已心馳神往，大家都極為盼望 著這次會(huì)面時(shí)刻的到來！ 俗話說得好：“佳期難得，好事多磨”，偏偏在這節(jié)骨眼上，布里格斯 的馬車中途因故拋錨。布里格斯心急如焚，卻又無可奈何！此后雖則加速行 程，但終因此番耽擱，以致沒能如期抵達(dá)愛丁堡。 話說另一頭，在約定的日子里，納白爾左等右等，終不見布里格斯的身 影，焦慮和不安使這位年近古稀的老人，似乎顯得

41、更加蒼老！時(shí)間過去了一 天，正當(dāng)納白爾望眼欲穿之際，突然門外響起了陣陣鈴聲。納白爾喜出望外， 急忙向大門奔去 。當(dāng)風(fēng)塵仆仆的布里格斯出現(xiàn)在納白爾面前時(shí)，兩位 初次見面的數(shù)學(xué)家，像老朋友般緊緊地握住對(duì)方的雙手，嘴唇顫動(dòng)著，卻久 久說不出話來！ 在很長一段時(shí)間之后，布里格斯終于先開了口：“此番我樂于奔命，唯 一的目的是想見到您本人，并想知道，是什么樣的天才使您第一次發(fā)現(xiàn)了這 個(gè)對(duì)天文學(xué)妙不可言的方法。” 這次會(huì)面使兩位數(shù)學(xué)家結(jié)成了莫逆之交。布里格斯根據(jù)自己在牛津大學(xué) 的講學(xué)經(jīng)驗(yàn)，建議納白爾把對(duì)數(shù)的底數(shù)改為10，主張 logl=lgl=0 10 log10=lg10=1 10 這樣，一個(gè)數(shù)N的對(duì)數(shù)，

42、便可明確地分成兩個(gè)部分：一部分是對(duì)數(shù)首數(shù)， 只與數(shù)N的整數(shù)位數(shù)有關(guān)；另一部分是對(duì)數(shù)尾數(shù)，則由數(shù)N的有效數(shù)字確定。 這就是說，若 loN = a×××× a = lgN I 則ì 0××××= lg N - lgN ó 有道是：“英雄所見略同。”納白爾對(duì)布里格斯的建議大為贊賞，認(rèn)為 這種以10為底的對(duì)數(shù)，對(duì)于通常的計(jì)算更為實(shí)用！ 就這樣，納白爾又以全部的精力投入了新對(duì)數(shù)表的制作，直至不幸逝世。 納白爾的未竟事業(yè)，由布里格斯繼承了下去。經(jīng)歷了艱難的八年之后， 公元1624年，世界上第一本14位的常用

43、對(duì)數(shù)表終于問世。不過，布里格斯 的對(duì)數(shù)表實(shí)際上并不完全，只有12000及90000100000各數(shù)的對(duì)數(shù)。這 一對(duì)數(shù)表的空隙部分，四年后由荷蘭數(shù)學(xué)家符拉克補(bǔ)齊。 隨著對(duì)數(shù)應(yīng)用的擴(kuò)大，各類精密度更高的對(duì)數(shù)表，像雨后春筍般相繼出 現(xiàn)，蔚為壯觀！其中有20位的；48位的；61位的；102位的；而如今雄踞 位數(shù)榜首的，是亞當(dāng)斯的260位對(duì)數(shù)！ 隨著對(duì)數(shù)表位數(shù)的增加，表格的厚度也越來越厚：四位對(duì)數(shù)表只需3頁； 5位對(duì)數(shù)表就要30頁；而6位對(duì)數(shù)表則需182頁，面對(duì)著這一本厚似一 本的表格，人們終于引起了反思。實(shí)踐使他們意識(shí)到，表的位數(shù)如果多于計(jì) 算量的度量精度，那么表的位數(shù)越高，造成的時(shí)間和精力的浪費(fèi)也就越大！ 于是，在實(shí)用的指導(dǎo)下，人們又逐漸從高位對(duì)數(shù)表，退回到低位對(duì)數(shù)表上來。 目前全世界的教科書，采用的幾乎都是四位對(duì)數(shù)