三國(guó)殺中的數(shù)學(xué)問(wèn)題分析

1、“三國(guó)殺”中的數(shù)學(xué)問(wèn)題分析Mathematical Analyses of the Game ”Legends of the Three Kingdoms”學(xué)校：廣州市第六中學(xué)成員：楊卓瀟 伍思航 李思聰指導(dǎo)老師：璩斌摘要“三國(guó)殺”游戲是當(dāng)前廣泛流行于大中小學(xué)生中的桌面益智游戲，游戲開(kāi)始時(shí)玩家選擇充當(dāng)何種武將是游戲勝負(fù)的關(guān)鍵。在本研究中，我們根據(jù)組合數(shù)學(xué)及概率理論，對(duì)該游戲中一些常用武將使用技能的成功概率進(jìn)行了分析。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“周泰”，第四次使用“不屈”技能時(shí)的存活概率最大，存活次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4.52?！罢缂А痹诨睾蟽?nèi)額外得到手牌數(shù)的數(shù)學(xué)期望為0.98。“陸遜“在未裝備“諸葛連弩”和裝備

2、“諸葛連弩”時(shí)得到的手牌數(shù)的數(shù)學(xué)期望分別為0.73和1.47。對(duì)于“張角”，第一回合內(nèi)“雷擊”技能成功的概率為0.27。根據(jù)這些結(jié)果，玩家可以科學(xué)地選擇自己扮演的武將。另外，游戲生產(chǎn)商也可以根據(jù)我們的計(jì)算結(jié)果來(lái)調(diào)整武將技能，改進(jìn)游戲。AbstractThe card game "Legends of the Three Kingdoms" is currently very popular in the students from colleges, middle and primary schools. Actually, the players choice for a

3、 general at the beginning is the key step in the game. In this study, we used combinatorics and probability theory to analyse the probabilities of success when several popular generals perform their special skills in the game. We showed that, as for the general "Zhou Tai", if he uses the &

4、quot;Never Surrender" skill, the maximum survival probability occurs in the fourth round and the mathematical expectation of survival times is 4.52. As for "Zhen Ji", the mathematical expectation to get extra cards in a round is 0.98 respectively. As for "Lu xun", the mathem

5、atical expectation of getting extra cards is 1.47 with “zhugeliannu”, while its 0.73 without “zhugeliannu”. As for "Zhang jiao", the probability of the success when he uses the "Thunder" skill in the first round is 0.27. Our results are expected to be beneficial to the game playe

6、rs in choosing generals scientifically. In addition, the game developers can adjust the generals skills according to our calculation.目錄封面1摘要2Abstract2目錄3引言4“三國(guó)殺”游戲規(guī)則5概率分析7卡牌數(shù)量介紹7周泰8張角12甄姬14陸遜18總結(jié)與感悟26參考文獻(xiàn)27附錄28引言“三國(guó)殺”由中國(guó)傳媒大學(xué)動(dòng)畫學(xué)院04級(jí)游戲?qū)I(yè)學(xué)生設(shè)計(jì)，并于2009年6月底移植至網(wǎng)游平臺(tái)，是一款國(guó)內(nèi)最流行的桌上游戲?！叭龂?guó)殺”游戲牌共分為三大類：基本牌、錦囊牌和裝備牌。每

7、類牌包含了多種卡牌，每種卡牌具有獨(dú)特的用處。在游戲中，玩家扮演一名三國(guó)時(shí)期的武將，采用回合制的出牌順序，由主公開(kāi)始依次行動(dòng)。每個(gè)武將在自己的回合內(nèi)需要完成摸牌、出牌和棄牌的過(guò)程。由于各武將具有不同的技能，玩家須經(jīng)過(guò)一輪一輪的謀略和動(dòng)作，合縱連橫，爭(zhēng)取最終的勝利，所以在游戲中玩家能得到充分的享受。目前，“三國(guó)殺”在中學(xué)生中廣受歡迎。以我校為例，約有三成男同學(xué)喜歡玩該游戲，幾乎成為了緊張學(xué)習(xí)生活之余放松心情的首選。在本研究中，我們探討了“三國(guó)殺”一些常用武將的概率問(wèn)題。通過(guò)揭示游戲開(kāi)發(fā)者自覺(jué)或不自覺(jué)地隱藏于該游戲中的“潛規(guī)則”，我們對(duì)武將的技能有了更加深入的了解，并能應(yīng)用計(jì)算結(jié)果，得心應(yīng)手地使用手

