數(shù)列的概念二數(shù)列的極限

1、數(shù)列的概念二數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念定義2.1 按一定順序排列起來(lái)的無(wú)窮多個(gè)數(shù)稱為數(shù)列,.數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng). 第n項(xiàng) 稱為數(shù)列或一般項(xiàng). 中的n稱為數(shù)列的下標(biāo). ，nxxx21nxnxnx11 11 , ,.3 1, 2nxnn，即例1 數(shù)列.,) 1( , 1 , 1, 1 ) 1(11 nnnx，即數(shù)列例2例3 數(shù)列11 21,.3 1, 2nnnxnn，即211,3,5,. nxn，例4 數(shù)列數(shù)列 可以理解為正整數(shù)n的函數(shù)，因此，又可以稱數(shù)列為整標(biāo)函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集.nx , 2 , 1 )(nnfxn，, 121成立，若有對(duì)于數(shù)列 nnnxxxxx是則稱數(shù)列nx單調(diào)增加

2、的；單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.是則稱數(shù)列nx單調(diào)減少的. 121 nnxxxx若有定義2.2 對(duì)于數(shù)列 ，若存在正數(shù)M，使得對(duì)于一切的n都有nxMxn成立，則稱數(shù)列 是有界的，否則稱 是無(wú)界的.nxnx容易驗(yàn)證例1、例2、例3數(shù)列是有界的，的和例4中數(shù)列是無(wú)界的. ,21nxxx在幾何上，通常用數(shù)軸上的點(diǎn)列 來(lái)表示數(shù)列 .nx這種表示法可以顯示數(shù)列的某些性態(tài).如單調(diào)增加的數(shù)列 是自左向右依次排列的點(diǎn)列.表示有界數(shù)列的點(diǎn)列全部落在某一區(qū)間M，M之內(nèi)，表示無(wú)界數(shù)列的點(diǎn)列，無(wú)論區(qū)間M，M多么長(zhǎng)，總有落在該區(qū)間之外的點(diǎn). ,21nxxx二、數(shù)列的極限我國(guó)古代著名的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)

3、世不竭”的論斷，就是數(shù)列極限思想的體現(xiàn).數(shù)列的變化趨勢(shì)，也可以通過(guò)平面直角坐標(biāo)系上的圖形來(lái)直觀表示.的圖形，) 1(1nxnn例如對(duì)于 來(lái)說(shuō)，當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，沒(méi)有確定的變化趨勢(shì).nxnn1) 1( 1)1nnxn例如當(dāng)n“充分大”時(shí)， “無(wú)限接近于1”;nxnn) 1(1的圖形.21的圖形例如nnx當(dāng)n“充分大時(shí)”， “無(wú)限接近于0”.nnx21定義2.3 設(shè)有數(shù)列 和常數(shù)a，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它多么小)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，有那么就稱數(shù)列 以a為極限，或者稱數(shù)列 收斂于a，記作 或如果這樣的常數(shù)a不存在，就說(shuō)數(shù)列 沒(méi)有極限，可表示為 或者說(shuō)數(shù)列 是發(fā)散的. |axnax

4、nnlim ().nxan nxnxnxnxlimnnxnx數(shù)列收斂于a的幾何意義如下：當(dāng)我們把 看成是數(shù)軸上的點(diǎn)列時(shí)，數(shù)列 收斂于a，就是對(duì)點(diǎn)a 的任何一個(gè)鄰域 ，都存在一個(gè)序號(hào)N，使得點(diǎn)列 的第N個(gè)點(diǎn) 以后的所有點(diǎn) 都在這個(gè)鄰域之內(nèi)，即點(diǎn)列中最多除去前N個(gè)點(diǎn)外，都聚集在點(diǎn)a的這個(gè)鄰域之內(nèi)，或者說(shuō)至多有N個(gè)點(diǎn) 落在區(qū)間之外.nx),(aa ,21nxxxNx ,21NNxxnx ,21nxxx),(aa 當(dāng)我們把數(shù)列 看成是n的整標(biāo)函數(shù)，即 其圖形是在平面直角坐標(biāo)系中的二維點(diǎn)列： 數(shù)列 收斂于a，就是對(duì)于任意給定的正數(shù) (無(wú)論其多么小)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，二維點(diǎn) 都在直線 與直線 形

5、成的帶狀域之內(nèi)，一般來(lái)說(shuō)， 越小( 帶寬小)，N越大. aynx),(nfxnnx.),( ,), 2(), 1 (21 nxnxx),(nxn ay; 1) 1(1 收斂于時(shí)，例如，當(dāng)nxnnn; 021收斂于nnx . 是發(fā)散數(shù)列nxn例5 用定義驗(yàn)證1lim0.nn證 對(duì)于任意給定的0,1110,nnn 欲使只需1.n 因此取正整數(shù)1,N 則當(dāng)nN時(shí),都有10.n 從而知,當(dāng) 時(shí), 以0為極限,即n 1nxn1lim0.nn).1|(| 0lim qqnn用定義驗(yàn)證證 當(dāng)q=0時(shí)，等式顯然成立., |0| 成立欲使不等式nnqq|).|, 0|(lg |lglg ,lg|lg qqqnqn取即只需當(dāng)0|q|1時(shí)，對(duì)任意給定的正數(shù) (不妨設(shè) 1).例6,|0| |lglg成立時(shí)，都有，則當(dāng)取正整數(shù)nqNnqN).1|(| 0lim qqnn. 0) 1(sinlim 2nnn用定義驗(yàn)證22) 1(sin0) 1(sin nnnn證 對(duì)于任意給定的正數(shù) (不妨設(shè)0 N時(shí)，都有 ,則存在M0,使得對(duì)于一切n,都有axnnlimnxM取12max,1,Mxxa則