概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1、一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布三、小結(jié)三、小結(jié)第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度密度定義定義 設(shè)設(shè) X X 是一隨機(jī)變量，若存在一個(gè)非負(fù)是一隨機(jī)變量，若存在一個(gè)非負(fù) 可積函數(shù)可積函數(shù) f f ( ( x x ), ), 使得使得xttfxFxd)()(其中其中F F ( ( x x ) )是它的分布函數(shù)是它的分布函數(shù)則稱則稱 X X 是是連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量，f f ( ( x x ) )是它的是它的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)( p.d.f. )( p.d.f. )，簡稱為，簡稱為密度函數(shù)

2、密度函數(shù)或或概率密度概率密度一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念-10-550.020.040.060.08x xf f ( ( x x) )x xF F ( ( x x ) )分布函數(shù)分布函數(shù)F F ( ( x x ) )與密度函數(shù)與密度函數(shù) f f ( ( x x ) )的幾何意義的幾何意義)(xfy p.d.f. p.d.f. f f ( ( x x ) )的性質(zhì)的性質(zhì)1 1、0)(xf2 2、1)(d)(Fxxf常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)中的未知參數(shù)3

3、3、在在 f f ( ( x x ) ) 的連續(xù)點(diǎn)處，的連續(xù)點(diǎn)處，)()(xFxff f ( ( x x ) ) 描述了描述了X X 在在 x x 附近單位長度的區(qū)間內(nèi)附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率取值的概率4 4 對(duì)于任意可能值對(duì)于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機(jī)變量取連續(xù)型隨機(jī)變量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP)(aX )(aXxa0 x事實(shí)上事實(shí)上)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)(aXP由此可得：由此可得：)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(d)(aFbFxxfbab bx xf f ( (

4、x x) )-10-550.020.040.060.08a a連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān))()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a. 0 aXP若若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，是連續(xù)型隨機(jī)變量， X=a 是不是不可能事件，則有可能事件，則有, 0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量, （3 3）連連續(xù)續(xù)型型離離散散型型是是不不可可能能事事件件則則不不能能確確定定aX .271)3(;)2(

5、;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxxkxxfX求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求確定常數(shù)確定常數(shù)其它其它具有概率密度具有概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量設(shè)設(shè)解解, 1d)()1( xxf由由例例1的概率密度為的概率密度為知知由由Xk61)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其它其它xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxfxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即

6、271)3( XP)1()27(FF .4841 二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX記為記為區(qū)間上服從均勻分布區(qū)間上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間則稱則稱其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 1. 均勻分布均勻分布xo)(xf a b概率密度概率密度函數(shù)圖形函數(shù)圖形均勻分布概率密度函數(shù)均勻分布概率密度函數(shù)演示演示均勻分布的意義均勻分布的意義,),(Xba變量變量上服從均勻分布的隨機(jī)上服從均勻分布的隨機(jī)在區(qū)間在區(qū)間.),(性是相同的性是相同的內(nèi)的可能內(nèi)的可能中任意等長度的子區(qū)間中任意等

7、長度的子區(qū)間落在區(qū)間落在區(qū)間baxo)(xf a bab 1 lablp l即即 X X 的取值在的取值在( (a a, ,b b) )內(nèi)任何長為內(nèi)任何長為 d d c c 的小區(qū)間的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān)的概率與小區(qū)間的位置無關(guān), , 只與其長度成正只與其長度成正比比. . 這正是幾何概型的情形這正是幾何概型的情形. . ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數(shù)分布函數(shù)xo)(xF a b 1均勻分布分布函數(shù)圖形均勻分布分布函數(shù)圖形演示演示例例3 3設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X服從服從(1,6)(1,6)上的均勻分布，求上的均勻分布，求一元兩次方程一元兩次方程t t2 2+

8、Xt+Xt+1 1= =0 0有實(shí)根的概率有實(shí)根的概率. . 解解: :.01,0422有實(shí)根有實(shí)根時(shí)時(shí)因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) XttX故所求概率為故所求概率為: : )04(2XP)22( XXP或或而而X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 : : ,0;61,51)(其其他他xxf, 0)2(,54)()2(62 XPdttfXP且且因此所求概率因此所求概率 .54)04(2 XP解解由題意由題意,R 的概率密度為的概率密度為 ., 0,1100900),9001100(1)(其其他他rrf故有故有1050950 RP. 5 . 0d20011050950 r例例3 設(shè)電阻值設(shè)電阻值 R 是一個(gè)隨機(jī)變量，