8、中的卡牌?！叭龂?guó)殺”游戲規(guī)則游戲模式“三國(guó)殺”游戲模式包括1V1（單挑），3V3（3人組一隊(duì)，兩隊(duì)對(duì)戰(zhàn)），8人局（8人游戲）等。下面以1V1與8人局模式為主，介紹“三國(guó)殺”游戲通則。挑選角色牌“三國(guó)殺”有61張角色牌，每個(gè)角色為一個(gè)三國(guó)人物，并具有角色技能。在8人局中，由主公玩家先挑選角色牌，如曹操、劉備、孫權(quán)，且只能選擇一個(gè)角色。剩余7人為非主公玩家，每人可拿到3張角色牌，從中挑選擇一個(gè)角色扮演。在8人局中由于玩家較多，所以每張牌都會(huì)有攻擊目標(biāo)。在1V1模式中，兩名玩家選好武將后，每人可拿到3張牌，抽簽決定誰(shuí)先出牌。準(zhǔn)備開(kāi)始每位玩家分發(fā)一張?bào)w力牌，初始的體力值等于武將牌上顯示的體力上限。以后

9、每受一點(diǎn)傷害，扣減一點(diǎn)體力。每出一張【桃】，回復(fù)一點(diǎn)體力。游戲開(kāi)始時(shí)，每個(gè)玩家摸牌4張（在1V1中只能摸3張牌），其后每回合每人摸牌2張。游戲牌詳解游戲牌包括基本牌、錦囊牌和裝備牌。下面給出與本論文中的人物密切相關(guān)的游戲牌介紹，其余見(jiàn)附錄。基本牌【殺】：出牌階段使用，攻擊一名在攻擊距離內(nèi)的玩家。若攻擊成功，被攻擊玩家減1點(diǎn)體力。未裝備武器時(shí)，玩家殺的攻擊距離為1；裝備武器后，攻擊距離為武器的攻擊距離。一名玩家一回合只能用一次【殺】?！鹃W】：當(dāng)某玩家用【殺】或【萬(wàn)箭齊發(fā)】攻擊時(shí)，被攻擊者可出【閃】，閃避一次攻擊。錦囊牌 【無(wú)中生有】：出牌階段使用，從牌堆摸兩張牌?！緹o(wú)懈可擊】：取消一張錦囊牌對(duì)某

10、一位玩家的作用。判定：指從牌堆頂摸一張牌，這張牌的花色和數(shù)字（紅桃、黑桃等）即為判定結(jié)果。從牌堆頂翻開(kāi)的這張牌叫做判定牌。一張牌被作為判定牌使用后，如無(wú)特殊技能聲明，則必須棄到棄牌堆。游戲中很多時(shí)候都需要判定。裝備牌標(biāo)有"裝備"字樣的牌，裝備牌使用后放在自己面前。每名玩家只能同時(shí)裝備一種裝備。如果裝備新的武器必須將原有武器棄掉。例如：不能同時(shí)裝備【諸葛連駑】和【方天畫戟】。裝備帶有裝備技能?！局T葛連駑】：裝備后，出牌階段可以出任意張【殺】。攻擊距離為1。死亡條件武將每被造成一點(diǎn)傷害扣一滴體力，當(dāng)扣光了體力，武將就死亡，退出游戲。但是如果玩家選擇的武將是周泰，若沒(méi)體力時(shí)，使用

