高中全程復(fù)習(xí)方略配套兩角和與差的三角函數(shù)ppt課件

1、第五節(jié) 兩角和與差的三角函數(shù)內(nèi)內(nèi) 容容要要 求求A AB BC C兩角和兩角和( (差差) )的正弦、的正弦、余弦及正切余弦及正切三年三年4 4考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的正弦、余弦和正切公式公式名公式名公式公式兩角和與兩角和與差的正弦差的正弦兩角和與兩角和與差的余弦差的余弦兩角和與兩角和與差的正切差的正切sin()_ sin coscos sincos()_ cos cossin sintan()_ tantan1tan tan【即時運用】【即時運用】(1)(1)判別以下式子的正誤判別以下式子的正誤.(.(請在括號內(nèi)打請在括號內(nèi)打“或或“)

2、 )cos15cos15=cos(45=cos(45-30-30)=cos45)=cos45-cos30-cos30 ( ) ( )sin15sin15=sin(45=sin(45-30-30)=cos45)=cos45sin30sin30-sin45-sin45cos30cos30 ( ) ( )cos15cos15=cos(60=cos(60-45-45)=cos60)=cos60cos45cos45+sin60+sin60sin45sin45 ( ) ( )cos15cos15=cos(60=cos(60-45-45)=cos60)=cos60cos45cos45-sin60-sin60

3、sin45sin45 ( ) ( )(2)(2)計算計算sin72sin72cos18cos18+cos72+cos72sin18sin18=_.=_.(3)(3)計算計算cos72cos72cos12cos12+sin72+sin72sin12sin12=_.=_.【解析】【解析】(1)cos15(1)cos15=cos(45=cos(45-30-30) )=cos45=cos45cos30cos30+sin45+sin45sin30sin30, ,故錯誤；故錯誤；sin15sin15=sin(45=sin(45-30-30)=sin45)=sin45cos30cos30- -cos45co

4、s45sin30sin30，故錯誤，故錯誤;cos15;cos15=cos(60=cos(60- -4545)=cos60)=cos60cos45cos45+sin60+sin60sin45sin45, ,故正確，錯誤故正確，錯誤. .(2)(2)原式原式=sin(72=sin(72+18+18)=sin90)=sin90=1.=1.(3)(3)原式原式=cos(72=cos(72-12-12)=cos60)=cos60= .= .答案：答案：(1)(1) (2)1 (3) (2)1 (3) 12122.2.輔助角公式輔助角公式asin+bcos=_sin(+)asin+bcos=_sin(+

5、)【即時運用】【即時運用】(1)(1)思索：在輔助角公式中如何確定思索：在輔助角公式中如何確定？提示提示: :展開展開 sin(+) sin(+)后可以發(fā)現(xiàn)：后可以發(fā)現(xiàn)：cos= ,sin= ,cos= ,sin= ,角的終邊位置可角的終邊位置可由由a a、b b的符號確定的符號確定. .22ab22ab22aab22bab (2) (2)化簡：化簡：cos + sin =_.cos + sin =_.【解析】【解析】= = =答案：答案：1231213cos3sin2( cossin)12122122122(coscossinsin)3123122cos2cos2.31242 三角函數(shù)式的求

6、值三角函數(shù)式的求值【方法點睛】【方法點睛】三角函數(shù)式求值的類型和思緒三角函數(shù)式求值的類型和思緒(1)(1)三角函數(shù)式求值的類型三角函數(shù)式求值的類型三角函數(shù)式求值分為直接求值和條件求值三角函數(shù)式求值分為直接求值和條件求值, ,直接求值就是直接根直接求值就是直接根據(jù)所給的三角函數(shù)式選擇恰當(dāng)?shù)墓交喿冃吻蟮萌呛瘮?shù)式據(jù)所給的三角函數(shù)式選擇恰當(dāng)?shù)墓交喿冃吻蟮萌呛瘮?shù)式的值的值. .條件求值是要根據(jù)條件選擇適宜的公式進展三角恒等變換條件求值是要根據(jù)條件選擇適宜的公式進展三角恒等變換求得所需求的值，同時留意所給角的范圍求得所需求的值，同時留意所給角的范圍. .(2)(2)條件求值的普通思緒條件求值的

