數(shù)學(xué)物理方程03_波動(dòng)方程初始問(wèn)題的求解【OK】

1、第第3 3章章 波動(dòng)方程初始問(wèn)題的求解波動(dòng)方程初始問(wèn)題的求解行波法（達(dá)朗貝爾公式）（特征線積分法）達(dá)朗貝爾公式（行波法）達(dá)朗貝爾公式（行波法） 一維問(wèn)題一維問(wèn)題 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。2 關(guān)鍵步驟： 通過(guò)變量變換，將波動(dòng)方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。 通解法中有一種特殊的解法通解法中有一種特殊的解法行波法行波法, , 即以自變量的即以自變量的線性組合作變量代換，進(jìn)行求解的一種方法，它對(duì)波動(dòng)方線性組合作變量代換，進(jìn)行求解的一種方法，它對(duì)波動(dòng)方程類型的求解十分有效程類型的求解十分有效. .1.1.弦振動(dòng)方程的初始

2、問(wèn)題弦振動(dòng)方程的初始問(wèn)題- -無(wú)界限的自由振動(dòng)無(wú)界限的自由振動(dòng)22222,0( ,0)( ),( ,0)( ),tuuaxttxu xxxu xx （1 1）物理解釋：物理解釋： 認(rèn)為弦很長(zhǎng)，考慮遠(yuǎn)離邊界的某段弦在較短時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)，其中給定初始位移和速度，并且沒(méi)有強(qiáng)迫外力作用。(3.1.1)（2 2）一維波動(dòng)方程的通解：）一維波動(dòng)方程的通解：22222,0uuaxttx xatxat作變換：0u得到：)(1fu偏積分得：對(duì))()(1gdfu偏積分得：再對(duì))()()()(atxgatxfgf任意函數(shù)任意函數(shù)（3 3）無(wú)界限弦自由振動(dòng)的特解（考慮初始條件）：）無(wú)界限弦自由振動(dòng)的特解（考慮初始條件）

3、：)()( )( )()()(xxagxafxxgxf由初始條件得：xaxadssxxgdssxxf)()()()()()(21212121由此解得：1122( , ) ()()( )xataxatu x txatxats ds代入通解得：dssxgxfxa)()()(1對(duì)第二式積分：達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式僅對(duì)第一層變量進(jìn)行積分僅對(duì)第一層變量進(jìn)行積分(3.1.2)結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x 軸正、反向傳播的兩列波速為a的波的疊加，故稱為行波法。a. 只有初始位移時(shí)， 代表以速度a 沿x 軸正向傳播的波 代表以速度a 沿x 軸負(fù)向傳播的波1( , )()()2u x txatxat()xat()

4、xat（4 4）達(dá)朗貝爾公式的意義：）達(dá)朗貝爾公式的意義：b. 只有初始速度時(shí)：1( , )( )d2x atx atu x ta 11( , )()()u x txatxat1( ) 為 的積分原函數(shù)。( ) -22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81示意圖形（向右傳播的波）：示意圖形（向右傳播的波）：222|,|, 0002xttxtxxttaxeueuxuau解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式222()()1122( , )2

5、x atx atx atsax atu x teeasedsatxatxsatxatxdseee221)()(21222222()()1122xatxatxatsxateee2)(atxe（5 5）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用：）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用：波動(dòng)方程波動(dòng)方程2000,|sin ,|costtxxtttuc uxux ux 1122( , )sin()sin()cosxctcxctu x txctxctsds解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式12sincossin()sin()cxctxctxct1sincoscossinxctxctc波動(dòng)方程波動(dòng)方程200230,0|3,|0 xxxyyyyyyuu

6、uxyuxu 22()23()0dydxdydx解：該問(wèn)題不能直接運(yùn)用達(dá)朗貝爾公式，但可按該思路進(jìn)行。特征方程為：123yxcyxc 令：3xyxy方程可化為：0u非波動(dòng)方程非波動(dòng)方程所以，方程的通解為：12( ,)()(3)u x yfxyfxy帶入初始條件：2012012|( )(3 )3|( )(3 )0yyyufxfxxufxfx21212( )(3 )31( )(3 )3fxfxxfxfxc所以：2122223( ) 4491(3 ) ( )4444cfxxccfxxfxx或因此：222231( ,)()(3)344u x yxyxyxy0010, (0) 2|( ),| xxyyy

7、yyyuyuuyuxu有限值22()()0dyy dx解：該問(wèn)題不能直接運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理，但可按該思路進(jìn)行。特征方程為：dyydx 令：22xyxy方程可化為：0u非波動(dòng)方程非波動(dòng)方程所以，方程的通解為：12( ,)(2)(2)u x yfxyfxy帶入初始條件：012|( )( )( )yufxfxx12( )( )0fxfx又因?yàn)椋?1201|(2)(2)yyyufxyfxyy為有限值，所以：即：12( )( )fxfxc所以：121( )( )221( )( )22cfxxcfxx因此：1( ,) (2)(2)2u x yxyxy2 2 弦振動(dòng)方程的初始問(wèn)題弦振動(dòng)方程的初始問(wèn)題- -半無(wú)