11、“不屈”，可以一張牌，且不死。在后續(xù)輪次中周泰若繼續(xù)遭到攻擊，沒(méi)體力時(shí)仍可使用“不屈”。但如果摸到與前輪次所摸到的牌點(diǎn)數(shù)有一樣的，周泰即死。試舉一例：周泰沒(méi)體力后，第一次使用“不屈”，摸到一張紅桃6，繼續(xù)玩。第二次使用“不屈”，摸到一張梅花2，繼續(xù)玩。若第三次摸到一張方片（梅花、黑桃）6或者2，則死去。除非此時(shí)有人給周泰一張【桃】，周泰可把那張重復(fù)點(diǎn)數(shù)的牌拿走，則可繼續(xù)玩。概率分析卡牌數(shù)量介紹標(biāo)準(zhǔn)包牌型 “三國(guó)殺”一共有 108 張，如表1所示。表1：”三國(guó)殺”卡牌黑殺21基本牌紅殺953張閃15桃8過(guò)河拆橋6樂(lè)不思蜀3順手牽羊5借刀殺人2錦囊牌無(wú)中生有4五谷豐登236張無(wú)懈可擊4閃電2南蠻入

12、侵3桃園結(jié)義1決斗3萬(wàn)箭齊發(fā)1麒麟弓1寒冰劍1方天畫戟1諸葛連弩2貫石斧1紅+11裝備牌青龍偃月刀1黑+1219張丈八蛇矛1紅-12青鋼劍1黑-11雌雄雙股劍1八卦陣2仁王盾1標(biāo)準(zhǔn)版“三國(guó)殺”中共有108張牌，分為4種花色，每種27張。其中黑牌（黑桃和梅花）54張、紅牌（紅桃和方片）54張。數(shù)字從1-13，每個(gè)數(shù)字有8張牌。另外還有4張擴(kuò)展牌，分別為【寒冰劍】黑桃2、【仁王盾】梅花2、【無(wú)懈可擊】方片Q、【閃電】紅桃Q。由于“三國(guó)殺”的數(shù)學(xué)問(wèn)題主要體現(xiàn)在武將的技能上面，所以我們將對(duì)一些依靠“概率”的武將進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。周泰圖1：周泰武將技能：【不屈】當(dāng)周泰的體力值被扣減到0或更低時(shí)，每當(dāng)扣減1點(diǎn)

13、體力后，可以從牌堆亮出一張牌置于武將牌上。若此牌的點(diǎn)數(shù)與武將牌上已有的任何一張牌都不同，周泰不會(huì)死亡。舉例：周泰瀕死時(shí)候發(fā)動(dòng)【不屈】技能。假設(shè)摸出一張點(diǎn)數(shù)為3，此時(shí)周泰只有一張“不屈牌”，點(diǎn)數(shù)不與任何重復(fù)，第1次不死。若后續(xù)再被殺一次，第2次發(fā)動(dòng)技能從牌堆頂摸出一張牌，假設(shè)為5，不與3重復(fù)，則第2次不死。若第3次摸出點(diǎn)數(shù)為3或5，與第1次的3或第二次的5重復(fù)，周泰死亡。為了計(jì)算方便，此處忽略4張擴(kuò)展牌的影響，即每種點(diǎn)數(shù)有8張。周泰存活回合數(shù)的期望值計(jì)算如下:A：第n次存活下來(lái)的概率計(jì)算方法第1次存活概率：第1次一定存活第2次存活概率：即1減去從剩下107張摸到與第1, 次牌相同（7張）的概率即

14、1減去從剩下106張摸到與第1、第3次存活概率：2次牌相同（7+7張）的概率 第n次存活概率： 第14次存活概率：B：存活次數(shù)計(jì)算方法設(shè)存活次數(shù)為n, n=1,2,13, 則:即第1次存活概率*第2次死的概率（1-第2次存活概率）即第1次存活概率*第2次存活概率*第3次死的概率 ,1k13, kN +下面是PASCAL算法程序，及得出的相關(guān)結(jié)果:program zhangjiao;var k,n,m:longint; i,j:extended; s:extended;begin assign(output,'output.txt');/輸出txt文本文件 rewrite(out

15、put); i:=1;/分母 j:=1;/分子 k:=0;/計(jì)數(shù)變量 s:=0;/期望值 while k<13 do begin inc(k); for n:=1 to k-1 do begin i:=i*(108-n); j:=j*(108-n-7*n); end; i:=i*(108-k); j:=j*(7*k); writeln(k,' ',j:0:0,'/',i:0:0,' = ',j/i:0:5); /輸出回合數(shù)、存活概率 s:=s+j/i*k;/此回合數(shù)期望值 i:=1;/重置分母 j:=1;/重置分子 end; writeln