7、普通思緒先化簡所求式子或所給條件先化簡所求式子或所給條件; ;察看知條件與所求式子之間的聯(lián)絡(luò)察看知條件與所求式子之間的聯(lián)絡(luò)( (從三角函數(shù)名及角入手從三角函數(shù)名及角入手););將知條件代入所求式子將知條件代入所求式子, ,化簡求值化簡求值. .【提示】在配角時特殊角也可以看作知角，如【提示】在配角時特殊角也可以看作知角，如= -= -( -)( -)等，利用誘導(dǎo)公式時一定留意符號的變化等，利用誘導(dǎo)公式時一定留意符號的變化. . 44【例【例1 1】(1)(1)求以下三角函數(shù)式的值求以下三角函數(shù)式的值sin50sin50(1+ tan10(1+ tan10)=_.)=_.假設(shè)假設(shè)cos(+)=

8、,cos(-)= ,cos(+)= ,cos(-)= ,那么那么tantan=_.tantan=_.(2)(2021(2)(2021揚州模擬揚州模擬) )知函數(shù)知函數(shù)f(x)=2sin( x- ),xR.f(x)=2sin( x- ),xR.求求f( )f( )的值；的值；設(shè)設(shè),0, 0, ，f(3+ )= f(3+2)=f(3+ )= f(3+2)=求求cos(+)cos(+)的值的值. .31535136542210,136,5【解題指南】【解題指南】(1)(1)把切函數(shù)換成弦函數(shù)再用公式化簡求值，重把切函數(shù)換成弦函數(shù)再用公式化簡求值，重在公式的逆用；利用兩角和、差的余弦公式展開求在公式的

9、逆用；利用兩角和、差的余弦公式展開求coscos,sinsincoscos,sinsin，相除得結(jié)果，相除得結(jié)果. .(2)(2)直接代入求值；將知條件轉(zhuǎn)化利用兩角和的余弦公式求直接代入求值；將知條件轉(zhuǎn)化利用兩角和的余弦公式求解解. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)原式原式= =sin50=sin50=2sin50=2sin503sin10sin50 (1)cos10132( cos10sin10 )22cos10sin30 cos10cos30 sin10cos10=2cos40=2cos40cos(+)=coscos-sinsin= (cos(+)=coscos-sinsin= (*

10、 *) )cos(-)=coscos+sinsin= (cos(-)=coscos+sinsin= (* * *) )由由( (* *)()(* * *) )解得解得coscos= ,sinsin= ,coscos= ,sinsin= ,那么那么tantan= .tantan= .答案：答案：1 1 (2)(2)f( )=f( )=sin40sin80cos101.cos10cos10cos1015352515sin sin1cos cos2125452sin()2sin2.12641f(3)2sin(3)2326=2sin= ,sin= .=2sin= ,sin= .0, 0, ,cos=

11、.,cos= .又又f(3+2)=2sinf(3+2)=2sin (3+2)- (3+2)- =2sin(+ )=2cos= ,=2sin(+ )=2cos= ,cos= .cos= .0, 0, ,sin= .,sin= .cos(+)=coscos-sinsincos(+)=coscos-sinsin= =101351321213136265352451235416.13513565【互動探求】把本例【互動探求】把本例(1)(1)中的條件改為中的條件改為“sin(+)=“sin(+)=sin(-)= sin(-)= , ,如何求如何求 ？【解析】由于【解析】由于sin(+)=sincos+

12、cossin=sin(+)=sincos+cossin=sin(-)=sincos-cossin=sin(-)=sincos-cossin=兩式相加得兩式相加得sincos= sincos= 兩式相減得兩式相減得cossin=- cossin=- 即得即得 =-2. =-2.1,535tantan1,53,52515tantan【反思【反思感悟】三角函數(shù)式求值問題的留意點感悟】三角函數(shù)式求值問題的留意點(1)(1)三角函數(shù)式求值時一定要準(zhǔn)確地運用公式和選擇恰當(dāng)?shù)乃季w，三角函數(shù)式求值時一定要準(zhǔn)確地運用公式和選擇恰當(dāng)?shù)乃季w，否那么會使求值過程繁瑣否那么會使求值過程繁瑣. .(2)(2)條件求值要求