8、界弦的自由振動(dòng)半無(wú)界弦的自由振動(dòng)22222, 0,0( ,0)( ),( ,0)( ), 0(0, )0, 0tuuaxttxu xx u xxxutt物理解釋：物理解釋： 認(rèn)為弦很長(zhǎng)，考慮弦線某端附近而遠(yuǎn)離另一端在較短時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)，其中給定初始位移和速度，沒(méi)有強(qiáng)迫外力作用，弦線一端被固定。(3.1.3) 為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以將半無(wú)界弦延拓成無(wú)限長(zhǎng)的弦，由于邊界條件 ，所以無(wú)限長(zhǎng)弦的 必須為奇函數(shù)，其初始條件也必須為奇函數(shù)，即：00 xu( , )u x t( ), 0 ( )(), 0 xxxxx( ), 0 ( )(), 0 xxxxx(3.1.4)(3.1.5) 將上述初始條件代入達(dá)朗

9、貝爾公式，即可得到：11221122 ()()( ), ( , ) ()()( ), xataxatxataatxxxatxats ds tau x txxatatxs ds ta(3.1.6)22222,0,0( ,0)( ),( ,0)( ),0(0, )0,0txuuaxttxu xx u xxxutt 若將上述的邊界條件 改為 ，即半無(wú)限長(zhǎng)桿的自由振動(dòng)，桿的端點(diǎn)自由。00 xu00 xxu 為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以將半無(wú)界弦延拓成無(wú)限長(zhǎng)的弦，由于邊界條件 ，所以無(wú)限長(zhǎng)弦的 必須為偶函數(shù)，其初始條件也必須為偶函數(shù)。00 xxu( , )u x t(3.1.7)( ), 0 ( )(), 0

10、 xxxxx( ), 0 ( )(), 0 xxxxx所以： 將上述初始條件代入達(dá)朗貝爾公式，即可得到：1122112200()()( ), ( , )()()( )( ), xataxatxatatxaxxatxats dstau x txxatatxs dss dsta例子：21212,0,0,0, ( ,0)1, ,10,( ,0)0(0, )0,0ttxxtua uxtxxu xxxu xxRutt其它，1()() ,2( , )1()() ,2xatxatatxu x tatxxatatx應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式得到解的形式為：121112221212,0,( , ),1,1(1),11xx

11、atxatxatu x tatatxatxatxatxatatxat 當(dāng) 0 t 1/4a當(dāng) 1/4a t 1/2a1211221211221122,0,( , ),1(),1(1),1xxatatatxatu x tatatxatxatatxatxatatxat 當(dāng) 1/2a t 3/4a1211221211221122,0,1( , )(),1(),(1),1xxatatatxatu x txatatxatxatatxatxatatxat 當(dāng) 3/4a t 1/a1122112211221122,01(1), 1( , )(),(),(1),1xxatxatatxatu x txatatx

12、atxatatxatxatatxat 當(dāng) 1/a t1122112211221122(1),1(),( , )(),(1),1xatatxatxatatxatu x txatatxatxatatxat 3 3 弦振動(dòng)方程的初始問(wèn)題弦振動(dòng)方程的初始問(wèn)題-兩端固定的有界弦兩端固定的有界弦的自由振動(dòng)的自由振動(dòng)22222,0,0( ,0)( ),( ,0)( )(0, )( , )0tuuaxl ttxu xx u xxutu l t 為了應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式，必須把 按以 為周期的奇函數(shù)延拓到整個(gè)x軸。( ),( )xx2l這個(gè)結(jié)論完全是可以證明的。(3.1.8)4 4 弦振動(dòng)方程的初始問(wèn)題弦振動(dòng)方程的

13、初始問(wèn)題- - 一端擾動(dòng)引起的半一端擾動(dòng)引起的半無(wú)界弦的自由振動(dòng)無(wú)界弦的自由振動(dòng)22222,0,0( ,0)0,( ,0)0(0, )( )tuuaxttxu xu xutf t 無(wú)初始速度和初始位移無(wú)初始速度和初始位移 由于該問(wèn)題沒(méi)有初始速度和初始位移，只有端部的位移擾動(dòng)（邊界條件），因此，不能直接運(yùn)用達(dá)朗貝爾公式。(3.1.9)設(shè)通解為：12( , )()()u x tFxatFxat代入初始條件，可得：1212( ,0)( )( )0 ( ,0)( )( )0tu xFxFxuxaFxFx即：121( )( )CF xFx所以：122( )( )C (0)F xFxx由于：2()xatF