16、(EX=,s:0:5);/輸出期望值 close(output);/關(guān)閉文本文件End.輸出結(jié)果：回合 分子/分母=1 7/107 = 0.065422 1400/11342 = 0.123443 193200/1190910 = 0.162234 21638400/123854640 = 0.174719 3454EX=4.52312存活次數(shù)n的分布如表2所示。表2：存活次數(shù)n的分布n12345678p0.065420.123440.162230.174710.161140.128910.089340.05310n910111213p0.026550.010840.003440.000780

17、.00011由此得存活回合數(shù)的期望值為:圖2：周泰存活次數(shù)分布圖由圖2我們可以直觀地看出，周泰存活到第4次的概率最大，在這之前概率上升，之后概率下降，類似于波松分布。張角圖3: 張角武將技能：【雷擊】每當(dāng)張角打出一張【閃】時(shí)，可令一名其他角色進(jìn)行判定，若判定結(jié)果為黑桃，張角對(duì)該角色造成2點(diǎn)雷電傷害?！竟淼馈吭谝幻巧呐卸ㄅ粕埃瑥埥强梢源虺鲆粡埡谏铺鎿Q之?！军S天】主公技，群雄角色可以在他們各自的出牌階段交給張角一張【閃】或【閃電】，每階段限一次。舉例：如果張角手上有【閃】，當(dāng)別人殺他一刀時(shí)，它可以打出【閃】，并指定對(duì)方進(jìn)行一次判定。如果判定結(jié)果不為黑桃，張角手上沒(méi)有黑桃，則【雷擊】失?。?/p>

18、如果張角手上有黑桃，那么張角可以發(fā)動(dòng)【鬼道】技能替換判定牌，那么雷擊【成功】；如果打出【閃】后判定結(jié)果直接為黑桃，張角【雷擊】依然成功。現(xiàn)主要討論張角【雷擊】技能成功在新版1V1（上手三張牌）中對(duì)方第一回合對(duì)張角出【殺】，張角反用【雷擊】對(duì)對(duì)方造成傷害的概率。事件A：張角有【閃】無(wú)黑桃張角上手3張牌中，先從15張【閃】中選出一張，則共有選法為，剩下兩張牌應(yīng)在除去黑桃和手上一張【閃】的108-28-1=79張牌中選兩張，共有種選法?？偟幕臼录?shù)中共有種。打出【閃】后，從牌堆頂摸出一張判定牌，為黑桃的概率約。所以事件B：手牌有【閃】有黑桃，此時(shí)一定可以雷擊成功。先從15張【閃】中選出一張作為手牌

19、,有種選法，再?gòu)?8張黑桃中選出一張作為手牌，有種選法，最后從106張剩余的牌中選出一張作為手牌，有種選法?？偟幕臼录?shù)中共有種。所以此時(shí) 因而, 張角被殺后發(fā)動(dòng)技能【雷擊】成功的概率為甄姬圖4:甄姬武將技能：【傾國(guó)】甄姬可以將一張黑色牌當(dāng)【閃】打出?！韭迳瘛炕睾祥_(kāi)始階段，甄姬可以進(jìn)行判定。若為黑色牌，甄姬獲得它。若為紅色牌，停止判定。舉例: 在回合開(kāi)始時(shí)，甄姬發(fā)動(dòng)【洛神】，第一張判定牌為黑色，甄姬獲得它；第二張判定牌為黑色，甄姬獲得它；第三張判定牌為紅色，甄姬就不能獲得了，并停止判定。從上面可以看出，甄姬具有“爆發(fā)”屬性，根據(jù)【洛神】可以獲得大量黑牌?？傻降啄塬@得多少黑牌呢？獲得這些牌的概