13、準(zhǔn)確利用所給的條件，在此能夠涉及到式子的條件求值要求準(zhǔn)確利用所給的條件，在此能夠涉及到式子的變形和角的變換，同時要留意角的范圍變形和角的變換，同時要留意角的范圍. .【變式備選】知【變式備選】知 , ,求求cos(2+ )cos(2+ )的值的值. .【解析】【解析】又又故可知故可知從而從而cos2=sin(2+ )cos2=sin(2+ )33cos(),45 22 42cos(2)cos2 cossin2 sincos2sin2,4442337,.22444 3cos()0,4537,244 4sin(),45 2=2sin(+ )cos(+ )=2sin(+ )cos(+ )= =sin

14、2=-cos(2+ )=1-2cos2(+ )sin2=-cos(2+ )=1-2cos2(+ )= = =4443242 ().5525 2423712 ( ).525 2cos(2)(cos2sin2 )42224731 2().2252550 三角函數(shù)的給值求角三角函數(shù)的給值求角【方法點睛】【方法點睛】1.1.三角函數(shù)的給值求角問題的普通思緒三角函數(shù)的給值求角問題的普通思緒(1)(1)求出該角的某一三角函數(shù)值，求出該角的某一三角函數(shù)值，(2)(2)確定角的范圍；確定角的范圍；(3)(3)根據(jù)角的范圍寫出角根據(jù)角的范圍寫出角. .2.2.三角函數(shù)給值求角時應(yīng)留意的問題三角函數(shù)給值求角時應(yīng)留

15、意的問題求角的某一三角函數(shù)值時求角的某一三角函數(shù)值時, ,應(yīng)選擇在該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)應(yīng)選擇在該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)的函數(shù)的函數(shù). .這樣這樣, ,由三角函數(shù)值才可以獨一確定角由三角函數(shù)值才可以獨一確定角. .如如: :假設(shè)角的假設(shè)角的范圍是范圍是(0, ),(0, ),選正、余弦皆可選正、余弦皆可; ;假設(shè)角的范圍是假設(shè)角的范圍是(0,),(0,),選余選余弦較好弦較好; ;假設(shè)角的范圍為假設(shè)角的范圍為(- , ),(- , ),那么選正弦那么選正弦. . 222【例【例2 2】知】知cos= ,cos(-)= ,cos= ,cos(-)= ,且且0 0 . .(1)(1)求求tan2tan2

16、的值；的值；(2)(2)求求.【解題指南】【解題指南】(1)(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出sin,tansin,tan，再求出再求出tan2tan2；(2)(2)把把寫成寫成-(-)-(-)，根據(jù)知條件求出，根據(jù)知條件求出的正弦，的正弦，-的的正弦，求出正弦，求出coscos，根據(jù)范圍確定角，根據(jù)范圍確定角. .1713142【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由由cos= ,0cos= ,0 , ,得得于是于是1722214 3sin1 cos1 ( ).77 sin4 37tan4 3.cos71 222tan2 4 38 3tan2.1tan4714 3 (2

17、)(2)由由0 0 , ,得得0 0- . .又又cos(-)= ,cos(-)= ,sin(-)=sin(-)=由由=-(-),=-(-),得得cos=coscos=cos-(-)-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos(-)+sinsin(-)= = .= .22131422133 31cos1().1414 1134 33 31,71471423【反思【反思感悟】根據(jù)三角函數(shù)值求角時，一定要先確定角的范感悟】根據(jù)三角函數(shù)值求角時，一定要先確定角的范圍圍. .另外，也可運用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，如在等式另外，也可運用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，如在等式sinBcosAs

18、inBcosAsinAcosBsinAcosB兩端同除以兩端同除以cosAcosBcosAcosB得得tanB=tanAtanB=tanA等變化技等變化技巧也經(jīng)常用到巧也經(jīng)常用到. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】ABCABC的三內(nèi)角分別為的三內(nèi)角分別為A A、B B、C C，向量，向量 = =( sinA,sinB), =(cosB, cosA)( sinA,sinB), =(cosB, cosA)，假設(shè)，假設(shè) = =1+cos(A+B),1+cos(A+B),求求C.C.【解析】【解析】 = sinAcosB+ sinBcosA = sinAcosB+ sinBcosA= (sinAcosB+s