14、xat恒大于0，故恒為常數(shù)，不妨設(shè)為0.于是有：1( , )0 ( , )() u x txatu x tFxatxat代入邊界條件：1(0, )()( )utFatf t即：1( )(/)Ffa所以：1() () /()F xatfxataf tx a最終方程的解為：( , )0 ( , )() u x txatu x tf tx axat(3.1.10)例子：tAuuuxtuatuxtttsin0, 0)0(00022222()sin()sin()()( , )sin()()xatxxf xatAAttaaaxxu x tAtH taa 其中：1 0( )0 0H5 5 弦振動(dòng)方程的初始問(wèn)

15、題弦振動(dòng)方程的初始問(wèn)題-半無(wú)限長(zhǎng)桿端點(diǎn)受垂半無(wú)限長(zhǎng)桿端點(diǎn)受垂直方向力作用時(shí)的振動(dòng)直方向力作用時(shí)的振動(dòng)22222,0,0( ,0)( ),( ,0)( )(0, )( )txuuaxttxu xx u xxutf t 對(duì)照本章內(nèi)容4，對(duì)于 ，端點(diǎn)影響尚未到達(dá)，對(duì)于這部分桿，可以用達(dá)朗貝爾公式，即：xat1122( , ) ()()( ) xataxatu x txatxats dsxat(3.1.11)對(duì)于 ，端點(diǎn)作用不可忽略，此外，在 處，初始條件均沒(méi)有意義，需要延拓，設(shè)：xat0 x 1( ),0( )( ),0 x xxx x1( ),0( )( ),0 x xxx x其中， 和 為待定函

16、數(shù)。當(dāng) 時(shí)，有：1( )x1( )xxat1120111220( , ) ()() ( )+( ) xataaxatu x txatxats dss dsxat代入邊界條件，有：0111111()()()()( )2222xxuatatatatf taa此時(shí)的任務(wù)是如何確定 和1( )x1( )x設(shè)：1( )()xx1( )()2( )xxxafa代入邊界條件，發(fā)現(xiàn)正好滿足。當(dāng) 時(shí)，方程的解為：xat120112200( , ) ()() ( )+() +() xataaxatxatu x txatatxs dss dssfdsxata(3.1.12)6 6 弦振動(dòng)方程的初始問(wèn)題弦振動(dòng)方程的初

17、始問(wèn)題-無(wú)限長(zhǎng)弦的強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)限長(zhǎng)弦的強(qiáng)迫振動(dòng)22222( , ), ,0( ,0)0,( ,0)0 tuuaf x txttxu xu x 22222,( , )( , )0,( , ),axttxxxf xxt 利用齊次化原理，若 滿足：則：0( , )( , ; )dtu x tx t此時(shí)的 可以看作是定時(shí)間。(3.1.13)令：1tt 22212211,0( ,0)( ,0)0,( , ),axttxxxf xxt 11()1()11( , )( , )d( , )d22x atx a tx atx a tx tffaa 所以：20()0()( , )( , , )d1( , )d d2

18、ttx a tx a tux tx tfa 即：(3.1.14)上述方法也稱作上述方法也稱作沖量原理法沖量原理法 根據(jù)其物理意義，該定解問(wèn)題可以等效于求解一系列前后相繼的瞬時(shí)沖量 ( , )(0)f xt所引起的振動(dòng)20 (,)( , )0,( , )( , ) ttxxtaxtxxf x vvvv的解 的疊加。( , ; )x tv0( , )( , ; )dtu x tx tv代替持續(xù)作用力來(lái)解決定解問(wèn)題的方法稱為沖量原理法.(3.1.15)這樣純強(qiáng)迫振動(dòng)定解問(wèn)題的解為:()0()1( , )( , )d d2tx a tx a tu x tfa 2()()()0()023011( , )

19、d()dd 222 ()()d26tx a ttx a tx a tx a ttu x taaaaxtatx ta t2, (,0)( ,0)0, ( ,0)0ttxxtua ux atxtu xu x 代入上述公式，可得:例子:7 7 弦振動(dòng)方程的初始問(wèn)題弦振動(dòng)方程的初始問(wèn)題-無(wú)限長(zhǎng)弦的強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)限長(zhǎng)弦的強(qiáng)迫振動(dòng)（初始條件不為零）（初始條件不為零）2( , ),(,0)( ,0)( ), ( ,0)( )ttxxtua uf x txtu xxu xx 按照疊加原理可令其解為IIIuuu使Iu滿足自由振動(dòng)定解問(wèn)題20, (,0)( ,0)( ), ( ,0)( )ttxxtua uxtu xxu xx (3.1.16)使IIu滿足純強(qiáng)迫振動(dòng)定解問(wèn)題22222( , ), ,0( ,0)0,( ,0)0 tuuaf x txttxu xu x ()0()111( , ) ()()( )d( , )d d222 x attx a tx atx a tu