20、率又是多少？知道了獲得牌數(shù)的概率，我們就可以算出甄姬摸牌數(shù)的期望值了。玩家可以發(fā)現(xiàn)，甄姬有一個(gè)缺點(diǎn)，就是很容易“洛到桃”（即洛神最后一張判定牌為紅色的【桃】），這樣的概率又是多少？綜上所述，我們對(duì)甄姬會(huì)對(duì)其兩個(gè)有研究?jī)r(jià)值的事件進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。事件一：甄姬用技能【洛神】得到的牌數(shù)的概率事件二：甄姬用技能【洛神】最后一張判定牌是“桃”的概率事件一：設(shè)甄姬通過(guò)【洛神】可以得到k張牌，則應(yīng)滿足的條件是前k張牌為黑牌，第k+1張牌為紅牌。因?yàn)榭偟暮谂茢?shù)為54張，紅牌數(shù)為54張，所以對(duì)于前k張牌，共有種排列方式，對(duì)于第k+1張牌，則有種排列方式。而總基本事件數(shù)共有個(gè)。所以, 甄姬洛神得到k張牌的概率為：，得

21、到的牌數(shù)下面是PASCAL算法程序，及得出的相關(guān)結(jié)果:program zhenji;var k:longint; x,y,p,w:extended;function pailie(a,b:longint):extended;/計(jì)算排列var i:longint; g:extended;begin g:=1; for i:=b downto b-a+1 do g:=g*i; pailie:=g;end;begin assign(output,'output.txt');/輸出為文本文件 rewrite(output); w:=0; for k:=1 to 17 do /洛神發(fā)動(dòng)1

22、6次以后概率近似為0 begin x:=pailie(k,54)*pailie(1,54); /分子 y:=pailie(k+1,108); /分母 p:=x/y; w:=w+k*p; /計(jì)算期望值 writeln('P',k,'=',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p:0:5); writeln; end; writeln(Ew=,W:0:5);/輸出 close(output);end.P1=2916/11556=0.25234P2=154548/1224936=0.12617P3=8036496/128618280=

23、0.06248Ew=0.98181甄姬【洛神】得到手牌數(shù)w的分布（部分）見(jiàn)表3和圖5。表3: 甄姬【洛神】得到手牌數(shù)的分布w123456789P0.252340.126170.062480.030640.014870.007150.003400.001600.00074w1011121314151617P0.000340.000150.000070.000030.000010.000010.000000.00000圖5: 甄姬【洛神】得到手牌數(shù)的分布從圖5可以看出，甄姬在第17次以及以后的判定后概率已經(jīng)非常趨向于0了，這里為了方便，就取前17次的判定結(jié)果來(lái)計(jì)算甄姬【洛神】得到手牌數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

24、通過(guò)以上程序可以看出，甄姬在回合開(kāi)始內(nèi)通過(guò)【洛神】得到的手牌數(shù)期望為Ew=0.98181（張）。事件二：設(shè)甄姬通過(guò)【洛神】可以得到k張牌，對(duì)于前k張牌，共有種排列方式，對(duì)于第k+1張牌，因?yàn)榭偣灿?張【桃】，所以有種排列方式。而總基本事件數(shù)共有個(gè)。所以甄姬洛神得到k張牌且洛神結(jié)束時(shí)判定結(jié)果為【桃】的概率為：陸遜圖6: 陸遜武將技能:【謙遜】鎖定技，陸遜不能成為【順手牽羊】和【樂(lè)不思蜀】的目標(biāo)?！具B營(yíng)】每當(dāng)陸遜失去最后的手牌時(shí)，可立即摸一張牌。舉例：比如陸遜現(xiàn)在手上有一張【過(guò)河拆橋】，則他可以對(duì)場(chǎng)上一名角色使用。他這時(shí)失去了最后一張手牌，于是發(fā)動(dòng)【連營(yíng)】，從牌堆里再摸一張牌。如果摸到的是【樂(lè)不思