19、inBcosA)= (sinAcosB+sinBcosA)= sin(A+B)=1+cos(A+B),= sin(A+B)=1+cos(A+B), sinC=1-cosC, sinC=1-cosC, sinC+cosC=1, sinC+cosC=1,m3n3mnmn333333即即2sin(C+ )=1,2sin(C+ )=1,sin(C+ )= ,sin(C+ )= ,又又C(0,),C(0,),C+ = ,C= .C+ = ,C= .6612165623【變式備選】知【變式備選】知tan= ,tan= ,tan= ,tan= ,tan= ,tan= ,、均為銳角，求均為銳角，求+的值的值.

20、 .【解析】【解析】tan= tan= 1 1且且為銳角，為銳角，00 , ,同理同理0 0 ,0 ,0 , ,00+ ,+= . ,+= .131531111tantan435tan,111tan tan7135 43tantan711tan1.431tantan1711 13444344【總分值指點】三角函數(shù)性質(zhì)綜合題的規(guī)范解答【總分值指點】三角函數(shù)性質(zhì)綜合題的規(guī)范解答【典例】【典例】(14(14分分)(2021)(2021四川高考四川高考) )知函數(shù)知函數(shù)f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+ )+cos(x- ),xR. )+cos(x- ),xR.(1)(1)求求f(x)f(x

21、)的最小正周期和最小值的最小正周期和最小值; ;(2)(2)知知cos(-)= ,cos(+)=- ,cos(-)= ,cos(+)=- ,0 ,0 ,求證：求證：f()f()2-2=0.2-2=0.743445452【解題指南】【解題指南】(1)(1)把把f(x)f(x)化成化成Asin(x+)Asin(x+)的方式；的方式；(2)(2)利用兩角和與差的余弦公式展開，兩式相加可得利用兩角和與差的余弦公式展開，兩式相加可得2coscos=02coscos=0，結(jié)合，結(jié)合0 0 可得可得= .= .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)f(x)=(1)f(x)=2sin(x- ). 4=2sin(x-

22、). 4分分227sin x24 3sin xsin xsin(x)42444f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期T=2T=2，f(x)f(x)的最小值為的最小值為-2.-2. 6 6分分(2)(2)由知得由知得coscos+sinsin= ,coscos-coscos+sinsin= ,coscos-sinsin=- ,sinsin=- ,兩式相加得兩式相加得2coscos=0. 122coscos=0. 12分分0 ,= ,0 ,= ,f()f()2-2=4sin2 -2=0. 142-2=4sin2 -2=0. 14分分4545224【閱卷人點撥】經(jīng)過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們

23、可以【閱卷人點撥】經(jīng)過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：得到以下失分警示和備考建議：失失分分警警示示 解答本題時有三處容易失分：解答本題時有三處容易失分：(1)(1)第第(1)(1)問中三角恒等變換中的誘導(dǎo)公式容易用錯得不問中三角恒等變換中的誘導(dǎo)公式容易用錯得不到化簡后的正確結(jié)果到化簡后的正確結(jié)果. .(2)(2)由由,的和差的余弦值得不到的和差的余弦值得不到2coscos=02coscos=0而導(dǎo)致而導(dǎo)致后續(xù)計算無法進行后續(xù)計算無法進行. .(3)(3)在第在第(2)(2)問中得到問中得到2coscos=02coscos=0后忽略后忽略0 0 而得不到而得不到的值，而無法繼續(xù)往下進行的值，而無法繼續(xù)往下進行. .2備備考考建建議議 解答此類問題時還有以下幾點容易造成失分，在備考時解答此類問題時還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：要高度關(guān)注：(1)(1)三角恒等變形轉(zhuǎn)化不準(zhǔn)確造成后面求解繁瑣或錯誤三角恒等變形轉(zhuǎn)化不準(zhǔn)確造成后面求解繁瑣或錯誤. .(2)(2)忽略特殊角的值而使問題漏解忽略特殊角的值而使問題漏解. .另外如果給