9、均勻分布在是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在900 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在950 1050 的概率的概率 ).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx記為記為的正態(tài)分布或高斯分布的正態(tài)分布或高斯分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱為常數(shù)為常數(shù)其中其中的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 2. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)高斯資料高斯資料正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對(duì)稱對(duì)稱曲線關(guān)于曲線關(guān)于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ; 0)(,)3(xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);)4(處有

10、拐點(diǎn)處有拐點(diǎn)曲線在曲線在x 參數(shù)稱為位置軸作平移變換著只是沿圖形的形狀不變的大小時(shí)改變當(dāng)固定xxf;,)(,)6(;)5(軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲線以 x稱為形狀參數(shù)圖形越矮越胖越大圖形越高越瘦越小而形狀在改變不變圖形的對(duì)稱軸的大小時(shí)改變當(dāng)固定xf.,)(,)7(正態(tài)分布密度函數(shù)圖形正態(tài)分布密度函數(shù)圖形演示演示正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)txFxtde21)(222)( 正態(tài)分布分布函數(shù)圖形正態(tài)分布分布函數(shù)圖形演示演示（1）正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正

11、常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 可以說可以說,正態(tài)分布是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最為常見正態(tài)分布是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最為常見的一種分布的一種分布, 一個(gè)變量如果受到大量微小的、獨(dú)立一個(gè)變量如果受到大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響的隨機(jī)因素的影響, 那么這個(gè)變量一般是一個(gè)正態(tài)那么這個(gè)變量一般是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量隨機(jī)變量.（2）正態(tài)分布還可以導(dǎo)出一些有用的分布。）正態(tài)分布還可以導(dǎo)出一些有用的分布。（3）另一方面）另一方面,有些分布有些分布(如二項(xiàng)分布、泊松分布如二項(xiàng)分

12、布、泊松分布)的極限分布是正態(tài)分布的極限分布是正態(tài)分布.所以所以,無論在實(shí)踐中無論在實(shí)踐中,還是在還是在理論上理論上,正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布.二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換).1, 0(,1, 0),(2NN記為記為態(tài)分布態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正這樣這樣時(shí)時(shí)中的中的當(dāng)正態(tài)分布當(dāng)正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為,e21)(22 xxx 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為.,de21)(22 xtxxt標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

13、圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算：.)(,值由此可得態(tài)分布表教科書上都附有標(biāo)準(zhǔn)正x5 . 0)0()(1)(xx1)(2)|(|aaXP5 . 0)0(-3-2-11230.10.20.30.4-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4對(duì)一般的正態(tài)分布對(duì)一般的正態(tài)分布 ：X N X N ( ( , , 2 2) ) 其分布函數(shù)其分布函數(shù)xttexFd21)(222)(作變量代換作變量代換tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)(例例6 6 已知),2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 3 3所以至少要進(jìn)行所

14、以至少要進(jìn)行 4 4 次獨(dú)立測量才能滿足要求次獨(dú)立測量才能滿足要求. . 3 3 指數(shù)分布指數(shù)分布若若 X X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其他, 00,)(xexfx則稱則稱 X X 服從服從 參數(shù)為參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布)(EX記作記作X X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為0,10, 0)(xexxFx 0 0 為常數(shù)為常數(shù)對(duì)于任意的對(duì)于任意的 0 0 a a b b, , babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(應(yīng)用場合應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間電話問題中的通話時(shí)間電話問題中的通話時(shí)間無線電元件的壽命無線電

15、元件的壽命動(dòng)物的壽命動(dòng)物的壽命指數(shù)分布常作為各種指數(shù)分布常作為各種“壽命壽命”分布的近似分布的近似分分鐘鐘之之間間的的概概率率分分鐘鐘到到用用電電話話間間，求求你你需需等等待待面面走走進(jìn)進(jìn)公公如如果果某某人人剛剛好好在在你你前前為為參參數(shù)數(shù)的的指指數(shù)數(shù)隨隨機(jī)機(jī)變變量量（單單位位：分分鐘鐘）是是以以間間設(shè)設(shè)打打一一次次電電話話所所用用的的時(shí)時(shí)2010101 X解：解：的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為X 00010110 xxexfx例例4 4 2010 XPBP則則令：令：B B= = 等待時(shí)間為等待時(shí)間為10201020分鐘分鐘 201010101dxex201010 xe 21 ee2325. 0