25、蜀】，那么它可以繼續(xù)使用，又失去最后一張手牌，發(fā)動(dòng)【連營(yíng)】。如果這次摸到的是【閃】，無(wú)法使用，則連營(yíng)結(jié)束。此處我們討論【連營(yíng)】技能:他一開(kāi)始有一張牌，并開(kāi)始出牌，使用【連營(yíng)】技能，并且通過(guò)【連營(yíng)】次數(shù)為K。在標(biāo)準(zhǔn)版卡包里面，對(duì)于使用【無(wú)中生有】，陸遜可以摸到3張牌（【連營(yíng)】一張，【無(wú)中生有】牌技兩張），所以因?yàn)槊祟~外的三張牌，陸遜已經(jīng)很難再發(fā)動(dòng)【連營(yíng)】技能，所以他使用【無(wú)中生有】時(shí)即可視為【連營(yíng)】結(jié)束。而對(duì)于陸遜，【諸葛連弩】無(wú)非是一個(gè)神器，因?yàn)榭梢詿o(wú)限輸出【殺】。因此，我們這里就分兩種情況討論陸遜【連營(yíng)】時(shí)的平均摸牌數(shù)（摸牌數(shù)的數(shù)學(xué)期望）:事件A: 陸遜沒(méi)有裝備【諸葛連弩】事件B：陸遜裝備

26、了【諸葛連弩】事件A：1. 在k次【連營(yíng)】中，陸遜既摸不到【無(wú)中生有】，也摸不到【諸葛連弩】，同時(shí)自身未裝備【諸葛連弩】因?yàn)殛戇d的前k-1張牌是可以用的，而在這k-1張牌中，只有除【諸葛連弩】以外的裝備牌17張加上除去【無(wú)中生有】，【無(wú)懈可擊】的28張錦囊牌。對(duì)于最后一張牌，就會(huì)摸到53張基本牌和4張【無(wú)懈可擊】。所以【連營(yíng)】獲得的前k張牌中，共有種排列方式，最后一張牌有種排列方式，總的排列方式就有種。摸到的牌數(shù)為k這種情況下，2. 在k次連營(yíng)中，陸遜摸到【無(wú)中生有】，但摸不到【諸葛連弩】，同時(shí)自身未裝備【諸葛連弩】。因?yàn)樵谇発張牌中，陸遜只有除【諸葛連弩】以外的裝備牌17張加上除去【無(wú)中生有

27、】，【無(wú)懈可擊】的28張錦囊牌。對(duì)于最后一張牌，就會(huì)摸到【無(wú)中生有】,所以與“1”同理，由于最后一次的【無(wú)中生有】能多獲得2張牌，此時(shí)共得到k+2張牌所以，當(dāng)陸遜沒(méi)有裝備【諸葛連弩】時(shí)，平均摸牌數(shù)為事件B：3. 在k次連營(yíng)中，陸遜摸不到【無(wú)中生有】，但自身裝備【諸葛連弩】因?yàn)樵谇発張牌中，只有除【諸葛連弩】以外的非武器裝備牌8張、除去【無(wú)中生有】，【無(wú)懈可擊】以及【借刀殺人】的26張錦囊牌和30張【殺】可以用。最后一張牌則應(yīng)該是非【諸葛連弩】的武器牌8張，【無(wú)懈可擊】4張，【借刀殺人】2張以及非【殺】的基本牌23張。所以與“1”同理，此時(shí)能摸k張牌，4. 在k張牌中，陸遜摸到【無(wú)中生有】，同時(shí)

28、自身裝備【諸葛連弩】因?yàn)樵谇発張牌中，只有除【諸葛連弩】以外的非武器裝備牌8張、除去【無(wú)中生有】，【無(wú)懈可擊】以及【借刀殺人】的26張錦囊牌和30張【殺】可以用。最后一張牌則應(yīng)該是【無(wú)中生有】。所以同理，由于最后一次的【無(wú)中生有】能多獲得2張牌，所以其中共得到k+2張牌。所以，陸遜在裝備【諸葛連弩】時(shí)，平均摸牌數(shù)為下面是PASCAL算法程序, 及計(jì)算的k從1到10， WA（k）WB（k）的值program luxun;var j,k:longint; WA,WB,SUMWA,SUMWB,x,y,n,m,w,e:extended; p1,p2,p3,p4,p:extended;function

29、pailie(a,b:longint):extended;/計(jì)算排列A（a,b）=b*(b-1)*.(b-a+1);var i:longint; g:extended;begin g:=1; for i:=b downto b-a+1 do g:=g*i; pailie:=g;end;begin assign(output,'output.txt');/ 將運(yùn)行結(jié)果輸出為txt文本文件 rewrite(output); e:=0;/期望值變量初始值為0 WA:=0; WB:=0; SUMWA:=0; SUMWB:=0; for k:=1 to 10 do begin write

30、ln('K=',k); x:=pailie(k,45);/分子 y:=pailie(k+1,108);/分母 p1:=57*(x/y) ;/P1的值 writeln('P1=57',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p1:0:5); x:=pailie(k,45); /計(jì)算P2 y:=pailie(k+1,108); p2:=4*(x/y); writeln('P2=4',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p2:0:5); x:=pailie(k,64); /計(jì)算P3 y

31、:=pailie(k+1,107); p3:=37*(x/y); writeln('P3=37',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p3:0:5); x:=pailie(k,64); /計(jì)算P4 y:=pailie(k+1,107); p4:=4*(x/y); writeln('P4=37',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p4:0:5); p:=p1+p2+p3+p4; writeln('p=',p:0:5); WA:=k*p1+(k+2)*p2; /計(jì)算W（A） W

32、B:=k*p3+(k+2)*p4; /計(jì)算W（B） writeln('WA',k,'=',wA:0:5); writeln('WB',k,'=',wB:0:5); SUMWA:=SUMWA+WA;/計(jì)算W（A）總和 SUMWB:=SUMWB+WB; /計(jì)算W（B）總和 writeln; /空兩行，為了輸出美觀 writeln; end; writeln('SUMWA',k,'=',SUMWA:0:5); writeln('SUMWB',k,'=',SUMWB:0:5)

33、; close(output);/關(guān)文件End.下面是輸出內(nèi)容：K=1P1=5745/11556=0.22196P2=445/11556=0.01558P3=3764/11342=0.20878P4=3764/11342=0.02257p=0.46889WA1=0.26869WB1=0.27649K=2P1=571980/1224936=0.09214P2=41980/1224936=0.00647P3=374032/1190910=0.12527P4=374032/1190910=0.01354p=0.23741WA2=0.21013WB2=0.30471K=3P1=5785140/1286

34、18280=0.03773P2=485140/128618280=0.00265P3=37249984/123854640=0.07468P4=37249984/123854640=0.00807p=0.12313WA3=0.12643WB3=0.26441K=4p=0.06532WA4=0.06737WB4=0.20560K=50.00043p=0.03532WA5=0.03331WB5=0.14977K=6p=0.01939WA6=0.01561WB6=0.10433K=75p=0.01075WA7=0.00701WB7=0.07028K=8p=0.00600WA8=0.00304WB8=

35、0.04609K=9p=0.00335WA9=0.00127WB9=0.02955K=10p=0.00187WA10=0.00052WB10=0.01858SUMWA10=0.73338SUMWB10=1.46980以上數(shù)據(jù)整理為表4和圖7。表4: 陸遜連營(yíng)中k從1到10, W（k）的值K12345W(A)0.268690.210130.126430.067370.03331W(B)0.276490.304710.264410.205600.14977K678910W(A)0.015610.007010.003040.001270.00052W(B)0.104330.070280.046090

36、.029550.01858圖7: 陸遜連營(yíng)次數(shù)及概率分布由上面可以看出，當(dāng)k=10時(shí)，P與W（A）、W（B）已經(jīng)非常小了，而陸遜的連營(yíng)是無(wú)限的，所以期望不可能算出精確數(shù)。所以這里不妨把陸遜摸牌的期望值用和來(lái)表示，得到，。即陸遜在未裝備【諸葛連弩】時(shí)通過(guò)【連營(yíng)】獲得的手牌數(shù)期望為0.73338（張），在裝備【諸葛連弩】時(shí)通過(guò)【連營(yíng)】獲得的手牌數(shù)期望為1.46980（張）?？偨Y(jié)與感悟我們?nèi)似匠＞蛺?ài)打“三國(guó)殺”，被其中的奧秘深深地打動(dòng)，進(jìn)而思考游戲設(shè)計(jì)中蘊(yùn)含的原理，并試圖“破譯”它。于是我們苦心探索，付諸實(shí)踐，從而造就了這篇小論文。在玩游戲的時(shí)候, 我們通常只會(huì)考慮下一張牌可能出現(xiàn)的概率是多少，而