16、(4) (4) 伽瑪分布伽瑪分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X，若，若X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 , 0, 0,0, 00,)()(1 xxexxfx則稱則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的伽瑪（的伽瑪（GammaGamma）分布）分布, ,簡稱為簡稱為 分布，分布， ,),( GX記記為為為伽瑪函數(shù)為伽瑪函數(shù)其中其中)( . 0,)(01 dxexx注注: :伽瑪函數(shù)具有性質(zhì)：伽瑪函數(shù)具有性質(zhì)： )()1(. 1 )2/1(, 1)1(. 20dxex(5) (5) 威布爾分布威布爾分布 ( (自學(xué)自學(xué)) )(6) (6) 截尾分布截尾分布( (自學(xué)自學(xué)) ) 分布函數(shù)分布函數(shù)概率密度概率密

17、度三、小結(jié)三、小結(jié)2. 常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 xttfxFd)()(. 1 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布(或高斯分布或高斯分布)指數(shù)分布指數(shù)分布 Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany)Carl Friedrich Gauss高斯資料高斯資料一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量

18、函數(shù)的分布三、小結(jié)三、小結(jié)第五節(jié)第五節(jié) 隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量的分布).(,)(,)(XfYXYxfyxXYxXxf 記作記作的函數(shù)的函數(shù)變量變量為隨機(jī)為隨機(jī)則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量的值的值的值而取的值而取取值取值隨著隨著若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量的集合上的函數(shù)的集合上的函數(shù)的一切可能值的一切可能值是定義在隨機(jī)變量是定義在隨機(jī)變量設(shè)設(shè)問題問題?)(的分布的分布分布求得隨機(jī)變量分布求得隨機(jī)變量的的量量如何根據(jù)已知的隨機(jī)變?nèi)绾胃鶕?jù)已知的隨機(jī)變XfYX 一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 Y 的可能值為的可能值為 ;2,1,0,)1(2222 即即 0, 1, 4.解解0002

19、XPXPYP,41 .2的分布律的分布律求求的分布律為的分布律為設(shè)設(shè)XYX Xp2101 41414141例例1)1()1(112 XXPXPYP11 XPXP,214141 2442 XPXPYP,41 故故 Y 的分布律為的分布律為Yp410412141由此歸納出離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法由此歸納出離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法.離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的分布律為的分布律為若若也是離散型隨機(jī)變量也是離散型隨機(jī)變量其函數(shù)其函數(shù)是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量如果如果XXgYX.)(, Xkpkxxx21kppp21的分布律為的分布律為則則)(XgY kp)(X

20、gY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并合并應(yīng)將相應(yīng)的應(yīng)將相應(yīng)的中有值相同的中有值相同的若若kkpxgY 的分布律為的分布律為Yp4 1 2121Xkp211 616263例例2 設(shè)設(shè).52的分布律的分布律求求 XY解解 第一步第一步 先求先求Y=2X+8 的分布函數(shù)的分布函數(shù)).(yFY)(yYPyFY 82yXP 解解二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布.82., 0, 40,8)(的概率密度的概率密度求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量其他其他的概率密度為的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 XYxxxfXX例例3)()(yFyfyY xxfyXd)(28 28 yX

21、P,)28)(28( yyfX第二步第二步 由分布函數(shù)求概率密度由分布函數(shù)求概率密度.d)(28 xxfyX).()()()()(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxx 則則如果如果本例用到變本例用到變限的定積分限的定積分的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式 ., 0, 4280,21)28(81)(其他其他所以所以yyyfY ., 0,168,328其他其他yy)(yYPyFY 2yXP yXyP )()(yFyFXX .32. 0,e, 0, 0)(232的概率密度的概率密度和和求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量的概率密度為的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 XYXYxxxxfXxX解解,2分布函數(shù)分布函數(shù)先求隨機(jī)變量先求隨機(jī)變量XY 例例4.d)(d)(xxfxxfyXyX )()(yFyfYY )()(yyfyyfXXyyyy210e)(212)(3 . 0, 0, 0,2eyyyy再由分布函數(shù)求概率密度再由分布函數(shù)求概率密度.當(dāng)當(dāng) Y=2X+3 時(shí)時(shí),有有32 xy,23 yxd)()()(23 yXyYxxfyFyf . 3, 0, 3,)23(e)23(2)23(3yyyyy.函數(shù)的概率密度的方法函數(shù)的概率密度的方法的的出計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量出計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量由上述例題可歸納由上述例題可歸納 . 3, 0, 3,e)23(212