37、不會(huì)考慮下面一堆牌排列的概率。我們苦思冥想，終于將周泰，甄姬，張角，陸遜四個(gè)“三國(guó)殺”里依靠概率的主要角色的數(shù)學(xué)原理分析透徹了，可以說(shuō)給了我們的愛(ài)好一個(gè)交代。如甄姬在文中算得洛神期望值約為0.98，即每回合額外摸得的牌非常接近1張，而周瑜，另一個(gè)武將，其擁有一個(gè)技能為每回合額外摸多一張牌，顯然其期望值為1。兩個(gè)人物比較，從實(shí)際上得出經(jīng)驗(yàn)，玩家傾向于選甄姬多，因?yàn)檎缂沁\(yùn)氣爆發(fā)型武將，運(yùn)氣好可以成為一夜暴發(fā)戶，擁有數(shù)十張牌。但是從理論上分析，周瑜有穩(wěn)定的1張收入，期望值為1，而甄姬為0.98的期望值。一般地說(shuō)，在期望值幾乎相等時(shí)，方差（摸牌收入不穩(wěn)定度）較小的較為穩(wěn)定，但“爆發(fā)”潛力不高；而方差

38、較大的雖不穩(wěn)定，但可以“爆發(fā)”，在游戲中就會(huì)有優(yōu)勢(shì)。這與人教版數(shù)學(xué)必修3中甲乙兩人打靶環(huán)數(shù)的問(wèn)題類似（在兩人都處于劣勢(shì)的情況下，平均數(shù)一樣但方差大的沖擊高分）。而實(shí)戰(zhàn)中，往往需要較高的運(yùn)氣，甄姬經(jīng)常是一翻出就是紅牌，洛神得到牌數(shù)為0，所以面對(duì)周瑜與甄姬的抉擇，玩家可要三思而后行。起初，我們以為算出游戲中武將的相關(guān)概率問(wèn)題很容易，僅僅是單純的排列組合，與課本的習(xí)題類似。但真正做了后才發(fā)現(xiàn)，用排列組合來(lái)分析現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題還是比較困難的。我們有時(shí)列出了算式，但帶入數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)不合常理。如在編寫完“陸遜”的程序運(yùn)行結(jié)果時(shí)，發(fā)現(xiàn)不符實(shí)際，回頭檢驗(yàn)才發(fā)現(xiàn)中間漏了一步或者重復(fù)了一步。我們的思維就在一

39、次一次的思考中逐漸變得靈活、縝密，這是做多少道高考題都無(wú)法比擬的！ 通過(guò)我們對(duì)“三國(guó)殺”中武將技能的概率分析，一方面可以為該游戲愛(ài)好者提供理論指導(dǎo)，讓大家能更加客觀科學(xué)地選將或評(píng)論，而不只是憑借玩游戲時(shí)的主觀感受；另一方面，可以對(duì)廣大學(xué)生乃至科研工作者有所啟迪，即有時(shí)科研可以來(lái)自生活中，來(lái)自玩樂(lè)中。從身邊小事，從自己的興趣愛(ài)好中發(fā)現(xiàn)科學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用科學(xué)方法予以分析，這樣研究才會(huì)有價(jià)值，才會(huì)有樂(lè)趣，這就是老師所說(shuō)的“做數(shù)學(xué)”，而恰恰也是從理論數(shù)學(xué)到應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。參考文獻(xiàn)1 2 中山大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系. 概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì). 北京: 高等教育出版社, 1980, pp. 1-74附錄基本牌【桃】：出牌階段使用，為自己加一點(diǎn)體力。任何時(shí)候體力值不得超過(guò)體力上限。桃也可以在任何角色任何時(shí)候需要扣減最后一點(diǎn)體力時(shí)，對(duì)該玩家使用，抵消一點(diǎn)體力傷害。例如：一般情況下，玩家只可以在自己回合對(duì)自己使用桃補(bǔ)充體力。除非角色將要死亡時(shí)：如某角色只有1點(diǎn)體力值，在別的玩家的回合他受到殺的攻擊，其他玩家或者他自己都可以對(duì)他使用桃，抵消一點(diǎn)體力傷害；又如某角色有2點(diǎn)體力值，他受到【閃電】的傷害，則需要2個(gè)桃才能恢復(fù)